Một số tính chất liên quan đến phổ của một số phần tử trong đại số banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******** ĐỖ THỊ LIÊN MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN PHỔ CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TẠ NGỌC TRÍ Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Tạ Ngọc Trí tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo tổ giải tích, ban lãnh đạo thầy cô giáo khoa toán trường ĐHSP Hà Nội bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013 Sinh viên ĐỖ THỊ LIÊN LỜI CAM ĐOAN Khóa luận nghiên cứu hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy TS Tạ Ngọc Trí bên cạnh quan tâm, tạo điều kiện thầy cô khoa toán trường ĐHSP Hà Nội Vì xin cam đoan nội dung đề tài "Một số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach" trùng lặp với đề tài khác Trong thực khóa luận sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Liên Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 1.2 Không gian định chuẩn Không gian Banach 1.3 Định lý Hahn - Banach 10 1.4 Định lý Liouville 12 1.5 Định lý Banach - Steinhauss 13 1.6 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach 14 1.6.1 Định nghĩa phổ toán tử 1.6.2 Một số định lý 14 15 Chương Đại số Banach Phổ đại số Banach 20 2.1 Đại số Banach 20 2.1.1 Định nghĩa Đại số 2.1.2 Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số) 20 21 2.2 Nhóm tuyến tính tổng quát A 22 2.3 Phổ phần tử đại số Banach 24 2.4 Bán kính phổ 27 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỉ XX, xem ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích, đại số Trong trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú, bao gồm: - Lý thuyết không gian trừu tượng (không gian metric, không gian định chuẩn, không gian tôpô không gian vectơ tôpô); - Lý thuyết toán tử tuyến tính; - Lý thuyết toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần phương trình toán tử; - Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên; Những phương pháp, kết mẫu mực tổng quát Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học, có liên quan có sử dụng đến công cụ giải tích không gian vectơ Ngoài có ứng dụng vật lý lý thuyết số lĩnh vực kĩ thuật Sự xâm nhập mặt mở chân trời nghiên cứu rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác đề cho ngành giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề xuất mẫu toán học tổng quát trừu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài "Một số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach" Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu sắc môn giải tích hàm, đặc biệt tìm hiểu "Một số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach” Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu phổ phần tử đại số Banach bán kính phổ số tính chất liên quan đến phổ phần tử Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach 5 Các phương pháp nghiên cứu - Phương pháp suy luận logic - Phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Bố cục khóa luận bao gồm chương : • Chương : Một số kiến thức chuẩn bị • Chương : Đại số Banach, phổ đại số Banach Do thời gian thực khóa luận không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm khóa luận em không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian tuyến tính X Y trường P(P = R P = C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: 1)(∀x , x ∈ X)A(x + x ) = Ax + Ax ; 2)(∀x ∈ X)(∀α ∈ P)A(αx) = α(Ax) Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện 1) A gọi toán tử cộng tính, A thỏa mãn điều kiện 2) A gọi toán tử Khi Y = P toán tử tuyến tính thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Cho hai không gian định chuẩn X Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi bị chặn (∃C ≥ 0)(∀x ∈ X)||Ax|| ≤ C.||x|| (1.1.1) Định nghĩa 1.1.3 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C ≥ nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.1.1) gọi chuẩn toán tử A kí hiệu ||A|| Từ định nghĩa dễ dàng nhận thấy, chuẩn toán tử A có tính chất: 1)(∀x ∈ X)||Ax|| ≤ ||A||.||x||; 2)(∀ε > 0)(∃xε ∈ X)(||A|| − ε)||xε || < ||Axε || Định lý 1.1.1 Cho toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương: 1)A liên tục; 2)A liên tục điểm x0 ∈ X; 3)A bị chặn Định lý 1.1.2 Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu toán tử A bị chặn ||A|| = sup ||Ax|| ||x||≤1 ||A|| = sup ||Ax|| ||x||=1 Định lý 1.1.3 Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian định chuẩn Y , có toán tử ngược liên tục A−1 (∃α > 0)(∀x ∈ X)||Ax|| ≥ α||x|| Khi ||A−1 || ≤ 1.2 α Không gian định chuẩn Không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa không gian định chuẩn) Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P(P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu || · || đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1)(∀x ∈ X)||x|| ≥ 0, ||x|| = ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không θ ); 2)(∀x ∈ X), (∀α ∈ P), ||αx|| = |α| ||x||; 3)(∀x, y ∈ X), ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Số ||x|| gọi chuẩn vectơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định lý 1.2.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ x, y ∈ X ta đặt d(x, y) = ||x − y|| (1.2.2) Khi d metric X Chứng minh định lý dễ dàng suy từ hệ tiên đề chuẩn hệ tiên đề tuyến tính Nhờ định lý (1.2.1), không gian định chuẩn trở thành không gian metric với metric (1.2.2) Định nghĩa 1.2.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim ||xn − x|| = n→∞ Ký hiệu lim xn = x n→∞ hay xn −→ x(n → ∞) Dựa vào định nghĩa dễ dàng chứng minh số tính chất đơn giản sau đây: 1) Nếu dãy (xn ) hội tụ tới x, dãy chuẩn (||xn ||) hội tụ tới ||x|| Hay nói cách khác, chuẩn || · || hàm giá trị thực liên tục theo biến x 2) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ không gian định chuẩn X, dãy chuẩn tương ứng (||xn ||) bị chặn 3) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ tới x, dãy điểm (yn ) hội tụ tới y không gian định chuẩn X, dãy số (αn ) hội tụ tới số α, xn + yn −→ x + y(n → ∞), αn xn −→ αx(n → ∞) Định nghĩa 1.2.