siêu lọc và một số tính chất liên quan đến tính compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đinh Nguyễn Đông Triều SIÊU LỌC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đinh Nguyễn Đông Triều SIÊU LỌC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT Chuyên ngành : Hình Học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CÁM ƠN Luận văn thạc sĩ hoàn thành hướng dẫn khoa học TS.Nguyễn Trọng Hòa Trong trình viết luận văn, Thầy nhiệt tình, tận tụy, dạy biết cách đọc tài liệu, biết phương pháp viết luận văn nghiên cứu khoa học Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, xin chúc Thầy gia đình sức khỏe dồi thành công nghiệp giáo dục Tôi xin trân trọng cảm ơn: + TS.Nguyễn Hà Thanh, suốt thời gian học cao học làm luận văn Thầy nhiệt tình dạy bảo, động viên, nhắc nhở học tập làm tốt luận văn Tôi xin chân thành biết ơn Thầy, xin chúc Thầy gia đình sức khỏe dồi dào, thành công nghiệp giáo dục đạt nhiều kết công trình nghiên cứu + Quí Thầy cô Phòng Sau đại học Khoa Toán - tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hai năm qua + Giáo sư Y.F Ortiz-Castillo giảng dạy Đại Học Auburn, tiểu bang Alabama, Hoa Kì giáo sư Á Tamariz-Mascarúa giảng dạy Đại Học Benema Erita, Autônoda De Pebla, Tây Ban Nha Hai vị giáo sư cung cấp tài liệu quan trọng cho để hoàn thành luận văn + Bạn bè lớp Hình học tôpô K23, bạn Lê Hoàng Lâm, Hồ Thị Thu Hà, Nguyễn Thanh Hải, Huỳnh Phương Nam Đặc biệt thạc sĩ Lê Anh Nhân chia với nhiều kinh nghiệm học tập viết luận văn Đinh Nguyễn Đông Triều MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian compact 1.3 Lưới, lọc, ánh xạ liên quan 1.4 Không gian p − compact, không gian giả compact, không gian p − giả compact, không gian ω − bị chặn 12 CHƯƠNG KHÔNG GIAN p − COMPACT MẠNH 17 2.1 Không gian p − compact mạnh 17 2.2 Ảnh, nghịch ảnh tích không gian p − compact mạnh 26 CHƯƠNG KHÔNG GIAN p − GIẢ COMPACT MẠNH VÀ 33 KHÔNG GIAN GIẢ − ω − BỊ CHẶN 33 3.1 Không gian p − giả compact mạnh không gian giả − ω − bị chặn33 3.2 Không gian p − giả compact mạnh tiền thứ tự Rudin-Keisler β 40 3.3 Không gian p − giả −ω − bị chặn không gian hầu giả −ω − bị chặn 44 CHƯƠNG KHÔNG GIAN GIẢ − D − BỊ CHẶN VÀ KHÔNG GIAN D − COMPACT MẠNH 47 4.1 Không gian giả − D − bị chặn 47 4.2 Không gian D − compact mạnh 49 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN  : không gian số tự nhiên  β  : compact-hóa Stone- C ech  (mỗi phần tử β  siêu lọc  ) * = β  \  : Tập siêu lọc tự  C ( X , Y ) : Tập ánh liên tục từ không gian X vào không Y ω : số cardinal vô hạn ω1 : số cardinal không điếm A : lực lương tập A X ω := ω} {A ⊆ X : A = X [...]... 1.3.10 Định lí Một không gian tôpô X là không gian Hausdorff nếu và chỉ nếu mỗi lọc trong X có nhiều nhất một điểm giới hạn 11 1.3.11 Định lí Một không gian Hausdorff là compact nếu và chỉ nếu mọi lọc trong X có một điểm tụ 1.3.12 Nhận xét Có hai loại siêu lọc khác nhau trên  siêu lọc chính và siêu lọc tự do +) Siêu lọc chính là siêu lọc chứa số không +) Không là siêu lọc chính là siêu tự do 1.3.13... ∈ X ,và ∀U mở chứa x ⇒ U ∩ A ≠ ∅ ) 1.1.6 Định nghĩa Một tính chất P của một không gian tôpô X gọi là tính di truyền nếu mọi không gian con của X đều có tính chất P 1.1.7 Định nghĩa Cho X và Y là hai không gian tôpô và một ánh xạ f : X → Y Ánh xạ f gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi lân cận V của f ( x ) trong Y tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên. .. compact nếu mọi dãy điểm trong X có một điểm p − giới hạn 1.4.4 Bổ đề Với mỗi p ∈ * , không gian p − compact có tính chất sau : + Mỗi không gian compact là không gian p − compact + Tích các không gian p − compact