Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều

1 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy người thầy trực tiếp hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu hồn chỉnh đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn GS, TS giảng dạy chun ngành Tốn Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn học viên cao học Toán Giải tích K13 giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn trường THPT Mê Linh tạo điều kiện thời gian cho tơi q trình học tập, nghiên cứu bảo vệ đề tài Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả MỤC LỤC Mở đầu Trang Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức không gian định chuẩn thực 1.1.1 ác định nghĩa 1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự 18 1.2.1 Một số định nghĩa tính chất 18 1.2.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự .25 1.2.3 Một số không gian Banach thực nửa thứ tự 26 1.3 Không gian E 34 u 1.3.1 Định nghĩa không gian E 34 u 1.3.2 Một số tính chất khơng gian E 34 u 1.3.3 Một số ví dụ không gian E .37 u Chương 2: Toán tử u0 - lõm tốn tử lõm quy .40 2.1 Toán tử u0 -lõm 40 2.1.1 Các định nghĩa .40 2.1.2 Một số tính chất đơn giản tốn tử uo lõm 41 2.1.3 Ví dụ toán tử uo lõm 44 2.2 – Tốn tử lõm quy .46 2.2.1 ác định nghĩa 46 2.2.2 Một số tính chất đơn giản tốn tử lõm quy .47 2.2.3 Ví dụ tốn tử lõm quy 49 Chương 3: Sự tồn điểm bất động tốn tử lõm quy .51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tử lõm lớp toán tử quan trọng giải tích hàm phi tuyến Nhiều nhà khoa học giới nghiên cứu lớp toán tử Mở đầu năm 1956 nhà toán học người Nga M.A Craxnoxenki nghiên cứu lớp toán tử Ông đưa kết quan trọng tốn tử lõm khơng gian Banach thực nửa thứ tự Sau giáo sư tiến sĩ khoa học I A Baxtin mở rộng kết cho lớp tốn tử u0 - lõm (1958) u0 -lõm luận án tiến sĩ khoa học (1959, 1963) Tuy nhiên ứng dụng kết đạt lớp toán tử lõm u0 -lõm điều kiện u0 - đo lại trở nên phức tạp số trường hợp Hơn nữa, có lớp tốn tử phi tuyến không thoả mãn điều kiện u0 - đo lại có tính chất phổ dụng tốn tử lõm – tốn tử lõm quy Ở nước ta vào năm 1980, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy nghiên cứu đạt số kết cho lớp tốn tử lõm quy, khơng u cầu lớp tốn tử có tính chất u0 - đo Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn tử lõm quy đều, với hướng dẫn tận tình PGS.TS GVCC Nguyễn Phụ Hy chọn nghiên cứu đề tài: “Điểm bất động tốn tử lõm quy đều” Luận văn tập trung nghiên cứu số tính chất tốn tử lõm quy tồn điểm bất động lớp tốn tử Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số tính chất tốn tử lõm quy điểm bất động loại toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu, hệ thống hóa tính chất có điểm bất động tốn tử uo lõm - Trên sở tính chất điểm bất động toán tử u lõm, nghiên o cứu số tính chất điểm bất động tồn điểm bất động lớp toán tử lõm quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Tốn tử lõm quy đều, điểm bất động tốn tử lõm quy - Sự tồn điểm bất động tốn tử lõm quy Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận tài liệu tham khảo - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp Trình bày cách có hệ thống kiến thức điểm bất động tốn tử lõm quy số ví dụ áp dụng CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 – Một