Không gian o mêtric và sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ tương thích yếu

0 MỤC LỤC Mục lục Không gian O-mêtric 1.1 Các khái niệm 1.2 Không gian o-mêtric không gian o-mêtric mạnh 1.3 Không gian o-mêtric đầy đủ không gian o-mêtric d-compắc dãy 17 Sự tồn điểm bất động ánh xạ không gian o-mêtric 22 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ co không gian o-mêtric 22 2.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu không gian o-mêtric Kết luận Tài liệu tham khảo 25 34 35 LỜI NÓI ĐẦU Không gian mêtric không gian tôpô đặc biệt có nhiều tính chất trực quan Vì nghiên cứu không gian tôpô tổng quát, người ta xét tính chất tương tự không gian mêtric Một hướng nghiên cứu xây dựng hàm tương tự mêtric không gian tôpô nghiên cứu tính chất sinh từ hàm Để xây dựng hàm kiểu này, người ta mở rộng khái niệm mêtric cách giảm bớt điều kiện định nghĩa Với cách làm vậy, người ta thu khái niệm giả mêtric, nửa mêtric, o-mêtric nghiên cứu tính chất không gian cách dựa vào khái niệm Những người đạt kết đáng kể lĩnh vực nêu là: T L Hicks, M Aamri D EI Moutawkil, S Padaliya R P Pant, K B Lee Mục đích Luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để nghiên cứu tính chất không gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, mối liên hệ chúng với không gian tôpô đặc biệt khác Từ đó, nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ co điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu không gian o-mêtric Với mục đích đó, Luận văn chia làm hai chương Chương Không gian o-mêtric Trong chương này, nhắc lại số khái niệm tôpô đại cương có liên quan tới nội dung luận văn Trình bày khái niệm không gian o-mêtric, không gian o-mêtric mạnh, không gian đối xứng, mối quan hệ chúng với không gian tôpô đặc biệt khác Sau đó, trình bày khái niệm không gian o-mêtric đầy đủ, không gian o-mêtric d-compact dãy nghiên cứu tính chất không gian Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ không gian o-mêtric Trong chương này, tập trung nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đặc biệt không gian o-mêtric Đầu tiên, chứng minh kết tương tự Nguyên lí tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ cho không gian o-mêtric đầy đủ Sau thiết lập số điều kiện để ánh xạ tương thích yếu không gian o-mêtric có điểm bất động chung Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học Thầy, Cô giáo khoa giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS Trần Văn Ân, PGS.TS Tạ Quang Hải, PGS.TS Tạ Khắc Cư giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cám ơn Ban giám hiệu Trường cao đẳng nghề Nha Trang tạo điều kiện cho tác giả trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình,bạn bè bạn học viên Cao học khoá 14 - Giải tích tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ suốt thời gian học tập, nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng song Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong qúy thầy cô bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN O-MÊTRIC 1.1 Các khái niệm Mục dành cho việc giới thiệu khái niệm kết có cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ T tập X gọi tôpô X thoả mãn điều kiện (T1 ) ∅, X ∈ T ; (T2 ) Nếu Gi ∈ T i ∈ I Gi ∈ T ; i∈I (T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ T G1 ∩ G2 ∈ T Tập hợp X với tôpô T gọi không gian tôpô kí hiệu (X, T ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc T gọi tập mở 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, A ⊂ X Tập U ⊂ X gọi lân cận A, có tập mở V X cho A ⊂ V ⊂ U Cho không gian tôpô X, tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A 1.1.3 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T1 -không gian hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho y ∈ / Ux x ∈ / Uy 