Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b mêtric

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian b-mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian b-mêtric Về tồn điểm bất động ánh xạ co không gian b-mêtric 12 2.1 Một vài kết tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea không gian b-mêtric 12 2.2 Về tồn điểm bất động ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Kannan Chatterjea không gian b-mêtric 19 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề quan tâm nghiên cứu giải tích, có nhiều ứng dụng toán học ngành kỹ thuật Nguyên lý tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Kết mở rộng cho nhiều loại ánh xạ nhiều lớp không gian khác Vào năm 1993, để mở rộng lớp không gian mêtric, S.Czerwik [5] đưa khái niệm không gian b-mêtric chứng minh vài kết tồn điểm bất động ánh xạ co không gian b-mêtric Sau nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng kết tồn điểm bất động không gian mêtric cho không gian b-mêtric Năm 2013, M.Kir H.Kiziltunc [9] chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian b-mêtric Mới (2014), Z.Mustaja cộng [11] mở rộng kết Kannan [7], Chatterjea [3], Choudhury [4], Moradi [10] Razami, Parvaneh [12] tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T-co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea không gian mêtric cho không gian b-mêtric Chúng nhận thấy rằng, [9], chứng minh định lý, Kir Kiziltunc mắc phải số sai sót Các kết Mustaja cộng [11] mở rộng Từ đó, vấn đề chứng đặt khắc phục sai sót Kir Kiziltunc [9] mở rộng kết Mustaja cộng [11] Với mục đích luận văn có nhan đề "Về tồn điểm bất động ánh xạ co không gian b-mêtric" trình bày thành hai chương Chương trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, b-mêtric, giới hạn ánh xạ làm sở cho việc trình bày chương Trong chương 2, trình bày lại số kết tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea không gian b-mêtric có tài liệu tham khảo [9], sai sót [9] đưa cách khắc phục (Nhận xét 2.1.7) Sau đó, đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Kannan Chatterjea không gian b-mêtric, Định lý 2.2.6 Hệ 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, 2.2.11, 2.2.12 Các kết mở rộng kết tài liệu tham khảo [4], [11], [12] Cuối đưa Ví dụ 2.2.13 chứng tỏ Định lý 2.2.6 thực tổng quát hai Định lý tài liệu [11] Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh năm 2015 hướng dẫn tận tình PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa sư phạm Toán quý thầy, cô tổ Giải tích trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ thời gian học tập, rèn luyện hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp Quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian b-mêtric làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric,giới hạn trên, giới hạn dưới, mà cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn 1) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric kí hiệu (X, d) X 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử {xn } dãy số thực bị chặn Khi đó, tồn inf n sup{xn+k : k = 0, 1, } ∈ R supn inf{xn+k : k = 0, 1, } ∈ R Ta gọi inf n sup{xn+k : k = 0, 1, }, supn inf{xn+k : k = 0, 1, } thứ tự giới hạn trên, giới hạn dãy {xn } n → ∞ kí hiệu lim sup xn , lim inf xn n→∞ n→∞ Nếu dãy {xn } không bị chặn (không bị chặn dưới) ta đặt lim sup xn = n→∞ +∞ (lim inf xn = −∞) n→∞ 1.1.3 Bổ đề ([1]) Với dãy số thực {xn } ta có 1) lim inf xn ≤ lim sup xn ; n→∞ n→∞ 2) Tồn lim xn = a n→∞ lim inf xn = lim sup xn = a n→∞ n→∞ 1.1.4 Bổ đề ([1]) Giả sử {xn } {yn } dãy