Một số tính chất liên quan đến phổ của một số phần tử trong đại số banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ******** ĐỖ THỊ LIÊN MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN PHỔ CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

********

ĐỖ THỊ LIÊN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN PHỔ CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS TẠ NGỌC TRÍ

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Tạ Ngọc Trí đã tận

tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong tổ giải tích, ban lãnh đạo và các thầy cô giáo khoa toán trường ĐHSP

Hà Nội 2 đã chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

ĐỖ THỊ LIÊN

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là những nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn tận tình

nghiêm khắc của thầy TS Tạ Ngọc Trí bên cạnh đó tôi được sự quan tâm,

tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2

Vì vậy tôi xin cam đoan nội dung đề tài "Một số tính chất liên quan đến

phổ của một phần tử trong đại số Banach" không có sự trùng lặp với các

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 7

1.2 Không gian định chuẩn Không gian Banach 8

1.3 Định lý Hahn - Banach 10

1.4 Định lý Liouville 12

1.5 Định lý Banach - Steinhauss 13

1.6 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach 14 1.6.1 Định nghĩa phổ của toán tử 14

1.6.2 Một số định lý 15

Chương 2 Đại số Banach Phổ của đại số Banach 20

2.1 Đại số Banach 20

2.1.1 Định nghĩa Đại số 20

2.1.2 Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số) 21

2.2 Nhóm tuyến tính tổng quát của A 22

2.3 Phổ của một phần tử trong đại số Banach 24

2.4 Bán kính phổ 27

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầuthế kỉ XX, nhưng hiện nay hầu như đã được xem là ngành toán học cổ điển.Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từviệc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số Trong quátrình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích lũy được một nội dunghết sức phong phú, bao gồm:

- Lý thuyết các không gian trừu tượng (không gian metric, không gianđịnh chuẩn, không gian tôpô và không gian vectơ tôpô);

- Lý thuyết về toán tử tuyến tính;

- Lý thuyết về các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúngphương trình toán tử;

- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên;

Những phương pháp, kết quả rất mẫu mực và tổng quát của Giải tíchhàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học, có liên quan và có sử dụngđến những công cụ giải tích và không gian vectơ Ngoài ra nó còn có ứngdụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kĩ thuật Sự xâm nhập

ấy một mặt đã mở ra những chân trời nghiên cứu rộng lớn cho các ngànhtoán học nói trên, mặt khác nó đề ra cho ngành giải tích hàm phải đúc kếtnhững kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào

đó đề xuất ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này

và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài

"Một số tính chất liên quan đến phổ của một phần tử trong đại số Banach"

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khóa luận tập trung nghiên cứu phổ của một phần tử trong đại số Banachbán kính phổ một số tính chất liên quan đến phổ của phần tử đó

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác và làm nổi bật một sốtính chất liên quan đến phổ của một phần tử trong đại số Banach

5 Các phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp suy luận logic

- Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá

6 Cấu trúc của khóa luận

Bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương :

• Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị

• Chương 2 : Đại số Banach, phổ của đại số Banach

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm khóa luận này em không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Emmong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.1.1 Cho các không gian tuyến tính X và Y trên trường P(P =

R hoặc P = C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:

1)(∀x0, x00 ∈ X)A(x0+ x00) = Ax0+ Ax00;

2)(∀x ∈ X )(∀α ∈ P)A(αx) = α(Ax).

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A thỏamãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi A thỏa mãn điều kiện2) thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = P thì toán tử tuyến tính thườnggọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.2 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến

tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu

(∃C ≥ 0)(∀x ∈ X )||Ax|| ≤ C.||x|| (1.1.1)

Định nghĩa 1.1.3 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định

hệ thức (1.1.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là ||A||.

Từ định nghĩa dễ dàng nhận thấy, chuẩn của toán tử A có các tính chất:1)(∀x ∈ X )||Ax|| ≤ ||A||.||x||;

2)(∀ε > 0)(∃xε ∈ X)(||A|| − ε)||xε|| < ||Axε||

Định lý 1.1.1 Cho toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không

gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương:

1)A liên tục;

2)A liên tục tại điểm nào đó x0 ∈ X;

3)A bị chặn.

Định lý 1.1.2 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào

không gian định chuẩn Y Nếu toán tử A bị chặn thì

Định lý 1.1.3 Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên

không gian định chuẩn Y , có toán tử ngược liên tục A−1 khi và chỉ khi

(∃α > 0)(∀x ∈ X )||Ax|| ≥ α||x||

Khi đó ||A−1|| ≤ 1

α.

