Một số tính chất của tích LIE đối với các hàm và liên thông trên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC 1 Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN TRUNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH LIE ĐỐI VỚI CÁC ĐẠO HÀM VÀ LIÊN THÔNG TRÊN ĐẠI SỐ CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC – TÔPÔ. Mã số: 62.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Nghệ An - 2014 2 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 2 CHƯƠNG I. ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE 4 I. Đại số và đại số Lie 4 II. Đạo hàm Lie trên đại số Lie 13 CHƯƠNG II. TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE 20 I. Tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số G 20 II. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G 22 III. Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến 27 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 3 LỜI MỞ ĐẦU Vào cuối thế kỷ 19 trong các công trình của Xôphux Lie và Phêlix Klein đã xuất hiện sự kết hợp giữa lý thuyết nhóm và hình học Riemann. Sự kết hợp này được xem là những công trình mở đầu của lý thuyết mới, đó là lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie. Sự ra đời của lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đã liên kết các chuyên ngành Hình học – Tôpô, Giải tích và Đại số. Do đó đại số Lie là một bộ phận của toán học hiện đại. Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie đang được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học. Đặc biệt nó được xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình học trên các đa tạp Riemann. Hiện nay, lý thuyết đại số Lie đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [7] và một phần mở đầu của đại số Lie được trình bày trong các bài giảng về đại số Lie và nhóm Lie cho các lớp cao học chuyên ngành Hình học – Tôpô ở các trường đại học. Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang chúng tôi chọn đề tài: “Một số tính chất của tích Lie đối với các đạo hàm và liên thông trên đại số”. Luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1. Đạo hàm Lie trên đại số Lie. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niện cơ bản và một số tính chất về đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie và đạo hàm Lie trên F. Đây là kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc trình bày chương 2. Chương 1 được chia làm hai phần: I. Đại số và đại số Lie. II. Đạo hàm Lie trên đại số Lie. Chương 2. Tích Lie của đạo hàm Lie và liên thông tuyến tính trên đại số Lie. 4 Trong chương này, chúng tôi trình bày ba nội dung chính là: Tích Lie của đạo hàm Lie, tích Lie của đạo hàm hiệp biến và tích Lie của đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến. Chương này được chia làm ba phần I. Tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số G. II. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G. III. Tích Lie của các đạo hàm hiệp biến. Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã chỉ dẫn tận tình tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, phòng đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả 5 CHƯƠNG I ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Lie. I. ĐẠI SỐ VÀ ĐẠI SỐ LIE. 1.1. Đại số. Như ta đã biết, một môđun G trên vành K (K giao hoán, có đơn vị 1 (1 ≠ 0)), đó là một nhóm cộng Aben G với phép nhân vô hướng. K G G× → , ( , )a x a .a x , thỏa mãn các tiên đề: 1. ( ) ; 2. ( ) ; 3. ( . ) ( ); 4. 