Điểm bất động của ánh xạ lipschitz đều trong không gian mêtric cat(0) và không gian mêtric siêu lồi (LV1233)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LƯƠNG THỊ THU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(0) VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC SIÊU LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LƯƠNG THỊ THU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(0) VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC SIÊU LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN KHIÊM HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Khiêm, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Lương Thị Thu Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khiêm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) và không gian mêtric siêu lồi” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Lương Thị Thu Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Một số khái niệm về hình học của không gian Banach. . . . 4 1.1.1. Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Đường kính và bán kính Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Cấu trúc chuẩn tắc và cấu trúc chuẩn tắc đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Đặc trưng Lifschitz và hệ số Lifschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Ánh xạ Lipschitz đều . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) và không gian mêtric siêu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0). . . . 13 2.1.1. Không gian mêtric trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2. Không gian CAT(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3. Tính chất hình học của không gian CAT(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi . . 21 2.2.1. Không gian mêtric siêu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Các định lý điểm bất động là một trong những công cụ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, sự tồn tại điểm cân bằng và tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu trong lý thuyết tối ưu Lý thuyết điểm bất động đã ra đời cách đây khoảng một thế kỷ. Sự ra đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912 và Nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922 đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động là: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ dạng co. Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co. Hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ vào những năm 60 của thế kỷ 20 và đã thu được những kết quả quan trọng cho lớp ánh xạ không giãn. Các kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach đã được xây dựng khá hoàn chỉnh vào những năm 70 và 80 của thế kỷ 20. Trong những năm gần đây người ta tìm cách mở rộng các kết quả về tồn tại điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach sang lớp không gian mêtric với cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu đóng, hoặc không gian mêtric với cấu trúc lồi trắc địa (xem [4], [7], [8]). Bởi tầm quan trọng của các định lý điểm bất động, cùng với mong 1 2 muốn tìm hiểu về một số kết quả gần đây về điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz đều chúng tôi đã chọn đề tài "Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) và không gian mêtric siêu lồi". Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm hai chương. Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm về hình học của không gian Banach, về ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều và một số kết quả chính về điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach. Chương 2 của luận văn gồm hai phần. Phần thứ nhất của chương 2 trình bày về lớp không gian CAT(0) cùng với những tính chất hình học của nó. Phần thứ của chương 2 trình bày về không gian mêtric siêu lồi và chứng minh Định lý Casini-Maluta về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi. 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) và không gian mêtric siêu lồi. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. Áp dụng một số phương pháp Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích lồi, lý thuyết tô pô. 3 4. Đóng góp của đề tài Trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0)và không gian mêtric siêu lồi. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số khái niệm về hình học của không gian Banach 1.1.1. Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach Cho X là một không gian Banach với chuẩn  · . Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu (∀ x, y ∈ X)              x ≤ 1 y ≤ 1 x −y > 0 ⇒    x + y 2    < 1. Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi đều nếu với mọi số ε ∈ (0, 2] đều tồn tại một số δ = δ(ε) > 0 sao cho (∀ x, y ∈ X)              x ≤ 1 y ≤ 1 x −y > ε ⇒    x + y 2    < 1 − δ(ε). Ví dụ 1.1.3. Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều. Thật vậy, giả sử ||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1 và ||x − y|| ≥ ε. Từ đẳng thức hình bình hành ta có: ||x + y|| 2 = 2||x|| 2 + 2||y|| 2 − ||x −y|| 2 ≤ 4 − ε 2 . 