1.2 Không gian định chuẩn Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa không gian định chuẩn)

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)

là không gian tuyến tính X trên trường P(P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là || · || và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1)(∀x ∈ X )||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ ); 2)(∀x ∈ X ), (∀α ∈ P), ||αx|| = |α| ||x||;

3)(∀x, y ∈ X ), ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Số ||x|| gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn

là X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.

Định lý 1.2.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ bất kỳ

x, y ∈ X ta đặt

Khi đó d là một metric trên X

Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệtiên đề tuyến tính.

Nhờ định lý (1.2.1), mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thànhkhông gian metric với metric (1.2.2)

Định nghĩa 1.2.2 Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội

tụ tới điểm x ∈ X , nếu

Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Nhờ nguyên lý làm đầy không gian metric và metric (1.2.2) mọi khônggian định chuẩn không là không gian Banach đều có thể làm đầy thànhkhông gian Banach

Người đầu tiên xây dựng lý thuyết không gian định chuẩn là Banach(nhà toán học Ba Lan) đã chú trọng nhiều nhất các không gian đủ (đầy), nênngười ta thường gọi các không gian định chuẩn đủ là không gian Banach.Một không gian định chuẩn X không đủ bao giờ cũng có thể bổ sung (thêmnhững phần tử mới) thành một không gian Banach

1.3 Định lý Hahn - Banach

Định lý 1.3.1 (định lý Hahn - Banach thực)

Giả sử F là không gian vectơ con của không gian vectơ thực E và p là

Giả sử F là không gian con vectơ của không gian vectơ phức E và p là

bf(x)

≤ p(x), ∀x ∈ E

Bổ đề 1.3.1 Giả sử E là không gian vectơ phức và f : E −→ R Khi đó f

là tuyến tính (phức) nếu và chỉ nếu f viết dưới dạng

Cho x ∈ E với bf(x) 6= 0 viết bf(x) =

bf(x) eiθ ở đây θ là argument của bf(x)Suy ra

= bf1(e−iθx) ≤ p(e−iθx) = p(x)

Hệ quả 1.3.1 Giả sử F là không gian con của không gian định chuẩn (thực

hoặc phức) và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục b f trên E sao cho

Hệ quả 1.3.2 Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn

E và ν ∈ E\F, khi đó tồn tại f ∈ E0 để

f|F = 0, || f || = 1 và f (ν) = in f {||ν − y|| : y ∈ F}

Hệ quả 1.3.3 Giả sử E là không gian định chuẩn và x ∈ E, x 6= 0 khi đó tồn

tại f ∈ E0 để f (x) = ||x|| và || f || = 1.

Định nghĩa 1.4.1 (hàm giải tích giá trị Banach)

trong không gian Banach E Ta nói

(i) f giải tích tại λ0 ∈ D nếu

(ii) f là giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi λ ∈ D

Khi K = C từ giải tích được thay bởi chỉnh hình.

Vì |(u ◦ f )(z)| = |u( f (z))| ≤ ||u||.|| f (z)||, ∀z ∈ C

Nên sup {|( f (z))| : z ∈ C} ≤ ||u||sup {|| f (z)|| : z ∈ C} < +∞

Do đó u ◦ f bị chặn trên C Theo định lý Liouville đối với hàm chỉnhhình vô hướng u ◦ f là hàm hằng, tuy nhiên u( f (z1)) 6= u( f (z2))

Vậy f là hằng

Định lý 1.5.1 Giả sử E là không gian Banach và F là không gian định

chuẩn Khi đó mọi họ trong L(E, F) bị chặn điểm là bị chặn đều.

Hệ quả 1.5.1 Nếu { fn}n≥1 là dãy các ánh xạ tuyến tính từ không gian

1.6 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong

không gian Banach

1.6.1 Định nghĩa phổ của toán tử

Cho X là không gian định chuẩn trên trường P (P là trường số thực Rhoặc trường số phức C), A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian

λ0 gọi là giá trị riêng của toán tử A, x0 gọi là vectơ riêng của toán tử A ứngvới giá trị riêng λ0

Trường hợp này hiển nhiên không tồn tại toán tử ngược Rλ = (A − λ I)−1của toán tử Aλ = A − λ I, do đó phương trình (1.6.3) vô nghiệm với mọi

y6= θ Sự tồn tại nghiệm của phương trình (1.6.3) phụ thuộc vào sự tồn tạitoán tử Rλ Toán tử Rλ gọi là toán tử giải hay giải thức của toán tử A

Định nghĩa 1.6.1 Giá trị chính quy λ ∈ P (hay điểm chính quy) của toán tử

A, nếu tồn tại toán tử Rλ xác định và bị chặn trên toàn không gian X Số λ gọi là giá trị phổ (điểm phổ) của toán tử A, nếu số λ không là giá trị chính quy của toán tử A.