1. ; a x y ax ay a b x ax bx a b x a bx x x + = + + = + = = ; , . , ; . , ; . . a K x y G a b K x G a b K x G x G ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ Τa nhận thấy rằng, trong trường hợp K là một trường thì G là một không gian véctơ trên trường K. 1.1.1. Định nghĩa. G được gọi là một đại số trên K, nếu G được trang bị một phép toán tích trong “.” : G G G× → ( , )x y a x.y có tính chất song tuyến tính. Nghĩa là: ) .( ) . . ; ) ( ). . . ; ) (a.x). .( . ) .( . ); x y z x y x z x y z x z y z y x a y a x y + + = + + + = + + = = , , . , , . , , . x y z G x y z G x y G a K ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ Chú ý: +) Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì đại số G được gọi là đại số giao hoán. +) Nếu tích trong có tính chất kết hợp thì đại số G được gọi là đại số kết hợp. 6 +) Nếu x.y = 0; ,x y G∀ ∈ thì đại số G được gọi là đại số tầm thường. +) Trong luận văn này, ta quy ước viết: x.y = xy 1.1.2. Ví dụ. Giả sử M là một đa tạp khả vi thực n chiều. Ta ký hiệu: F (M) ={ |f f : M ,R f→ khả vi} là tập các hàm khả vi trên đa tạp M. Các phép toán được trang bị trên F (M) là: 1. Phép cộng: ( f + g): M R→ x a ( ) ( )f x g x+ . 2. Phép nhân: R × →F( F(M) : M M) (a, f ) a af . 3. Phép tích trong: R→F( F(M) x M) ( f ,g)(x) ( ) ( ), ,f x g x f g∀ ∈a F( )M . Khi đó, F(M) là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R. Thật vậy: +) F(M) cùng với phép toán 1) và 2) là một không gian véc tơ. +) Để chứng minh F(M) là một đại số, ta cần kiểm tra các điều kiện của 3. Ta có: , , ;f g h x M a∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈RF( ) ;M . *) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g h x f x g h x+ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . f x g x h x f x g x f x h x = + = + ( ) .f g h fg fh⇒ + = + *) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g h x f g x h x+ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . f x g x h x f x h x g x h x = + = + ( ) .f g h fh gh⇒ + = + 7 *) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) af g x af x g x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . a f x g x f x ag x f ag x a f x g x a fg x = = = = = ( ) ( ) ( ) af g f ag a fg⇒ = = . +) Tích các ánh xạ trong F(M) có tính chất giao hoán, kết hợp. +) Phần tử đơn vị là ánh xạ: : 1;p p M α ∀ ∈a . Vậy F(M) là một đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị trên R. 1.2. Đại số Lie. 1.2.1. Định nghĩa. Cho G là một đại số trên K, với phép nhân được ký hiệu là [,]. G được gọi là đại số Lie nếu tích [,] thỏa mãn tính chất phản xứng và hệ thức Jacobi: i) [ ] [ ] , , ; ,x y y x x y G= − ∀ ∈ . ii) [ ] [ ] [ ] , , , , , , 0; , ,x y z y z x z x y x y z G       + + = ∀ ∈       . Chú ý: +) Điều kiện i) có thể thay bằng [ ] , 0;x x x G= ∀ ∈ . +) Chiều trên K của môđun G được gọi là chiều của đại số Lie G. 1.2.2. Nhận xét. • Mọi đại số tầm thường G đều là đại số Lie. • Cho G là một không gian n-chiều trên K. Cấu trúc đại số Lie trên G, có thể được cho bởi từng cặp véctơ của cơ sở { } 1 2 , , , n e e e đã chọn trong G như sau : ij 1 , , 1 n k i j k e e C i j n =   = ≤ ≤ ≤   ∑ ; 8 và x , i i j j i j x e y y e= = ∑ ∑ , thì [ ] ( ) ij , , , k i j i j i j j i k i j i j k x y x y e e x y x y C e <     = = −  ÷     ∑ ∑ ∑ . Các hệ số ij ,1 k C i j n≤ ≤ ≤ được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G. 1.2.3. Ví dụ. 1. Không gian véctơ 3 R với tích Lie của hai véctơ là tích có hướng thông thường của hai véctơ, thì 3 R là một đại số Lie trên R. Nhắc lại, tích có hướng