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim ||xn − xm || = m,n→∞ Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Nhờ nguyên lý làm đầy không gian metric metric (1.2.2) không gian định chuẩn không không gian Banach làm đầy thành không gian Banach Người xây dựng lý thuyết không gian định chuẩn Banach (nhà toán học Ba Lan) trọng nhiều không gian đủ (đầy), nên người ta thường gọi không gian định chuẩn đủ không gian Banach Một không gian định chuẩn X không đủ bổ sung (thêm phần tử mới) thành không gian Banach Định lý 1.6.2 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Banach X vào số λ ∈ P thỏa mãn điều kiện |λ | > ||A|| Khi số λ giá trị quy toán tử A toán tử giải Rλ có biểu diễn dạng: −1 ∞ Ak Rλ = (A − λ I)−1 = ∑ λk λ k=0 1 A), || A|| = ||A|| < 1, |λ | λ λ (∀λ ∈ P, |λ | > ||A||) nên điều kiện định lý (1.6.1) thỏa mãn, tồn toán tử ngược Rλ = (A − λ I)−1 xác định bị chặn toàn không gian X, nghĩa số λ giá trị quy toán tử A Vì | | < 1, λ k k ||( A) || ≤ || A|| , (k = 0, 1, 2, ) nên chuỗi λ λ Chứng minh Ta có A − λ I = −λ (I − ∞ ∑ ||( λ A)k || k=0 hội tụ Từ từ tính đủ không gian I(X, X) suy chuỗi Ak ∑ k k=0 λ ∞ hội tụ không gian I(X, X) Với số tự nhiên n = 1, 2, ta có n n Ak A n Ak A Ak Ak+1 An+1 (I − ) ∑ k = ∑ k (I − ) = ∑ ( k − k+1 ) = I − n+1 λ k=0 λ λ λ λ k=0 λ k=0 λ An+1 A n+1 A n+1 || ≤ || || lim || || = nên chuyển qua giới hạn n→∞ λ n+1 λ λ đẳng thức theo chuẩn không gian I(X, X) n −→ ∞ ta || ∞ ∞ Ak Ak (I − A) ∑ k = ∑ k (I − A) = I λ k=0 λ λ k=0 λ ⇒ −λ (I − −1 ∞ Ak A)( )∑ k =I λ λ k=0 λ 17 Vì vậy: Rλ = (A − λ I)−1 = −1 ∞ Ak ∑ λk λ k=0 Định lý chứng minh [1] trang [166] Định lý 1.6.3 Nếu A toán tử compact tác dụng không gian Banach X với số ∀α > toán tử A có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α Chứng minh Giả sử toán tử compact A có dãy vô hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính (xn ) tương ứng với dãy giá trị riêng (λn ) mà |λn | ≥ α với n = 1, 2, Ta kí hiệu Xn không gian đóng sinh vectơ độc lập tuyến tính x1 , x2 , , xn (n ∈ N ∗ ) Theo định lý không gian đóng không gian định chuẩn, với số tự nhiên n = 1, 2, 3, , tồn phần tử yn ∈ Xn , ||yn || = cho d(yn , Xn−1 ) = inf ||yn − x|| > x∈Xn−1 yn yn Khi đó, dãy ( )bị chặn, dãy (A ) không chứa dãy hội tụ λn λn Thật vậy, giả sử: n yn = ∑ ak xk k=1 thì: n yn ak Axk n−1 ak λk A =∑ =∑ xk + an xn = yn + zn λn k=1 λn λ n k=1 n−1 zn = λk ∑ ak ( λn − 1)xk ∈ Xn−1 (n = 1, 2, ) k=1 Với hai số tự nhiên p, q; p > q ta có: ||A yq yp − A || = ||y p + z p − (yq + zq )|| = ||y p − (yq + zq − z p )|| > λp λq 18 Trong yq +zq −z p ∈ X p−1 Bất đẳng thức mâu thuẫn với tính compact toán tử A Vì vậy, có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α Định lý chứng minh [1] trang [167] 19 Chương Đại số Banach Phổ đại số Banach 2.1 Đại số Banach 2.1.1 Định nghĩa Đại số Ta gọi đại số C không gian vectơ phức A với phép toán hai (·) : A × A −→ A (x, y) → xy thỏa mãn: (1) với α, β ∈ C với mọix, y, z ∈ A ta có: (αx + β y)z = αxz + β yz; x(αy + β z) = αxy + β xz (2) x(yz) = (xy)z với x, y, z ∈ A Một đại số phức A có nhiều phép nhân khác nhau, chẳng hạn ta có x.y = với x, y Nếu A có phần tử a thỏa mãn a.x = x.a, ∀x ∈ A A gọi phần tử đơn vị thường kí hiệu Phép nhân A gọi giao hoán x.y = y.x, ∀x, y ∈ A 20 2.1.2 Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số) Định nghĩa 2.1.1 Đại số chuẩn cặp (A, || · ||) xác định A, || · || : A → [0, ∞) ánh xạ thỏa mãn ||xy|| ≤ ||x||.