Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN ĐÌNH THIỀN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN ĐÌNH THIỀN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60. 46. 01. 02 Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới T.S Hà Đức Vượng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Nguyễn Đình Thiền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón” do tôi tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả Nguyễn Đình Thiền Mục lục Bảng kí hiệu 1 Mở đầu 2 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian metric Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 KHÔNG GIAN METRIC NÓN 32 2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón . . . . . . . . . . . 38 3 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN 48 3.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên lớn hơn 0 R Tập số thực R + Tập số thực dương C Tập số phức CB(X) Họ các tập con không rỗng, đóng, bị chặn của X C (X) Họ các tập compact trong X ∅ Tập rỗng int(P ) Phần trong của P  p Quan hệ thứ tự theo nón P  Kết thúc chứng minh 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Cho X là một tập hợp bất kì, ánh xạ T : X → 2 X là một ánh xạ đa trị đi từ tập X vào họ các tập con của nó. Điểm x ∈ X thỏa mãn x ∈ T x được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị T trên tập X. Việc nghiên cứu vấn đề này đã góp phần giải quyết đắc lực hàng loạt các bài toán quan trọng. Các kết quả của việc nghiên cứu lĩnh vực này đã hình thành nên “Lý thuyết điểm bất động” (fixed point theory) và gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Sadovski, Kyfan,. . . Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giới thiệu khái niệm không gian metric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa metric bởi một nón định hướng trong không gian Banch thực. Các tác giả đã giới thiệu các khái niệm về sự hội tụ của dãy, tính đầy đủ của không gian. Đồng thời các tác giả đã giới thiệu kết quả về điểm bất động cho lớp ánh xạ đơn trị trong các không gian này. Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm và các kết quả về điểm bất 2 động trong không gian metric nón đã được công bố. Năm 2009, Sh. Rezapour and R. H. Haghi đã công bố kết quả về điểm bất động trong lớp không gian này cho các ánh xạ đa trị qua bài báo “fixed point of multifunction on cone metric spaces”. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón, được sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón” 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về “ Không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ đa trị trong lớp không gian metric nón” qua hai bài báo: 3 - Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings (2007) của Huang Long Guang, Zhang Xian. - Fixed point of multifunctions on cone metric spaces (2009) của Sh. Rezapour and R. H. Haghi. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp Đây là một bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón. Luận văn giúp người đọc hiểu sâu hơn về không gian metric, không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón. Luận văn được trình bày gồm ba chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric Hausdorff, không gian compact, không gian định chuẩn, không gian Banach. Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón. 4 [...]... quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric Hausdorff, không gian compact, không gian định chuẩn và cuối cùng là không gian Banach Sau mỗi khái niệm là các ví dụ minh họa 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [1] Một tập hợp X = ∅ Một ánh xạ d :... không gian metric (X, d), một tập hợp G ⊂ X Tập G được gọi là tập mở trong không gian X nếu mọi điểm thuộc G đều là điểm trong của G Tập G được gọi là tập đóng trong không gian X nếu mọi điểm không thuộc G đều là điểm ngoài của G Ví dụ 1.1.7 Không gian metric (X, d) với X = R và metric d là khoảng cách thông thường, d (x, y) = |x − y| Khi đó a (−1; 1) là một lân cận của điểm 0 b (−1; 1) là một tập mở của. .. Cho không gian metric (X, d), một tập hợp G ⊂ X và điểm x0 ∈ X Điểm x0 ∈ X được gọi là một điểm trong của tập G nếu tồn tại một lân cận của nó nằm trọn trong tập G, tức là lân cận đó chỉ chứa toàn những điểm của G Điểm x0 ∈ X được gọi là một điểm ngoài của tập G nếu tồn tại một lân cận của nó nằm trọn ngoài tập G, tức là lân cận đó hoàn toàn không chứa điểm nào của tập G 9 Định nghĩa 1.1.6[1] Cho không. .. vô hạn những phần tử của tập bị chặn {xn } trong R phải chứa mọi dãy con {xnk } hội tụ Vì thế trong không gian metric R một đoạn bất kỳ là tập compact, một khoảng bất kỳ là tập compact tương đối Ví dụ 1.3.4 Không gian metric C[a,b] là không gian không compact, vì dãy hàm số xn (t) = n trên đoạn [a, b] với n = 1, 2, không chứa dãy con nào hội tụ Định nghĩa 1.3.5 [1] Cho không gian metric (X, d) Tập A... dãy điểm {xn } hội tụ tới x, dãy điểm {yn } hội tụ tới y trong không gian định chuẩn X , dãy số {αn } hội tụ tới α, thì xn + yn → x + y (n → ∞), αxn → αx (n → ∞) Định nghĩa 1.4.6[1] Dãy điểm {xn } trong không gian định chuẩn X gọi là dãy Cauchy, nếu lim m,n→∞ 1.5 xn − xm = 0 Không gian Banach Định nghĩa 1.5.1 [1] Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ đến một điểm. .. 18 H (A, B) ≤ H (A, C) + H (B, C) Vậy H là một metric trên CB(X) Ta gọi là metric Hausdorff Do đó (CB(X), H) là một không gian metric, được gọi là không gian metric Hausdorff Định lý được chứng minh Nhận xét 1.2.1 Metric Hausdorff phụ thuộc vào d nên từ tính đầy đủ của không gian metric (X, d) ta nhận được tính đầy đủ của không gian (CB(X), H) Ví dụ 1.2.4 Cho X = R, A = [1; 2], B = [2; 3] Khi đó H (A,... d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Ánh xạ d gọi là một metric trên X, d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm Tập hợp X cùng với ánh xạ d được gọi là không gian metric Ký hiệu là 6 (X, d) Ví dụ 1.1.2 Cho C [a, b] là không gian các hàm số nhận giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b] , (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm số bất kỳ x = x (t) , y = y (t) thuộc... =K∩ j=1 j=1 S nj = K ∩ S nk Điều này chứng tỏ y0 không là điểm giới hạn của K Mâu thuẫn này chứng tỏ K là tập đóng Vì vậy K là tập compact Định lý được chứng minh 1.4 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.4.1 [1] Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K = R hoặc K = C) cùng với một ánh xạ : X → R được gọi là một chuẩn nếu thỏa mãn các... Họ {Gα }α∈I gồm các tập mở trong (X, d) (I là tập chỉ số) gọi là một phủ mở 20 của A, nếu α∈I Gα ⊃ A Khi tập I hữu hạn, thì họ {Gα }α∈I gọi là phủ mở hữu hạn của A Định lý 1.3.6 [1] Tập K ⊂ X là tập compact trong không gian metric (X, d) khi và chỉ khi mọi phủ mở {Gα }α∈I của tập K đều chứa một phủ mở con hữu hạn của K Chứng minh Giả sử K ⊂ X là tập compact trong không gian metric (X, d) và họ {Gα }α∈I... là một phần tử của l2 Hơn nữa, khi ε là nhỏ tùy ý thì (1.5.2) ta suy ra ∞ lim a − an = lim n→∞ n→∞ |αk − αn,k |2 = 0 k=1 Vậy dãy {an } hội tụ về a trong l2 Do đó không gian l2 là không gian định chuẩn đầy đủ nên l2 là không gian Banach L Ví dụ 1.5.3 Không gian C[0,1] là các hàm số liên tục trên đoạn [0, 1], với 1 L chuẩn trên C[0,1] được xác định bởi x = |x (t)| dt không là không gian 0 Banach Chứng . về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón. Luận văn giúp người đọc hiểu sâu hơn về không gian metric, không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian. điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về “ Không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ đa trị trong lớp không gian metric. nghiên cứu: Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón. 3. Nhiệm