số bị chặn Khi đó, 1) lim sup(xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn n→∞ n→∞ n→∞ 2) lim inf (xn + yn ) ≥ lim inf xn + lim inf yn n→∞ n→∞ n→∞ 1.1.5 Bổ đề Giả sử f : R → R hàm đơn điệu liên tục {xn } dãy bị chặn R Khi 1) lim sup f (xn ) ≤ f (lim sup xn ) n→∞ n→∞ 2) lim inf f (xn ) ≥ f (lim inf xn ) n→∞ n→∞ Chứng minh Đặt un = sup{xn+k : k = 0, 1, } Khi đó, lim sup xn = inf un = lim un := α n n→∞ n→∞ xn ≤ un với n = 1, 2, Vì f đơn điệu tăng nên f (xn ) ≤ f (un ) với n = 1, 2, Từ bất đẳng thức suy lim sup f (xn ) ≤ lim sup f (un ) n→∞ n→∞ Mặt khác, f liên tục limn→∞ un = α nên f (lim sup xn ) = f (α) = lim f (un ) = lim sup f (un ) n→∞ n→∞ n→∞ Kết hợp với (1) suy f (lim sup xn ) ≥ lim sup f (xn ) n→∞ n→∞ Khẳng định 2) chứng minh tương tự (1) 1.2 Không gian b-mêtric Trong mục này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất củakhông gian b-mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử X tập khác rỗng s ≥ Hàm d : X × X → [0, +∞) gọi b-mêtric với x, y, z ∈ X ta có 1) d(x, y) = ⇔ x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác) Tập X với b-mêtric gọi không gian b-mêtric với tham số s, nói gọn không gian b-mêtric kí hiệu (X, d) X Chú ý 1) Từ sau, nói tới không gian b-mêtric ta hiểu tham số s ≥ 2) Từ định nghĩa không gian mêtric không gian b-mêtric ta thấy rằng, không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric s = Ví dụ sau cho thấy rằng, lớp không gian b-mêtric thực rộng lớp không gian b-mêtric 1.2.2 Ví dụ ([11]) 1) Giả sử (X, p) không gian mêtric d : X × X → [0, +∞) hàm cho d(x, y) = (p(x, y))2 , ∀x, y ∈ X Khi đó, d b-mêtric với s = 2) Giả sử X = R R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : R × R → [0, +∞) d(x, y) = |x − y|2 , ∀x, y ∈ R Khi đó, d mêtric với s = (theo 1)) d không mêtric R d(1, −2) = > = d(1, 0) + d(0, −2) 1.2.3 Định nghĩa ([5]) Giả sử {xn } dãy không gian b-mêtric (X, d) Dãy {xn } gọi b-hội tụ (nói gọn hội tụ) tới x ∈ X kí hiệu xn → x limn→∞ xn = x với n0 cho d(xn , x) < > 0, tồn số tự nhiên với n ≥ n0 Nói cách khác, xn → x d(xn , x) → n → ∞ Dãy {xn } gọi dãy Cauchy với > 0, tồn số tự nhiên n0 cho d(xn , xm ) < với n, m ≥ n0 Không gian b-mêtric gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 1.2.4 Bổ đề Giả sử {xn } dãy không gian b-mêtric (X, d) xn → x ∈ X Khi đó, 1) {xn } dãy Cauchy; 2) x nhất; 3) 1s d(x, y) ≤ lim inf d(xn , y) ≤ lim sup d(xn , y) ≤ sd(x, y) n→∞ n→∞ với y ∈ X Chứng minh 1) Vì xn → x nên với d(xn , x) < 2s , > tồn số tự nhiên n0 cho ∀n ≥ n0 Từ suy d(xn , xm ) ≤ s[d(xn , x) + d(xm , x)] < , Do đó, {xn } dãy Cauchy ∀n, m ≥ n0 2) Giả sử xn → x xn → y Khi đó, d(xn , x) → d(xn , y) → n → ∞ Theo bất đẳng thức tam giác d(x, y) ≤ s[d(xn , x) + d(xn , y)], n = 1, 2, Cho n → ∞ ta ≤ d(x, y) ≤ s[ lim d(xn , x) + lim d(xn , y)] = n→∞ n→∞ Do d(x, y) = tức x = y Vậy x 3) Với y ∈ X ta có d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn , y)], ∀n = 1, 2, Từ suy d(x, y) − d(x, xn ) ≤ d(xn , y) ≤ s[d(xn , x) + d(x, y)] s với n = 1, 2, Trong bất đẳng thức cho n → ∞ sử dụng limn→∞ d(xn , x) = ta d(x, y) ≤ lim inf d(xn , y) ≤ lim sup d(xn , y) ≤ sd(x, y) n→∞ s n→∞ Vậy ta có bất đẳng thức 3) 1.2.5 Bổ đề ([2]) Giả sử (X, d) không gian b-mêtric, {xn } {yn } hai dãy X hội tụ tới x y tương ứng Khi đó, ta có hệ thức sau d(x, y) ≤ lim inf d(xn , yn ) ≤ lim sup d(xn , yn ) ≤ s2 d(x, y) n→∞ s n→∞ Đặc biệt, x = y lim d(xn , yn ) = n→∞ (1) 10 Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có d(x, y) ≤ s[d(xn , x) + d(xn , y)] ≤ sd(xn , x) + s2 [d(xn , yn ) + d(yn , y)] ∀n = 1, 2, Do ta có 