Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động

Khóa luận tốt nghiệp LỜI NĨI ĐẦU Trong giải toán khác toán học, khoa học kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề: Cho X khơng gian T : A  X ánh xạ từ tập A  X vào Xét phương trình phi tuyến Tx  x, x  A , điều kiện cụ thể khẳng định tồn nghiệm phương trình Điểm x  A thỏa mãn phương trình Tx  x gọi điểm bất động ánh xạ T tập hợp A Việc giải toán dẫn đến đời hướng nghiên cứu toán học, dó lý thuyết điểm bất động Lý thuyết điểm bất động kiến thức quan trọng giải tích hàm phi tuyến khẳng định lý thuyết điểm bất động đẫ phát triển sâu rộng trở thành công cụ thiếu để giải toán thực tế đặt Sự phát triển lĩnh vực gắn liền với tên tuổi nhà khoa học như: Banach, Browder, Lifschitz, Goebel, Kirk,… Những kết kinh điển đồng thời kết lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Browder áp dụng vào ngành toán học đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, giải tích hàm, … Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp Với lý em chọn đề tài “ Một vài đặc trưng tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động ” Mục đích khóa luận trình bày số kết tổng quan Browder kirk tìm Nội dung khoa luận (gồm chương): Chương Một số kiến thức sở Chương Không gian Banach lồi Chương Một số định lý liên quan đến tính lồi lý thuyết điểm bất động Qua em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Phùng Đức Thắng tận tình hướng dẫn em hồn thành khoa luận em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bảo tận tình thầy tổ giải tích trường ĐHSP Hà Nội Xuân Hòa, ngày ….tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hà Đức Tâm Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương có mục đích xác định số ký hiệu, nhắc lại số lý thuyết giải tích hàm khơng gian tập hợp sử dụng chương sau 1.1 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH, KHÔNG GIAN TÔPÔ Định nghĩa 1.2.1 Giả sử K trường số thực phức trường số Tập hợp X   với hai ánh xạ ( phép cộng phép nhân vô hướng ) Phép cộng xác định X  X lấy giá trị X  x, y  x y Phép nhân vô hướng xác định K  X lấy giá trị X  , x   x,   K , x  X Gọi khơng gian tuyến tính ( không gian véc tơ) điều kiện sau thỏa mãn : X với phép cộng nhóm Abel, tức : a x  y  y  x với ,   K , x  X b  x  y   z  x   y  z  với x, y, z  X c Tồn phần tử   X cho x    x với x  X d Với phần tử x  X tồn phần tử  x  X cho x  ( x)   Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp   x  y    x   y với   K , x, y  X      x   x   x với    x    x  với 1.x  x với x X ,   K , x  X ,   K , x  X Định nghĩa 1.2.2 ( Định nghĩa không gian định chuẩn) Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X với ánh xạ từ X vào tập hợp số thực , thường ký hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn điều kiện sau : i) Với x  X ta có x  Và x 0 x0 ii) Với x  X , với   K ta có x y  x  y Số x gọi chuẩn phần tử x Kí hiệu khơng gian định chuẩn  X ,  Định nghĩa 1.2.3 ( Định nghĩa không gian Banach) Nếu không gian định chuẩn X không gian metric đầy đủ ( khoảng cách d  x, y   x  y ) X gọi khơng gian định chuẩn đầy đủ hay gọi không gian Banach Định nghĩa 1.2.4 ( Định nghĩa không gian Tôpô) Một họ tập   X tập hợp X gọi Tôpô X thỏa mãn điều kiện sau : Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp i)  , X  ii) Giao họ hữu hạn tùy ý tập hợp thuộc  tập hợp thuộc  iii) Hợp họ tùy ý tập hợp thuộc  tập hợp thuộc  Các tập thuộc  gọi tập mở phần bù tập mở X gọi tập đóng Tập X trang bị Tôpô  gọi không gian Tôpô ký hiệu  X ,  đơn giản X 1.2 KHÔNG GIAN HILBERT, KHÔNG GIAN PHẢN XẠ Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi