Phương trình đại số lyapunov và một số tính chất liên quan

Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời mở đầu 3 Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt 5 1 Phương trình Lyapunov trong lý thuyết ổn định của phương trình vi phân 6 1.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Hệ động lực tuyến tính rời tạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục 10 2.1 Các phương pháp vectơ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Phương pháp Bellman (1959) . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Phương pháp MacFalane (1963) . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3 Phương pháp Bingulac (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng . . . . . . . . . . . 21 3 Các tính chất của nghiệm phương trình Lyapunov 24 3.1 Đánh giá nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.1 Đánh giá giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Đánh giá vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Đánh giá định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học khoa học và Tự Nhiên Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Bình Minh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc trong công việc, gần gũi trong cuộc sống của thầy đã giúp cho tôi có niềm tin, ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã đồng hành, hết lòng động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn thạc sĩ này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Học viên Phạm Thanh Nga 2 LỜI MỞ ĐẦU Phương trình ma trận Lyapunov và tựa Lyapunov xuất hiện nhiều trong các tư tưởng toán học và kỹ thuật khác nhau như lý thuyết điều khiển, lý thuyết hệ thống, tối ưu hóa, hệ thống điện, xử lý tín hiệu số, đại số tuyến tính, phương trình vi phân Theo định nghĩa của Lyapunov về sự ổn định (hay được gọi là sự ổn định theo tư tưởng Lyapunov), người ta có thể kiểm tra sự ổn định của một hệ thống bằng cách xác định các hàm Lyapunov. Trong toán học, các hệ thống tuyến tính xử lý rất dễ dàng và ta có thể biểu diễn xấp xỉ tuyến tính cho các hệ thống phi tuyến, kết quả phân tích của các nhà toán học cũng như kỹ thuật thường dựa vào mô hình tuyến tính. Vì vậy, nghiệm của phương trình ma trận Lyapunov sẽ cho chúng ta hiểu sâu hơn về cách thức hoạt động của các hệ thống động lực học. Phương trình Lyapunov được ứng dụng không chỉ trong nghiên cứu tính ổn định của các hệ thống tuyến tính mà còn được ứng dụng trong bài toán điều khiển và bài toán lý thuyết hệ thống đều dựa vào phương trình Lyapunov hoặc phương trình tựa Lyapunov: khái niệm về Grammian điều khiển và quan sát(Chen, 1984), phép biến đổi cân bằng(Moore, 1981), sự tăng cường tính ổn định để biến đổi các tham biến(Patel và Toda, 1980; Yedavalli, 1985), nghiên cứu giảm bậc mô hình và giảm bậc điều khiển(Hyland và Bernstein, 1985, 1986; Bernstein và Hyland, 1985; Safonov và Chiang, 1989), cấu trúc thay đổi của không gian lớn(Balas, 1982), thiết kế dự toán(Chen, 1984). Trong luận văn này, tôi giới thiệu phương pháp giải phương trình ma trận Lyapunov và các phương pháp giải gần đúng cho hệ thống thời gian liên tục. Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1. Phương trình Lyapunov trong lý thuyết ổn định của phương trình vi phân Trong chương này, tôi giới thiệu về tính ổn định của hệ tuyến tính, đồng thời đưa ra và chứng minh cụ thể các định lý về tính ổn định tiệm cận, các ví dụ minh họa. Chương 2. Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov 3 liên tục Trong chương này, tôi trình bày các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục. Đó là các phương pháp: vectơ hóa, sử dụng hàm mũ ma trận và phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng. Chương 3. Các tính chất nghiệm của phương trình Lyapunov Trong chương này, tôi trình bày những nội dung sau: đánh giá nghiệm, đánh giá vết và đánh giá định thức. 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT R n×n tập các ma trận cấp n × n. ||x|| chuẩn của phần tử x. λ i giá trị riêng. y = (y 1 , y 2 , · · · , y n ) T vectơ riêng trong không gian R n tr(A) vết của ma trận A. det(A) định thức của ma trận A. 5 Chương 1 Phương trình Lyapunov trong lý thuyết ổn định của phương trình vi phân Theo lý thuyết ổn định của Lyapunov (Lyapunov 1892), sự ổn định của hệ động lực có thể xác định bởi các hàm vô hướng được gọi là hàm Lyapunov. Hàm Lyapunov được áp dụng cho hệ tuyến tính hoặc phi tuyến, trong miền liên tục hoặc miền rời rạc theo thời gian. 1.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục Xét hệ tuyến tính, liên tục, bất biến theo thời gian được mô tả bởi phương trình sau ˙x = Ax(t), x(t 0 ) = x 0 , (1.1) trong đó x(t) là véctơ trạng thái, x(t) ∈ R n , A là ma trận trong không gian R n×n . 6 Định nghĩa 1.1. Hệ động lực tuyến tính (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận A nằm trọn trong nửa trái của mặt phẳng phức. Lý thuyết ổn định của Lyapunov được xây dựng như sau. Định lý 1.1. Điểm cân bằng x = 0 của hệ động lực động lực tuyến tính (1.1) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một hàm khả vi vô hướng liên tục V (x) thỏa mãn các điều kiện sau: V (x) ≥ 0, V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0. (1.2) ˙ V (x) = dV dx = ∂V ∂x dx dt < 0. (1.3) Đối với hệ động lực động lực tuyến tính (1.1), có thể có nhiều cách chọn hàm Lyapunov. Cách đơn giản nhất là chọn hàm Lyapunov có dạng toàn phương. Giả sử rằng, với Q là một ma trận đối xứng, xác định dương, phương trình đại số Lyapunov (gọi tắt là phương trình Lyapunov) sau A T P + P A + Q = 0 có một nghiệm P là đối xứng, xác định dương. Khi đó, ta xây dựng hàm Lya- punov dưới dạng sau: V (x) = x T P x Ta sẽ kiểm tra V (x) = x T P x là hàm Lyapunov thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.1. Thật vậy • V (x) = x T P x ≥ 0, do P là ma trận xác định dương. • V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0, do P là ma trận xác định dương. • Tính ˙ V (x), ta có: ˙ V (x) = ( ˙x) T P x + x T (P ˙x) = x T A T P x + x T P Ax = x T (A T P + P A)x 7 = −x T Qx < 0, (do Q là ma trận xác định dương). Như vậy, tính ổn định tiệm cận của hệ (1.1) liên quan đến sự tồn tại nghiệm đối xứng, xác định dương của phương trình Lyapunov. Từ đó ta có kết quả sau: Định lý 1.2. Hệ động lực động lực tuyến tính (1.1) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu với mỗi Q = Q T > 0 tồn tại duy nhất nghiệm P = P T > 0 của phương trình Lyapunov sau A T P + P A + Q = 0. Định lý 1.2 có thể mở rộng cho trường hợp Q = C T C ≤ 0. Ở đây không cần thiết Q > 0. Trong trường hợp đó hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu cặp (A, C) là quan sát được và phương trình đại số Lyapunov có nghiệm duy nhất P = P T > 0. Tính quan sát được của cặp (A, C) có thể kiểm tra một cách dễ dàng nhờ vào tiêu chuẩn Kalman. 