1.1.4 Định nghĩa Dãy {xn } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ no Khi ta viết xn → x 1.1.5 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T2 -không gian hay không gian Hausdorff với hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = ∅ Nếu X không gian Hausdorff dãy X mà hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.6 Định nghĩa Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X lân cận V f (x),tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.7 Định lý Giả sử X Y không gian tôpô, f : X → Y Khi điều kiện sau tương đương: (1) f liên tục; (2) Nếu E tập mở Y f −1 (E) mở X; (3) Nếu E tập đóng Y f −1 (E) đóng X 1.1.8 Định nghĩa Giả sử V ⊂ X, V gọi lân cận dãy x ∈ X với dãy {xn } hội tụ x tồn no ∈ N cho {xn : n ≥ no } ⊂ V 1.1.9 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi không gian Frechet tập A X x ∈ A tồn dãy {xn } A cho dãy {xn } hội tụ tới x 1.1.10 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi không gian Frechet mạnh dãy giảm tập {An } X x ∈ An với n ∈ N∗ tồn dãy {xn } X cho xn ∈ An với n {xn } hội tụ tới x 1.1.11 Định nghĩa Giả sử P họ tập không gian X P gọi lưới x ∈ X với lân cận U x tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U 1.1.12 Định nghĩa Cho P = {Px : x ∈ X} phủ X, P gọi sở yếu X (i) Px lưới x với x ∈ X; (ii) Với P1 , P2 ∈ Px , tồn P3 ∈ Px cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 ; (iii) Tập A X mở X x ∈ A tồn P ∈ Px cho P ⊂ A Không gian X gọi không gian gf-đếm X có sở yếu P = {Px : x ∈ X} cho Px tập đếm 1.1.13 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô Hàm f : X → (−∞, +∞) gọi nửa liên tục lim f (x) ≤ f (xo ) với xo ∈ X x→xo Hàm f gọi nửa liên tục hàm (−f ) nửa liên tục trên, (−f )(x) = −f (x) với x ∈ X Nói cách khác, hàm f gọi nửa liên tục limx→xo f (x) ≥ f (xo ) với xo ∈ X 1.2 Không gian o-mêtric không gian o-mêtric mạnh Trong mục trình bày khái niệm không gian omêtric, không gian o-mêtric mạnh, mối quan hệ chúng với không gian tôpô đặc biệt khác 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Giả sử X không gian tôpô Hàm d : X × X → R gọi o-mêtric X thoả mãn điều kiện sau: (1) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X; (2) d(x, y) = x = y; (3) Tập U ⊂ X mở d(x, X\U ) > với x ∈ U d(x, X\U ) = inf{d(x, y) : y ∈ X\U } Hàm d gọi o-mêtric mạnh d o-mêtric với x ∈ X, với r > hình cầu B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} lân cận x Hàm d gọi symmetric d o-mêtric d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X Hàm d gọi nửa mêtric d symmetric với M ⊂ X x ∈ M d(x, M ) = inf{d(x, y) : y ∈ M } = Không gian tôpô X với o-mêtric (tương ứng o-mêtric mạnh, symmetric, nửa mêtric) d gọi không gian o-mêtric (tương ứng o-mêtric mạnh, đối xứng, nửa mêtric) ký hiệu (X, d) X không cần d Giả sử d o-mêtric X Đặt τd = {U ⊂ X : ∀x ∈ U , ∃B(x, ε) ⊂ U } 1.2.2 Mệnh đề ([6]) 1) Tập U mở U ∈ τd Nói cách khác τd trùng với tôpô X 2) Nếu {xn } ⊂ X x ∈ X cho d(x, xn ) → xn → x Chứng minh 1) Giả sử U tập mở X x ∈ U Khi đó, theo định nghĩa o-mêtric tồn r > cho d(x, X\U ) = r Từ suy B(x, 2r ) ⊂ U Thật vậy, với y ∈ B(x, x2 ) ta có d(x, y) < 2r Do y ∈ / X\U , tức y ∈ U Như U ∈ Td Ngược lại, giả sử U ∈ τd x ∈ U Khi tồn ε > cho B(x, ε) ⊂ U Với y ∈ X\U ta có x ∈ / U Do dó d(x, y) ≥ ε Từ suy d(x, X\U ) ≥ ε > Theo định nghĩa o-mêtric U tập mở X 2) Giả sử {xn } ⊂ X, x ∈ X cho d(x, xn ) → Với lân cận U x tồn r > cho B(x, r) ⊂ U Vì d(x, xn ) → nên tồn số tự nhiên no cho d(x, xn ) < r với n ≥ no Do xn ∈ B(x, r) ⊂ U với n ≥ no Vậy xn → x 1.2.3 Nhận xét 1) Từ Định nghĩa 1.2.1 suy rằng: • o-mêtric mạnh ⇒ o-mêtric; • Nửa mêtric ⇒ symmetric ⇒ o-mêtric 2) Nếu X không gian o-mêtric X T1 -không gian Thật lấy x ∈ X đặt U = X\{x} Với y ∈ U , ta có y = x Do d(x, y) = r > d(y, X\U ) = d(y, x) = r Từ suy U tập mở, tức {x} tập đóng Vì X T1 -không gian 1.2.4 Mệnh đề ([6]) Không gian tôpô X nửa mêtric không gian o-mêtric mạnh đối xứng Chứng minh Giả sử X không gian nửa mêtric d nửa mêtric X Khi đó, với x ∈ X n ∈ N B(x, n1 ) lân cận điểm x ∈ X Thật vậy, đặt E = X\B(x, n1 ) Ta có d(x, E) ≥ n > Do x ∈ / E, tức x ∈ X\E Vì X\E lân cận mở x Với y ∈ X\E ta có y∈ / E Do y ∈ / E, tức y ∈ B(x, n1 ) Từ ta có X\E ⊂ B(x, n1 ) Như vậy, B(x, n1 ) lân cận điểm x ∈ X Bây giờ, với số dương r, tồn n ∈ N cho n < r Do B(x, n1 ) ⊂ B(x, r) Như B(x, r) lân cận x Từ suy X không gian o-mêtric mạnh đối xứng Ngược lại, giả sử X không gian o-mêtric mạnh đối xứng, tức X có symmetric d cho với x ∈ X r > 0, tập B(x, r) lân cận x Ta chứng tỏ X không gian nửa mêtric Giả sử M ⊂ X x ∈ M Lúc đó, với r > 0, B(x, r) ∩ M = ∅, tức tồn y ∈ B(x, r) ∩ M Từ ta có ≤ d(x, M ) ≤ d(x, y) < r Cho r → ta kết luận d(x, M ) = Ngược lại, giả sử x ∈ X cho d(x, M ) = Nếu x ∈ / M x ∈ X\M tồn r > cho B(x, r) ⊂ X\M Từ ta có d(x, M ) ≥ d(x, M ) ≥ r > Điều mâu thuẫn chứng tỏ x ∈ M Vậy X không gian nửa mêtric 1.2.5 Định nghĩa Giả sử {xn } dãy không gian o-mêtric (X, d) Ta nói dãy {xn } d-hội tụ tới x ∈ X lim d(x, xn ) = Khi n→∞ d đó, ta kí hiệu xn → x Theo Mệnh đề 1.2.2 từ {xn } d-hội tụ tới x suy {xn } hội tụ tới x (theo tôpô X) Một câu hỏi đặt với điều kiện điều ngược lại Mệnh đề 1.2.2 đúng? 1.2.6 Bổ đề ([6]) Nếu X không gian o-mêtric Hausdorff B(x, r) lân cận dãy x với x ∈ X r > Chứng minh Giả sử B(x, r) không lân cận dãy X Khi tồn dãy {xn } X\B(x, r) cho {xn } hội tụ tới x Không tính tổng quát giả thiết xn đôi khác Đặt E = {x1 , x2 , } Vì X không gian Hausdorff nên E ∪ {x} tập đóng X Do X\(E ∪ {x}) tập mở Giả sử y ∈ X\E Nếu y = x B(y, r) = B(x, r) ⊂ X\E Nếu y = x y ∈ X\(E ∪ {x}) Vì X\(E ∪ {x}) tập mở nên tồn ε > cho B(y, ε) ⊂ X\(E ∪ {x}) ⊂ X\E Từ Mệnh đề 1.2.2 suy X\E tập mở hay E tập đóng Điều mâu thuẫn với {xn } ⊂ E, {xn } hội tụ tới x x ∈ / E Vậy B(x, r) lân cận x 1.2.7 Mệnh đề ([6]) Nếu (X, d) không gian o-mêtric Hausdorff d xn → x xn → x Chứng minh Giả sử xn → x Khi đó, X không gian Hausdorff nên với ε > 0, B(x, ε) lân cận dãy x Do tồn no ∈ N cho xn ∈ B(x, ε) với n ≥ no , tức ≤ d(x, xn ) < ε với n ≥ no Từ suy d(x, xn ) → 1.2.8 Mệnh đề ([6]) Giả sử X không gian o-mêtric mạnh {xn } dãy X Khi {xn } hội tụ tới x d(x, xn ) → Chứng minh Giả sử xn → x ε > Khi tồn no ∈ N cho xn ∈ B(x, ε) với n ≥ no Từ ≤ d(x, xn ) < ε với n ≥ no Vì ε nên d(x, xn ) → Nhờ Mệnh đề 1.2.2 ta dễ dàng suy điều ngược lại 1.2.9 Mệnh đề ([6]) Không gian tôpô X o-mêtric mạnh X có o-mêtric cho hình cầu tập mở Chứng minh Giả sử X không gian o-mêtric mạnh với d o-mêtric mạnh Khi với x ∈ X r > 0, hình cầu B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} 21 Chứng minh Với n = 1, 2, , lấy xn ∈ En Khi {xn } dãy tập d-compắc dãy E1 Do tồn dãy {xnk } {xn } x ∈ E1 cho d(x, xnk ) → Vì xnk → x Theo Mệnh đề 1.3.5 En tập đóng Mặt khác với n = 1, 2, , dãy {xnk } nằm En lúc ∞ nên x ∈ En Do x ∈ En n=1 1.3.8 Hệ Nếu (X, d) không gian o-mêtric d-compắc dãy dãy giảm tập đóng X có giao khác rỗng Chứng minh Giả sử {En } dãy giảm tập đóng X Khi đó, X d-compắc dãy nên En d-compắc dãy Tiếp tục chứng minh tương ∞ En = ∅ tự Mệnh đề 1.3.7 ta có n=1 22 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN O-MÊTRIC 2.1 Sự tồn điểm bất động ánh xạ co không gian o-mêtric Trong mục này, thiết lập điều kiện để tồn điểm bất động ánh xạ co không gian o-mêtric mà tương tự Nguyên lí điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ 2.