Định nghĩa 1.6.2 Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ

của toán tử A Ta thấy phổ của toán tử A chứa tất cả các giá trị riêng của toán tử A Tập tất cả các giá trị riêng của toán tử A gọi là phổ điểm của toán

tử A, tập tất cả các giá trị còn lại của phổ của toán tử A gọi là phổ liên tục.

Ví dụ 1.1 Cho toán tử A tác dụng trong không gian Euleides n chiều Rn

1.6.2 Một số định lý

Định lý 1.6.1 Cho hai toán tử tuyến tính bị chặn A, B tác dụng trong không

||B|| < 1

||A−1||

Khi đó toán tử A + B có toán tử ngược bị chặn

Theo giả thiết ||B|| < 1

||A−1|| nên ||A

Theo nguyên lý ánh xạ mở trong không gian Banach ta cũng có

(A + B)−1 bị chặn

Định lý được chứng minh trong [1] trang [165]

Hệ quả 1.6.1 Nếu số λ0 ∈ P là giá trị chính quy của toán tử A thì ∀λ ∈ P

||(A − λ0I)−1|| đều là giá trị chính quy của

λ là giá trị chính quy của toán tử A

Như vậy hệ quả (1.6.1) chứng tỏ tập tất cả các giá trị chính quy của toán

tử tuyến tính bị chặn A tác dụng trong không gian Banach X là một tập mở,

Anên λ ∈ S(A) suy ra U ⊂ S(A)

Như vậy (∀λ0 ∈ S(A)) (∃ lân cận U của λ0) U ⊂ S(A) nên S(A) là tậpmở

Hay tập tất cả các giá trị chính quy của toán tử tuyến tính A là tập mở,

do đó phổ của toán tử A là tập đóng

Định lý 1.6.2 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Banach

X vào chính nó và số λ ∈ P thỏa mãn điều kiện |λ | > ||A|| Khi đó số λ là

do đó tồn tại toán tử ngược Rλ = (A − λ I)−1 xác định và bị chặn trên toànkhông gian X , nghĩa là số λ là giá trị chính quy của toán tử A Vì |1

hội tụ trong không gian I(X , X )

Với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, ta có

Định lý 1.6.3 Nếu A là toán tử compact tác dụng trong không gian Banach

X thì với mọi số ∀α > 0 toán tử A chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α.

độc lập tuyến tính (xn) tương ứng với dãy các giá trị riêng (λn) mà |λn| ≥ αvới mọi n = 1, 2,

Ta kí hiệu Xn là không gian con đóng sinh bởi các vectơ độc lập tuyếntính x1, x2, , xn(n ∈ N∗)

Theo định lý về các không gian con đóng của một không gian địnhchuẩn, với mỗi số tự nhiên n = 1, 2, 3, , tồn tại phần tử yn ∈ Xn, ||yn|| = 1sao cho

Trong đó yq+ zq−zp∈ Xp−1 Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compactcủa toán tử A Vì vậy, chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tươngứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α.

Định lý được chứng minh trong [1] trang [167]

(2) x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ A

Một đại số phức A có thể có nhiều phép nhân khác nhau, chẳng hạn ta

có x.y = 0 với mọi x, y

Nếu trong A có phần tử a thỏa mãn a.x = x.a, ∀x ∈ A thì A được gọi là

phần tử đơn vị và thường được kí hiệu là 1.

Phép nhân trong A được gọi là giao hoán nếu x.y = y.x, ∀x, y ∈ A

2.1.2 Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số)

Định nghĩa 2.1.1 Đại số chuẩn là một cặp (A, || · ||) xác định trên A, trong

đó || · || : A → [0, ∞) là một ánh xạ thỏa mãn

||xy|| ≤ ||x||.||y||, x, y ∈ A

Một đại số Banach là một đại số chuẩn (A, || · ||) sao cho A cùng với || · ||

là một không gian Banach.

Chú ý 2.1.1 Một không gian tuyến tính định chuẩn E là một không gian

Banach nếu tất cả các dãy cơ bản trong chúng hội tụ.