||y||, x, y ∈ A Một đại số Banach đại số chuẩn (A, || · ||) cho A với || · || không gian Banach Chú ý 2.1.1 Một không gian tuyến tính định chuẩn E không gian Banach tất dãy chúng hội tụ Một cách xác E đầy đủ tất dãy xn ∈ E thỏa mãn ∑ ||xn || < ∞ n có phần tử y ∈ E mà lim ||y − (x1 + x2 + + xn )|| = n→∞ Ví dụ 2.1 Cho E không gian Banach A đại số B(E) tất hàm bị chặn E, x · y phép nhân hai toán tử hàm đó, đại số Banach với đơn vị ||1|| = 1, E không gian Banach Ví dụ 2.2 Cho X không gian Hausdorff Compact, C(X) đại số hàm phức liên tục X với phép cộng(+) phép nhân(.) xác định : f · g(x) = f (x) · g(x) ( f + g)(x) = f (x) + g(x) Với chuẩn C(X) xác định || f || = sup | f (x)| x∈X Thế ta có C(X) đại số Banach với đơn vị f = Chẳng hạn X đoạn [−1, 1] Ta có đại số Banach C[−1,1] không gian hàm liên tục [−1, 1] Định lý 2.1.1 Với nhóm Compact địa phương G tồn độ đo Radon khác 0, µ G cho µ(x · E) = µ(E) Với tập Borel E ta thiết lập x ∈ G Nếu ν độ đo khác tồn c > cho ν(E) = c · µ(E) với tập Borel E 21 Nhận xét: Ta thấy tính chất đại số L1 (G) với chuẩn || f || = | f (t)|dx, G với f ∈ L1 (G) Tương tự tính chất L1 (Z) L1 (R) (1) Nếu f , g ∈ L1 (G) f ∗ g ∈ L1 (G) có || f ∗ g|| ≤ || f ||.||g|| (2)L1 (G) đại số Banach (3)L1 (G) giao hoán G nhóm giao hoán (4)L1 (G) có đơn vị G nhóm riêng biệt 2.2 Nhóm tuyến tính tổng quát A Định nghĩa 2.2.1 Phần tử khả nghịch Cho A đại số Banach với đơn vị 1, kết trước ta có ||1|| = Một phần tử x ∈ A gọi khả nghịch có phần tử y ∈ A cho xy = yx = Chú ý 2.2.1 Nếu x phần tử A cho x có phần tử khả nghịch bên trái phần tử khả nghịch bên phải, nghĩa có phần tử y1 , y2 ∈ A cho xy1 = y2 x = ta có x khả nghịch Và y1 = y2 , y2 = y2 = y2 xy1 = 1.y1 = y1 Thật rõ ràng ta có y2 = y2 · = y2 xy1 = · y1 = y1 Định nghĩa 2.2.2 Nhóm tuyến tính tổng quát A Ta gọi A−1 tập hợp tất phần tử khả nghịch A, ta có A−1 nhóm, nhóm thường gọi nhóm tuyến tính tổng quát đại số Banach có đơn vị A Định lý 2.2.1 Nếu x phần tử A thỏa mãn ||x|| < − x khả nghịch phần tử nghịch đảo x biểu diễn chuỗi hội tụ tuyệt đối (1 − x)−1 = + x + x2 + 22 Hơn ta có ||(x − λ )−1 || ≤ − ||x|| ||1 − (1 − x)−1 || ≤ (2.2.1) ||x|| − ||x|| (2.2.2) Chứng minh Từ ||xn || ≤ ||x||n với n = 1, 2, Chúng ta xác định phần tử z ∈ A xác định ∞ z= ∑ xn (2.2.3) n=0 Điều chuỗi (2.2.3) hội tụ Chúng ta có: ∞ z(1 − x) = (1 − x)z = lim (1 − x) ∑ xk = lim (1 − xN+1 ) = N→∞ k=1 N→∞ Suy − x khả nghịch (1 − x)−1 = z Từ bất đẳng thức (2.2.1) ta có: ∞ ||x|| ≤ Từ ∞ ∑ ||x || ≤ ∑ ||x||n = − ||x|| n=0 n n=0 ∞ − z = − ∑ xn = −xz, n=0 ta có ||1 − z|| ≤ ||x|| · ||z|| (2.2.1) tương đương (2.2.2) Định lý chứng minh [7] trang [14] Hệ 2.2.1 A−1 tập mở