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian o-mêtric f : X → X Ánh xạ f gọi ánh xạ co tồn số α ∈ [0, 1) cho d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) với x, y ∈ X Rõ ràng f liên tục kết luận f ánh xạ co (ánh xạ đồng X liên tục không ánh xạ co) Câu hỏi đặt ánh xạ co có liên tục không? Để trả lời câu hỏi ta cần bổ đề sau 2.1.2 Bổ đề Giả sử X, Y hai không gian o-mêtric f : X → Y Khi f liên tục với dãy {xn } X mà xn → x ∈ X f (xn ) → f (x) Chứng minh Giả sử f liên tục {xn } dãy X hội tụ tới x ∈ X Khi đó, với lân cận mở V f (x) f −1 (V ) lân cận mở x xn → x nên tồn no ∈ N cho xn ∈ f −1 (V ) với n ≥ no Do đó, f (xn ) ∈ V với n ≥ no Vậy f (xn ) → f (x) 23 Ngược lại, giả sử với dãy {xn } X mà xn → x ∈ X f (xn ) → f (x) f không liên tục Khi dó, theo Định lí 1.1.7 tồn tập F đóng Y cho E = f −1 (F ) không đóng X, tức tập X\E không mở X Từ suy tồn điểm x ∈ X\E, x ∈ E Theo Mệnh đề 1.2.13, X không gian Frechet Do tồn dãy {xn } E cho xn → x Theo giả thiết ta có f (xn ) → f (x) Mặt khác {f (xn )} ⊂ f (E) = F F tập đóng nên f (x) ∈ F , tức x ∈ f −1 (F ) = E Ta có điều mâu thuẫn Vậy f liên tục 2.1.3 Mệnh đề Nếu X không gian o-mêtric mạnh ánh xạ co f : X → X liên tục Chứng minh Giả sử {xn } dãy X xn → x ∈ X Vì f ánh xạ co nên tồn α ∈ [0, 1) cho d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) với x, y ∈ X Do ta có ≤ d(f (x), f (xn )) ≤ αd(x, xn ) (1) Mặt khác, xn → x X không gian o-mêtric mạnh nên theo Mệnh đề 1.2.8 d(x, xn ) → vế phải (1) dần tới Từ d(f (x), f (xn )) → Theo Mệnh đề 1.2.2 ta có f (xn ) → f (x) Theo Bổ đề 2.1.2 f ánh xạ liên tục 2.1.4 Định nghĩa Giả sử X không gian o-mêtric Ta nói X bị chặn d(X) = sup{d(x, y) : x, y ∈ X} < ∞ 2.1.5 Định nghĩa Giả sử f : X → X Điểm a ∈ X gọi điểm bất động f f (a) = a Ta biết ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ có điểm bất động Định lý sau cho thấy điều cho không gian o-mêtric đầy đủ 24 2.1.6 Định lý Nếu (X, d) không gian o-mêtric Hausdorff đầy đủ cho d(f (X)) = sup{d(x, y) : x, y ∈ f (X)} < ∞ ánh xạ co f : X → X có điểm bất động Chứng minh Giả sử f : X → X ánh xạ co, nghĩa tồn α ∈ [0, 1) cho d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y), với x, y ∈ X Lấy x1 ∈ X đặt x2 = f (x1 ) Nếu d(x1 , x2 ) = x1 = x2 = f (x1 ), x1 điểm bất động f Giả sử d(x1 , x2 ) > Ta xây dựng dãy {xn } sau xn+1 = f (xn ), với n = 1, 2, Khi đó, tồn no mà xno +1 = f (xno ) = xno xno điểm bất động f Do ta cần xét trường hợp xn = xn+1 , với n ∈ N Với n p ∈ N ta có d(xn , xn+p ) = d(f (xn−1 , xn+p−1 ) ≤ αd(xn−1 , xn+p−1 ) Suy d(xn , xn+p ) ≤ αn−1 d(x1 , xp+1 ) ≤ αn−1 C, C = d(f (X)) = sup{d(x, y) : x, y ∈ f (X)} < ∞ Từ α ∈ [0, 1), C hữu hạn bất đẳng thức suy {xn } dãy X Do X đầy đủ nên tồn x ∈ X cho xn → x Bây ta chứng minh x điểm bất động f Với n ta có ≤ d(f (x), f (xn )) ≤ αd(x, xn ) d Do xn → x nên theo Mệnh đề 1.2.7, ta có xn → x Do d(f (x), f (xn )) → d n → ∞ Tức f (xn ) → f (x) Vì thế, f (xn ) → f (x) Do xn = f (xn−1 ) → f (x) 25 Như vậy, ta có xn → x f (xn ) → f (x) nên theo giả thiết x = f (x), nghĩa x điểm bất động f Bây ta chứng minh tính điểm bất động Giả sử tồn x ∈ X điểm bất động ánh xạ f Khi đó, d(x, x ) = ≤ d(x, x ) = d(f (x), f (x )) ≤ αd(x, x ) < d(x, x ) Điều mâu thuẫn dẫn đến d(x, x ) = 0, tức x = x 2.2 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu không gian o-mêtric Trong mục này, đưa số điều kiện để ánh xạ tương thích yếu không gian o-mêtric có điểm bất động chung 2.2.1 Định nghĩa ([3]) Cho không gian o-mêtric (X, d), với d(X) < ∞ Mỗi ánh xạ f từ X vào gọi tự ánh xạ Giả sử A B hai tự ánh xạ không gian o-mêtric (X, d) với d(X) < ∞ Ta viết Ax, Bx thay cho A(x), B(x) tương ứng Khi 1) A B gọi tương thích lim d(ABxn , BAxn ) = n→∞ với dãy {xn } X thoả mãn lim d(t, Axn ) = lim d(t, Bxn ) = n→∞ n→∞ với t thuộc X 2) A B gọi tương thích yếu với u ∈ X mà Au = Bu ABu = BAu 2.2.2 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) không gian o-mêtric với d(X) < ∞ 1) X gọi thoả mãn điều kiện (W3) với x, y dãy {xn } X mà lim