Điểm bất động và ứng dụng

Khóa luận tốt Trờng ĐHSP Hà Nội SVTH: Lê ThÞ K35G_SP TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ LÊ THỊ VÂN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Khóa luận thực hoàn thành hướng dẫn tận tình TS.Nguyễn Văn Hùng, người thầy quan tâm động viên truyền cho kinh nghiệm q báu q trình hồn thành khóa luận.Tơi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Hà Nội 2, khoa Toán tổ giải tích tốn thể q thầy tạo điều kiện thuận lợi cho kết thúc tốt đẹp chương trình đại học hồn thành khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 28tháng 04 năm 2013 Người thực Lê Thị Vân LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài tơi nghiên cứu tìm hiểu hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng Đề tài tơi nghiên cứu hồn thành sở kế thừa phát huy cơng trình nghiên cứu có liên quan Kết đề tài không trùng lặp với đề tài khác Nếu sai tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Người thực Lê Thị Vân MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Cấu trúc khóa luận .2 PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ 1.2 Tô pô không gian metric 1.3 Ánh xạ liên tục 1.4 Tập hợp compact bị chặn 1.5 Không gian vectơ 1.6 Không gian định chuẩn không gian Banch 10 1.7 Tính lồi 12 1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 15 1.9 Phương trình vi phân thường 16 CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG 2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 19 2.2 Định lý điểm bất động Brouwer 22 2.3 Định lý điểm bất động Schauder 29 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường 31 3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân 37 3.3 Áp dụng vào đại số giải tích .42 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều toán khác khoa học kĩ thuật dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X khơng gian đó, A ánh xạ từ tập M khơng gian X vào nó, xét phương trình phi tuyến Ax = x, xMdưới điều kiện cụ thể khẳng định tồn nghiệm phương trình đó.Điểm x  M thỏa mãn phương trình Ax = x gọi điểm bất động ánh xạ A tập M Việc nghiên cứu vấn đề góp phần đắc lực cho việc giải hàng loạt tốn tốn học nói riêng khoa học kĩ thuật nói chung Điều dẫn tới hướng nghiên cứu toán học hình thành nên lý thuyết điểm bất động Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực quan trọng giải tích hàm phi tuyến Ngay đầu kỉ 20, nhà toán học quan tâm đến vấn đề khẳng định lý thuyết điểm bất động phát triển sâu rộng, trở thành công cụ thiếu để giải toán khác thực tế đặt Sự phát triển lĩnh vực gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn giới như: Banach, Brouwer, Schauder kết kinh điển lý thuyết điểm bất động đồng thời cơng trình khởi đầu cho lĩnh vực nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động Brouwer áp dụng lĩnh vực toán học đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, lý thuyết điều khin, lý thuyt ti u húa SVTH: Lê Thị K35G_SP Trên sở nguyên lý điểm bất động phát triển theo hai hướng chính: Hướng thứ nghiên cứu điểm bất động ánh xạ liên tục, mở đầu nguyên lý điểm bất động Brouwer Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động ánh xạ dạng co, mở