Điểm bất động và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Lê Thị Vân Trường ĐHSP Hà Nội K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ************ Lấ TH VN IM BT NG V NG DNG KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Gii tớch HNi,2013 SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LI CM N Khúa lun ny c thc hin v hon thnh di s hng dn tn tỡnhcaTS.Nguyn Vn Hựng,ngithyóluụnquantõmngviờnv truyn cho tụi nhng kinh nghim quớ bỏu quỏ trỡnh hon thnh khúa lun.Tụixinbytlũngkớnhtrngvbitnsõusctithy. TụixinchõnthnhcmnBGHtrngHSPHNi2,khoaToỏnv tgiitớchcựngtoỏnthcỏcquýthycụótomiiukinthunlicho tụiktthỳcttpchngtrỡnhihcvhonthnhkhúalunttnghip. H Ni, ngy 28thỏng 04 nm 2013 Ngi thc hin Lờ Th Võn SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LI CAM OAN Tụixin cam oan tido chớnh tụi nghiờn cu v tỡm hiu di s hngdncaTS Nguyn Vn Hựng.tictụinghiờncuvhon thnh trờn c s k tha v phỏt huy nhng cụng trỡnh nghiờn cu cú liờn quan.Ktqutikhụngtrựnglpvitinokhỏc.Nusaitụixinhon tonchutrỏchnhim. Ngi thc hin Lờ Th Võn SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MC LC PHN 1: M U . 1.Lýdochnti 2.Mcớchnghiờncu 3.Nhimvnghiờncu .2 4.Cutrỳckhúalun PHN 2: NI DUNG CHNH . CHNG KIN THC CHUN B 1.1.Khụnggianmetric,khụnggianmetricy 1.2.Tụpụtrongkhụnggianmetric 1.3.nhxliờntc 1.4.Tphpcompactvbchn 1.5.Khụnggianvect .8 1.6.KhụnggiannhchunkhụnggianBanch .10 1.7.Tớnhli 12 1.8.Khụnggiannhchunhuhnchiu .15 1.9.Phngtrỡnhviphõnthng 16 CHNG IM BT NG 2.1.NguyờnlýỏnhxcoBanach 19 2.2.nhlýimbtngBrouwer .22 2.3.nhlýimbtngSchauder 29 CHNG NG DNG CA NH Lí IM BT NG . 3.1.pdngvophngtrỡnhviphõnthng 31 3.2.pdngvophngtrỡnhtớchphõn 37 3.3.pdngvoisgiitớch 42 KT LUN .47 TI LIU THAM KHO 48 SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHN 1: M U Lý chn ti Nhiu bi toỏn khỏc ca khoa hc k thut ó dn ti vic nghiờncuvnsau: ChoX lmtkhụnggianbtkỡnoú,AlỏnhxttpconM ca khụng gian X vo chớnh nú, xột phng trỡnh phi tuyn Ax = x, xMdi cỏc iu kin c th hóy khng nh s tn ti nghim ca phngtrỡnhú.imx MthamónphngtrỡnhAx = xcgil imbtngcaỏnhx AtrờntpM. Vicnghiờncuvntrờngúpphnclcchovicgiiquyt hnglotcỏcbitoỏntrongtoỏnhcnúiriờngvtrongkhoahckthut núichung.iunydntimthngnghiờncumitrongtoỏnhc vóhỡnhthnhnờnlýthuytimbtng. Lýthuytimbtnglmttrongnhnglnhvcquantrng ca gii tớch hm phi tuyn. Ngay u th k 20, cỏc nh toỏn hc ó quantõmnvnnyvchotinaycúthkhngnhlýthuytim bt ng ó phỏt trin ht sc sõu rng, tr thnh cụng c khụng th thiugiiquytnhngbitoỏnkhỏcnhaudothcttra. Sphỏttrincalnhvcnygnlinvitờntuicỏcnhtoỏn hclntrờnthgiinh:Banach,Brouwer,Schauder nhngktqu kinh in ca lý thuyt im bt ng ng thi cng l nhng cụng trỡnh u cho lnh vc ny ú l nguyờn lý ỏnh x co Banach, nguyờnlýimbtngBrouwercỏpdngnhnglnhvcca toỏnhchininh:phngtrỡnhviphõn,phngtrỡnhtớchphõn,lý thuytiukhin,lýthuyttiuhúa SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Trờn c s cỏc nguyờn lý c bn trờn