d(x, xn ) = lim d(y, xn ) = x = y n→∞ n→∞ 2) X gọi thoả mãn điều kiện (W4) với dãy {xn }, {yn } x X mà lim d(x, xn ) = lim d(xn , yn ) = lim d(x, yn ) = n→∞ n→∞ n→∞ 26 2.2.3 Định lý Cho không gian o-mêtric (X, d) với d(X) < ∞ Giả sử X không gian Hausdorff d-bị chặn Cho hai tự ánh xạ A B X, tương thích yếu thoả mãn (1) d(Ax, Ay) ≤ kd(Bx, By), ∀x, y ∈ X; k ∈ [0, 1); (2) AX ⊆ BX Khi đó, miền giá trị A B không gian đầy đủ X, A B có chung điểm bất động Chứng minh Lấy xo ∈ X Do AX ⊆ BX nên tồn x1 ∈ X cho Axo = Bx1 Tương tự, tồn x2 ∈ X cho Ax1 = Bx2 Tiếp tục trình này, ta chọn dãy {xn } X cho Axn−1 = Bxn Ta chứng minh {Axn } dãy Cauchy X Thật vậy, với n, m ∈ N ta có d(Axn , Axn+m ) ≤ kd(Bxn , Bxn+m ) = kd(Axn−1 , Axn+m−1 ) ≤ k d(Bxn−2 , Bxn+m−1 ) = k d(Axn−2 , Axn+m−2 ) ≤ k n d(Axo , Axn ) ≤ k n d(X), đó, d(X) = sup{d(x, y) : x, y ∈ X} < ∞ Do lim d(Axn , Axn+m ) = n→∞ Từ {Axn } dãy Cauchy Giả sử BX không gian đầy đủ X Khi đó, từ AX ⊆ BX suy {Axn } hội tụ BX, tức tồn u ∈ X cho Axn → Bu Vì X Hausdorff nên theo Mệnh đề 1.2.7 ta có lim d(Bu, Axn ) = lim d(Bu, Bxn ) = Bây ta chứng minh n→∞ n→∞ Au = Bu Thật vậy, d(Au, Axn ) ≤ kd(Bu, Bxn ) Cho n → ∞, ta có lim d(Au, Axn ) = Kết hợp với lim d(Bu, Axn ) = n→∞ n→∞ X Hausdorff ta suy Au = Bu Do A B tương thích yếu nên AAu = ABu = BAu = BBu Bây giờ, ta chứng minh BBu = Bu Thật 27 vậy, giả sử d(Bu, BBu) = Khi đó, từ (1) ta có d(Bu, BBu) = d(Au, ABu) ≤ kd(Bu, BBu) < d(Bu, BBu), điều vô lý Do d(Bu, BBu) = ta có BBu = Bu Suy ABu = BAu = BBu = Bu hay ta có Bu điểm bất động A B Trong trường hợp AX không gian đầy đủ X, tồn x ∈ X cho lim d(Ax, Axn ) = Từ AX ⊂ BX, tồn u ∈ X cho n→∞ AX = Bu Chứng minh hoàn toàn tương tự trường hợp BX không gian đầy đủ X ta có Bu điểm bất động A B Bây ta chứng minh tính điểm bất động Giả sử tồn u, v ∈ X cho Au = Bu = u Av = Bv = v Khi đó, d(u, v) = d(u, v) = d(Au, Av) ≤ kd(Bu, Bv) = kd(u, v) < d(u, v), điều vô lý Vậy d(u, v) = 0, suy u = v Định lí chứng minh 2.2.4 Định nghĩa Cho (X, d) không gian o-mêtric Giả sử A B hai tự ánh xạ X Khi A B gọi thoả mãn điều kiện (E.A) tồn dãy {xn } X cho lim d(t, Axn ) = lim d(t, Bxn ) = 0, n→∞ n→∞ với t thuộc X 2.2.5 Định nghĩa Cho (X, d) không gian o-mêtric với d(X) < ∞ X gọi thoả mãn điều kiện (HE ) với {xn }, {yn } x X mà lim d(x, xn ) = lim d(x, yn ) = lim d(xn , yn ) = n→∞ n→∞ n→∞ 2.2.6 Định lý ([6]) Cho hàm ϕ : R+ → R+ thoả mãn (1) ϕ hàm không giảm R+ ; (2) lim ϕn (t) = 0, với t > 0, ϕn (t) = ϕ(ϕ ϕ(t)) với n lần n→∞ ϕ Khi đó, ϕ(t) < t với t > 28 Chứng minh Giả sử tồn to > thoả mãn ϕ(t) ≥ to Khi đó, ϕ hàm không giảm nên ta có ϕ(ϕ(to )) ≥ ϕ(to ) ≥ to Theo Nguyên lý qui nạp ta suy ϕn (to ) ≥ to với n ∈ N Điều dẫn đến lim ϕn (to ) ≥ to > 0, n→∞ mâu thuẫn với điều kiện (2) Vậy ta có ϕ(t) < t với t > 2.2.7 Định lý Cho (X, d) không gian o-mêtric thoả mãn điều kiện (W3) (HE ) Giả sử A B hai tự ánh xạ X, tương thích yếu thoả mãn (1) d(Ax, Ay) ≤ ϕ(max{d(Bx, By), d(Bx, By), d(Ay, By)}), ∀x, y ∈ X; (2) A B thoả mãn điều kiện (E.A); (3) AX ⊂ BX Khi đó, miền giá trị A B không gian đóng X A B có chung điểm bất động Chứng minh Từ giả thiết A B thoả mãn điều kiện (E.A) ta suy tồn dãy {xn } X cho lim d(t, Axn ) = lim d(t, Bxn ) = với t n→∞ thuộc X Nhờ điều kiện (HE ), ta có lim n→∞ n→∞ d(Bxn , Axn ) = Giả sử BX không gian đóng X Từ d(t, Bxn ) → n → ∞ suy Bxn → t Vì BX không gian đóng nên t ∈ BX Do tồn u ∈ X cho t = Bu Ta chứng minh Au = Bu Thật vậy, ta có d(Au, Axn ) ≤ ϕ(max{d(Bu, Bxn ), d(Bu, Axn ), d(Axn , Bxn )}) < max{d(Bu, Bxn ), d(Bu, Axn ), d(Axn , Bxn )} Khi n → ∞, vế phải bất đẳng thức dần Do lim d(Au, Axn ) = n→∞ Vậy lim d(Au, Axn ) = lim d(Bu, Axn ) = Nhờ điều kiện (W3) n→∞ n→∞ ta suy Au = Bu Mặt khác, A B tương thích yếu nên ABu = BAu đồng thời AAu = ABu = BAu = BBu Bây ta chứng minh