số kiến thức không gian định chuẩn thực 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1.1: Cho không gian tuyến tính thực E Một chuẩn E ánh xạ từ E vào R , kí hiệu  ,thỏa mãn tiên đề sau : i x E, x ii x E, R, x iii x, y E x y :  0, x 0 x ( Phần tử trong E);   x ; x y Khơng gian tuyến tính thực E chuẩn gọi khơng gian định chuẩn thực, kí hiệu  E,  hay E Số x gọi chuẩn x Định nghĩa 1.1.1.2 : Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm  xn tụ tới x E lim x 0 Kí hiệu lim xn x hay x x Ta có số tính chất sau : 1) Nếu xn x  n  thì dãy chuẩn x E gọi hội n n1 xn x  n   xn  x  n hay nói cách   khác hàm là hàm giá trị thực liên tục theo biến x  Nếu dãy điểm xn hội tụ không gian định chuẩn E dãy chuẩn tương ứng x n bị chặn  Nếu lim xn x, lim yn y không gian E dãy số n hội tụ  x y tới  : lim xn yn x y ; lim  n xn x n n Định nghĩa 1.1.1.3 : Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm E  xn n1 gọi * dãy E : lim x n n,m xm m, n n0 ta có xn xm 0 Hay    0  n0 N sao cho  Định nghĩa 1.1.1.4 : Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dãy E hội tụ phần tử thuộc E 1.1.2 Một số không gian định chuẩn – Không gian 1.1.2.1 c0 Xét không gian tuyến tính : c0  x xn  , xn R,  n 1, 2, 3, , xn hội tụ 0} Với phép cộng nhân thông thường, tức với x y x1 y1 , x2 y2 ,  x xn  , y yn ℝ  c0 x x1 ,x2 ,  1) c không gian định chuẩn với chuẩn phần tử x x  x max xn 1n Thật vậy, n n1 (1.1)   x  xn hội tụ n1 x  ℝn n nên vế phải (1.1) tồn Ta kiểm tra ba tiên đề chuẩn (1.1) i cho x xn  c0 ta có : x max x 0 , 1n Hơn x 0 max xn 1n 0 xn 0n 1, 2, 3, ii x 0, 0, 0, , 0, x  (là vecto không khơng gian x c0 , R , ta có : x max xn 1n   max xn 1n   x c0 ) 10 iii x, y c0 : x xn  , y yn , ta có : x y Ma x n x yn 1n  yn x max y  max 1n max x n 1n x y 1n Vậy công thức (1.1) xác định chuẩn c0 Sự hội tụ không gian c0 tương ứng với hội tụ dãy số thực 2) Giả sử dãy   lim s x x   s  x hội tụ tới x trong không s1 xn gian s c0 Theo định nghĩa có:   0 , nghĩa là:    s0 x N   s s  : max 1n x    s xn x s s0   s  xn  xn  Chứng tỏ dãy s * s s0 , n 1, 2,  x s hội tụ tới Ngược lại, giả sử có dãy s n N *  xn n    s  s  , y   , y c   y  s  ,y s y y1 , y2 ,  Theo hội tụ dãy số ta có :     s0 N *  s s0 : yn  s  yn  n ℕ * hội tụ tới Gọi số lớn cho xn tn x 0, n 1 Ta dãy số tn  tn - Do x* *  nên để có supx x x n n n  t x 0, n 1 phải có t 1 Do t n n chặn số - Vì x  t x* n1 x n1 t x 0 n nên tn tn1 Vậy tn tăng *  Do tn tăng bị chặn nên tồn lim tn t 1 n  Giả sử t 1 Suy x n2 cho : Atx* 1ctAx* tAx* tx* c 0 A x A2t x* A2 A x n1 tn  t  n n tx*    tn * * * tn A tx  1c  tx 1c  t x n  t t xn2 1c  tn x*  Đặc biệt với n 2k 1   * t2k 3 x1c t2k 1  x2k 3   1c t2k 1 Áp dụng liên tiếp công thức ta có: 1c  t t 1c  t 2k 3 2k 1  1c  k t 2k 1 t2k 3 1 k c  Cho k  t1 0,  k 1, 2,  t1 t lim t2k 3  1c k k  Mâu thuẫn với giả thiết t 1 Vậy lim tn t*1 * Mà ta có t Ax At x Ax x n bị * n n * n1 x (Với n 1, 2, ) (3.2) Cho qua giới hạn biểu thức (3.2) n  ta Ax* x* Từ (3.1) (3.2) suy n * * Ax x Chứng minh định lí 3.1: Điều kiện cần: Giả sử y điểm bất động nón chuẩn K Khi cần chọn x0 y0 y điều kiện cần chứng minh Điều kiện đủ: Khơng tính chất tổng quát viết  x0 y0 Do x0 , y0 thông ước với nên tồn p, q 0 để px0  y0 qx0 Khi  x0 y0 qx0  x0 qx0 q 1 Nếu q 1 x0 y0 x0 Ax0 