1.2 Hệ động lực tuyến tính rời tạc Cho một hệ tuyến tính rời rạc bất biến theo thời gian x(k + 1) = Ax(k), x(k 0 ) = x 0 . (1.4) Đối với hệ động lực động lực rời rạc (1.4), ta chọn hàm Lyapunov có dạng toàn phương như sau. Giả sử rằng, với Q là một ma trận đối xứng, xác định dương, phương trình đại số Lyapunov rời rạc sau A T P A − P + Q = 0 có một nghiệm P là đối xứng, xác định dương. Khi đó, ta xây dựng hàm Lya- punov dưới dạng sau: V (k) = x(k) T P x(k) Ta sẽ kiểm tra V (x) = x(k) T P x(k) là hàm Lyapunov. Thật vậy • V (k) = x(k) T P x(k) ≥ 0, do P là ma trận xác định dương. 8 • V (k) = 0 khi và chỉ khi x(k) = 0, do P là ma trận xác định dương. • Tính ∆V (k), ta có: ∆V (k) = V (k + 1) − V (k) = x T (k + 1)P x(k + 1) − x T (k)P x(k) = x T (k)(A T P A − P )x(k) = −x T (k)Qx(k) < 0, (do Q là ma trận xác định dương). Như vậy, tính ổn định tiệm cận của hệ rời rạc (1.4) liên quan đến sự tồn tại nghiệm đối xứng, xác định dương của phương trình Lyapunov rời rạc. Từ đó ta có kết quả sau: Định lý 1.3. Hệ động lực động lực tuyến tính (1.4) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu với mỗi Q = Q T > 0 tồn tại duy nhất nghiệm P = P T > 0 của phương trình Lyapunov sau A T P A − P + Q = 0. 9 Chương 2 Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục Các phương pháp tìm nghiệm tường minh cho phương trình đại số Lyapunov được nghiên cứu vào cuối những năm 1960 và đầu những năm 1970. Xét phương trình sau: A T P + P A + Q = 0, (2.1) trong đó A, P, Q ∈ R n×n . Trong các phương pháp được đưa ra dưới đây, chúng ta nhóm lại thành các phương pháp: phương pháp vectơ hóa, phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận, phương pháp ma trận phản đối xứng, và các phương pháp đưa ma trận A về các dạng đặc biệt. 2.1 Các phương pháp vectơ hóa Trong các phương pháp vectơ hóa, phương trình ma trận Lyapunov sẽ được đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến tính nhờ vào việc đưa ma trận cần tìm 10 [...]... 1 16 1 8 1 16        Chương 3 Các tính chất của nghiệm phương trình Lyapunov 3.1 Đánh giá nghiệm Do phương trình Lyapunov liên quan đến việc xây dựng hàm Lyapunov để khảo sát sự ổn định của hệ tuyến tính, việc đánh giá nghiệm của phương trình Lyapunov rất quan trọng trong việc khảo sát dáng diệu của hệ tuyến tính Các đánh giá nghiệm của phương trình Lyapunov bao gồm: đánh giá giá trị riêng,... việc giải phương trình Lyapunov được đưa về việc giải hệ phương trình tuyến tính sau:  2a11 a21  a  12 a11 + a22   a12 0  0 a12  a21 0 a11 + a22 a12   0 q11 p11     q  a21  p12     12    = −  q21  a21  p21      2a22 q22 p22  x A b Điều kiện để hệ phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất Để phương trình đại số (2.2) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là ma... MacFalane năm 1963 cải tiến phương pháp của Bellman 1959 (ta chỉ cần giải 1 2 n(n + 1) phương trình tuyến tính để tìm 1 2 n(n + 1) ẩn số) Theo phương pháp này, việc giải phương trình (2.1) tương đương với việc giải hệ phương trình tuyến tính sau: 1 Ap = − q 2 (2.5) trong đó A là ma trận cấp 1 n(n + 1) × 1 n(n + 1) và p, q là các vectơ cột gồm 2 2 1 2 n(n + 1) phần tử: p = [p11 , p12 , · · · , p1n ,... 