Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Metric mờ

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Hà Đức Vượng, người thầy đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng. Quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng và kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Mục lục Mở đầu 1 Nội dung 4 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Không gian metric mờ 32 2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Sự hội tụ trong không gian metric mờ . . . . . . . . 44 2.3 Mối quan hệ giữa không gian metric và không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ 49 3.1 Ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cho G là một tập hợp khác rỗng và ánh xạ T : G → G. Điểm x ∈ G thỏa mãn phương trình Tx = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập G. Việc nghiên cứu về điểm bất động có ý nghĩa rất lớn cả về lý thuyết và ứng dụng trong toán học nói riêng và khoa học kỹ thuật nói chung, do đó đã thu hút nhiều nhà toán học quan tâm. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên “ Lý thuyết điểm bất động”. Năm 1965, Zadeh là người đầu tiên đưa ra khái niệm “tập mờ”, đó là các ánh xạ đi từ tập X vào đoạn [0 ; 1]. Sau đó có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu vấn đề này như: Erceg, Kaleva, Derg, và “không gian metric mờ” đã được xây dựng. Năm 1986, Jungck đưa ra khái niệm các ánh xạ tương thích. Nhiều nhà toán học đã có kết quả về điểm bất động chung cho các ánh xạ loại này. Năm 2010, các tác giả người Ấn Độ : V. S. Chouhan, V. H. Badshah và M. S. Chauhan đã công bố kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ qua bài báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly 2 compatible maps ”. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ” 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại các kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ. Công trình nghiên cứu dựa trên kết quả của các nhà toán học V. S. Chouhan, V. H. Badshah và M. S. Chauhan trong bài báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly compatible maps ” (xem [6]). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về không gian metric mờ, các ánh xạ tương thích yếu và điểm bất động của chúng trong lớp không gian này. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu và tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp Đây là bài tổng quan về điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ. Đề tài này giúp người đọc hiểu được những khái niệm cơ bản về không gian metric mờ, các ánh xạ tương thích yếu và kết quả về điểm bất động của chúng trong lớp không gian này. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, các ánh xạ tương thích, tương thích yếu trong không gian metric và mối quan hệ giữa hai loại ánh xạ này. Đồng thời chúng tôi cũng trình bày kết quả về điểm bất động của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric và các ví dụ minh họa. 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X là một tập hợp khác rỗng, d là một ánh xạ từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các điều kiện sau: 1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y. 2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X. 5 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X. Ánh xạ d được gọi là metric trên X. Các phần tử của X gọi là các điểm. Khi đó, ta có không gian metric (X, d). Ví dụ 1.1.1. Cho C [a, b] là không gian các hàm số nhận giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với hai hàm số bất kỳ x = x (t) , y = y (t) thuộc C [a, b] ta đặt : d (x, y) = max a≤t≤b |x (t) − y (t)|. Khi đó (C [a, b] , d) là một không gian metric. Chứng minh. Ta có d (x, y) xác định trên C[a, b]. Thật vậy, vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm số |x (t) − y (t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b]. Do đó, hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b]. Suy ra hệ thức của d (x, y) xác định một ánh xạ từ tích Descartes C [a, b]×C [a, b] vào tập hợp số thực R. Ta có |x (t) − y (t)| ≥ 0 với ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b] . Suy ra max t∈[a,b] |x (t) − y (t)| ≥ 0 với ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b] . Vậy d (x, y) ≥ 0 với ∀x, y ∈ C [a, b]. Nếu max a≤t≤b |x (t) − y (t)| = 0 thì ta có |x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [a, b] . 6 Suy ra x (t) = y (t) với ∀t ∈ [a, b] . Do đó x = y. Vậy d (x, y) = 0 ⇔ x = y với ∀x, y ∈ C [a, b]. Tiếp theo, ta có d (x, y) = max t∈[a,b] |x (t) − y (t)| = max t∈[a,b] |y (t) − x (t)| = d (y, x) . Vậy d (x, y) = d (y, x) với ∀x, y ∈ C [a, b]. Cuối cùng ∀t ∈ [a, b] ta có |x (t) − y (t)| = |x (t) − z (t) + z (t) − y (t)| ≤ |x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)| ≤ max t∈[a,b] |x (t) − z (t)| + max t∈[a,b] |z (t) − y (t)|. Suy ra max t∈[a,b] |x (t) − y (t)| ≤ max t∈[a,b] |x (t) − z (t)| + max t∈[a,b] |z (t) −y (t)|. Do đó d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với ∀x, y, z ∈ C [a, b] . Vậy (C [a, b] , d) là một không gian metric. [...]