tích vơ hướng khơng gian tuyến tính trường K ( K  R ) ánh xạ f từ tích đề X  X vào trường K , thường viết dạng f  x, y   x, y thỏa mãn điều kiện : i) x, y  y, x , x, y  X ; ii) x  y, z  x,z  y,z x, y, z  X ; iii)  x, y   x, y ,   K , x, y  X iv) x, x  0, x  X x, x   x  Các phần tử x, y, z gọi nhân tử tích vơ hướng Định nghĩa 1.3.2 (Định nghĩa không gian Hilbert) Ta gọi tập hợp H khác rỗng gồm phần tử x, y, z không gian Hilbert : i) H khơng gian tuyến tính trường K ; Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp ii) H trang bị tích vơ hướng x, y với x, y  H ; iii) H đủ với chuẩn x  x, x với x  H Định nghĩa 1.3.3 (Định nghĩa không gian phản xạ) Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi khơng gian phản xạ phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào không gian liên hợp thư hai X ** tồn ánh Như khơng gian tuyến tính định chuẩn X khơng gian phản xạ với phần tử x x**  X ** tồn phần tử x  X cho x**  x*   x*  x  , x*  X * 1.3 TẬP HỢP LỒI Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X khơng gian tuyến tính, tập số thực tập A  X gọi lồi x1, x2  A,   :      x1  (1   ) x2  A Mệnh đề 1.4.1 Giả sử A  X   I  tập lồi, với I tập số Khi A  I A Chứng minh Lấy x1, x2  A Khi x1, x2  A   I   I A lồi nên  x1  (1   ) x2  A ,    0,1   x1  (1   ) x2  A Vậy A tập lồi Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp Mệnh đề 1.4.2 Giả sử tập Ai  X lồi, i  ,  i  1,2, , m Khi 1 A1  2 A2   m Am tập lồi Mệnh đề 1.4.3 Giả sử X ,Y không gian tuyến tính, T : X  Y tốn tử tuyến tính Khi a A  X lồi  T  A lồi b B Y lồi  nghịch ảnh T 1  B  ảnh B tập lồi Định nghĩa 1.4.2 Véc tơ x  X gọi tổ hợp lồi véc tơ m x1, x2 , , xm  X Nếu tồn i  0,  i  1,2, , m  ,  i  cho i 1 m x   i xi i 1 Định nghĩa 1.4.3 Giả sử A  X , giao tất tổ hợp lồi chứa A gọi bao lồi tập hợp A ký hiệu coA Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp Chương KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU 1.1 KHƠNG GIAN LỒI ĐỀU Trong giáo trình giải tích hàm, ta biết không gian Hilbelt trường hợp riêng khơng gian Banach với hai tính chất quan trọng : Mọi không gian Hilbert phản xa Mọi tập hợp lồi đóng khơng gian Hilbert chứa điểm gần đối vối điểm cho trước khơng gian Trong số khơng gian Banach, có lớp đặc biệt chứa khơng gian Hilbert mà giữ tính chất khơng gian Banach lồi Clarkson đề xuất năm 1936 Đến năm 1965 Browder Gohde độc lập chứng minh số định lý quan trọng tồn điểm bất động cho ánh xạ không giãn lớp khơng gian Đó lý chúng tơi dung mục đích để giới thiệu khái niệm không gian lồi cần sử dụng chương sau Định nghĩa 2.1.1 Không gian Banach  X ,  gọi lồi   0,     cho x, y  X , x  1, y  1, x y      x  y   ta có (1) Nói cách khác, với hai điểm khác x, y thuộc hình cầu đơn vị, x y phải có khoảng cách dương đến biên hình cầu đó, mà Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp khoảng cách phụ thuộc vào x, y khơng phụ thuộc vào vị trí chúng (tính đều) Khái niện Clackson đề xuất năm 1936 Ví dụ 2.1.1 Không gian với chuẩn x  x12  x22 không gian Banach lồi Không gian với chuẩn x  x1  x2 x2  max  x1 , x2  không gian lồi Tổng quát l p Lp  a, b,  p   lồi p  p   lồi khồn Dễ kiểm tra không gian C  a, b không lồi Để tiện kiểm trình bày ta kiểm với khơng gian C 0,1 Thật vậy, Ta xét hai hàm sau C 0,1 x  t   1, t 0,1   1  1, t  0,     Và y  t    2t  2, t   ,1    Rõ rang x, y  C 0,1 ta có x  1, y  1, x  y  1, x y 1 Suy   tồn     cho x, y  0,1 mà Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp x  1, y  1, x  y    x y      Do C  0,1 khơng Ví dụ 2.1.2 Mọi không gian Hilbert lồi Thật Giả sử x  1, y  