A x → x−1 ánh xạ liên tục từ A−1 vào Chứng minh Ta thấy A−1 mở Chọn phần tử khả nghịch x0 h tùy ý thuộc A Ta có x0 + h = x0 (1 + x0 −1 h) Nếu ||x0 −1 h|| < theo định lý trước x0 + h khả nghịch Đặc biệt ||h|| < ||x0 −1 ||−1 x0 + h khả nghịch ||h|| đủ nhỏ 23 Giả sử ta chọn h thỏa mãn ta có: (x0 + h)−1 − x0 −1 = (x0 (1 + x0 −1 h))−1 − x0 −1 = [(1 + x0 −1 h))−1 − 1].x0 −1 Vì ||h|| < ||x0 −1 ||−1 nên ||(x0 + h)−1 − x0 −1 = || ≤ ||(1 + x0 −1 h))−1 − 1||.||x0 −1 || ≤ ||x0 −1 h||.x0 −1 || − ||x0 −1 h|| Và số hạng cuối giá trị tiến tới không ||h|| −→ Định lý chứng minh [7] trang [15] Hệ 2.2.2 A−1 nhóm tôpô nhóm tôpô chuẩn nó, nghĩa là: (1)(x, y) ∈ A−1 × A−1 → xy ∈ A−1 liên tục, (2)x ∈ A−1 → x−1 ∈ A−1 liên tục 2.3 Phổ phần tử đại số Banach Trong phần ta kí hiệu A đại số Banach với đơn vị 1, ||1| | = A đại số B(E) toán tử bị chặn không gian Banach phức E Cho x ∈ A λ ∈ C ta thường viết x − λ thay cho x − λ Định nghĩa 2.3.1 Với phần tử x ∈ A, phổ x định nghĩa tập: σ (x) = λ ∈ C : x − λ ∈ A−1 Chúng ta phát triển thuộc tính phổ tập Compact Định lý 2.3.1 Với x ∈ A , σ (A) tập đóng tập hợp: {Z ∈ C : |Z| ≤ ||x||} Chứng minh Phần bù phổ tập hợp xác định C\σ (x) = λ ∈ C : x − λ ∈ A−1 Vì A−1 mở ánh xạ λ ∈ C → x − λ ∈ A liên tục nên phần bù σ (x) tập mở Thật ta chứng minh với λ ∈ C mà |λ | > ||x|| λ ∈ σ (x) Do x−λ = (−λ )(1−λ −1 x) ||λ −1 x|| < nên suy x−λ khả nghịch Sau ta chứng minh kết Gelfand Định lý chứng minh [7] trang [16] 24 Định lý 2.3.2 σ (x) = 0/ với x ∈ A Chứng minh Ta chứng minh σ (x) = 0, / A hàm f (λ ) = (x − λ )−1 bị chặn hội tụ tới λ → ∞ Với λ0 ∈ σ (x) (x − λ )−1 xác định với λ đủ gần λ0 σ (x) tập đóng Ta rằng: [(x − λ )−1 − (x − λ0 )−1 ] = (x − λ0 )−2 λ →λ0 λ − λ0 lim (2.3.4) Trong không gian tôpô sinh chuẩn A Thật vậy, ta có: (x − λ )−1 − (λ − λ0 )−1 = (x − λ )−1 [(x − λ0 ) − (x − λ )](x − λ0 )−1 = (x − λ0 )(x − λ )−1 (x − λ0 )−1 Chia hai vế cho λ − λ0 ta được: (x − λ )−1 − (x − λ0 )−1 = (x − λ )−1 (x − λ0 )−1 λ − λ0 Cho λ → λ0 ta suy công thức (2.3.4) Giả sử ngược lại σ (x) = 0/ ta chọn ρ toán tử tuyến tính bị chặn tùy ý A xét hàm f (λ ) = ρ((x − λ )−1 ), f (λ ) xác định hầu khắp nơi C khả vi phức khắp nơi C đồng thời f (λ ) = ρ((x − λ )−2 ) f hàm nguyên Tiếp theo f bị chặn, |λ | > ||x|| ||(x − λ )−1 || = ||(1 − λ −1 x)−1 || |λ | Khi ta có (||(x − λ )−1 ||) ≤ |λ | (1 − 25 ||x|| ) |λ | = |λ | − ||x|| suy ||(x − λ )−1 || −→ |λ | → ∞ Điều chứng tỏ hàm λ → ||(x − λ )−1 || triệt tiêu ∞ Từ ta suy f hàm nguyên bị chặn, đó, theo định lý Liouville f số Do f = ∞ nên suy f = với λ ∈ C Từ ta có ρ((x − λ )−1 ) = 0, ∀λ ∈ C với phiếm hàm tuyến tính bị chặn ρ Theo định lý Hahn - Banach ta suy (x − λ )−1 = 0, ∀λ ∈ C Mặt khác, (x − λ )−1 lại khả nghịch, điều suy mâu thuẫn, mâu thuẫn chứng tỏ σ (x) = / Định lý chứng minh [7] trang [17] Định nghĩa 2.3.2 A gọi đại số chia C A có đơn vị mà phần tử khác không A khả nghịch Định nghĩa 2.3.3 Hai đại số A B gọi đẳng cấu có ánh xạ đẳng cấu θ : A −→ B cho θ đẳng cấu với cấu trúc đại số A có số a, b cho a||x|| ≤ ||θ (x)|| ≤ b||x|| với