Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Metric mờ

LốI CM N LuÔn oc hon thnh tai trũng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói su hưóng dan cúa TS Hà Đnc Vưong Tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành sâu sac tói TS Hà Đnc Vưong, ngưòi thay ln quan tâm, đng viờn v tÔn tỡnh húng dan tụi quỏ trỡnh thuc hiắn luÔn Tụi xin oc gni lũi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích ó tao ieu kiắn thuÔn loi cho tụi quỏ trỡnh hoc tÔp v nghiờn cnu Tụi xin by tú lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n đe tơi hồn thành luÔn ny H Nđi, thỏng 10 nm 2012 Tỏc giá Nguyen Th% Huyen LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam oan luÔn l ket quỏ nghiờn cnu cỳa riờng tơi dưói su hưóng dan cúa TS Hà Đnc Vưong Q trình nghiên cnu tơi sn dnng ke thna thành cúa nhà khoa hoc vói su trân biet ơn Hà N®i, tháng 10 năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Huyen Mnc lnc M đau N®i dung Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric đay 12 17 1.3 đú Ánh xa tương thích yeu 1.4 Điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric Không gian metric mà 2.1 32 Đ%nh nghĩa ví dn 2.2 mò 2.3 Moi quan h¾ giđa khơng gian metric khơng gian metric mò Điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu 26 32 44 47 khơng gian metric mà 49 3.1 Ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mò 49 3.2 Điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mò 50 Ket lu¾n 58 Tài li¾u tham kháo 59 Mé ĐAU Lý chon đe tài Cho G mđt tÔp hop khỏc rong v ỏnh xa T : G → G Điem x ∈ G thóa mãn phương trình T x = x đưoc goi điem bat đng cỳa ỏnh xa T trờn tÔp G Viắc nghiờn cnu ve điem bat đ®ng có ý nghĩa rat lón cá ve lý thuyet nng dnng toán hoc núi riờng v khoa hoc ky thuÔt núi chung, thu hút nhieu nhà tốn hoc quan tâm Các ket nghiên cnu ve lĩnh vuc hình thành nên “ Lý thuyet điem bat đ®ng” Năm 1965, Zadeh ngưòi đau tiên đưa khái ni¾m mũ, ú l cỏc ỏnh xa i tn tÔp X vào đoan [0 ; 1] Sau có rat nhieu nhà toán hoc nghiên cnu van đe như: Erceg, Kaleva, Derg, “khơng gian metric mò” đưoc xây dung Năm 1986, Jungck đưa khái ni¾m ánh xa tương thích Nhieu nhà tốn hoc có ket q ve điem bat đ®ng chung cho ánh xa loai Năm 2010, tác giá ngưòi An Đ® : V S Chouhan, V H Badshah M S Chauhan công bo ket ve điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mò qua báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly compatible maps ” Vói mong muon tìm hieu sâu ve van đe này, oc su giỳp v húng dan tÔn tỡnh cỳa TS Hà Đnc Vưong, manh dan chon đe tài nghiên cnu: “Điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mà” Mnc đích nghiên cNu H¾ thong lai ket ve điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mò Cơng trình nghiên cnu dua ket cúa nhà toán hoc V S Chouhan, V H Badshah M S Chauhan báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly compatible maps ” (xem [6]) Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cnu ve khơng gian metric mò, ánh xa tương thích yeu điem bat đ®ng cúa chúng lóp khơng gian Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cnu ve điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mò Phương pháp nghiên cNu D%ch, đoc, nghiên cnu tài li¾u v tong hop, phõn tớch, vÔn dnng kien thnc cho mnc đích nghiên cnu DN kien