x0 , điều mâu thuẫn giả thiết x0 Ax0 Ay y Vậy q 1 0 ; Đặt x n Axn1 n 1, 2,  Do giả thiết A tốn tử đơn điệu nón K nên : tăng x0 Ax0 x1 x0 x1 x1 Ax0 Ax1 x2 x1 x2 Như dãy xn  n Đồng thời ta có y Ay y y Ay  A y 0 yn Nên x Ax x  0 xn n 1, 2,  n Ax Ay y  A y y qx 0 n Suy dãy xn K x0  Đặt t Sup t x tx , k 1, 2,  n nk , ta nhận dãy số thực tn  0,1 n Hơn : n n n1 y0 Ay0 A y0  A y0 A x0 A Ax0   n1 1 A x0  Ax0 x0 q xnk n Từ suy lim tn t 1  n, k 1, 2,  t  1 q t 1 Giả sử t 1 tồn Atx 1c  tAx, Suy : n 1, 2,  dãy tn  tăng Do tồn c c x0 , y0 , t 1 cho : x0 x y0 x Ax At x  At t x 1c  t x n n n n nk nk n n t  n, k 1, 2, , nghĩa n tn1 1c  t1 0 n 1, 2,  Do t lim tn  điều mâu thuẫn với t 1 Vậy t lim tn 1 Mặt khác, ta có : x x 1t x 1t qx  n 1, 2, , n1 n n nk n hay dãy xn  dãy theo x0 chuẩn Do nón K chuẩn nên khơng gian E x đủ theo x0  chuẩn (theo định lí 1.2.3.3) nên tồn phần tử x*Ex E 0 cho : lim xn x * x0 0 Hiển nhiên x* sup x  n Đến với việc chọn u0 x0 tất điều kiện bổ đề 3.2 thoả mãn, nên Ax x □ Để chứng minh định lí theo cách thứ hai, ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.3 : Giả sử A tốn tử lõm quy y0 K u0  Nếu dãy yn  yn Ayn1 giảm tồn phần tử y* inf ( yn K u0 Ay* y * ) Chứng minh: Hiển nhiên y* y với  n 1, 2, với (3.3) Suy n Ay* Ay n  yn1  y với n 1, 2, n Ay y * Kí hiệu n n  (3.4) * * số thực nhỏ cho n y  yn  Ta nhận dãy số thực - Do y* inf * nên để có  y y yn  n y n - Mặt khác phải có n 1 * số thực nhỏ cho n y yn , n n1 số thực nhỏ cho  y* y  n1 n1 yn1 yn  n 1, 2,  Nên ta có n1 n  n 1, 2,  n giảm  Do dãy n dãy số thực giảm bị chặn số 1, nên tồn limn  1  * Ta chứng minh  1 Giả sử  1, tốn tử A lõm quy,   cho Ay A * Ay 1  y*  tồn     * * Aty 1 tAy Từ suy A y  *    * * * A y  Ay  y 1 1 1    n 2 * n *  Do yn2 A yn A n A  y A y y     *  n 1, 2,  n2 1    2k   Suy  1 2k 1  1 1 1 k với k 1, 2, 3,   1  y *   limn lim2k 1 1 Mâu thuẫn với giả thiết  1 Vậy  limn 1 Nhờ đó, y  n n * với n 1, 2, y *  y  yn 1 Ayn * An n y Ay Kết hợp (3.4) (3.5) ta có y* Ay* * n 1, 2,  * y Ay * (3.5) Chứng minh định lý 3.1 Điều kiện cần: Giả sử y điểm bất động toán tử A nón chuẩn K Khi cần chọn x0 y0 y điều kiện cần chứng minh Điều kiện đủ: Khơng tính chất tổng qt viết  x0 y0 Do x0 , y0 thông ước với nên tồn p, q 0 để px0  y0 qx0 Khi  x0 y0 qx0  x0 qx0 q 1 Nếu q 1 x0 y0 x0 Ax0 Ay0  y0 , điều mâu thuẫn giả thiết Vậy q 1 Đặt y Ay (n 1, n n1 ta dãy yn  n 2, ) Đồng thời ta có y Ay y y Ay  A y 0 yn nên x Ax x  0 xn n Ax Ay y  A y y qx Suy dãy yn K x0  Mặt khác theo giả thiết yn  Đặt s sups | y sy , k 1, n nk n Thật vậy, có sn 1(n 1, 2, ) Ay0 y0 y1 y0 Ay1 Ay0 y2 y1 Vậy ta có dãy 2,  n 1, 2,  n toán tử A đơn điệu K nên giảm (n=1,2,…) ta nhận dãy số thực  sn 0,1 sn 1 ynk sn yn yn (k 1, 2, ) mâu thuẫn với lập luận Hơn nữa, sn 0(n 1, 2, ) nk 1 nk 1 1 x0   Ax0 x0 q yn , nên sn q y0 Ay0  y1  A y0  ynk A Dãy (sn ) tăng vì: ynk sn yn sn yn1 (n, k 1, 2, ) Nên sn1 sn (n 1, 2, ) Do tồn s lim sn 1 Giả sử s < Khi c c(x0 , y0 , s) 0 Từ suy 1 0 ynk Asn yn sn A sy s n (k=1,2,…) s  As n (1c)sn n y yn s sn1 (1c)sn (n 1, 2, ) sn1 (1c) n s1 s lim sn  Mâu thuẫn với giả thiết s < Vậy lim sn 1 n  yy    1 y  n Mặt khác nk nghĩa dãy yn   nk sn     1 qx   sn  , dãy theo x0 chuẩn Nhờ tính chuẩn nón K, khơng gian Ex đầy theo x0 chuẩn (Theo định