x ∈ A Hệ 2.3.1 Mọi đại số Banach chia đẳng cấu với đại số C Chứng minh Xét ánh xạ θ : C −→ A xác định θ (λ ) = λ Ta có θ đẳng cấu từ C tới C1, với C1 = {λ : λ ∈ C} Suy toàn ánh lên A Nhưng ∀x ∈ A ta suy tồn λ ∈ σ (x) (theo định lý Gelfand) Do x − λ không khả nghịch, mà A đại số chia nên x − λ = Suy x = θ (λ ) Định lý chứng minh [7] trang [17] Ví dụ 2.3 Có nhiều đại số chia được, đặc biệt đại số giao hoán, p(z) chẳng hạn đại số hàm có dạng r(z) = với z ∈ C p, q q(z) đa thức, với q = Hoặc đại số chuỗi Laurent có dạng: ∞ ∑ an zn , −∞ 26 với (an ) dãy vô hạn số phức an = với n đủ lớn 2.4 Bán kính phổ Trong mục A kí hiệu cho đại số Banach với đơn vị ||1|| = Định nghĩa 2.4.1 Với x ∈ A bán kính phổ x xác định công thức: r(x) = sup {|λ | : λ ∈ σ (x)} Chú ý 2.4.1 Do phổ x bị chứa đĩa tròn có tâm gốc bán kính ||x||, từ suy r(x) ≤ ||x|| Và ta có r(λ (x)) = |λ | r(x) với λ ∈ C Chứng minh Những giả thiết sau yêu cầu cho định lý ánh xạ phổ x ∈ A f đa thức thì: f (σ (x)) ⊆ σ ( f (x)) (2.4.5) Thật vậy, cố định λ ∈ σ (x) Do ánh xạ z → f (z) − f (λ ) đa thức z = λ , nên suy tồn đa thức g cho f (z) − f (λ ) = (z − λ )g(z) Từ ta có f (x) − f (λ )1 = (x − λ )g(x) = g(x)(x − λ ) suy f (x) − f (λ )1 không khả nghịch trái phải Vậy suy f (λ ) ∈ σ ( f (x)) kết cuối Cuối cùng, ta có: n n r(x) ≤ inf ||x | | , n≥1 (2.4.6) với x ∈ A Thật với λ ∈ σ (x), từ công thức (2.4.5) suy λ n ∈ σ (xn ) Vậy nên |λ |n = |λ n | ≤ r(xn ) ≤ ||xn || Suy r(x)n ≤ ||xn || Suy r(x) ≤ n ||xn || với n Từ ta có điều phải chứng minh 27 Định lý 2.4.1 Với x ∈ A có lim ||xn | | n = r(x) n→∞ Nghĩa giới hạn bên trái tồn có giá trị r(x) Chứng minh Từ (2.4.6) ta có r(x) ≤ lim inf ||xn | | n n đủ để chứng tỏ lim sup ||xn | | n ≤ r(x) (2.4.7) n→∞ Ta cần xét trường hợp x = Để chứng minh (2.4.7) ta chọn λ ∈ C thỏa mãn |λ | < (khi r(x) = 0, λ chọn tùy ý) Ta dãy: r(x) {(λ x)n : n = 1, 2, } bị chặn Thật theo định lý Banach - Steinhaus toán tử tuyến tính bị chặn ρ A, ta có |ρ(xn )λ n | = |ρ((λ x)n )| ≤ Mρ < ∞, n = 1, 2, , với Mρ phụ thuộc vào ρ Cuối ta xét hàm phức f xác định tập z ∈ C : |z| < r(x) theo công thức f (z) = ρ((1 − zx)−1 ) Dễ thấy f hàm giải tích, với |z| < ta khai triển (1 − zx)−1 ||x|| thành chuỗi hội tụ + zx + (zx)2 + Ta có ∞ f (z) = ∑ ρ(xn )zn n=0 28 (2.4.8) Mặt khác, tập rộng R = z : < |z| < r(x) Ta có: f (z) = ρ((z−1 − x)−1 ) z từ suy f giải tích R, từ công thức (2.4.8) suy f giải tích miền z : |z| < r(x) Với miền nhỏ z : |z| < , công thức (2.4.8) cho ta bậc biểu ||x| | diễn hàm f Mặt khác, f giải tích z : |z| < r(x) r(x) Do đó, ta thay z = λ vào công thức (2.4.8) ta chuỗi hội tụ Và suy biểu thức ρ(xn )λ n dãy bị chặn Tiếp theo với λ thỏa mãn < |λ | < tồn số r(x) M = Mλ cho |λ |n ||x| |n = ||λ x| |n ≤ M với n = 1, 2, Từ suy ra: Từ suy chuỗi (2.4.8) phải hội tụ tới f (z) với |z| < 1 Mn lim sup ||xn | | n ≤ lim sup = n→∞ n→∞ |λ | |λ | ta có định lý chứng minh r(x) Định lý chứng minh [7] trang [19] Cho |λ | dần tới 29 KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung liên quan đến phổ toán tử - nội