được định nghĩa như sau : x(x 1 , x 2 , x 3 ), y(y 1 , y 2 , y 3 ) Î 3 R , ta có : [x,y] = ( ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 , ,x y x y x y x y x y x y x y= - - -Ù Thật vậy, ở đây ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie. • [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính. Với mọi x(x 1 , x 2 , x 3 ), y(y 1 , y 2 , y 3 ), z(z 1 , z 2 , z 3 ) Î 3 R và a, b Î K ta có : * [ax + by, z] = (ax+by) Ù z = a(x Ù z)+ b(y Ù z) = a[x,z] + b[y,z]. * [ , ] ( )x ay bz x ay bz+ = +Ù ( ) ( ) [ , ] [ , ]. a x y b x z a x y b x z = +Ù Ù = + • [,] thoả mãn tính chất phản xứng. Với mọi 3 x RÎ thì [x,x] = 0x x =Ù . • [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi. Với mọi 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , )x x x x y y y y z z z z RÎ ta có : 9 * [ ] , , ( )x y z x y z é ù = ÙÙ ë û . * [ ] , , ( )z x y z x y é ù = ÙÙ ë û . * [ ] , , ( )y z x y z x é ù = ÙÙ ë û . Khi đó : [ ] [ ] [ ] , , , , , ,x y z z x y y z x é ù é ù é ù + + ë û ë û ë û = 0. 2. Ta ký hiệu tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K là Mat n (K). Trên Mat n (K) ta trang bị tích Lie [x, y] = xy – yx với mọi x, y Î Mat n (K). Khi đó, Mat n (K) với tích Lie như trên là một đại số Lie. Ta kiểm tra các tính chất song tuyến tính, phản xứng và hệ thức Jacobi của tích Lie. • [,] thoả mãn tính chất song tuyến tính. Thật vậy, , , ( ) n x y z Mat K" Î và ,a b KÎ ta có: [ ] [ ] [ ] , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ax by z ax by z z ax by a xz zx b yz zy a x z b y z + = + - + = - + - = + Tương tự ta cũng kiếm tra được [ ] [ ] [ ] , , ,x ay bz a x y b x z+ = + . • [,] thoả mãn tính chất phản xứng. Thật vậy, vì [ ] , 0x x xx xx= - = với mọi ( ) n x Mat KÎ . • [,] thỏa mãn hệ thức Jacobi. Thật vậy, , , ( ) n x y z Mat K" Î ta có : * [ ,[ , ]] [ , ]x y z x yz zy= − ( ) ( ) yzx yx. x yz zy yz zy x xyz xzy z = − − − = − − + * [ ,[ , ]] [ , ]y z x y zx xz= − ( ) ( ) yzx yx . y zx xz zx xz y z zxy xzy = − − − = − − + 10 [...]... là đại số con của F Vậy Ga là đại số Lie con của F CHƯƠNG 2 TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về tích Lie của các đạo hàm Lie, tích Lie của các đạo hàm hiệp biến, tích Lie của đạo Lie và đạo hàm hiệp biến I TÍCH LIE CỦA CÁC ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ G 1.1 Đạo hàm Lie trên đại số G Ta giả thiết G là đại số. .. Lie của đạo hàm Lie trên đại số, tích Lie của các đạo hàm hiệp biến, tích Lie của đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến 3 Phát biểu và chứng minh mệnh đề về tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số G, (mệnh đề 1.2.2 trang 20) 4 Phát biểu và chứng minh mệnh đề về tích Lie của các đạo hàm hiệp biến, ( nhận xét 3.2.2 trang 27 và mệnh đề 3.2.3 trang 28) 5 Phát biểu và chứng minh mệnh đề về tích Lie của đạo hàm Lie. .. (3) Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được: [[LX , LY ], LZ ]+[[LY , LZ ], LX ] + [[L Z , LX ], LY ]=0 II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ G Trong mục này, ta luôn giả thiết G là đại số Lie giao hoán, kết hợp, có đơn vị e trên K và F = { X| X là đạo hàm trên đại số Lie G} 2.1 Liên thông tuyến tính trên đại số G 2.1.1 Định nghĩa Giả sử G là đại số Lie và ∇ là một ánh xạ : F × F →... Thay vào (1) ta được: [L X , ∇Y ]Z = ( LX ∇ ) ( Y , Z ) + ∇Y ( LX Z ) + ∇[X ,Y ] Z − ∇Y ( LX Z ) = ( LX ∇ ) ( Y , Z ) + ∇[X ,Y ] Z (1) 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi đã đạt được các kết quả chính sau đây: 1 Hệ thống một số