đóng góp Đây tong quan ve điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mò Đe tài giúp ngưòi đoc hieu đưoc nhđng khái ni¾m bán ve khơng gian metric mò, ánh xa tương thích yeu ket ve điem bat đ®ng cúa chúng lóp khơng gian Chương Kien thNc chuan b% Trong chương trình bày khái ni¾m bán ve khơng gian metric, không gian metric đay đú, ánh xa tương thích, tương thích yeu khơng gian metric moi quan h¾ giđa hai loai ánh xa Đong thòi chúng tơi trình bày ket q ve điem bat đ®ng cúa ánh xa tương thích yeu khơng gian metric ví dn minh hoa 1.1 Khơng gian metric Đ%nh nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric mđt cÔp (X, d) ú X l mđt tÔp hop khác rong, d m®t ánh xa tn tích Descartes X ì X vo tÔp hop so thuc R thóa mãn đieu ki¾n sau: 1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = ⇔ x = y 2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X 3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X Ánh xa d đưoc goi metric X Các phan tn cúa X goi điem Khi đó, ta có khơng gian metric (X, d) Ví dn 1.1.1 Cho C [a, b] l khụng gian cỏc hm so nhÔn giá tr% thuc xác đ%nh liên tnc đoan [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Vói hai hàm so bat kỳ x = x (t) , y = y (t) thuđc C [a, b] ta Ôt : d (x, y) = max a≤t≤b |x (t) − y (t)| Khi (C [a, b] , d) m®t khơng gian metric Chúng minh Ta có d (x, y) xỏc %nh trờn C [a, b] ThÔt vÔy, hàm so x (t) , y (t) liên tnc đoan [a, b] nên hàm so |x (t) − y (t)| liên tnc đoan [a, b] Do đó, hàm so đat giá tr% lón nhat đoan [a, b] Suy h¾ thnc cúa d (x, y) xác đ%nh m®t ánh xa tn tích Descartes C [a, b] ì C [a, b] vo tÔp hop so thuc R Ta có |x (t) − y (t)| ≥ vói ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b] Suy max |x (t) − y (t)| ≥ vói ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b] t[a,b ] VÔy d (x, y) ≥ vói ∀x, y ∈ C [a, b] Neu a≤t≤b max |x (t) − y (t)| = ta có |x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [a, b] 2) f X ⊂ gX 3) M (fx, fy, kt) ≥ M (gx, gy, t) , k ≥ 4) M (fx, ffx, t) > {M (gx, gfx, t), M (fx, gx, t) , M (f 2x, gfx, t), M (fx, gfx, t), M (gx, f 2x, t)}, ∀fx ƒ= f x Neu mien giỏ tr% cỳa f hoắc g l mđt khụng gian đú cúa X ánh xa f g có m®t điem bat đ®ng chung Chúng minh Do ánh xa f g thóa mãn tính chat 1) cúa đ %nh lí 3.2.1 nên ton tai m®t dãy {xn} ⊂ X cho fxn, gxn → z n → ∞, z ∈ X Do z ∈ f X , f X ⊂ gX nên ∃u ∈ X cho z = gu, gxn → z n → ∞ Neu fu ƒ= gu M (fxn , fu, kt) ≥ M (gxn, gu, t) Lay giói han n → ∞ ta đưoc M (gu, fu, kt) ≥ M (gu, gu, t) Do fu = gu Lai có f va` g ánh xa tương thích yeu nên fgu = gfu Suy fgu = ffu = gfu = ggu Neu ffu ƒ= fu theo bat thnc 4) cúa đ%nh lí 3.2.1 ta có M (fu, ffu, t) > {M (gu, gfu, t), M (fu, gu, t) , M (f 2u, gfu, t), M (fu, gfu, t), M (gu, f 2u, t)} = {M (fu, ffu, t), M (fu, fu, t) , M (f 2u, ffu, t), M (fu, ffu, t), M (fu, f 2u, t)} = {M (fu, ffu, t), M (fu, fu, t) , M (f 2u, ffu, t), M (fu, ffu, t), M (fu, f 2u, t)} = {M (fu, ffu, t)} = M (fu, ffu, t) Do M (fu, ffu, t) > M (fu, ffu, t) Đieu mâu thuan, fu = ffu fu = ffu = fgu = gfu = ggu Suy : fu điem bat đ®ng chung cúa f va` g Trưòng hop f X m®t khơng gian đú cúa X f X ⊂ gX nên ta chnng minh tương tu Đ%nh lí đưoc chnng minh Vớ dn 3.2.1 Cho tÔp hop X = [1; 2] metric thơng thưòng d (x, y) = |x − y| Các ánh xa f, g : [−1; 2] → [−1; 