dung giải tích hàm Đặc biệt tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach Đóng góp khóa luận bao gồm: Tìm hiểu trình bày không gian Banach, phổ toán tử Đề cập đến đại số Banach, phổ phần tử bán kính đại số Banach Qua khóa luận "Một số tính chất liên quan phổ phần tử đại số Banach" thân em lĩnh hội thêm tri thức giải tích hàm môn có tầm quan trọng đặc biệt toán học toán học ứng dụng Tuy nhiên thời gian thực không nhiều kiến thức hạn chế nên không tránh khỏi sai sót, em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn công lao dạy dỗ thầy cô khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặt biệt giúp đỡ bảo tận tình thầy TS TẠ NGỌC TRÍ giúp em hoàn thành khóa luận 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật (2006) 178 trang [2] Nguyễn Phụ Hy, Hoàng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Tuyên Bài tập giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật (2007) 180 trang [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập II, NXB giáo dục,(2001) [4] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội,(2005) [5] Eberhard Zeidler, Applind Functional Analysis Applications to Mathematical Phisics, NXB SpringerVerlag Germany (1988) [6] H.Schaefor , Topological Vector Spaces, Springer - Verlag (1971) [7] William Arveson , A Short Course On Spectral Theory, Springer (2001) 31 [...]... phổ của toán tử - một nội dung cơ bản của giải tích hàm Đặc biệt là các tính chất liên quan đến phổ của một phần tử trong đại số Banach Đóng góp chính của khóa luận bao gồm: 1 Tìm hiểu và trình bày về không gian Banach, phổ của toán tử 2 Đề cập đến đại số Banach, phổ của một phần tử và bán kính trong đại số Banach Qua khóa luận "Một số tính chất liên quan phổ của một phần tử trong đại số Banach" bản... quy) của toán tử A, nếu tồn tại toán tử Rλ xác định và bị chặn trên toàn không gian X Số λ gọi là giá trị phổ (điểm phổ) của toán tử A, nếu số λ không là giá trị chính quy của toán tử A Định nghĩa 1.6.2 Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ của toán tử A Ta thấy phổ của toán tử A chứa tất cả các giá trị riêng của toán tử A Tập tất cả các giá trị riêng của toán tử A gọi là phổ điểm của. .. h|| Và số hạng cuối cùng giá trị đó tiến tới không khi ||h|| −→ 0 Định lý được chứng minh trong [7] trang [15] Hệ quả 2.2.2 A−1 là một nhóm tôpô trong nhóm tôpô chuẩn của nó, nghĩa là: (1)(x, y) ∈ A−1 × A−1 → xy ∈ A−1 là liên tục, và (2)x ∈ A−1 → x−1 ∈ A−1 là liên tục 2.3 Phổ của một phần tử trong đại số Banach Trong phần này ta kí hiệu A là đại số Banach với đơn vị là 1, ||1| | = 1 A là một đại số B(E)... zq − z p )|| > λp λq 2 18 Trong đó yq +zq −z p ∈ X p−1 Bất đẳng thức trên mâu thuẫn với tính compact của toán tử A Vì vậy, chỉ có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α Định lý được chứng minh trong [1] trang [167] 19 Chương 2 Đại số Banach Phổ của đại số Banach 2.1 Đại số Banach 2.1.1 Định nghĩa Đại số Ta gọi một đại số trên C là một không gian vectơ phức... Nhóm tuyến tính tổng quát của A Định nghĩa 2.2.1 Phần tử khả nghịch Cho A là đại số Banach với đơn vị 1, như kết quả trước ta có ||1|| = 1 Một phần tử x ∈ A gọi là khả nghịch nếu có một phần tử y ∈ A sao cho xy = yx = 1 Chú ý 2.2.1 Nếu x là một phần tử của A sao cho x có phần tử khả nghịch bên trái và phần tử khả nghịch bên phải, nghĩa là có những phần tử y1 , y2 ∈ A sao cho xy1 = y2 x = 1 thì ta cũng... ∞) là một ánh xạ thỏa mãn ||xy|| ≤ ||x||.