1 0 0 1   Cuối cùng, nghiệm P của phương trình được tính như sau:   P = M GM T =  2.3 11 12 1 4 1 4 1 12  Phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng Thuật toán sử dụng ma trận phản đối xứng được xây dựng như sau Thuật toán 3 Bước 1: Tìm ma trận phản đối xứng S T = −S là nghiệm của phương trình đại số sau: AT S + SA = AT Q − QA Bước 2: Nghiệm của phương trình Lyapunov được xác định bởi công thức... trái mặt phẳng phức thì hệ phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất 2.1.2 Phương pháp MacFalane (1963) Hệ phương trình (2.2) trong phương pháp nêu trên có nhiều ẩn số thừa Điều này là do ma trận cần tìm P là ma trận đối xứng, nên chỉ cần tìm 1 n(n + 1) số 2 12 phần tử của P , không cần tìm tất cả n2 số phần tử của P Phương pháp sau đây được đưa ra bởi MacFalane năm 1963 cải tiến phương pháp của Bellman... −0.1625 và Q = I Dễ dàng ta có |P | = 0.0544 Ta có các đánh giá sau: • Định lý 3.7 =⇒ det(P ) ≥ 1.8713, • Công thức 3.3 =⇒ det(P ) ≥ 0.011, • Định lý 3.8 =⇒ det(P ) ≥ 1.8713 Chú ý, Công thức 3.4 không áp dụng trong trường hợp λ1 (A + AT ) > 0 32 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày được những nội dung sau đây: • Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục (Các phương pháp vectơ hóa, phương. .. mũ ma trận và phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng) • Các tính chất của nghiệm phương trình Lyapunov (Đánh giá nghiệm, đánh giá vết, đánh giá định thức) Nếu có thể chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu về đề tài này trong thời gian sắp tới Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên trong luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tôi rất mong được sự góp ý quý báu của thầy cô và bạn đọc... (t) được tính toán bằng phương pháp thông thường T Sau khi tính được ma trận mũ eA t , ta tìm nghiệm P theo phương pháp sau Trước tiên ta phân tích Q = Γ Γ T , với Γ ∈ Rn×r Đặt M là ma trận sau: 2 n−1 M := Γ, AT Γ, (AT ) Γ, · · · , (AT ) 19 Γ Khi đó ∞ T eA t QeAt dt = M HM T P = 0 với H := G ⊗ Ir ∈ Rnr×nr G := GT = {gij ∈ Rn×n } (2.9) ∞ gij := ai (t)aj (t)dt 0 Ví dụ 2.6 Giải phương trình Lyapunov. .. < 0 Chứng minh Nhân hai vế của phương trình (2.1) với các vectơ riêng của A, tức là x∗ (AT P + P A)x = −x∗ Qx trong đó ∗ dùng để mô tả liên hợp phức Khi đó, chúng ta có 2Re{λ(A)}x∗ P x = −x∗ Qx Theo tính chất cực đại của thương Rayleigh, ta có λmin (P ) ≤ λmax (Q) , 2| min{Re{λ(A)}}| λmax (P ) ≥ 26 λmin (Q) 2| max{Re{λ(A)}}| Phần tiếp theo của các bất đẳng thức (3.1) và (3.2) được chứng minh bằng cách... toán 1 Xây dựng một bảng có chỉ số hàng là (k, l) và chỉ số cột là (i, j) Các ô của bảng này được xác định dựa theo các điều kiện sau: 1 Nếu k = i, l = j −→ A(l, j) Nếu k = i, l = j −→ A(k, i) 2 Nếu k = i, l = j, thì k = j, l = i −→ A(l, i) k = j, l = i −→ A(k, j) k = j, l = i −→ 0 3 Nếu k = i, l = j, thì k = j, l = i −→ A(k, i) k = j, l = i −→ A(k, i) + A(l, j) Ví dụ 2.2 Ta sẽ trình bày một ví dụ xác . họa. Chương 2. Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov 3 liên tục Trong chương này, tôi trình bày các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục. Đó là các phương pháp: vectơ. giải phương trình đại số Lyapunov liên tục Các phương pháp tìm nghiệm tường minh cho phương trình đại số Lyapunov được nghiên cứu vào cuối những năm 1960 và đầu những năm 1970. Xét phương trình. cận nếu và chỉ nếu cặp (A, C) là quan sát được và phương trình đại số Lyapunov có nghiệm duy nhất P = P T > 0. Tính quan sát được của cặp (A, C) có thể kiểm tra một cách dễ dàng nhờ vào tiêu