1 d(x, y) − d(xn , x) − d(yn , y) ≤ d(xn , yn ) ∀n = 1, 2, s2 s (2) Vì xn → x yn → y nên lim inf d(xn , x) = lim sup d(xn , x) = lim d(xn , x) = n→∞ n→∞ n→∞ lim inf d(yn , x) = lim sup d(yn , x) = lim d(yn , x) = n→∞ n→∞ n→∞ Do đó, lấy lim inf n→∞ hai vế (2) ta d(x, y) ≤ lim inf d(xn , yn ) n→∞ s2 (3) Tương tự ta có d(xn , yn ) ≤ s[d(xn , x) + d(x, yn )] ≤ sd(xn , x) + s2 [d(x, y) + d(y, yn )] ∀n = 1, 2, (4) Lấy lim supn→∞ hai vế (4) ta lim sup d(xn , yn ) ≤ s2 d(x, y) (5) n→∞ Từ (3) (5) ta suy (1) 1.2.6 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian b-mêtric f : X → X 1) Ánh xạ f gọi liên tục dãy {xn } X mà xn → x ta có f xn → f x Ở sau ta viết f x thay cho f (x) với x ∈ X 23 ≤ ψ(sα2 [d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )] + sα3 [d(yn , yn+1 ) + d(yn−1 , yn )]) − ϕ(α3 d(yn , yn+1 ), α2 d(yn−1 , yn+1 ) + α3 d(yn−1 , yn )) = ψ((α2 + α3 )s[d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )]) − ϕ(α3 d(yn , yn+1 ), α2 d(yn−1 , yn+1 ) + α3 d(yn−1 , yn )) d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 ) ≤ ψ( ) (2.2.4) s+1 − ϕ(α3 d(yn , yn+1 ), α2 d(yn−1 , yn+1 ) + α3 d(yn−1 , yn )) Từ ϕ hàm không âm ψ hàm tăng (2.2.4) suy d(yn+1 , yn ) ≤ d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 ) s+1 ∀n = 1, 2, Do đó, d(yn , yn+1 ) ≤ d(yn−1 , yn ) ≤ d(yn−1 , yn ) ∀n = 1, 2, s Như {d(yn , yn+1 )} dãy giảm gồm số không âm Do đó, dãy {d(yn , yn+1 )} hội tụ Giả sử limn→∞ d(yn , yn+1 ) = r ≥ Từ (2.2.4) sử dụng tính liên tục ψ tính chất ϕ, cho n → ∞ ta suy ψ(r) ≤ ψ( Vì 2r s+1 2r ) − ϕ(α3 r, α3 r + α2 lim inf d(yn−1 , yn+1 )) n→∞ s+1 (2.2.5) 2r ≤ r nên ψ( s+1 ) ≤ ψ(r) Do đó, từ (2.2.5) suy ϕ(α3 r, α3 r + α2 lim inf d(yn−1 , yn+1 )) = n→∞ Theo tính chất ϕ α3 r = α3 r + α2 lim inf d(yn−1 , yn+1 ) = n→∞ Nếu α3 = r = Giả sử α3 = Khi đó, α2 = theo điều kiện (2.2.3) ta có ≤ ψ(d(yn , yn+1 )) ≤ ψ(0) − ϕ(0, 0) ∀n = 0, 1, (2.2.6) 24 d(yn , yn+1 ) = với n = 0, 1, Điều chứng tỏ r = Nếu α3 = α2 = từ (2.2.6) suy lim inf d(yn−1 , yn+1 ) = n→∞ Mặt khác theo (2.2.3) ta có ψ(d(yn , yn+1 )) ≤ ψ(α2 (d(yn−1 , yn+1 ))) ∀n = 1, 2, Do ≤ d(yn , yn+1 ) ≤ α2 d(yn−1 , yn+1 ) ∀n = 1, 2, Suy ≤ lim inf d(yn , yn+1 ) ≤ α2 lim inf d(yn−1 , yn+1 ) ∀n = 1, 2, n→∞ n→∞ Suy r = lim inf d(yn , yn+1 ) = n→∞ Như ta có lim d(yn , yn+1 ) = r = n→∞ (2.2.7) Tiếp theo ta chứng minh {yn } dãy Cauchy Giả sử {yn } không dãy Cauchy Khi đó, tồn > cho tìm hai dãy {ynk } {ymk } dãy {yn } thỏa mãn nk số bé nk > mk > k d(ynk , ymk ) ≥ (2.2.8) Từ suy d(ynk −1 , ymk ) < , ∀k = 1, 2, (2.2.9) 25 Từ (2.2.8), (2.2.9) bất đẳng thức tam giác ta có ≤ d(ynk , ymk ) ≤ s[d(ymk , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk )] < s + sd(ynk −1 , ynk ) ∀k = 1, 2, Lấy lim supn→∞ hai vế ta ≤ lim sup d(ymk , ynk ) ≤ s (2.2.10) n→∞ Từ ≤ d(ymk , ynk ) ≤ s[d(ymk , ynk −1 ) + d(ynk −1 , ynk )] với (2.2.9) suy ≤ lim sup d(ymk , ynk −1 ) ≤ s n→∞ (2.2.11) Mặt khác, từ ≤ d(ymk , ynk ) ≤ s[d(ymk , ymk −1 ) + d(ymk −1 , ynk )] d(ymk −1 , ynk ) ≤ s[d(ymk , ymk −1 ) + d(ymk , ynk )] (2.2.7) (2.2.10) suy ≤ lim sup d(ymk −1 , ynk ) ≤ s2 s (2.2.12) k→∞ Tương tự trên, ta chứng minh s ≤ lim inf d(ymk , ynk −1 ) ≤ k→∞ (2.2.13) s ≤ lim inf d(ymk −1 , ynk ) ≤ s2 k→∞ Từ d(ymk −1 , ynk −1 ) ≤ s[d(ymk −1 , ymk ) + d(ymk , ynk −1 )] (2.2.14) 26 (2.2.7) (2.2.11) ta có lim sup d(ymk −1 , ynk −1 ) ≤ s (2.2.15) n→∞ Áp dụng (2.2.8) điều kiện (2.2.3) ta có ψ( ) ≤ ψ(d(ymk , ynk )) = ψ(d(T f xmk −1 , T f xnk −1 )) ≤ ψ(α1 d(ymk −1 , ynk ) + α2 d(ynk −1 , ymk ) + sα3 [d(ymk −1 , ymk ) + d(ynk −1 , ynk )]) − ϕ(α1 d(ymk −1 , ynk ) + α3 d(ymk −1 , ymk ), α2 d(ynk −1 , ymk ) + α3 d(ynk −1 , ynk )) Từ (2.2.7), (2.2.13), (2.2.14), (2.2.15) sử dụng tính chất hàm ψ, ϕ suy ψ( ) ≤ ψ(lim sup(α1 d(ymk −1 , ynk ) + α2 d(ynk −1 , ymk ) k→∞ + sα3 [d(ymk −1 , ymk ) + d(ynk −1 , ynk )])) − ϕ(lim inf (α1 d(ymk −1 , ynk ) + α3 d(ymk −1 , ymk )), k→∞ (2.2.16) lim inf (α2 d(ynk −1 , ymk ) + α3 d(ynk −1 , ynk ))) k→∞ ≤ ψ(α1 s + α2 ) − ϕ(lim inf α1 d(ymk −1 , ynk ), lim inf α2 d(ynk −1 , ymk )) k→∞ k→∞ Mặt khác, từ (2.2.2) suy ≥ α1 s2 + α2 ψ( ) ≥ ψ(α1 s2 + α2 ) Kết hợp với (2.2.16) tính chất hàm ϕ suy lim inf α1 d(ymk −1 , ynk ) = (2.2.17) lim inf α2 d(ynk −1 , ymk ) = (2.2.18) k→∞ k→∞ Từ (2.2.13), (2.2.14), (2.2.17), (2.2.18) suy α1 = α2 = Do theo (2.2.16) ta có ψ( ) = ψ(0) = Điều mâu thuẫn với > tính chất 27 ψ Điều chứng tỏ {yn } dãy Cauchy Vì (X, d) đầy đủ nên tồn y ∈ X cho yn → y n → ∞, tức lim T f n+1 x0 = lim T f xn = lim yn+1 = y n→∞ n→∞ n→∞ (2.2.19) 2) Bây giờ, giả sử T ánh xạ hội tụ dãy Ta chứng minh f có điểm bất động Vì T hội tụ dãy {T f xn } dãy hội tụ nên dãy {f xn } có dãy {f xni } cho f xni → x ∈ X ni → ∞ Do T liên tục nên T f xni → T x Kết hợp với (2.2.19) suy y = T x Sử dụng Bổ đề 1.9 điều kiện (2.2.3) ta có ψ( d(T f x, T x)) ≤ ψ(lim inf d(T f x, T f xn )) n→∞ s ≤ lim inf ψ(d(T f x, T f xn )) ≤ lim sup ψ(d(T f x, T f xn )) n→∞ n→∞ ≤ lim sup ψ(α1 d(T x, yn+1 ) + α2 d(yn , T f x) n→∞ + sα3 [d(T x, T f x) + d(yn , yn+1 )]) ≤ ψ(lim sup(α1 d(T x, yn+1 ) + α2 d(yn , T f x) n→∞ + sα3 [d(T x, T f x) + d(yn , yn+1 )])) ≤ ψ(sα2 d(T x, T f x) + sα3 d(T x, T f x)) Vì ψ hàm không giảm nên từ bất đẳng thức ta suy d(T f x, T x) ≤ sα2 d(T x, T f x) + sα3 d(T x, T f x)) = (sα2 + sα3 )d(T x, T f x) s Kết hợp điều kiện (2.2.1) suy 1s d(T x, T f x) ≤ s+1 d(T x, T f x) Do ta có d(T x, T f x) = 0, tức T x = T f x Vì T đơn ánh nên x = f x Vậy x điểm bất động f Giả sử x ∈ X điểm bất động f Khi đó, theo điều kiện 28 (2.2.3) ta có ψ(d(T x, T x )) = ψ(d(T f x, T f x )) ≤ ψ(α1 d(T x, T x ) + α2 d(T x, T x ) + sα3 [d(T x, T x) + d(T x , T x )]) − ϕ(α1 d(T x, T x ), α2 d(T x, T x )) (2.2.20) = ψ([α1 + α2 ]d(T x, T x )) − ϕ(α1 d(T x, T x ), α2 d(T x, T x )) Từ (2.2.2) suy α1 + α2 ≤ Kết hợp với tính không giảm ψ (2.2.20) ta có ϕ(α1 d(T x, T x ), α2 d(T x, T x )) = Do đó, α1 d(T x, T x ) = α2 d(T x, T x ) = (2.2.21) Nếu α1 = α2 = từ (2.2.21) ta có d(T x, T x ) = tức T x = T x Nếu α1 = α2 = từ (2.2.20) suy ψ(d(T x, T x )) = Do d(T x, T x ) = 0, tức T x = T x Vì T đơn ánh nên từ T x = T x suy x = x Như điểm bất động f 3) Giả sử T ánh xạ hội tụ dãy Khi đó, từ {T f xn } hội tụ suy {f xn } hội tụ Do đó, chứng minh 2) thay ni n ta có lim f n x0 = lim f xn = x0 n→∞ n→∞ Sau số hệ Định lý 2.2.6 2.2.7 Hệ ([11], Theorem 4) Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với s ≥ 1; T, f : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện a) T liên tục đơn ánh, b) Tồn ψ1 ∈ L ϕ1 ∈ Φ cho d(T x, T f y) + d(T y, T f x) ) s+1 − ϕ1 (d(T x, T f y), d(T y, T f x)) ∀x, y ∈ X ψ1 (sd(T f x, T f y)) ≤ ψ1 ( (2.2.22) 29 Khi đó, khẳng định sau i) Với x0 ∈ X dãy {T f n x0 } hội tụ ii) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động iii) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Ta xác định hàm ψ : [0, ∞) → [0, ∞), ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) công thức ψ(t) = ψ1 (st), ∀t ∈ [0, ∞) ϕ(t, u) = ϕ1(s(s + 1)t, s(s + 1)u), ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 Khi đó, từ ψ1 ∈ L ϕ1 ∈ Φ suy ψ ∈ L, ϕ ∈ Φ Mặt khác, áp dụng điều kiện (2.2.22) ta có ψ(d(T f x, T f y)) = ψ1 (sd(T f x, T f y)) d(T x, T f y) + d(T y, T f