... 3 3 1 3 Suy ra các ánh xạ A, S không giao hoán tại điểm trùng Do đó A và S là các ánh xạ không tương thích yếu trên R Nhận xét 1.3.1 Mọi cặp ánh xạ tương thích thì đều là các ánh xạ tương thích yếu Chứng minh Thật vậy, giả sử ta xét A và S là các ánh xạ tương thích đi từ không gian metric (X, d) vào chính nó Theo định nghĩa 1.3.1 về các ánh xạ tương thích ta có: 24 với mỗi dãy {xn } trong X thỏa mãn... các ánh xạ A, B, S, T thỏa mãn các điều kiện của định lí 1.4.1 Do đó, chúng có một điểm bất động chung duy nhất là x = 2 Như vậy, trong chương 1 chúng tôi đã trình bày các khái niệm cơ bản trong không gian metric, không gian metric đầy đủ, các ánh xạ tương thích, tương thích yếu trong không gian metric và mối quan hệ giữa hai loại ánh xạ này Đồng thời, trình bày kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ. .. 2] Hơn nữa, lại có: ASx = SAx = 2 với mỗi x ∈ [1; 2] Do đó A và S là các ánh xạ giao hoán tại mọi điểm trùng của chúng Vậy A và S là các ánh xạ tương thích yếu 1.4 Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric Bổ đề 1.4.1 [10] Cho A, B, S và T là các ánh xạ đi từ không gian metric (X, d) vào chính nó sao cho AX ⊂ T X, BX ⊂ SX Khi đó ∀ε > 0, ∃δ > 0 thì ta có: 27 1) ε < M (x,... các ánh xạ tương thích yếu trên R Nhận xét 1.3.2 Tồn tại các ánh xạ tương thích yếu nhưng không là các ánh xạ tương thích Ví dụ 1.3.8 Cho tập X = [0; 2] với metric d (x, y) = |x − y| Xét các ánh xạ A, S : [0; 2] → [0; 2] xác định bởi: Ax = Sx =   x khi x ∈ [0; 1) ,  2 khi x ∈ [1; 2]   2 − x khi x ∈ [0; 1) ,  2 khi x ∈ [1; 2] Khi đó A, S là các ánh xạ tương thích yếu nhưng không là các ánh. .. 1.3.5 về các ánh xạ tương thích yếu thì A và S cũng là các ánh xạ tương thích yếu Ví dụ 1.3.7 Xét cặp ánh xạ tương thích A, S trong ví dụ 1.3.1 xác định bởi: Ax = 5x3, x ∈ R Sx = 2x3, x ∈ R Ta cũng có A, S là các ánh xạ tương thích yếu trên R Chứng minh Thật vậy, ta có: A0 = S0 = 0 Suy ra 0 là một điểm trùng của cặp ánh xạ này Mặt khác, lại có: AS0 = SA0 = 0 25 Do đó cặp ánh xạ A, S giao hoán tại điểm. .. n2 + 1 Cho n → ∞ ta được : |˜ (t) − x (t)| = 0 với ∀t ∈ R x Suy ra x (t) = x (t) ∈ X ˜ / Điều này mâu thuẫn với giả thiết, do đó tồn tại một dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong X Vậy X là không gian metric không đầy đủ 1.3 Ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric Định nghĩa 1.3.1 [12] Cho A và S là các ánh xạ đi từ không gian metric (X, d) vào chính nó Các ánh xạ A và S được gọi là tương thích. .. các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric và đưa ra các ví dụ minh họa 32 Chương 2 Không gian metric mờ Năm 1965, Zadeh đã đưa ra khái niệm “tập mờ Sau đó đã có rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vấn đề này như Deng, Erceg, Kaleva, Seikkala, và không gian metric mờ đã được xây dựng Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của không gian metric mờ, các ví dụ... Vậy A và S là các ánh xạ tương thích trên R Định nghĩa 1.3.2 [9] Cho A và S là các ánh xạ đi từ không gian metric (X, d) vào chính nó Các ánh xạ A và S được gọi là không tương thích (noncompatible) nếu tồn tại ít nhất một dãy {xn } trong X thỏa mãn lim Sxn = lim Axn = z với z ∈ X, n→∞ n→∞ nhưng lim d (ASxn, SAxn) n→∞ hoặc khác 0 hoặc không tồn tại 19 Ví dụ 1.3.2 Cho tập số thực R với metric thông thường... =S 4 4 π là một điểm trùng của cặp ánh xạ A, S 4 Định nghĩa 1.3.5 [20] Cho A và S là các ánh xạ đi từ không gian metric (X, d) vào chính nó Các ánh xạ A và S được gọi là tương thích yếu (weakly compatible) nếu chúng giao hoán tại mọi điểm trùng tức là nếu Ax = Sx với mọi x ∈ X thì ASx = SAx Ví dụ 1.3.5 Cho tập X = [0; 3] với metric thông thường d (x, y) = |x − y| 22 Xét các ánh xạ A, S Ax = Sx =... đó, A và S là các ánh xạ tương thích yếu trên đoạn [0; 3] Chứng minh Thật vậy, với mỗi x ∈ [1; 3] ta có Ax = Sx = 3 Do đó, tập hợp các điểm trùng của cặp ánh xạ A, S là đoạn [0; 3] Hơn nữa, với mỗi x ∈ [1; 3] ta lại có ASx = SAx = 3 Tức là cặp ánh xạ A, S giao hoán tại mọi điểm trùng của chúng Do đó A và S là các ánh xạ tương thích yếu trên đoạn [0; 3] Ví dụ 1.3.6 Cho tập số thực R với metric d (x, . cứu: Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại các kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric. giữa không gian metric và không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ 49 3.1 Ánh xạ tương thích yếu trong không. về không gian metric mờ, các ánh xạ tương thích yếu và điểm bất động của chúng trong lớp không gian này. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động cho các ánh xạ tương thích