Au điểm bất động 29 A B Giả sử AAu = Au Khi đó, từ điều kiện (1) ta có d(Au, AAu) ≤ ϕ(max{d(Bu, BAu), d(Bu, AAu), d(AAu, BAu)}) ≤ ϕ(max{d(Au, AAu), d(Au, AAu)}) < d(Au, AAu), điều vô lý Do AAu = Au ta có AAu = BAu = Au Vậy Au điểm bất động chung A B Trong trường hợp AX không gian đóng X, từ AX ⊂ BX, chứng minh tương tự ta có kết Giả sử Au = Bu = u, Av = Bv = v u = v Khi đó, từ (1) ta có d(u, v) = d(Au, Av) ≤ ϕ(max{d(Bu, Bv), d(Bu, Bv), d(Bv, Av)}) ≤ ϕ(d(u, v)) < d(u, v), điều vô lý Suy A B có chung điểm bất động Định lí chứng minh 2.2.8 Hệ Cho (X, d) không gian o-mêtric thoả mãn điều kiện (W3) (HE ) Giả sử A B hai tự ánh xạ tương thích yếu không tương thích X thoả mãn (1) d(Ax, Ay) ≤ ϕ(max{d(Bx, By), d(Bx, Ay), d(Ay, By)}), ∀x, y ∈ X; (2) AX ⊂ BX Khi đó, AX BX không gian đóng X A B có chung điểm bất động Chứng minh Từ Định nghĩa 2.2.1 A B không tương thích A B thoả mãn điều kiện (E.A) Từ nhờ Định lí 2.2.7 ta có điều phải chứng minh 2.2.9 Định lý Cho (X, d) không gian o-mêtric Hausdorff, A B hai tự ánh xạ X tương thích yếu thoả mãn 30 (1) d(Ax, Ay) ≤ ϕ(max{d(Bx, By), d(Bx, Ay)}) với x, y ∈ X; (2) A B thoả mãn điều kiện (E.A) Khi đó, BX không gian đóng X A B có chung điểm bất động Chứng minh Từ giả thiết A B thoả mãn điều kiện (E.A) suy tồn dãy {xn } X cho lim d(t, Axn ) = lim d(t, Bxn ) = 0, với t n→∞ n→∞ thuộc X Theo Mệnh đề 1.2.2 dãy {Axn } {Bxn } hội tụ tới t Do BX không gian đóng X nên t ∈ BX Vì t = Bu với u ∈ X Ta chứng minh Au = Bu Thật vậy, ta có d(Au, Axn ) ≤ ϕ(max{d(Bu, Bxn ), d(Bu, Axn )}) < max{d(Bu, Bxn ), d(Bu, Axn )} Khi n → vế phải dần Do ta có lim d(Au, Axn ) = Vậy n→∞ lim d(Au, Axn ) = lim d(Au, Axn ) = Vì X không gian Hausdorff n→∞ n→∞ nên Au = Bu Mặt khác, A B tương thích yếu nên ABu = BAu đồng thời AAu = ABu = BAu = BBu Bây ta chứng minh Au điểm bất động A B Giả sử AAu = Au Khi từ (1) ta có d(Au, AAu) ≤ ϕ(max{d(Bu, BAu), d(Bu, AAu)}) ≤ ϕ(d(Au, AAu)) < d(Au, AAu), điều vô lý Vậy AAu = Au, AAu = Au = BAu Giả sử tồn u, v cho u = v, Au = Bu = u Av = Bv = v Khi đó, từ (1) ta có d(u, v) = d(Au, Av) ≤ ϕ(max{d(Bu, Bv), d(Bu, Bv)}) < d(v, v), điều vô lý Vậy A B có chung điểm bất động 31 2.2.10 Định lý Cho (X, d) không gian o-mêtric Hausdorff thoả mãn điều kiện (W4) Giả sử A, B, T S tự ánh xạ X thoả mãn (1) d(Ax, By) ≤ ϕ(max{d(Sx, T y), d(Sx, By), d(T y, By)}), ∀x, y ∈ X; (2) Từng cặp (A, T ) (B, S) tương thích yếu; (3) B T thoả mãn điều kiện (E.A); (4) AX ⊂ T X BX ⊂ SX Khi đó, BX SX không gian đóng X dãy d-hội tụ X Cauchy A, B, T S có điểm bất động chung Chứng minh Vì B T thoả mãn điều kiện (E.A) nên tồn dãy {xn } X cho lim d(t, Bxn ) = lim d(t, T xn ) = 0, với t ∈ X Vì n→∞ n→∞ dãy d-hội tụ X Cauchy nên theo Mệnh đề 1.3.2 ta có lim d(Bxn , T xn ) = lim d(T xn , Bxn ) = n→∞ n→∞ Từ BX ⊂ SX suy tồn dãy {yn } X cho Bxn = Syn với n ∈ N Điều dẫn đến lim d(t, Syn ) = Từ (1), với n ta có n→∞ d(Ayn , Bxn ) ≤ ϕ(max{d(Syn , T xn ), d(Syn , Bxn ), d(T xn , Bxn )}) ≤ ϕ(max{d(Bxn , T xn ), 0, d(T xn , Bxn )}) ≤ ϕ(d(Bxn , T xn ) + d(T xn , Bxn )) ≤ d(Bxn , T xn ) + d(T xn , Bxn ) Khi n → 0, vế phải bất đẳng thức dần tới 0, lim d(Ayn , Bxn ) = n→∞ Từ điều kiện (W4) ta suy lim d(t, Ayn ) = Vì lim d(t, Syn ) = n→∞ n→∞ nên theo Mệnh đề 1.2.2, dãy {Syn } hội tụ tới t Giả sử SX không gian đóng X Khi tồn u ∈ X cho Su = t Nếu BX không gian đóng X từ BX ⊂ SX suy tồn u ∈ X cho Su = t 32 Do ta có lim d(Su, Ayn ) = lim d(Su, Bxn ) n→∞ n→∞ = lim d(Su, T xn ) n→∞ = lim d(Su, Syn ) = n→∞ Từ (1) ta có d(Au, Bxn ) ≤ ϕ(max{d(Su, T xn ), d(Su, Bxn ), d(T xn , Bxn )}) Cho n → ∞, ta có lim d(Au, Bxn ) = Từ X không gian Hausdorff n→∞ suy Au = Su Từ tính tương thích yếu A S ta suy ASu = SAu AAu = ASu = SAu = SSu Mặt khác, từ AX ⊂ T X, suy tồn v ∈ X cho Au = T v Ta chứng minh T v = Bv Thật vậy, giả sử