x) ≤ ψ1 ( ) s+1 − ϕ1 (d(T x, T f y), d(T y, T f x)) = ψ(α[d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]) − ϕ(αd(T x, T f y), αd(T y, T f x)), α = ∀x, y ∈ X s(s+1) Từ cho thấy điều kiện Định lý 2.2 thỏa mãn với α1 = α2 = s(s+1) , α3 = Do khẳng định Hệ suy từ Định lý 2.2.6 2.2.8 Hệ ([11], Theorem 5) Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với s ≥ 1; T, f : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện a) T đơn ánh liên tục, 30 b) Tồn ψ1 ∈ L ϕ1 ∈ Φ cho d(T x, T f x) + d(T y, T f y) ) s+1 − ϕ1 (d(T x, T f x), d(T y, T f y)), ψ1 (d(T f x, T f y)) ≤ ψ1 ( ∀x, y ∈ X (2.2.23) Khi đó, khẳng định sau i) Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ ii) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f iii) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Đặt ψ = ψ1 xác định ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) công thức ϕ(t, u) = ϕ1 (s(s + 1)t, s(s + 1)u), ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 Khi đó, ψ ∈ L, ϕ ∈ Φ tương tự chứng minh Hệ 2.2 ta chứng minh điều kiện Định lý 2.2.6 thỏa mãn với α1 = α2 = 0, α3 = s(s+1) Do khẳng định Hệ suy từ Định lý 2.2.6 2.2.9 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, T, f : X → X hai ánh xạ thỏa mãn a) T liên tục đơn ánh b) f T-co kiểu Kannan T-co kiểu Chatterjea Khi đó, khẳng định (i), (ii), (iii) Hệ 2.2.7 Chứng minh Giả sử f ánh xạ T-co kiểu Kannan Khi đó, tồn α ∈ (0, 21 ) cho d(T f x, T f y) ≤ α[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] ∀x, y ∈ X (2.2.24) 31 Ta xác định ánh xạ ψ : [0, ∞) → [0, ∞) ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) ψ(t) = t, ∀t ∈ [0, ∞) ϕ(t, u) = ( − α)(t + u), ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 Khi đó, ψ ∈ L, ϕ ∈ Φ theo (2.2.24) ta có với x, y ∈ X ψ(d(T f x, T f y)) = d(T f x, T f y) ≤ α[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] d(T x, T f x) + d(T y, T f y) = ψ( ) − ϕ(d(T x, T f x), d(T y, T f y)) Như điều kiện (2.2.23) thỏa mãn Do khẳng định Hệ suy từ Hệ 2.2.8 Nếu f ánh xạ T-co kiểu Chatterjea lý luận tương tự ta thấy điều kiện Hệ 2.2.7 thỏa mãn Do khẳng định suy từ Hệ 2.2.7 2.2.10 Chú ý Hệ 2.2.9 Định lý Kannan mở rộng [10] Định lý Chatterjea mở rộng [12] 2.2.11 Hệ ([4] Theorem 2.1) Mọi ánh xạ C-co yếu ánh xạ K-co yếu không gian mêtric đầy đủ có điểm bất động Chứng minh Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ C-co yếu K-co yếu (xem Định nghĩa 2.2.1) Khi đó, f C-co yếu điều cần chứng minh suy từ Hệ 2.2.7 với việc lấy T : X → X ánh xạ đồng nhất, ψ1 : [0, ∞) → [0, ∞) ánh xạ đồng nhất, ϕ1 = ϕ s = Tương tự, f K-co yếu điều kiện cần chứng minh suy từ Hệ 2.2.8 Hệ sau kết [12] 32 2.2.12 Hệ ([12]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, T, f : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện i) T đơn ánh liên tục, ii) f T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea f T-co yếu suy rộng kiểu Kannan Khi đó, khẳng định sau 1) Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Từ điều kiện ii) suy f thỏa mãn điều kiện 1) 2) Định nghĩa 2.2.5 ta xác định ánh xạ ϕ1 : [0, ∞)2 → [0, ∞) công thức ϕ1 (t, u) = ϕ(2t, 2u), ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 Khi đó, ϕ1 ∈ Φ ta dễ dàng kiểm tra rằng, điều kiện Định lý 2.2.6, thỏa mãn với s = 1, ψ, ϕ1 α1 = α2 = 12 , α3 = f T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea s = 1, ψ, ϕ1 α1 = α2 = 0, α3 = f T-co yếu suy rộng kiểu Kannan Do khẳng định Hệ suy từ Định lý 2.2.6 Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 2.2.6 mở rộng thực Theorem Theorem [11] 2.2.13 Ví dụ Giả sử