1, x  y   từ đẳng thức hình bình hành ta suy  x y 2 x  y 2  x y  2 22 x  y 1  x y   1  1 1 1     Vì vậy, với   ta đặt        Do mọ khơng gian Hilbert lồi Không gian Banach  X ,  gọi lồi chặt ( Strictly convex) tròn (rotund) x  y mà x  1, y  ta ln có x y 1 Nói cách khác, x, y thuộc vào hình cầu đơn vị đóng mà x  y điểm x y phải điểm hình cầu Dễ thấy định nghĩa 2.1.1 2.1.2 ta thay bất đẳng thức x  1, y  đẳng thưc kép x  y  Hà Đức Tâm – K35B Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp   M   sup  :   1 cho x, y  M , r  p  x, y   r , z  M cho B  x,  r   B  y, r   B  z, r  Trong  x, r  kí hiệu hình cầu đóng tâm x bán kính r Thế tức khắc ta có   M   không gian metric  M , p  Lifschitz chứng minh  M , p  không gian metric đầy đủ bị chặn ánh xạ T : M  M ánh xạ k - Lipschitz đồng với k   o  M  , T có điểm bất động M Để so sánh kết với kết Goebel-Kirk-Thele không gian Banach, người ta định nghĩa  o  X  infimum   C  , C chạy tất tập lồi, đóng, bị chặn, không rỗng của không gian Banach X Khi định lý Lifschitz suy Định lý 3.1.3 (Lifschitz) Giả sử X không gian Banach với  o  X   Nếu K tập lồi đóng khơng rỗng X T : K  K ánh xạ k - Lipschitz đồng với k   o  X  , T có điểm bất động K Lifschitz chứng minh  o  H   , H để không gian Hilbert; Goebel; Kirk Thele   nghiệm phương trình Hà Đức Tâm – K35B Tốn 34 Khóa luận tốt nghiệp     1   H         Như vậy, không gian Banach, cách tiếp cận Lifschitz mang lại kết rõ nét độ lớn số Lipschitz lấy mà bảo đảm ánh xạ có điểm bất động nên lưu ý J.Baillion tìm ví dụ ánh xạ  - Lipschitz đồng xác định tập lồi đóng bị chặn khơng gian l có điểm – tự bất động Kết cách tiếp cận Lifschitz ln cho ước lượng kích thước k ước lượng tìm cách sử dụng tiếp cận Goebel-Kirk-Thele 3.2 CÁC ĐỊNH LÝ KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH LỒI Định lý 3.2.1 Cho X không gian Banach giả sử   thỏa mãn    phương trình  1   X     Khi    o  X      Để thuận tiện cho việc chứng minh định lý 3.2.1, phát biểu bổ đề sau Bổ đề 3.2.2 (Lifschitz) Giả sử X khơng gian tuyến tính định chuẩn Khi Hà Đức Tâm – K35B Tốn 35 Khóa luận tốt nghiệp  o  X   sup{ >0: >1 cho y  X , y  1, t   0,1 cho B  0,    B  y,   B  ty,1} Chứng minh định lý 3.2.1 Lấy y  X với y  giả sử x  B  0,    B  y,   Khi x   1, x y   x   x y    Vì theo định nghĩa  X 1 x x y  1 X       Do x    y   1   X        y  Nghĩa x  B  ,1 Theo bổ đề 3.2.2 ta có  o  X    2  Định lý chứng minh Mặc dù mặt định tính, kết Lifschitz cho ước lượng kích thước k rõ rang kết Goebel-Kirk-Thele, định lý cho thấy không gian Banach định tương tương mặt định tính Hà Đức Tâm – K35B Tốn 36 Khóa luận tốt nghiệp Định lý 3.2.3 Giả sử X khơng gian Banach Khi  o  X    o  X   Chứng minh Nếu  o  X   , suy  thỏa mãn     1   X         Là lớn Do đó, theo định lý 3.2.1  o  X     Bây giả sử  o  X   lấy     Khi tồn phần tử x, y  X có chuẩn cho x y   x y   Do    ,  ,2  Xét B  0,    B   x  y  ,  Vì  x    x    x  y    y     , nên  x  B  0,    B   x  y  ,  Tương tự  x  B  0,    B   x  y  ,  Nhưng  x    y    x  y  , khơng tồn z  X cho Hà Đức Tâm – K35B Tốn 37 Khóa luận tốt nghiệp B  0,    B   x  y  ,   B  z,1 Vì   x  y  thuộc BX đồng thời     tùy ý nên   4BX   1;  o  X   Điều hoàn thành định lý 3.2.3 Các điều kiện định lý 3.2.3 ổn định theo nghĩa Nhắc lại rằng, khơng gian Banach đẳng cấu X Y , hệ số khoảng cách Banach – Mazur từ X vào Y , ký hiệu d  X ,Y  , xác định d  X ,Y   inf{ U U 1 : U : X  Y toán tử khả nghịch} Định lý 3.2.4 Giả sử X không gian Banach với  o  X   giả sử   nghiệm phương trình     1   X         Khi Y khơng gian Banach đẳng cấu với X d  X ,Y     o Y   Chứng