ngược lại Khi từ (1) ta có d(Au, Bv) ≤ ϕ(max{d(Su, T u), d(Su, Bv), d(T v, Bv)}) ≤ ϕ(max{d(T v, Bv), d(Au, Bv)}) ≤ ϕ(d(Au, Bv)) < d(Au, Bv) Điều vô lý Do Au = Su = T v = Bv Ta lại có B T tương thích yếu nên BT v = T Bv T T v = T Bv = BT v = BBv Bây ta chứng minh Au điểm bất động A, B, T , S Giả sử AAu = Au Khi d(AAu, Au) = d(AAu, Bv) ≤ ϕ(max{d(SAu, T v), d(SAu, Bv), d(T v, Bv)}) ≤ ϕ(max{d(AAu, Au), d(AAu, Au), d(Au, Au)}) ≤ ϕ(d(AAu, Au)) < d(AAu, Au) 33 Điều vô lý Do Au = AAu = SAu Au điểm bất động A S Hoàn toàn tương tự ta chứng minh Au điểm bất động B T Vậy Au điểm bất động A, B, T , S Cuối cùng, giả sử tồn u, v ∈ X cho Au = Bu = T u = Su = u Av = Bv = T v = Sv = v u = v Khi đó, từ (1) ta có d(u, v) = d(Au, Bv) ≤ ϕ(max{d(Su, T v), d(Su, Bv), d(T v, Bv)}) ≤ ϕ(d(u, v)) < d(u, v) Điều vô lý Vậy Au điểm bất động chung A, B, T S 34 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu tham khảo Đưa số tính chất không gian o-mêtric, không gian o-mêtric mạnh, không gian o-mêtric d-compăc dãy thể Bổ đề 1.2.10, Mệnh đề 1.2.8, Mệnh đề 1.2.9, Mệnh đề 1.3.5 Đưa số tính chất điểm bất động ánh xạ không gian o-mêtric thể Bổ đề 1.2.10, Mệnh đề 1.2.11, Hệ 1.2.12, Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.3.2, Định lý 1.3.3, Mệnh đề 1.3.5, Định lý 1.3.6, Mệnh đề 1.3.7, Hệ 1.3.8, Định lý 2.1.6, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.7, Hệ 2.2.8, Định lý 2.2.9 Định lý 2.2.10 Đề xuất số vấn đề mở: i) Lý thuyết điểm bất động không gian gf -đếm ii) Ứng dụng định lý điểm bất động vấn đề có liên quan 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Khánh Hưng (2007), Không gian Tôpô với τ -khoảng cách tồn điểm bất động, Luận văn Thạc sĩ toán học, ĐH Vinh [2] Phan Anh Tài (2008), Một số vấn đề không gian o-mêtric omêtric mạnh, Luận văn Thạc sĩ toán học, ĐH Vinh [3] M Aamri and D EI Moutawakil (2003), Common fixed point under contractive conditions in symmetric spaces, Applied Mathematics ENotes, No.3, pp 156-162 [4] T L Hicks, (1992), Fixed point theorems for d-complete topological spaces, Initernat J Math Sci, Vol 15, No.3, pp 435-440 [5] T L Hicks, (1996), Fixed point theory in symmetric spaces with applications to probabilistic spaces, Nonlinear Analysts, 36, pp 331-344 [6] K B Lee, (1976), On certain g-first countable spaces, Pacific Jounrnal of Mathematics, Vol 65, No.1, pp 113-118 [7] S Padaliya and R P Pant, (2005), Common fixed point theorems for R-weakly commuting mapping of type (Af ), Soclow journal of mathematics, Vol 31, No.2, pp 155-163 [8] Bui Thi Thuy Vinh and Dinh Huy Hoang and Le Khanh Hung, (2008), Common fixed points for weakly compatible map in o-metrizable spaces, (accept publication in Vinh University Journal of Science) [...]... động của ánh xạ co trong không gian o- mêtric Trong mục này, chúng tôi sẽ thiết lập điều kiện để tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gian o- mêtric mà nó tương tự như Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ 2.1.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian o- mêtric và f : X → X Ánh xạ f được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0, 1) sao cho d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y)... là không gian o- mêtric và d-compắc dãy thì mỗi dãy giảm các tập con đóng của X có giao khác rỗng Chứng minh Giả sử {En } là dãy giảm các tập con đóng trong X Khi đó, vì X là d-compắc dãy nên En là d-compắc dãy Tiếp tục chứng minh tương ∞ En = ∅ tự Mệnh đề 1.3.7 ta có n=1 22 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN O- MÊTRIC 2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không. .. có Bu là điểm bất động của A và B Trong trường hợp AX là không gian con đầy đủ của X, tồn tại x ∈ X sao cho lim d(Ax, Axn ) = 0 Từ AX ⊂ BX, ắt tồn tại u ∈ X sao cho