||y||, x, y ∈ A Một đại số Banach là một đại số chuẩn (A, || · ||) sao cho A cùng với || · || là một không gian Banach Chú ý 2.1.1 Một không gian tuyến tính định chuẩn E là một không gian Banach nếu tất cả các dãy cơ bản trong chúng hội tụ Một cách chính xác hơn E là đầy đủ nếu và chỉ nếu tất cả các dãy con xn ∈ E thỏa mãn ∑ ||xn || < ∞ n có một phần tử y ∈... f là liên tục và || f || ≤ lim || fn || n→∞ 13 1.6 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach 1.6.1 Định nghĩa phổ của toán tử Cho X là không gian định chuẩn trên trường P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C), A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian X vào chính nó Xét phương trình dạng: (A − λ I)x = y, (1.6.3) trong đó x, y ∈ X, y là phần tử đã cho, x là phần tử cần... 1 = y2 xy1 = 1 · y1 = y1 Định nghĩa 2.2.2 Nhóm tuyến tính tổng quát của A Ta gọi A−1 là tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của A, ta cũng có A−1 là một nhóm, nhóm này thường được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát của đại số Banach có đơn vị A Định lý 2.2.1 Nếu x là một phần tử của A thỏa mãn ||x|| < 1 thì 1 − x khả nghịch và phần tử nghịch đảo của x được biểu diễn bởi chuỗi hội tụ tuyệt đối (1 −... các số λ = λ j , ( j = 1, 2, , n) đều là giá trị chính quy của toán tử A Vì vậy toán tử A chỉ có phổ điểm 1.6.2 Một số định lý Định lý 1.6.1 Cho hai toán tử tuyến tính bị chặn A, B tác dụng trong không gian Banach X sao cho toán tử A có toán tử ngược A−1 bị chặn và 1 ||B|| < ||A−1 || Khi đó toán tử A + B có toán tử ngược bị chặn Chứng minh Giả sử y là phần tử cố định tùy ý thuộc X Ta xét toán tử. .. z ∈ A Một đại số phức A có thể có nhiều phép nhân khác nhau, chẳng hạn ta có x.y = 0 với mọi x, y Nếu trong A có phần tử a thỏa mãn a.x = x.a, ∀x ∈ A thì A được gọi là phần tử đơn vị và thường được kí hiệu là 1 Phép nhân trong A được gọi là giao hoán nếu x.y = y.x, ∀x, y ∈ A 20 2.1.2 Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số) Định nghĩa 2.1.1 Đại số chuẩn là một cặp (A, || · ||) xác định trên A, trong ... "Một số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu phổ phần tử đại số Banach bán kính phổ số tính chất liên quan đến phổ phần. .. hiểu trình bày không gian Banach, phổ toán tử Đề cập đến đại số Banach, phổ phần tử bán kính đại số Banach Qua khóa luận "Một số tính chất liên quan phổ phần tử đại số Banach" thân em lĩnh hội... Cho |λ | dần tới 29 KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung liên quan đến phổ toán tử - nội dung giải tích hàm Đặc biệt tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach Đóng góp khóa luận bao