minh Khơng tính tổng qt giả sử U đẳng cấu từ X lên Y cho U 1  d  X ,Y   U   Hà Đức Tâm – K35B Toán 38 Khóa luận tốt nghiệp Chọn phần tử y1, y2 Y có chuẩn cho y1  y2  U  từ định nghĩa x1  U 1  y1  x2  U 1  y2  Lập tức ta có x1  1, x2  1, x1  x2   Khi theeo định nghĩa  X 1 x1  x2 1X     y1  y2 x x  U 2    1  U 1   X        X          Từ ta suy   U       U 1   X            Y  Vì  o Y   U  1 Định lý chứng minh Hà Đức Tâm – K35B Tốn 39 Khóa luận tốt nghiệp Định lý 3.2.4 cho phép mở rộng vài cơng trình Bynum Ơng X trịn đều, tồn   cho Y không gian Banach với d  X , Y    , tập lồi, đóng, bị chặn Y có điểm bất động ánh xạ khơng giãn Sau hệ tức khắc định lý 3.1.2 định lý 3.2.4 Hệ 3.2.5 Cho X không gian Banach với  o  X   Khi tồn số   1,   cho Y không gian Banach với d  X ,Y    , cặp lồi, đóng, bị chặn Y có điểm bất động ánh xạ k  Lipschitz với k   Cuối điều kiện ổn định theo nghĩa thứ hai Định lý 3.2.6 Nếu X không gian Banach với  o  X   ,  độ đo  p   ,  o  Lp   , X    Định lý 3.2.6 suy tức khắc từ định lý 3.2.7 Có thể tìm thấy tham luaanjveef khơng gian hàm Lebesgue – Bochener [4] [8] Nếu  độ đo đếm tập hợp đó, Lp   , X  khơng gian dãy l p  X  Định lý sau sễ biểu diễn đặc trưng lồi không gian Banach X đặc trưng lồi không gian hàm Lebesgue – Bochener tương ứng cách chứng minh Day [6] Lp   , X   p   Định lý 3.2.7 Cho X không gian Banach,  độ đo Khi Hà Đức Tâm – K35B Tốn 40 Khóa luận tốt nghiệp    o  Lp   , X    max  o  l p  ,  o  X  Chứng minh Vì X Lp    đẳng cấu với không gian Lp   , X  , nên rõ rang      o  Lp   , X    max  o  Lp     ,  o  X   max  o  l p  ,  o  X  Khi ta có p  1, p    o  X   tức khắc ta nhận đẳng thức phải chứng minh với  o  Lp   , X    Vì để hoàn thành chứng minh, ta giả sử  p    o  X   Vì  o  l p   với  p   nên ta cần chứng minh  o  Lp   , X     o  X  đủ Hơn ta giả thiết thêm  độ đo liên tục tập hợp số tự nhiên Mặc dù giả thiết hạn chế, định lý kiểm nghiệm độ đo đếm được, định lý dễ dàng suy độ đo  tùy ý cách xác định phép nhúng hàm đơn giản thuộc Lp   , X  vào không gian Lp  X  theo cách Day [6,p.507] Vì cần chứng minh  o  Lp   , X     o  X  với  p    o  X   Giả sử b   xi  b'   xi'  phần tử Lp  X  giả sử    Trước tiên ta xét trương hợp Hà Đức Tâm – K35B Toán b  b'  1, b  b'   o  X    41 Khóa luận tốt nghiệp xi  xi' , i  Để thuận tiện, ta đặt xi  i xi  xi'   i Khi  b  b    xi  xi'  i ' p    i      c        i   X       i        p p p      Lưu ý  i  2i , i  Đặt    o  X       E  i  : i   i      Và F  \ E Khi 1 p   p  p  p I    i p     i p    i   o  X      iF   i   iF  Nên  o  X      p    i    iF  p Hay p   p  p   p p p    i      i    i    o  X     1       iF  iF   i      Hà Đức Tâm – K35B Tốn 42 Khóa luận tốt nghiệp Do p 1 p p 1     p  p p     i      i   1     iE         iE  Vì p  p     X        o ' p p b  b   1   X     i   i     iF        iE p  p     X        o p p   1   X                   1    p p   o  X        p      1  1  1   X                           o  X           1  1  1   X                Vì      o  X      p   p p                            p   o  X  , nên ta cho vế phải    o  o  X     ,  o  o  X      với   Vậy trường hợp chứng minh Hà Đức Tâm – K35B Toán 43 Khóa luận tốt nghiệp Bây giả sử b  b'  giả sử b  b'  1   p     p modul lồi l p        ,  o   o  X       4 2  Khi  1   p       xi  x  i ' p i p   '     xi  xi   i   p p   2  Vì xi xi' phần tử có chuẩn l p nên  '   xi  xi  i   p p     Đặt b''   xi''   xi' xi , xi'   ' '' x   xi  xi   xi , Lưu ý xi  xi'' , i  b  b  ' Và  b  b  ' p p    Vì Hà Đức Tâm – K35B Tốn 44 Khóa luận tốt nghiệp b  b'  b  b''  1   p             (vì  p    )   