4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
4.1. Không gian giả −D bị chặn
4.1.1. Định nghĩa
Cho là một không gian Tychonoff và tập D⊆*. Ta nói:
là giả bị chặn nếu thỏa hai điều kiện sau:
i) Với mọi dãy tập mở khác rỗng ( )Un n∈ của tồn tại dãy điểm
( ) ∈ : n n x xn∈Un,∀ ∈n . và ii) ∀ ∈p D, ∃ ∈zp X : zp = −p lim xn.
Nhận xét: Từ định nghĩa không gian giả bị chặn. Ta thấy tính giả bị chặn mạnh hơn p−giả compact mạnh và yếu hơn giả− −ω bị chặn. Trong định lí sau chỉ ta thấy trong một không gian giả bị chặn là:p−giả compact mạnh, p−giả compact ∀ ∈p D. p− D − − * p− D− D − − D− X X − −D X D − − D − − D − −
4.1.2. Định lí
Cho và . Khi đó những khẳng định sau là tương đương :
1) X là giả− −D bị chặn.
2) X là p−giả compact mạnh cho mỗi p D∈ . 3) X là p−giả compact cho mỗi p D∈ .
Chứng minh: Các kết quả (1) (2) (3) là hiển nhiên.
(3) (1). Cho là dãy tập mở khác rỗng của . Với mỗin∈, lấy . Do bổ đề 3.2.3 và chú ý 2.1.8 ở trên, với mỗi
thìp lim x− n∈PRK ( )p ⊆ X .
Trong định lí 4.1.2 ở trên với giả thiết và . Nếu giả thiết trong định lí 4.1.2 thay X =β thì ta có sự tương đương của các không gian như sau:
4.1.3. Định lí
Cho và . Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(1) X =β.
(2) X là giả− −ω bị chặn. (3) X là giả− −* bị chặn.
(4) X là p−giả compact mạnh cho mỗi p∈*.
* D⊆ ⊆ X ⊆β ⇒ ⇒ ⇒ ( )Un n∈ X n n x ∈U ∩ p∈D * D⊆ ⊆ X ⊆β( ) * D⊆ ⊆ X ⊆ β( )
(5) X là p−giả compact cho mỗi p∈*.
(6) X là giả− −D bị chặn và mỗi * ( )
,
∈ ∩ RK ≠ ∅
q D S q .
(7) Cho mỗi q∈* có p∈SRK( )q sao cho X là p−giả compact mạnh.
(8) Cho mỗi q∈* có p∈SRK( )q sao choX là p−giả compact.
Chứng minh: Các kết quả (1)⇒(2), 3( ) ( ) ( ) ( )⇒ 4 , 4 ⇒ 5 và ( ) ( ) ( ) ( )2 ⇒ 6 ⇒ 7 ⇒ 8 là rõ ràng. Tương đương( ) ( )2 ⇔ 3 là ( )4
trong định lí 3.1.3. Kết quả ( ) ( )5 ⇒ 1 từ bổ đề 3.2.3. Cuối cùng ( ) ( )8 ⇒ 5 trong định lí 3.2.4.
4.1.4. Hệ quả
Cho và . Nếu là giả− −bị chặn và nó không là giả bị chặn,thì có sao cho .
4.2. Không gian D−compact mạnh 4.2.1. Bổ đề