khái niệm, chứng minh chi tiết một số tính chất về đại số, đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm Lie trên đại số Lie 2 Trình bày một số định nghĩa và tính chất về tích Lie. .. Lie và đạo hàm hiệp biến, ( mệnh đề 3.3.3 trang 30) 35 Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục khảo sát tính ứng dụng của tích Lie các đạo hàm hiệp biến trên các đại số vào độ cong, độ xoắn trên đại số TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Khu Quốc Anh (2011), Lý thuyết liên thông và hình học Riemann, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 68 - 220 [2] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie và nhóm Lie, Đại. .. đẳng cấu Lie trong tập hợp các đại số Lie là một quan hệ tương đương +) Ta ký hiệu L(G ) = {ϕ | ϕ là các tự đẳng cấu của đại số Lie G} Khi đó, L(G) lập thành một nhóm với phép nhân là phép hợp thành các tự đẳng cấu Lie 1.3.2 Ví dụ a) Cho G là đại số Lie trên trường R Khi đó, ánh xạ đồng nhất trên G là một đồng cấu Lie b) Ta xét G = { (0,0, a, b, c) | a, b, c ∈ R} Trên G ta trang bị phép toán tích Lie như... 2.2 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số G 2.2.1 Định nghĩa 27 Giả sử X ∈ F và ∇ là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G Đạo hàm của ∇ theo hướng X được ký hiệu LX ∇ và được xác định như sau: LX ∇ : F × F → F ( Y , Z ) a ( L ∇) ( Y , Z ) = L ( ∇ Z ) − ∇ ( L Z ) − ∇ X X Y Y X [X ,Y ] Z 2.2.2 Ví dụ Trong R2 , với X( 2x ; y), Y(x ; xy), Z(xy ; x2y) Tính ( LX ∇)(Y , Z ) với ∇ = D thông. .. | X ∈ F } và ta đưa vào L các phép toán sau: 1 LX + LX = LX + X ' 2 aLX ' = LaX ; ∀a ∈ K Ta nhận thấy L với hai phép toán trên là một môđun trên K 1.2 Tích Lie của các đạo hàm Lie trên đại số G 1.2.1 Định nghĩa Tích Lie của LX , LY được ký hiệu [LX , LY] và được xác định như sau: [LX , LY ] ( Z ) = LX o LY ( Z ) − LY o LX ( Z ) ; ∀Z ∈ F 1.2.2 Mệnh đề Giả sử LX , LY là hai phép đạo hàm Lie theo hướng... )); ∀X , Y ∈ F , ∀f ∈ G Vậy ∇ + S là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G Bây giờ, ta xét: x∇ : F × F → F ( X , Y ) a x.∇ X Y ; ∀x ∈ G 2.1.3 Mệnh đề Giả sử ∇1 , ∇ 2 là hai liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và e là đơn vị của G Khi đó ∇ = y∇1 + (e − y )∇ 2 là liên thông tuyến tính, ∀y ∈ G Chứng minh Ta chứng minh : ∇ = y∇1 + (e − y )∇ 2 là liên thông tuyến tính 26 Thật vậy, ∀X , X ' , Y , Y... ) TÍCH LIE CỦA CÁC ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN III.1 Đạo hàm hiệp biến III.1.1 Định nghĩa Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và X ∈ F Đạo hàm hiệp biến theo hướng X là ánh xạ ∇X : F → F Y a ∇XY Từ định nghĩa của liên thông tuyến tính ∇ , ta nhận thấy rằng: 29 1 ∇ X ( Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z ; ∀Y , Z ∈ F 2 ∇ X ( aY ) = a∇ X Y ; ∀a ∈ K Bây giờ, ta ký hiệu ∇G = {∇ X | X ∈ F } và ta đưa vào . ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE 4 I. Đại số và đại số Lie 4 II. Đạo hàm Lie trên đại số Lie 13 CHƯƠNG II. TÍCH LIE CỦA ĐẠO HÀM LIE VÀ LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ LIE 20 I. Tích Lie của đạo hàm. I ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐẠI SỐ LIE Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Lie. I. ĐẠI SỐ VÀ ĐẠI SỐ LIE. 1.1. Đại số. Như ta đã biết, một môđun G trên vành. chính là: Tích Lie của đạo hàm Lie, tích Lie của đạo hàm hiệp biến và tích Lie của đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến. Chương này được chia làm ba phần I. Tích Lie của đạo hàm Lie trên đại số G. II.