2] đưoc xác đ%nh bói  1  − ≤ x ≤ 1, f (x) =   < x ≤ ,  1 + x < x ≤  32 + 1x − ≤ x ≤ 1,   g(x) =  1 − x2  Xét −1 ≤ x ≤ ta có 5 ≤ x ≤ < x < , g(x) = + x , gf (x) = 1, fg(x) = f (x) = 1, Khi : M (gfx, gfx, t) = t t+ Vói x = ta có fx = gx = fgx = gfx = va` Do f g ánh xa tương thích yeu tai x = MÔt khỏc lai cú f X gX Nh vÔy, f v g l cỏc ánh xa thóa mãn moi đieu ki¾n cúa đ%nh lí 3.2.1 Do đó, ánh xa f g có m®t điem bat đ®ng chung x = Đ%nh lí 3.2.2 [6] Cho f g ánh xa tương thích yeu khơng ánh xa tương thích tù khơng gian metric mò (X, M, ∆) vào thóa mãn tính chat sau: 1) Ton tai m®t dãy {xn} X cho lim fxn = lim gx = z vói z ∈ X n n→∞ 2) f X ⊂ n→∞ gX 3) M (fx, fy, kt) ≥ M (gx, gy, t) , k ≥ 4) M (fx, ffx, t) > {M (gx, gfx, t), M (fx, gx, t) , M (f 2x, gfx, t), M (fx, gfx, t), M (gx, f 2x, t)}, ∀fx ƒ= f x Neu mien giá tr% cỳa f hoắc g l mđt khụng gian đú cúa X ánh xa f g có m®t điem bat đ®ng chung tai điem hai ánh xa khơng liên tnc Chúng minh Do f g ánh xa không tương thích nên ton tai dãy {xn} ⊂ X cho lim fxn = lim gxn = z, z ∈ X n→∞ n→∞ Nhưng lim tai n→∞ (fgxn, gfxn, t) khỏc hoÔc giúi han ny khụng ton Do z ∈ f X va` f X ⊂ gX nên ∃u ∈ X cho z = gu, z = lim gxn n→∞ Ta chnng minh fu = gu Giá sn fu ƒ= gu ta có M (fxn, fu, t) ≥ M (gxn, gu, t) Lay giói han n → ∞ ta đưoc M (gu, fu, t) ≥ M (gu, gu, t) Do fu = gu MÔt khỏc f v g l cỏc ỏnh xa tng thích yeu nên fgu = gfu Suy ffu = fgu = gfu = ggu Giá sn ffu ƒ= fu Khi đó, tính chat 4) cúa đ%nh lí 3.2.1 ta có M (fu, ffu, t) > {M (gu, gfu, t), M (fu, gu, t) , M (f 2u, gfu, t), M (fu, gfu, t), M (gu, f 2u, t)} = {M (fu, ffu, t), M (fu, fu, t) , M (f 2u, ffu, t), M (fu, ffu, t), M (fu, f 2u, t)} = {M (fu, ffu, t), M (fu, fu, t) , M (f 2u, ffu, t), M (fu, ffu, t), M (fu, f 2u, t)} = {M (fu, ffu, t)} = M (fu, ffu, t) Do M (fu, ffu, t) > M (fu, ffu, t) ieu ny mõu thuan, vÔy fu = ffu fu = ffu = fgu = gfu = ggu Do : fu điem bat đ®ng chung cúa f va` g Trưòng hop f X m®t khơng gian đú cúa X , f X ⊂ gX nên ta chnng minh tương tu Ta chí f g ánh xa khơng liên tnc tai điem bat đ®ng chung z = fu = gu Giá sn ngưoc lai ánh xa f liên tnc tai điem bat đ®ng chung Khi xét dãy {xn} thóa mãn tính chat cúa đ%nh lí 3.2.2, tnc lim fxn = lim gx = z, z ∈ X, n n→∞ n→∞ ta có lim ffx = fz = z n n→∞ Do f g ánh xa tương thích yeu nên ffu = gfu Do fz = gz v f f x n = g f x n Lay giói han cho n → ∞ ta đưoc fz = lim gfxn n→∞ Hay z = lim gfxn n MÔt khỏc ta lai cú lim (fgx , gfx , t) = n n n→∞ Đieu ny mõu thuan, vÔy lim (fgx , gfx , t) khỏc hoÔc khụng n n n ton tai Do ánh xa f khơng liên tnc tai điem bat đ®ng Tương tu, ta chnng minh đưoc ánh xa g khơng liên tnc tai điem bat đ®ng Đ%nh lí đưoc chnng minh Khái ni¾m ánh xa tương thích đưoc nhà tốn hoc Jungck đưa vào năm 1986 Khái ni¾m thu hút su quan tâm cỳa nhieu nh toỏn hoc trờn the giúi Ôc biắt hưóng nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho ánh xa loai Trong chương trình bày khái ni¾m ve ánh xa tương thích, tương thích yeu ket ve điem bat đ®ng cúa chúng khơng gian metric mò KET LUắN LuÔn ó trỡnh by mđt so khỏi niắm bán ve khơng gian metric, khơng gian metric mò, ánh xa tương thích yeu ket ve điem bat đ®ng cúa chúng khơng gian Su mú rđng khỏi niắm metric mũ l rat hủu ích cho su phát trien cúa lý thuyet điem bat đng Ngoi cỏc khỏi niắm v ket quỏ ve