n→∞ AX = Bu Chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp BX là không gian con đầy đủ của X ta cũng có Bu là điểm bất động của A và B Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động Giả sử tồn tại u, v ∈ X sao cho Au = Bu = u và Av =... ra một số điều kiện để các ánh xạ tương thích yếu trong không gian o- mêtric có điểm bất động chung 2.2.1 Định nghĩa ([3]) Cho không gian o- mêtric (X, d), với d(X) < ∞ Mỗi ánh xạ f từ X v o chính nó được gọi là một tự ánh xạ Giả sử A và B là hai tự ánh xạ của không gian o- mêtric (X, d) với d(X) < ∞ Ta viết Ax, Bx thay cho A(x), B(x) tương ứng Khi đó 1) A và B được gọi là tương thích nếu lim d(ABxn ,... nhất khi và chỉ khi X là T1 -không gian có cwc -ánh xạ thoả mãn (a) và (c); 3) X là không gian đối xứng khi và chỉ khi X là T1 -không gian có cwc -ánh xạ thoả mãn (a) và (b); 4) X là không gian nửa mêtric khi và chỉ khi X là T1 -không gian có cwc -ánh xạ thoả mãn (a), (b) và (c) 1.2.17 Mệnh đề ([6]) Không gian tôpô X là o- mêtric khi và chỉ khi X là T1 không gian, gf-đếm được Chứng minh Giả sử d là o- mêtric. .. 2.2.9 và Định lý 2.2.10 4 Đề xuất một số vấn đề mở: i) Lý thuyết điểm bất động trong không gian gf -đếm được ii) Ứng dụng của các định lý điểm bất động trong các vấn đề có liên quan 35 TÀI LIỆU THAM KH O [1] Lê Khánh Hưng (2007), Không gian Tôpô với τ -khoảng cách và sự tồn tại điểm bất động, Luận văn Thạc sĩ toán học, ĐH Vinh [2] Phan Anh Tài (2008), Một số vấn đề về không gian o- mêtric và omêtric... (x), nghĩa là x là điểm bất động của f Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất của điểm bất động Giả sử tồn tại x ∈ X là điểm bất động của ánh xạ f Khi đó, nếu d(x, x ) = 0 thì 0 ≤ d(x, x ) = d(f (x), f (x )) ≤ αd(x, x ) < d(x, x ) Điều mâu thuẫn này dẫn đến d(x, x ) = 0, tức là x = x 2.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian o- mêtric Trong mục này, sẽ đưa ra... quả Cho (X, d) là không gian o- mêtric thoả mãn điều kiện (W3) và (HE ) Giả sử A và B là hai tự ánh xạ tương thích yếu và không tương thích của X thoả mãn (1) d(Ax, Ay) ≤ ϕ(max{d(Bx, By), d(Bx, Ay), d(Ay, By)}), ∀x, y ∈ X; (2) AX ⊂ BX Khi đó, nếu AX hoặc BX là không gian con đóng của X thì A và B có chung một điểm bất động Chứng minh Từ Định nghĩa 2.2.1 nếu A và B không tương thích thì A và B thoả mãn... d-compắc dãy trong không gian o- mêtric d-compắc dãy (X, d) thì K là compắc dãy b) Nếu (X, d) là không gian o- mêtric d-compắc dãy Hausdorff thì i) Các khái niệm d-compắc dãy và compắc dãy là tương đương; ii) Mỗi tập con compắc dãy trong X đều là tập đóng c) Nếu không gian o- mêtric (X, d) là d-compắc dãy thì mọi tập con đóng của X đều d-compắc dãy Chứng minh a) Giả sử K là d-compắc dãy trong không gian. .. 2.2.9 Định lý Cho (X, d) là không gian o- mêtric Hausdorff, A và B là hai tự ánh xạ của X tương thích yếu thoả mãn 30 (1) d(Ax, Ay) ≤ ϕ(max{d(Bx, By), d(Bx, Ay)}) với mọi x, y ∈ X; (2) A và B thoả mãn điều kiện (E.A) Khi đó, nếu BX là không gian con đóng của X thì A và B có chung một điểm bất động Chứng minh Từ giả thiết A và B thoả mãn điều kiện (E.A) suy ra tồn tại dãy {xn } trong X sao cho lim d(t, Axn ... bất động ánh xạ co không gian o- mêtric Trong mục này, thiết lập điều kiện để tồn điểm bất động ánh xạ co không gian o- mêtric mà tương tự Nguyên lí điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy... kết tương tự Nguyên lí tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ cho không gian o- mêtric đầy đủ Sau thiết lập số điều kiện để ánh xạ tương thích yếu không gian o- mêtric có điểm bất động. .. điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu không gian o- mêtric Trong mục này, đưa số điều kiện để ánh xạ tương thích yếu không gian o- mêtric có điểm bất động chung 2.2.1 Định nghĩa ([3]) Cho không