đầu nguyên lý ánh xạ co Banach Vào năm 60 kỉ 20 hướng xem trung gian hai hướng việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Tất kết nghiên cứu mang lại ứng dụng hiệu cho ngành toán học đại Vì lý mà em lựa chọn đề tài:“Điểm bất động ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học thực khóa luận tốt nghiệp Nghiên cứu số vấn đề điểm bất động việc áp dụng vào ngành tốn học đại Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số định lý điểm bất động không gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn chiều Nghiên cứu việc áp dụng định lý điểm bất động việc giải tập phương trình vi phân thường, phương trình tích phân đại số giải tích Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu phần kết luận, nội dung khóa luận gồm chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sử dụng chương chương Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder, chứng minh định lý, ví dụ áp dụng Chương 3:Áp dụng định lý điểm bất động vào việc giải phương trình vi phân thường, phương trình tích phân đại số giải tích PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.1.1 Cho X   , ta gọi metric X ánh xạ d từ tích Descartes XX vào tập số thực □ thỏa mãn tiên đề sau: i)(x, y X ) d (x, y)  0, d (x, y)   x  y (tiên đề đồng nhất) ii)(x, y X ) d (x, y)  d ( y, x) (tiên đề đối xứng) iii)(x, y, z X ) d (x, y)  d (x, z)  d (z, y) (tiên đề tam ) Khơng gian metric cặp (X,d) đó: * X   gọi tập *d metric X *d(x,y) khoảng cách hai phần tử x, y X * Các phần tử X gọi điểm Ví dụ 1.1.1: Cho X  ,x, yX 0 x  y d (x, y)   1 x  y Chứng minh d metric X (X,d) gọi không gian metric _ không gian metric rời rạc ( d gọi metric rời rạc )  Ta có cặp (x, y) X  X có d(x, y) □ Ta kiểm tra ánh xạ thỏa mãn tiên đề metric Tiên đề 1: d (x, y)  x, y X , d (x, y)  x  y d (x, y)  (trái giảthiết)  x  y,x, yX Tiên đề 2: Nếu x  y y  x nên d (x, y)  d ( y, x)  0,x, yX b, n  0,1, (3.6’) 2) Hàm số F :[a,b][a,b]ℝℝ liên tục đạo hàm riêng Fn :[a,b] [a,b]  ℝℝcũng liên tục 3) Có số L cho Fu ( x, y, u)  L, x, y [a, b] , uℝ 4)Có số thực  cho trước cho (b  a)  L  5) Tập X = C[a,b] u  max u( x) a xb Khi đó, điều kiện sau thõa mãn: i) Bài toán ban đầu (3.6) có nghiệm uX ii) Dãy (un) tạo (3.6’) hội tụ đến u X, n=1,2, iii) n=0,1, ta có đánh giá sai số: un  u  k n (1 k )1 u u u 1  k (1 k) un1 n1 Chứng minh:  u với k  (b  a)  L n Định nghĩa toán tử: b axb ( Au)(x)    F (x, y, u( y))dy  f (x) a Khi phương trình tích phân (3.6) tương đương với toán điểm bất động u=Au Nếu u: [a,b]ℝ liên tục hàm số An: [a,b] ℝ liên tục Vậy ta có tốn tử A: X  X Theo định lý giá trị trung bình với x,y[a,b] u,v ℝ, w ℝ cho: F(x, y, u)  F (x, y, v)  Fn (x, y, u  v  L u  v w)  Au  Av  max ( Au)(x)  ( Av)(x)   (b  a)L max u(x)  v(x) axb  Au  Av  k u  v ,u, v X , k  (b  a)  L a xb Đặt M  X  C[a,b].Khi đó, định lý điểm bất động thỏa mãn.Vậy toán chứng minh Ví dụ 3.2: Phương trình tích phân tuyến tính Cho phương trình tích phân b axb u ( x)    k ( x, y)udy f ( x),  (3.7) a Giả sử hàm số K:[a,b][a,b]ℝ L  max k (x, y) a x, y b ,  f : [a,b] ℝ Khi (3.7) có nghiệm (b  a)L nhất.Thật ta giả thiết mệnh đề 3.2 thỏa mãn:  Hàm số f :[a,b] ℝ liên tục  Do K :[a,b][a,b] ℝ liên