X = {1, 2, 3, 4} d : X × X → R ánh xạ cho     d(x, y) =    nếu x = y, (x, y) ∈ {(1, 4), (4, 1)}, (x, y) ∈ {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3)}, (x, y) ∈ {(2, 4), (4, 2)} 33 Khi đó, d b-mêtric X với hệ số s = (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ Giả sử T, f : X → X hai ánh xạ cho f = f = f = 1; f = 3, T = 1, T = 2, T = 4, T = Ta thấy T đơn ánh liên tục, tức điều kiện i) Định lý 2.2.6 thỏa mãn Lấy α1 = 15 28 , α2 = 28 , α3 = Ta dễ dàng kiểm tra điều kiện (2.2.1), (2.2.2) Định lý 2.2.6 thỏa mãn Bây giờ, ta xác định ánh xạ ψ(t) = t,∀t ∈ [0, ∞), (t + u), ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 ϕ(t, u) = 1395 Khi đó, ψ ∈ L, ϕ ∈ Φ Ta chứng tỏ điều kiện (2.2.3) Định lý 2.2.6 thỏa mãn Ta có d(T f 1, T f 2) = d(T f 1, T f 3) = d(T f 2, T f 3) = Do cặp (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2) thỏa mãn (2.2.3) Ta có d(T f 1, T f 4) = d(1, 4) = α1 d(T 1, T f 4) + α2 d(T 4, T f 1) + sα3 [d(T 1, T f 1) + d(T 4, T f 4)] − ϕ(α1 d(T 1, T f 4) + α3 d(T 1, T f 1), α2 d(T 4, T f 1) + α3 d(T 4, T f 4)) 15 1 15 = + + − ( + + ) 28 28 31.45 28 28 55 = − > = d(T f 1, T f 4) 42 28.45 34 Do cặp (1, 4) thỏa mãn điều kiện (2.2.3) Tương tự ta chứng minh cặp (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4) (4, 3) thỏa mãn điều kiện (2.2.3) Như giả thiết Định lý 2.2.6 thỏa mãn Do ta áp dụng Định lý 2.2.6 cho T f Ta thấy f có điểm bất động Tiếp theo ta chứng minh Định lý Định lý [11], tức Hệ 2.2.7 Hệ 2.2.8 không áp dụng cho T f Lấy x = 3, y = thay vào (2.2.22) ta có d(T 3, T f 4) + d(T 4, T f 3) ) − ϕ1 (d(T 3, T f 4), d(T 4, T f 3)) ψ1 ( d(T f 3, T f 4)) ≤ ψ1 ( 3 6 ⇔ ψ1 ( ) ≤ ψ1 ( ) − ϕ1 (0, 2) < ψ1 ( ) ∀ψ1 ∈ L, ϕ1 ∈ Φ 7 Đây điều vô lý ψ1 hàm tăng thực Điều chứng tỏ T, f không thỏa mãn điều kiện (2.2.22) Hệ 2.2.7 Do Hệ 2.2.7 không áp dụng cho T f Tương tự, ta chứng minh điều kiện (2.2.23) Hệ 2.2.8 không với x = 1, y = Do Hệ 2.2.8 không áp dụng cho T f 35 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau 1) Trình bày lại số kết tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea không gian b-mêtric có tài liệu tham khảo [9], [11] Chỉ số sai lầm M Kir H Kiziltunc [9] đưa cách sửa chữa Nhận xét 2.1.7 2) Đưa số kết (Định lý 2.2.6) tồn điểm bất động không gian b-mêtric số Hệ (Hệ 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, 2.2.11, 2.2.12), hệ kết tài liệu tham khảo [4], [11], [12] 3) Đưa Ví dụ 2.2.13 chứng tỏ Định lý 2.2.6 mở rộng thực Theorem Theorem tài liệu tham khảo [11] 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất đại học sư phạm [2] A Aghajani, M Abbas, J R Roshan (2014), Common fixed point of generalized weak contractive mapping in partially ordered b-metric spaces, Math Slovaca (in press) [3] S K Chatterjea (1972), Fixed point theorems, C R Acad Bulgare Sci 25, 727-730 [4] B S Choudhury (2009), Unique fixed point theorem for weak Ccontractive mappings, Kathamandu Univ J Sci Eng Technol 5(1), 6-13 [5] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostrav 1, 5-11 [6] N Hussain (2013), V Parvaneh, R Roshan, Z Kadelburg (2013) Fixed points of cyclic weakly (ψ, ϕ, L, A, B)-contractive mappings in ordered b-metric spaces with applicatons, Fixed Point Theory Apply, 256 [7] R Kannan (1968), Some results on fixed points, Bull Calcutta Math Soc 60, 71-76 [8] M S Khan, M Sessa (1984), Fixed point theorems by altering distances between the points, Bull Aust Math Soc 30, 1-9 [9] M Kir, H Kiziltunc (2013), On some well known fixed point theorems in b-metric spaces, Turkish Journal of Analysis and Number