iem bat đng oc trỡnh by luÔn ny cũn nhieu khái ni¾m nhieu van đe ve điem bat đ®ng đưoc mó r®ng phát trien Vói luc han che thòi gian có han, chac chan luÔn khú trỏnh khúi nhủng thieu sút Kính mong q thay ban đong nghi¾p gúp ý e luÔn oc hon thiắn hn Tỏc giá xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phn Hy(2005), Giái tớch hm, Nh xuat bỏn Khoa hoc v Ky thuÔt, Hà N®i [2] Hồng Tny(2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc gia, Hà N®i [B] Tài li¾u tieng Anh [3] C.T.Aage and J.N Salunke(2010), “On fixed point theorems in fuzzy metric spaces”, Int J Open problems Compt Math., 3(2) [4] M Aamri and D El Moutawakil(2002), “Some new common fixed point theorem under strict contractive conditions”, J Math Anal Appl., 270, 181-188 [5] S Carlson, Fuzzy Topological Space, Part I, Preprint [6] V S Chouhan, V H Badshah and M S Chauhan(2010), “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly compatible maps”, Int J Contemp Math Sciences., Vol.5, No.3, 145151 [7] A George and P Veeramani(1994), “On some results in fuzzy metric spaces” , Fuzzy Sets and Systems, 64, 395399 [8] Olga Hadˇzi´c – Zoran Ovcin (1994), “ Fixed point theorems in fuzzy metric and probabilistic metric spaces” , Univ u Novom Sadu Zb Rad Prirod Mat Fack Ser Mat.,24,2,197-209 [9] M Imdad Javi ALI(2008), “Jungck’s common fixed point theorem and E.A property”, Acta Mathematica Sinica, English Series, 42(1), 47-94 [10] J Jachymsky(1994), “Common fixed point theorems for some families of mappings”, Indian J.Pure Appl Math., 25, 925 – 937 [11] K Jha(2007), “ Common fixed point for weakly compatible maps in metric space”, Kathmandu University Journal of Science, Engineer and Technology, 1(4) [12] G Jungck(1986), “Compatible mappings and common fixed points”, Int J Math Sci., 9, 771-779 [13] G Jungck(1988), “ Compatible mappings and common fixed points”, Int J Math Sci., 2, 285-288 [14] G Jungck(1988), “ Common fixed point for commuting and compatible maps on compacta”, American mathematical society, 103(3) [15] O Kaleva and S Seikkala(1984), “ On fuzzy metric spaces”, Fuzzy set and systems, 12, 215-229 [16] S.N Mishra, N Sharma and S.L Singh(1994), “Common fixed points of maps on fuzzy metric space”, Int J Math Sci., 17, 253-258 [17] R P Pant(1994), “Common fixed points of noncommuting mappings”, J Math Anal Appl., 188, 436-440 [18] R P Pant(1998), “Common fixed points of contractive maps”, J Math Anal Appl., 226, 251-258 [19] R P Pant(1999), “ Discontinuity and fixed points”, J Math Anal Appl., 240, 284-289 [20] B.E Rhoades and G Jungck(1998), “Fixed point for set valued function without continuity”, Indian J Pure Appl Math., 29(3), 227-238 [21] L.A Zadeh(1965), “Fuzzy sets”, Inform and Control, 8, 338-353 ... 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric đay 12 17 1.3 đú Ánh xa tương thích yeu 1.4 Điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric. .. 32 44 47 không gian metric mà 49 3.1 Ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mò 49 3.2 Điem bat đ®ng cho ánh xa tương thích yeu khơng gian metric mò 50... metric khơng đay đú 1.3 Ánh xa tương thích yeu không gian metric Đ%nh nghĩa 1.3.1 [12] Cho A S ánh xa tn không gian metric (X, d) vào Các ánh xa A S đưoc goi tương thích (compatible) neu vói moi