tục nên hàm F :[a,b][a,b] ℝℝ (x, y,u)  F (x, y,u)  k(x, y)u Và Fn :[a,b] [a,b]  ℝℝ (x, y,u)  F (x, y,u)  k(x, y) Cũng liên tục x, y[a,b], u  ℝ ▪ Ta có Fu ( x, y,  k ( x, y) u ▪ Do   (b  a)L ▪ Đặt X  C[a,b] liên tục,  max k ( x, y)  L ax,y b nên (b  a)  L 1 u  max u(x) a xb Vậy giả thiết mệnh đề (3.2) thỏa mãn.Do đó, kết với phương trình tích phân (3.7) hay (3.7) có nghiệm u X Bài tốn ban đầu (3.7) gọi phương trình tích phân tuyến tính 3.2.2 Bài tốn 4: Ta cần giải phương trình tích phân: b u(x)    F (x, y, u( y))dy axb a (3.8.1) -∞ < a < b < +∞  ℝ Gọi Q {(x, y,u)  ℝ3: x, y[a, b], u  r} với r > cho trước Mệnh đề 3.3 Giả sử 1) Hàm số F: Qℝ liên tục 2) Ta định nghĩa (b  a )M thực  cho thỏa mãn  max F ( x, y, u ) Có tỉ số ( x , y ,u ) Q  M  r Khi phương trình ban đầu (3.8) có nghiệm u  M Chứng minh Định nghĩa toán tử b ( Au)(x)    F (x, y,u( y))dy axb a Khi phương trình tích phân tương ứng với tốn điểm bất động Au = u, uM Toán tử A: M  M: compact Với u M ta có: Au   max axb b  a f (x, y,u( y))dy   M  r  A(M ) M (3.8.2) Theo định lý điểm bất động Schauder Phương trình (3.8.1)có nghiệm tức phương trình ban đầu có nghiệm uM Ví dụ 3.3; Cho X  C[a,b] với -∞ < a < b < +∞ u  max u( x) Khi a  xb có nghiệm b phương trình tích phân u( x)  (b  a) u ( y)dy, u  X  a * uX với  (b  a) 2 * X  u  X : u     Thật vậy, (b  a)  Đặt Q  (x, y,u( y))  : x, y [a,b],u  □     Hàm F : Qℝ (x, y,u( y))  F (x, y,u( y))  u( y) hàm liên tục u M   max F ( x, y, u) Đặt (b  ( x , y ,u )Q (b  a) a)M Mà   (b  a ) nên  M  b  a u ba u (b  a) 2 Hay  M  r  (b  a)  r    * Theo mệnh đề 3.3 phương trình ban đầu có nghiệm u X 3.3 Áp dụng vào đại số giải tích Cho hệ phương trình sau: a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  a21 x1  a22x 2  a 2xn n b    an1 x1  an x2   ann xn   bn  a11  a21  A    an1 (3.3) a1 a1n   a2n  n hay A  (a )  ij với detA ≠ 0.Khi hệ phương trình  ann  a22 an cho có dạng: Ax=b (3.3’)  x1   b1  x  b  2 x   , b            x  n  bn  Định nghĩa 3.3.1: Ma trận A gọi ma trận (đường) chéo trội điều kiện sau thỏa mãn: 1) i  1, n ,  aij ji 2) j  1, n ,  aij ij 3.3.1 Bài toán 1:  aii  a jj Giải hệ phương trình (3.3) phương pháp lặp đơn.Ta đưa phương trình (3.3’) dạng tương đương x = Bx + g (3.3”) * Đặt Tx = Bx + g (3.3’) x = Tx Nếu x điểm bất động * * * * T: Tx = x x nghiệm (3.3’) tức Ax = b Ví dụ 3.3.1: Giải hệ phương trình sau với bước lặp 10x1  2x2  x3  10  x  10x2  2x3  12 10x   x1  x (3.3.1) Giải: 10  A  10   ta cói  1,3,  aij  aii A ma trận chéo trộiDo 1 10 j i   x1  0.2x2  0.1x3   (3.3.1)   x2  0.1x2  0.2x3  1.2  x3  0.1x 1 0.1x 2 0.8 Khi ta xây dựng dãy lặp hội tụ sau: x1(n1)  0.2x (n)2  0.1x n 3  (n1) (n) ( n)  x2(n1)  0.1x(n)1  0.2x(n)3  1.2 (n  1,3 ) x  0.1x  0.1x  0.8 3 (0) Chọn x = (0,0,0) 0.68  0.754      ( 2)   (3)   (1)  x  1.2 , x  0.94 , x  1.016              0.8   0.58   0.638  3.3.2 Bài toán Giải hệ phương trình (3.3) phương pháp Jacobi (đường chéo trội) Định nghĩa 3.3.2: Cho ma trận  a11  a21 B a1 a2    an1 an a1n   a2n    ann  Khi đó: n B  max  a B  1 jn ij i1  max a11  a21   an1 , a1  a22   an2 , a1n n  max  a 1in ij j1  max a11  a12  n B   x i2   i1    a1n , a21  a22   a2n , an1  an2   a  nn Định