Theory, Vol 1, No 1, 13-16 37 [10] S Moradi (2011), Kannan fixed point theorem on complete metric spaces and on generalized metric spaces depended on another funtion, arXiv: 0903.577v1[math.FA] [11] Z.Mustafa, J R Roshan, V Parvaneh and Z Kadelburg (2014), Fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces, Journal of Inequalities and Applications, 2014:46 [12] A.Razani, V Paraneh (2013), Some fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractive mappings in complete metric spaces Russ Math (Izv VUZ) 57(3), 38-45 [...]... chúng tôi trình b y một số kết quả đã biết về < /b> s tồn < /b> tại < /b> điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> các < /b> ánh < /b> xạ < /b> co < /b> trong < /b> không < /b> gian < /b> b- mêtric Sau đó,chúng tôi đưa ra một vài kết quả mới mà đó là sự < /b> mở rộng của < /b> một số kết quả đã biết về < /b> sự < /b> tồn < /b> tại < /b> điểm < /b> b t < /b> động < /b> trong < /b> không < /b> gian < /b> b- mêtric đã được công b trong < /b> các < /b> tài liệu tham khảo [4], [11], [12] 2.1 Một vài kết quả về < /b> sự < /b> tồn < /b> tại < /b> điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> các < /b> ánh < /b> xạ < /b> co < /b> kiểu Banach, Kannan,... trong < /b> Định lý 2.1.6 cần b sung thêm điều kiện s2 λ < 1 2.2 Về < /b> sự < /b> tồn < /b> tại < /b> điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> các < /b> ánh < /b> xạ < /b> T -co < /b> yếu suy rộng kiểu Kannan và Chatterjea trong < /b> không < /b> gian < /b> b- mêtric Trong < /b> mục này, chúng tôi sẽ đưa ra một số định lý về < /b> sự < /b> tồn < /b> tại < /b> điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> các < /b> ánh < /b> xạ < /b> T -co < /b> yếu suy rộng kiểu Kannan và Chatterjea trong < /b> không < /b> gian < /b> b- mêtric và chỉ ra rằng, từ định lý này suy ra được một số kết quả trong < /b> các.< /b> .. kiểu Banach, Kannan, Chatterjea trong < /b> không < /b> gian < /b> b- mêtric Trong < /b> mục này, chúng ta trình b y một số định lý về < /b> sự < /b> tồn < /b> tại < /b> điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> các < /b> ánh < /b> xạ < /b> co < /b> kiểu Banach, Chatterjea, Kannan, trong < /b> không < /b> gian < /b> b- mêtric đã được giới thiệu trong < /b> tài liệu tham khảo [9] 2.1.1 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không < /b> gian < /b> b- mêtric và f : X → X Ánh xạ < /b> f được gọi là co < /b> kiểu Banach nếu tồn < /b> tại < /b> α ∈ [0, 1) sao cho d(f x,... một số kết quả về < /b> sự < /b> tồn < /b> tại < /b> điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> các < /b> ánh < /b> xạ < /b> co < /b> kiểu Banach, Kannan, Chatterjea trong < /b> không < /b> gian < /b> b- mêtric đã có trong < /b> các < /b> tài liệu tham khảo [9], [11] Chỉ ra một số sai lầm của < /b> M Kir và H Kiziltunc trong < /b> [9] và đưa ra cách sửa chữa trong < /b> Nhận xét 2.1.7 2) Đưa ra một số kết quả mới (Định lý 2.2.6) về < /b> sự < /b> tồn < /b> tại < /b> điểm < /b> b t < /b> động < /b> trong < /b> không < /b> gian < /b> b- mêtric và một số Hệ quả của < /b> nó (Hệ quả 2.2.7,...11 2) Ánh xạ < /b> f được gọi là hội tụ dãy nếu với mọi dãy {xn } trong < /b> X mà {f xn } hội tụ thì dãy {xn } hội tụ 3) Ánh xạ < /b> f được gọi là hội tụ dãy con nếu với mọi dãy {xn } trong < /b> X mà {f (xn )} hội tụ suy ra tồn < /b> tại < /b> dãy con {xnk } của < /b> {xn } mà {xnk } hội tụ 4) Điểm x ∈ X được gọi là điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> f nếu f x = x 12 CHƯƠNG 2 VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM B T ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO < /b> TRONG < /b> KHÔNG GIAN < /b> b- MÊTRIC Trong.