là không gian p − compact + Các tập con đóng trong không gian p − compact di truyền tất cả các tính chất của không gian này 1.4.5 Định nghĩa Cho siêu lọc p ∈ * , một dãy tập con khác rỗng (U n... (U ) ) là compact và L p, (U n )n∈ là đóng , kéo theo L p, (U n )n∈ là compact Vậy X là p − compact mạnh  26 2.2 Ảnh, nghịch ảnh và tích của không gian p − compact mạnh Trong phần 2.2 này chúng ta tìm hiểu ảnh, nghịch ảnh và tích của không gian p − compact mạnh Nhắc lại, tích các không gian p − compact, không gian p − compact qua toàn ánh liên tục là không gian p − compact Như vậy tính chất đó còn... ) d) Chúng ta đã biết mỗi tập con đóng của một không gian p − compact là p − compact, và tích của các không gian p − compact là p − compact Mỗi không gian Tychonoff X và mỗi siêu lọc tự do p ∈ * , có một không gian duy nhất là đồng phôi tùy ý β p ( X ) thỏa mãn: (1) X trù mật trong β p ( X ) (2) β p ( X ) là p − compact (3) Mỗi không gian p − compact Y và mỗi f ∈ C ( X , Y ) có hàm F ∈ C ( β p (... Định lí Một không gian Hausdorff X là không gian compact nếu và chỉ nếu mọi họ tập đóng của X có tính giao hữu hạn và có giao khác trống 1.2.3 Định lí Mỗi không gian con đóng của không gian compact là compact 8 1.2.4 Định lí Mỗi không gian compact là chuẩn tắc 1.2.5 Định lí Nếu tồn tại một toàn ánh liên tục f : X → Y , của không gian compact X vào không gian Hausdorff Y thì Y là không gian compact. .. Việc nghiên cứu tính chất bất biến qua một ánh xạ liên tục trong không gian p − compact mạnh là một bài toán cần quan tâm Ta có định lí sau: 2.2.4 Định lí Với mỗi p ∈ β  , X là không gian p − compact mạnh, Y là không gian tôpô Nếu toàn ánh liên tục f : X → Y là mở thì Y không gian p − compact mạnh Chứng minh: Cho X là không gian p − compact mạnh, f ∈ C ( X , Y ) là mở và toàn ánh và p ∈ β  Ngoài... ta định nghĩa hội tụ theo siêu lọc tự do p trên  Do đó, ta thấy điều kiện hội tụ trên không gian này mạnh hơn trên không gian compact và chính điều này giúp ta mở rộng các kết quả trong không gian compact Khi nghiên cứu không gian p − compact mạnh ta nghiên cứu các tính chất có cấu trúc giống như trong không gian compact bao gồm nghiên cứu tính chất bất biến qua: ánh xạ liên tục, ánh xạ hoàn chỉnh,... lim f ( xn ) Dựa vào bổ đề trên ta có thể chứng minh được không gian p − compact được bảo toàn qua toàn ánh liên tục Kết hợp định lí 2.1.11 ta chứng minh được điều sau đây: 2.2.2 Định lí Cho X là một không gian p − compact và cho Y là một không gian tôpô có tính compact địa phương Nếu có toàn ánh liên tục f : X → Y , thì Y là p − compact mạnh 27 Chứng minh: Do X là không gian p − compact, ta có (... Mỗi không gian vừa là p − compact vừa là compact địa phương đều là p − compact mạnh Chứng minh: Cho X là một không gian p − compact có tính compact địa phương và cho dãy điểm ( xn )n∈ trong X Do X là p − compact, có x ∈ X sao cho x= p − lim xn Lấy một lân cận U của x sao cho Cl (U ) là compact Cho V là lân cận của x thỏa Cl (V ) ⊆ U Với mỗi n ∈  sao cho xn ∉ Cl (V ) , lấy một lân cận U n của xn sao ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đinh Nguyễn Đông Triều SIÊU LỌC VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COMPACT Chuyên ngành : Hình Học Tôpô Mã số : 60 46 01 05... có tính thời quan tâm nhiều nhà toán học Do đó, chọn đề tài Siêu lọc số tính chất liên quan đến tính compact làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu đề tài Tìm hướng nghiên cứu tính compact. .. siêu lọc khác  siêu lọc siêu lọc tự +) Siêu lọc siêu lọc chứa số không +) Không siêu lọc siêu tự 1.3.13 Định lí Cho lọc F tập X Ta có phát biểu sau tương đương: a) F siêu lọc AC X A ∈ F b) Với