lý 3.3.2: Cho phương trình dạng Ax  b x  Bx  g  a2n   a  nn (3.3’) ta đưa phương trình dạng (3.3”) Nếu B  ( B , B  , B ) phương trình (3.3”) có nghiệm x giới hạn dãy   với x  Bx  g , n  1, n n1 n x * Sai số: B * xx  n x xx * x  xx B n n (2) phương trình (3.3’) có n1 1 B 1B Nếu ma trận A phương trình (3.3’) thỏa mãn hai điều n kiện a i j ij  aii (1)  aij  a jj j i nghiệm theo nguyên lý ánh xạ co Ví dụ 3.3.2: Giải hệ phương trình sau phương pháp đường chéo trội 10x1  x2  x3    x1  10x2  3x3   3x  x  10x   Tìm nghiệm gần hệ phương trình bước thứ 5.Cho xấp (0 ) xỉ ban đầu ( x1 , x2 ( 0) , x3 ( 0) )  (0, 0, 0) Giải: 10  Hệ phương trình có ma trận A   3 a ij 1  10 Ta thấy  10   aij ,i, j  1,3 A ma trận chéo trội nên ta đưa hệ i j phương trình ban đầu dạng: x  Bx  g  x1  0.1x2  0.1x3  0.2  x2  0.1x1  0.3x3  0.4  x3  0.3x1  0.1x 2 0.5 0.1   B  0.1  0.3 0.1  B  max  b 1 j3 ij 0.1  0.2     0.3 , g  0.4     0.5       max 0.4,0.2,0.4  0.4  i1 Vậy hệ có nghiệm Với B  dãy lặp xn1  Bxn  g, n  0, x0 cho trước hội tụ Xấp xỉ ban đầu ( x1 (0 ) , x2 ( 0) , x3 ( 0) )  (0, 0, 0) x1(k 1)  0.1x (k2 )  0.1x ( k3)  0.2  (k 1) (k ) (k )  x2(k 1)  0.1x 1(k )  0.3x (k3 )  0.4 x  0.3x  0.1x  0.5 3  0.2   0.11  0.137   0.1287   0.13149    ( 2)   (3)   ( 4)   (5)   (1)  x  0.4 , x  0.23 , x  0.269 , x  0.2531 , x   0.25755     0.5   0.4   0.444  0.432 0.43608            Sai số: Gọi x* nghiệm hệ phương trình.Ta có: B x  x   B1 (5) * (5) x x (5) (4) x x *  3  2.79.10    3 0.4 4.45.10   0.002967   0.4  3    4.08.10  Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x *  x (5)  0.002967 1x *  x1 (5)  0.002967 2   x *  x (5)  0.002967 3  KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận: “Điểm bất động ứng dụng”.Nội dung khóa luận đề cập đến là: -Nêu lên khái niệm; định lý quan trọng không gian metric, không gian Bamach, khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều, hệ phương trình vi phân -Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder; chứng minh định lý ví dụ áp dụng -Nêu lên số ứng dụng định lý điểm bất động Tuy nhiên thời gian kiến thức có hạn nên khóa ln khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q báu thầy bạn sinh viên Hà Nội, ngày 28 tháng 04 năm 2013 Người thực Lê Thị Vân TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Thế Hồn, Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình vi phân, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học Kĩ thuật Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Đỗ Hồng Tân (2001), Các định lý điểm bất động, Nxb Đại học Sư phạm ... CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG 2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 19 2.2 Định lý điểm bất động Brouwer 22 2.3 Định lý điểm bất động Schauder 29 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG... nguyên lý điểm bất động phát triển theo hai hướng chính: Hướng thứ nghiên cứu điểm bất động ánh xạ liên tục, mở đầu nguyên lý điểm bất động Brouwer Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động ánh xạ... sử dụng chương chương Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder, chứng minh định lý, ví dụ áp dụng Chương 3:Áp dụng định lý điểm bất