lí 1.2.3.3) Do tồn y Ex cho lim yn y x0 0 Mặt khác y inf y K u  n   (do yn  K u0 )  Đến sau chọn u0 x0 điều kiện bổ đề 3.3 thoả mãn, nên Ay y □ u0 K Định lý 3.4 Giả sử A toán tử lõm quy đều, \  và xo Ax0 Nếu dãy xn Axn1 (n 1, 2, ) n k  có điểm giới hạn x K (u0 ) , Chứng minh Dãy (xn ) chứa dãy (x x0 K u0 ) hội tụ đến cho Ax x x K (u0 giả thiết suy dãy (xn ) ) Từ tăng, nên x x sử y E mà n n k với n = 1,2,…, n nk Cho k ta y xn (n 1, 2, ) y xn (k 1, 2, ) y k x xn x (n 1, 2, ) Giả ( cách cho k ) Vì vậy, điều kiện định lý 3.4 thoả mãn điều kiện bổ đề 3.3 nên Ax x □ Ví dụ 3.1: Trong không gian banach thực, nửa thứ tự D2  a,b theo nón K {x x(t) D2  a,b  : x(t) 0,t [a;b]} Xét toán tử A : D2  a,b  D2  a,b xác định Ax(t) 5 x(t) 1 Theo ví dụ 2.2.3 A tốn tử lõm quy Xét x0 x0  t t  1, y0 y0  t 1 2; 2 t  1, 2 ; thấy với nón chuẩn K Ta có Ax  1 x Ax 0 Ay0  2 Ay0 y0 Vậy theo định lí 3.1 tốn tử A có điểm bất động x0 , y0 thông ước KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày số kết điểm bất động tốn tử lõm quy Các kết luận văn dựa tính nửa thứ tự khơng gian E với nón K số tính chất tốn tử lõm quy Luận văn chia làm chương (ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo): Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày phương án tổng quát để xây dựng khơng gian định chuẩn nói chung khơng gian Banach nói riêng trở thành khơng gian nửa thứ tự cách đưa khái niệm nón, sau xây dựng khơng gian E u thơng qua việc đưa khái niệm uo chuẩn Chương 2: Toán tử uo lõm tốn tử lõm quy Chương trình bày khái niệm tốn tử uo  lõm tốn tử lõm quy cách đưa vào khái niệm toán tử dương, đơn điệu, uo  đo không gian Banach thực E với nón K Từ đưa khái niệm số tính chất đơn giản tốn tử uo  lõm, tốn tử lõm quy điểm bất động toán tử Chương 3: Sự tồn điểm bất động toán tử lõm quy Trên sở hai chương trước, chương tiếp tục đưa định lí bổ đề tồn điểm bất động tốn tử lõm quy Chương cho thấy với điều kiện tốn tử lõm quy A có điểm bất động Do thời gian khả hạn chế nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu tổng hợp kết đạt Trong trình viết luận văn xử lý văn khơng tránh khỏi thiếu xót, mong góp ý thầy, giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐH Quốc gia, Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (1987), "Các vecto riêng toán tử lõm quy", Tạp chí tốn học, tập 15 (số 2), (27-32) [4] Nguyễn Phụ Hy (1987), "Các điểm bất động tốn tử lõm quy", Tạp chí tốn học, tập 15 (số 1), (27-32) [5] Bakhtin.I.A (1984), Các nghiệm dương phương trình phi tuyến với tốn tử lõm, Vơrônegiơ [6] M.A Kraxnôxenxki (1962), Các nghiệm dương phương trình tốn tử, Matxcơva ... điểm bất động tồn điểm bất động lớp toán tử lõm quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Tốn tử lõm quy đều, điểm bất động tốn tử lõm quy - Sự tồn điểm bất động toán tử lõm quy Phương pháp nghiên cứu... tốn tử lõm quy đều Luận văn tập trung nghiên cứu số tính chất tốn tử lõm quy tồn điểm bất động lớp toán tử Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số tính chất tốn tử lõm quy điểm bất động loại toán. .. toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu, hệ thống hóa tính chất có điểm bất động tốn tử uo  lõm - Trên sở tính chất điểm bất động toán tử u  lõm, nghiên o cứu số tính chất điểm bất động tồn điểm