im bt ng c phỏt trintheohaihngchớnh: Hngthnhtlnghiờncuimbtngcacỏcỏnhxliờn tc,mulnguyờnlýimbtngBrouwer. Hngthhailnghiờncuimbtngcacỏcỏnhxdng co,mulnguyờnlýỏnhxcoBanach. Vo nhng nm 60 ca th k 20 mt hng mi cú th xem l trunggiancahaihngtrờnúlvicnghiờncuimbtngca ỏnhxkhụnggióntrongkhụnggianBanach. Ttcktqucanhngnghiờncutrờnómanglinhngng dngrthiuquchongnhtoỏnhchini. Vỡcỏclýdoúmemólachnti:im bt ng v ng dng. Mc ớch nghiờn cu Bculmquenvicụngtỏcnghiờncukhoahcvthchin khúalunttnghip. Nghiờn cu mt s c bn v im bt ng v vic ỏp dngnúvongnhtoỏnhchini. Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu mt s nh lý im bt ng khụng gian Banach,khụnggiannhchunhuhnchiu. Nghiờncuvicỏpdngcỏcnhlýimbtngtrongvicgii bitpvphngtrỡnhviphõnthng,phngtrỡnhtớchphõnvis giitớch. Cu trỳc ca khúa lun Ngoi phn m u v phn kt lun, ni dung chớnh ca khúa lungm3chng. SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chng 1: Mtskinthcchunbquantrngssdngtrong chng2vchng3. Chng 2: Nờu nguyờn lý ỏnh x co Banach, nh lý im bt ngBrouwer,nhlýimbtngSchauder,chngminhnhlý,cỏc vớdỏpdng. Chng 3:p dng cỏc nh lý im bt ng vo vic gii phngtrỡnhviphõnthng,phngtrỡnhtớchphõnvisgiitớch. SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHN 2: NI DUNG CHNH Chng 1: Kin thc chun b 1.1 Khụng gian metric, khụng gian metric y nh ngha 1.1.1 Cho X , ta gi l mt metric X mt ỏnh x d t tớch DescartesXXvotpsthc thamón3tiờnsau: i)(x, y X ) d ( x, y ) 0, d ( x, y ) x y (tiờnngnht) ii)(x, y X ) d ( x, y) d ( y, x) (tiờnixng) iii)(x, y, z X ) d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z, y ) (tiờntam) Khụnggianmetriclcp(X,d)trongú: * X cgiltpnn *dlmetrictrongX *d(x,y)lkhongcỏchgiahaiphntx, y X *CỏcphntcaXgilcỏcim Vớd1.1.1: Cho X , x, y X x y d ( x, y ) x y ChngminhdlmetrictrongXv(X,d)cgilkhụnggian metric_khụnggianmetricrirc(d cũncgilmetricrirc) Tacúmicp ( x, y ) X X cúduynht d(x, y) Takimtraỏnhxthamóncỏctiờnmetric Tiờn 1: d ( x, y) x, y X , d ( x, y ) nu x y thỡ d ( x, y) (trỏigithit) x y, x, y X Tiờn2:Nu x y thỡ y x nờn d ( x, y) d ( y, x) 0, x, y X SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nu x y thỡ y x nờn d ( x, y ) d ( y, x) 1, x, y X Tiờn3: x, y, z X Nu x y thỡ d ( x, y) Tacú d ( x, z ) d ( z, y ) d ( x, y ) Nu x y thỡ x y z thỡ d ( x, y) d ( x, z ) d ( z, y) x y, x z thỡ d ( x, y) d ( x, z ) d ( z, y ) x y, y z thỡ d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z, y ) Vy d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z, y ) nh ngha 1.1.2 Chokhụnggianmetric(X,d). Dóy hi t: Dóy xn X gi l hi t n a X nu ( 0) (n0 N * ) :(n n0 ) thỡ d ( xn , a ) ,kớhiu: lim xn a hay xn a ( n ) n im a cũn c gi l gii hn ca dóy ( xn ) khụng gian metric(X,d) Dóy c bn :dóy xn X gi l dóy c bn ( dóy Cauchy ) ( 0) ( n0 N * ) :(m , n n0 ) thỡ d ( xn , xm ) ( 0) (n0 * ) : (n n0 ) ( p * ) thỡ d ( xn p , xn ) hay xnl dóy c bn lim d ( xm , xn ) hoc lim d ( xn