1   p      1    2   2      1     1   o   o  X        Nên từ trường hợp trước ta suy b  b''   o  X    Cuối b  b'  b  b''  b''  b'   o  X       o  X   Do b  b'  b  b'   o  X    b  b'    p   Từ ta suy l p X     X          o p Vì  o l p  X    o  X    Hà Đức Tâm – K35B Tốn 45 Khóa luận tốt nghiệp Vì   tùy ý nên  o  l p  X     o  X  định lý chứng minh hoàn toàn Kết hợp định lý 3.1.2 định lý 3.2.6 cho ta hệ điểm bất động sau Hệ 3.2.8 Cho X không gian Banach với  o  X   ,  độ đo  p   Khi tồn số  cho tập lồi, đóng, bị chặn khoonh gian hàm Lebesgue – Bochner Lp   , X  có tính chất điểm bất động ánh xạ k  Lipschitz với k   X không gian tròn  o  X   nên kết sau Day suy tức khắc từ định lý 3.2.7 Hệ 3.2.9 (Day [6]) Cho  , ,   khơng gian đo Thế khơng gian hàm Lebesgue – Bochner Lp   , X  tròn  p   X tròn Theo cách tương tự, kết hợp với định lý 3.2.7 với đặc trưng không gian vuông theo thuật ngữ tính lồi nêu định lý 3.1.1, ta chứng minh hệ sau Hệ 3.2.10 (Smith – Turett) Cho  , ,   khơng gian đo Thế khơng gian hàm Lebesgue – Bochner Lp   , X  không vuông  p   X không vuông Hà Đức Tâm – K35B Tốn 46 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Như nói phần mở đầu, mục đích khóa luận giới thiệu hướng quan trọng giải tích hàm phi tuyến Đó lý thuyết điểm bất động, kết khóa luận dựa cấu trúc hình học đặc trưng không gian Banach liên quan đến điểm bất động chương khoa luận nhắc lại số khái niệm tính chất không gian tập hợp liên quan đến chương sau Nội dung chương không gian Banach lồi đều, không gian Banach nghiên cứu ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz kết chương định lý liên quan đến tính lồi lý thuyết điểm bất động Goebel Kirk đề xuất Trước kết thúc khoa luận em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy giáo Khoa Tốn, đặc biệt thầy giáo, Th.S Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hồn thành khóa luận Do khn khổ khóa luận có hạn lực thân cịn nhiều hạn chế nên khoa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến trao đổi đóng góp quan tâm đến vấn đề Hà Đức Tâm – K35B Toán 47 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm [2] Nguyễn Văn Khuê Giải tích hàm [3] S.Bochner, A E Taylor Linear functionnals on certain spaces of abstractlyovalued funtions, Ann Ofm Math., (2) 39 (1938), 913-944 [4] W L Bynum Normal structure coeficients for Banach spaces, Pacific J.Math , 86 (1980), 427 – 436 [5] M M Day Some more unifoemly convex spaces Bull Amer Math Soc 47(1941), 504-507 [6] M M Day Normed Linear spaces, 3rd Ed Ergebnisse Mathe – matik und ihrer Grenzgebiete, Band 2, Springer – Verlag, New York, 1973 [7] K Goebel, W A Kirk A fixd point theorem for transforma – tions whose iterates have uniform Lipschitz constant, Studia Math, 67 (1973), 135-140 [8] K Goebel, W A Kirk, R L Thele Uniformly Lipschitzian families of trasformations in Banach spaces, Canad J Math, 31 (1974), 1245-1256 Hà Đức Tâm – K35B Toán 48 ... Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH LỒI CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG Các định lý điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đồng có hạn chế không gian Banach  o  X   Điều kiện thảo luận; đặc biệt... lý em chọn đề tài “ Một vài đặc trưng tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động ” Mục đích khóa luận trình bày số kết tổng quan Browder kirk tìm Nội dung khoa luận (gồm chương): Chương Một. .. số kiến thức sở Chương Không gian Banach lồi Chương Một số định lý liên quan đến tính lồi lý thuyết điểm bất động Qua em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Phùng Đức Thắng tận tình hướng