Một cách chính xác hơn E là đầy đủ nếu và chỉ nếu tất cả các dãy con

Ví dụ 2.1 Cho E là không gian Banach bất kì và A là đại số B(E) tất cả

các hàm bị chặn trên E, x · y là phép nhân hai toán tử của hàm đó, đây là

một đại số Banach với đơn vị là ||1|| = 1, do E là không gian Banach.

Ví dụ 2.2 Cho X là không gian Hausdorff Compact, C(X ) là đại số các

hàm phức liên tục trên X với phép cộng(+) và phép nhân(.) xác định bởi :

f · g(x) = f (x) · g(x)( f + g)(x) = f (x) + g(x)

Với chuẩn trên C(X ) xác định bởi

Ta có đại số Banach C[−1,1] là không gian các hàm liên tục trên [− 1, 1].

Định lý 2.1.1 Với mọi nhóm Compact địa phương G tồn tại một độ đo

Với mọi tập Borel E ta thiết lập và mọi x ∈ G Nếu ν là một độ đo khác thì tồn tại c > 0 sao cho ν(E) = c · µ(E) với mọi tập Borel E.

Nhận xét: Ta thấy tính chất cơ bản của đại số L1(G) với chuẩn

(3)L1(G) là giao hoán nếu và chỉ nếu G là một nhóm giao hoán

(4)L1(G) có đơn vị nếu và chỉ nếu G là một nhóm riêng biệt

2.2 Nhóm tuyến tính tổng quát của A

Định nghĩa 2.2.1 Phần tử khả nghịch

Cho A là đại số Banach với đơn vị 1, như kết quả trước ta có ||1|| = 1.

Một phần tử x ∈ A gọi là khả nghịch nếu có một phần tử y ∈ A sao cho

xy= yx = 1.

Chú ý 2.2.1 Nếu x là một phần tử của A sao cho x có phần tử khả nghịch

bên trái và phần tử khả nghịch bên phải, nghĩa là có những phần tử y1, y2∈ A

của đại số Banach có đơn vị A.

Định lý 2.2.1 Nếu x là một phần tử của A thỏa mãn ||x|| < 1 thì 1 − x khả

nghịch và phần tử nghịch đảo của x được biểu diễn bởi chuỗi hội tụ tuyệt đối

(1 − x)−1 = 1 + x + x2+

Định lý được chứng minh trong [7] trang [14].

Hệ quả 2.2.1 A−1 là tập mở trong A và x 7→ x−1 là một ánh xạ liên tục từ

Giả sử ta chọn được h thỏa mãn thì ta có:

Và số hạng cuối cùng giá trị đó tiến tới không khi ||h|| −→ 0

Định lý được chứng minh trong [7] trang [15]

Hệ quả 2.2.2 A−1 là một nhóm tôpô trong nhóm tôpô chuẩn của nó, nghĩa là:

(1)(x, y) ∈ A−1× A−1 7→ xy ∈ A−1 là liên tục, và

(2)x ∈ A−1 7→ x−1 ∈ A−1 là liên tục.

2.3 Phổ của một phần tử trong đại số Banach

Trong phần này ta kí hiệu A là đại số Banach với đơn vị là 1, ||1| | = 1.

Alà một đại số B(E) các toán tử bị chặn trên không gian Banach phức E.Cho x ∈ A và λ ∈ C ta thường viết x − λ thay cho x − λ 1

Định nghĩa 2.3.1 Với mỗi phần tử x ∈ A, phổ của x được định nghĩa là tập:

σ (x) =λ ∈ C : x − λ 6∈ A−1 Chúng ta sẽ phát triển các thuộc tính cơ bản của phổ đầu tiên nó luôn làtập Compact

Định lý 2.3.1 Với mỗi x ∈ A , σ (A) là một tập con đóng của tập hợp:

Định lý được chứng minh trong [7] trang [16]

... 2.2.1 Nếu x phần tử A cho x có phần tử khả nghịch

bên trái phần tử khả nghịch bên phải, nghĩa có phần tử y1, y2∈ A

của đại số Banach có đơn... gian X Số λ gọi giá trị phổ (điểm phổ) tốn tử A, số λ khơng giá trị quy tốn tử A.

Định nghĩa 1.6.2 Tập hợp tất giá trị phổ toán tử A gọi phổ< /b>

của toán tử A Ta... là liên tục, và

(2)x ∈ A−1 7→ x−1 ∈ A−1 là liên tục.

2.3 Phổ phần tử đại số Banach< /b>

Trong phần ta kí hiệu A đại