p , xn ) 0, p 1, 2, m , n n Khụng gian :Khụnggianmetricmmidóycbnuhit cgilkhụnggianmetric. SVTH: Lê Thị Vân K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội x u ( x) u0 F ( y, u ( y )) dy; x0 h x x0 h, u M (3.4) x0 Cựngviphộplp: x un1 ( x) u0 F ( y, un ( y ))dy; x0 h x x0 h, n 1,2 (3.5) x0 Viu1(x)=u0 Mnh 3.1: Gis a) Hm s F: S liờn tc v cú cỏc o hm riờng Fn: S cngliờntc. F ( x, u ) v L max Fn ( x, u ) , v chn s thc h b) t M (max x ,u )S ( x ,u )S trongtrnghpnysaocho0 < h r, hM r, v hL < Khiúcỏciukinsaulỳng i)Bitoỏnbanu(3.3)cúnghimduynhtdng(3.3) ii)õylnghimduynhtcaphngtrỡnhtớchphõn(3.4) iii)Dóyuntobi(3.5)hitnu trongkhụnggianBanachX iv)Vin=0,1 tacúỏnhgiỏsais un u k n (1 n)1 u1 u0 un u k n (1 n) un un Chng minh Bc1:nhnghatoỏntqua x Au ( x ) u0 F ( y , u ( y ))dy; x0 h x x0 h x0 Khiúphngtrỡnh(3.4)tngngvibitoỏnimbtng Au=u,uM SVTH: Lê Thị Vân 34 (3.4) K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội ViuM,hmsu:[x0-h,x0+h]ti (x,u(x))S,x[x0-h,x0+h] SuyrahmsF:xF(x,u(x))cngliờntctrờn[x0-h,x0+h]vhm sAu:[x0-h,x0+h]liờntc VytacúmttoỏntA: M Xtachngminhc 1)A(M)M 2) Au Av k u v , u, v M , k [0,1] Thtvy 1)Viu Mbtkỡkhiú x F ( y, u( y))dy x x x0 max F ( y, u ) hM r ( y ,u )S x Vix[x0-h,x0+h]hay Au u0 x max h x x h 0 F ( y, u ( y))dy r x0 TúsuyraAu M 2)Theonhlýgiỏtrtrungbỡnh F ( x, u ) F ( x , v ) Fn ( x, w) u v L u v ( x, u ),( x , v ) S Khiú,u,v Mtacú: x Au Av max x0 h x x0 h [F ( y, u( y)) F ( y, v( y))]dy x0 hL max x0 h x x0 h u ( y ) v( y ) k u v Vik = hL < VycỏcgithitcanhlýimbtngBanachthamónỏp dngnhlýviphngtrỡnh(3.4) Bc2:Stngng.Giu lmtnghimcaphngtrỡnh(3.4) SVTH: Lê Thị Vân 35 K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lyohm(3.4)tacúhmsucnglmtnghimcabitoỏn giỏtrbanu(3.3)(3.3) Ngcli,giulmtnghimca(3.3)(3.3).Tớchphõn(3.3) cho thy hm s u cng l nghim ca phng trỡnh tớch phõn (3.4).Chngthaibitoỏn(3.4)v(3.3)(3.3)tngng. Vymnhcchngminh. Vớd3.1:Bitoỏnbanu u u ' F ( x, u ) x u (0) 1 x 2 1 CúnghimduynhttrờntpS = {( x, u ) : x , u } 2 Thtvytacúhms F: S (x,u) x u LhmliờntcvcúohmriờngFu = t M max F ( x , u ) = ( x ,u )S cngliờntc 1 , L max Fn ( x , u ) = ( x ,u )S 36 18 2 Theogithittacú: h , r Khiú h r , hM r , hL Doúcỏcmnhiukincamnh(3.1)uthamónnờn bitoỏntrờnluụncúnghimduynhttrờntpS Tatỡmnghimduynhtny.Phngtrỡnhbanucúdng: 1 u ' u x , phngtrỡnhctrngcanúl 1 ,nờntacú: 2 SVTH: Lê Thị Vân 36 K35G_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tỡmnghimriờngu*(x)didng: u* ( x) Ax Bx C Thayvophngtrỡnhbanutacú: 1 Ax B ( Ax Bx C ) x 9 ngnhthstathuc: A , B , C 16 16 Suyra u* ( x) x x 9 Vynghimcaphngtrỡnhl: x u C1e Dou(0) = 0nờn C1 2 16 x x 9 16 Ktlunnghimduynhtcabitoỏnl: 16 12 x 2 16 u e x x 9 9 3.2 p dng vo phng trỡnh tớch phõn 3.2.1 Bi toỏn 3: Tamungiiphngtrỡnhtớchphõn: b u ( x) F ( x, y, u ( y ))dy f ( x) a x b (3.6) a Bngphngphỏplp b un ( x) F ( x, y, un ( y ))dy f ( x) a x b, n 0,1, (3.6) a Vi-