< /b> .. } là dãy Cauchy trong < /b> (X, d) Vì (X, d) là không < /b> gian < /b> b- mêtric đầy đủ nên tồn < /b> tại < /b> x∗ , sao cho f n x0 = xn → x∗ B y giờ, ta chứng minh x∗ là điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> f Vì f là ánh < /b> xạ < /b> co < /b> nên theo Chú ý 2.1.2, f liên tục Do đó, f xn → f x∗ tức là xn+1 → f x∗ Mặt khác, xn+1 → x∗ Do đó, theo B đề 1.2.4 2) thì f x∗ = x∗ Vậy x∗ là điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> f Giả sử y ∈ X cũng là một điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> f tức là f y... điểm < /b> b t < /b> động < /b> của < /b> f là duy nhất Ánh xạ < /b> co < /b> kiểu Banach là liên tục Do đó một vấn đề đặt ra một cách tự nhiên là có thể đưa ra các < /b> điều kiện co < /b> sao cho các < /b> ánh < /b> xạ < /b> thỏa mãn các < /b> điều kiện co < /b> này sẽ có điểm < /b> b t < /b> động < /b> nhưng không < /b> liên tục Để giải quyết vấn đề này, trong < /b> [3] và [6], Kannan và Chatterjea đã đưa ra các < /b> khái niệm co < /b> kiểu Kannan và co < /b> kiểu Chatterjea sau đây 2.1.4 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không.< /b> .. ([12]) Ánh xạ < /b> f được gọi là co < /b> yếu kiểu Kannan (nói gọn là K -co < /b> yếu) nếu 1 d(f x, f y) ≤ [d(x, f x) + d(y, f y)] − ϕ(d(x, f x), d(y, f y)) 2 với mọi x, y ∈ X Vào năm 2009, Choudhury ([4]) đã chứng minh được rằng, mọi ánh < /b> xạ < /b> C -co < /b> yếu trong < /b> không < /b> gian < /b> mêtric đầy đủ có duy nhất một điểm < /b> b t < /b> động < /b> 2.2.2 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không < /b> gian < /b> b- mêtric, T và f là hai ánh < /b> xạ < /b> từ X vào X 1) ([12]) Ánh xạ < /b> f :... có điểm < /b> b t < /b> động < /b> duy nhất còn Chatterjea [3] đã chứng tỏ mọi ánh < /b> xạ < /b> co < /b> kiểu Chatterjea trên X có điểm < /b> b t < /b> động < /b> duy nhất Để mở rộng các < /b> kết quả trên đây của < /b> Kannan và Chatterjea cho trường hợp không < /b> gian < /b> b- mêtric, trong < /b> [9] M Kir và H Kiziltunc đã đưa ra hai định lý sau đây 2.1.5 Định lý ([9] Theorem 2) Giả sử (X, d) là không < /b> gian < /b> b- mêtric đầy đủ với s ≥ 1 và f : X → X là ánh < /b> xạ < /b> sao cho tồn < /b> tại < /b> µ ∈ [0,... không < /b> gian < /b> mêtric và f : X → X 1) ([7]) Ánh xạ < /b> f được gọi là co < /b> kiểu Kannan nếu tồn < /b> tại < /b> α ∈ [0, 21 ) sao cho d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)], ∀x, y ∈ X 2) ([3]) Ánh xạ < /b> f được gọi là co < /b> kiểu Chatterjea nếu tồn < /b> tại < /b> α ∈ [0, 21 ) sao cho d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)], ∀x, y ∈ X 15 Nếu (X, d) là không < /b> gian < /b> mêtric đầy đủ thì Kannan [6] đã chứng minh mọi ánh < /b> xạ < /b> co < /b> kiểu Kannan trên X có điểm < /b> b t ... CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN b- MÊTRIC Trong chương này, trình b y số kết biết s tồn điểm b t động ánh xạ co không gian b- mêtric Sau đó,chúng đưa vài kết mà mở rộng số kết biết tồn điểm b t động. .. không gian mêtric không gian b- mêtric ta thấy rằng, không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b- mêtric s = Ví dụ sau cho thấy rằng, lớp không gian b- mêtric thực rộng lớp không gian b- mêtric. .. b- mêtric chứng minh vài kết tồn điểm b t động ánh xạ co không gian b- mêtric Sau nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng kết tồn điểm b t động không gian mêtric cho không gian b- mêtric Năm 2013, M.Kir H.Kiziltunc