4 5 Từ đây suy ra     x + y 2     ≤ 1 −  1 −  1 − ε 2 4  = 1 − δ(ε) với δ (ε) = 1 −  1 − ε 2 4 > 0. Ví dụ 1.1.4. Các không gian  p và L p với 1 < p < ∞ là các không gian lồi đều. Để đo mức độ lồi của hình cầu đơn vị B X = {x ∈ X : x ≤ 1} của không gian Banach X người ta đưa ra khái niệm môđun lồi của không gian Banach X. Định nghĩa 1.1.5. Môđun lồi của không gian Banach X là hàm số δ X : [0, 2] −→ [0, 1] xác định bởi δ X (ε) = inf  1 −    x + y 2    : x, y ∈ X, x ≤ 1, y ≤ 1, x −y ≥ ε  . Nhận xét. Từ định nghĩa của môđun lồi ta suy ra: (i) Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi δ(ε) > 0 với mọi ε ∈ (0, 2]. (ii) Nếu x ≤ 1, y ≤ 1 và x −y ≥ ε thì   x + y 2   ≤  1 −δ X (ε)  . Tương tự, nếu x, y, a ∈ X và R, ε > 0 sao cho x − a ≤ R, y −a ≤ R, x −y ≥ ε thì   x + y 2 − a   ≤ R  1 −δ X  ε R   . (iii) Nếu X là không gian Hilbert thì δ X (ε) = 1 −  1 − ε 2 4 . Định nghĩa 1.1.6. Đặc trưng lồi của không gian Banach X là số ε 0 (X) xác định bởi ε 0 (X) = sup  ε ∈ [0, 2] : δ(ε) = 0  . [...]... : C −→ C là một ánh xạ k -Lipschitz đều với k < N (X)−1 thì T có điểm bất động trong C Chương 2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) và không gian mêtric siêu lồi 2.1 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) 2.1.1 Không gian mêtric trắc địa Cho (X, d) là một không gian mêtric và x, y là hai điểm thuộc X, d(x, y) = l Một cung trắc địa nối hai điểm x, y trong X là một ánh xạ c : [0, l] −→... đầy đủ và bị chặn Khi đó nếu T : X −→ X là một ánh xạ k -Lipschitz đều với √ k < 2 thì T có điểm bất động trong X 2.2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi 2.2.1 Không gian mêtric siêu lồi Định nghĩa 2.2.1 Không gian mêtric (X, d) được gọi là một không gian mêtric siêu lồi nếu với mọi họ hình cầu đóng B(xi , ri ) i∈I trong 22 X mà có tính chất d(xi , xj ) ≤ ri + rj ∀i, j ∈ I thì ta đều. .. Vậy T không có điểm bất động trong B Từ ví dụ của S Kakutani ta cần phải đặt thêm điều kiện lên các ánh xạ Lipschitz để đảm bảo cho nó có điểm bất động K Goebel và W A Kirk đã đề xuất một lớp ánh xạ mới là lớp trung gian giữa lớp ánh xạ không giãn và lớp ánh xạ Lipschitz, gọi là lớp ánh xạ Lipschitz đều Định nghĩa 1.3.2 Cho (X, d) là một không gian mêtric, C là tập con khác rỗng của X Một ánh xạ T :... bất đẳng thức tam giác d(A) ≤ 2r(A) 1 Vậy d(A) = 2r(A) Do đó N (X) = 2 2.2.2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi Trong mục này ta sẽ chứng minh không gian mêtric siêu lồi có tính chất điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều Trước tiên cần thêm một vài khái niệm và bổ đề kĩ thuật Định nghĩa 2.2.7 (Lim-Xu [11]) Không gian mêtric siêu lồi (X, d) được gọi là có tính chất (P) nếu với bất. .. có ∩ B(xi , ri ) = ∅ i∈I Ví dụ 2.2.2 Không gian ∞ là không gian mêtric siêu lồi Không gian Hilbert không phải là không gian siêu lồi Mệnh đề 2.2.3 Mọi không gian mêtric siêu lồi đều là không gian mêtric đầy Chứng minh Giả sử (X, d) là không gian mêtric siêu lồi Bởi nguyên lý Cantor, để chứng minh X đầy đủ ta chỉ cần chứng minh mọi dãy hình cầu đóng thắt dần trong X đều có giao khác rỗng Thật vậy, giả... đều trong không gian CAT(0) và trong không gian mêtric siêu lồi Luận văn đã: (i) Chứng minh được một số tính chất hình học của không gian CAT(0) (ii) ánh giá được đặc trưng Lifschitz của không gian CAT(0) lớn hơn √ hoặc bằng 2 Từ đó thu được Định lý Lifschitz cho không gian CAT(0) (iii) Chứng minh Định lý Casini-Maluta trong không gian mêtric siêu lồi Luận văn đã đạt được những yêu cầu đặt ra trong. .. Lifschitz của không gian mêtric để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric Kết quả của Lifschitz khi quy về trường hợp không gian Hilbert mạnh hơn hẳn kết quả trên đây của Goebel và Kirk Định lí 1.3.4 (Lifschitz [10]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, bị chặn và có đặc trưng Lifschitz κ(X) > 1 Khi đó, nếu T : X −→ X là ánh xạ k -Lipschitz đều với... được gọi là một ánh xạ Lipschitz đều (hay k - Lipschitz đều) nếu tồn tại một số k ≥ 1 sao cho d(T n x, T n y) ≤ kd(x, y) ∀x, y ∈ C, ∀n ∈ N 11 Nhận xét Ánh xạ T là ánh xạ k -Lipschitz đều nếu và chỉ nếu tất cả các ánh xạ T n (n = 0, 1, 2, ) đều là ánh xạ Lipschitz với cùng một hằng số Lipschitz k Rõ ràng mọi ánh xạ không giãn từ C vào C cũng là ánh xạ Lipschitz đều với k = 1 K.Goebel và W A Kirk là những... rộng tự nhiên của lớp ánh xạ co Tuy nhiên khác với ánh xạ co, ánh xạ không giãn có thể không có điểm bất động, hoặc điểm bất động có thể không duy nhất Ví dụ 1.2.2 Kí hiệu c0 là không gian của các dãy số hội tụ đến 0 với chuẩn sup và B là hình cầu đơn vị đóng trong c0 Với mỗi x = (x1 , x2 , ) ∈ B ta đặt T x = (1, x1 , x2 , ) Khi đó T : B −→ B là ánh xạ không giãn nhưng không có điểm bất động Thật vậy,... con lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach X Khi đó mọi ánh xạ không giãn từ C vào C đều có điểm bất động 1.3 Ánh xạ Lipschitz đều Sau khi thu được kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ không giãn, một cách rất tự nhiên người ta nghiên cứu bài toán đó cho lớp ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz lớn hơn 1 Tuy nhiên, S Kakutani đã xây dựng được một phản ví dụ về một ánh . ánh xạ k -Lipschitz đều với k <  N(X) −1 thì T có điểm bất động trong C. Chương 2 Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) và không gian mêtric siêu lồi 2.1. Ánh xạ Lipschitz đều trong không. hình học của không gian Banach, về ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều và một số kết quả chính về điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian Banach. Chương 2 của luận văn. về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi. 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết điểm bất động của ánh xạ Lipschitz