Một số tính chất của vành chính quy von neumann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỮU QUÂN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY VON NEUMANN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS BÙI XUÂN HẢI TP. HỒ CHÍ MINH - 2011 Lời cám ơn Trước tiên em xin gửi lời cám ơn đến các thầy, cô của Phòng sau đại học, Ban giám hiệu trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã tạo điều kiện để em có thể tiếp tục việc học và hoàn tất luận văn này. Em xin cám ơn các thầy, cô trong khoa Toán - Tin học, nhất là các thầy trong bộ môn Đại số. Các thầy đã dạy dỗ em trong suốt những năm qua, đã truyền cho em không chỉ có kiến thức mà còn là niềm say mê toán học. Chính những điều này giúp em rất nhiều trong việc dạy dỗ các em và các cháu của mình. Hơn thế nữa, nó trở thành niềm tin giúp em có thêm nghò lực, vượt qua rất nhiều khó khăn trong việc học cũng như trong cuộc sống của mình. Xin cám ơn bác só Hòa đã kiên trì điều trò, chia sẻ và động viên em trong suốt thời gian qua. Xin cám ơn anh Đinh Văn Hoàng, anh đã luôn lo lắng và giúp đỡ em như một người anh trai, cho em những lời khuyên và luôn tin tưởng em trong những lúc khó khăn nhất. Cuối cùng xin cám ơn bạn Nguyễn Ngọc Ái Vân và bạn Lê Văn Luyện đã hỗ trợ tài liệu giúp em hoàn tất luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5, 2011 Nguyễn Hữu Quân 1 Mục lục Lời nói đầu 2 Bảng ký hiệu 4 Chương 1. Một số đònh lý cấu trúc vành và môđun 5 §1. Sinh - Đối sinh, Vết - Đối vết của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 §2. Căn Jacobson - Đònh lý Wedderburn-Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §3. Môđun hữu hạn sinh và môđun hữu hạn đối sinh . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Vành chính quy von Neumann 19 §4. Đònh nghóa và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §5. Một điều kiện cần và đủ đối với vành chính quy von Neumann . . . . . 26 §6. Vành các tự đồng cấu của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chỉ mục 31 Tài liệu tham khảo 31 Bảng ký hiệu Ký hiệu Ý nghóa N Tập các số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên Z n Tập hợp số nguyên modulo n N ≤ M N là môđun con của môđun M M ∼ = N M đẳng cấu với N M ≇ N M không đẳng cấu với N M f → N Đồng cấu f từ M đến N Imf Ảnh của đồng cấu f Kerf Nhân của đồng cấu f M n Tích trực tiếp của n môđun M M n (K) Vành ma trận vuông cấp n trên K R/I Vành thương của R theo I End(R) Vành các tự đồng cấu của R R M R-môđun trái M M R R-môđun phải M R M S R-trái S-phải bimodule M/N Môđun thương của M theo N Hom R (M, N) Nhóm các đồng cấu từ R-môđun M vào R-môđun N End( R M) Vành các tự đồng cấu R-môđun trái M End(M R ) Vành các tự đồng cấu R-môđun phải M T r M (U) Vết của U Rej M (U) Đối vết của U Rad M Jacobson radica của môđun M J(R) Jacobson radica của vành R 4 Chương I. Một số đònh lý cấu trúc vành và môđun §1. Sinh - Đối sinh, Vết - Đối vết của môđun Đònh nghóa 1.1. Cho U là một lớp các R-môđun trái. Khi đó R-môđun trái M được gọi là sinh bởi U (hay U sinh M) nếu có một tập (U α ) α∈A trong U và toàn cấu ⊕ A U α → M. Nếu (U α ) α∈A là hữu hạn thì ta nói M hữu hạn sinh bởi U (hay U hữu hạn sinh M). Để thuận tiện ta sẽ gọi M là R-môđun thay cho M là R-môđun trái. Đònh nghóa 1.2. Môđun M được gọi là đối sinh bởi U (hay U đối sinh M) nếu có một tập (U α ) α∈A trong U và đơn cấu M →  A U α . Nếu (U α ) α∈A là hữu hạn thì ta nói M hữu hạn đối sinh bởi U (hay U hữu hạn đối sinh M). Đònh nghóa 1.3. Cho M là môđun và U là lớp các môđun. Khi đó, ta đònh nghóa Vết và Đối vết của U như sau: T r M (U) =  {Im h|h : U → M, U ∈ U} Rej M (U) =  {Ker h|h : M → U, U ∈ U}. Trong đó, T r M (U) được gọi là vết của U và Rej M (U) là đối vết (Reject) của U. Trường hợp riêng khi U = {U} tức là U chỉ có duy nhất một phần tử, ta có dạng đơn giản của đònh nghóa này như sau: T r M (U) =  {Im h|h ∈ Hom R (U, M)} Rej M (U) =  {Ker h|h ∈ Hom R (M, U)}. Mệnh đề 1.1. Cho M là môđun và U là một lớp các môđun. Khi đó: Rej M (U) là môđuncon K nhỏ nhất duy nhất của M sao cho M/K là đối sinh bởi U. Chứng minh. Theo đònh nghóa của Rej M (U), ta có (U β ) β∈B trong U và h β : M → U β sao cho Rej M (U) = ∩ B Ker(h β ). Đặt h =  B h β : M →  B U β ta có Ker h = Rej M (U). Như vậy M/Rej M (U) là đối sinh bởi U. 5 Cho (U α ) α∈A là một tập con của U, và đồng cấu h : M →  A U α . Đặt K = Ker h, khi đó K = ∩ A Ker(π α h) với π α là phép chiếu của  A U α xuống thành phần thứ U α (vì x ∈ Ker h ⇔ h(x) = 0 ⇔ π α h(x) = 0, ∀α ∈ A ⇔ x ∈ ∩ A Ker(π α h)). Ta có: K = Ker h ⊇ Rej M (U) và M/K →  A U α là đơn cấu. Hay M/K là đối sinh bởi U. Như vậy môđun con K của M thỏa mãn M/K là đối sinh bởi U khi và chỉ khi K chính là Ker h, với h là một đồng cấu từ M vào  A U α và K ⊇ Rej M (U). Từ các điều trên ta thấy Rej M (U) chính là môđun con K nhỏ nhất duy nhất của M thỏa M/K là đối sinh bởi U. Hệ quả 1.2. Cho M là môđun và U là một lớp các môđun. Khi đó: U đối sinh M khi và chỉ khi Rej M (U) = 0. Bổ đề 1.3. Cho M là một môđun khác 0, N là môđun con thực sự của M và x ∈ M\N. Khi đó: (i) M có môđun con K tối đại với tính chất: N ⊆ K và x ∈ K; (ii) Nếu M = Rx + N thì M có môđun con tối đại K với tính chất N ⊆ K và x ∈ K. Chứng minh. (i) Đặt S = {K ⊆ M|N ⊆ K, và x ∈ K}. Hiển nhiên S = ∅ vì N ∈ S. Quan hệ bao hàm trên S là một quan hệ thứ tự bộ phận. Giả sử K 1 ⊆ K 2 ⊆ · · · ⊆ K n ⊆ · · · là một dây chuyền tiến các môđun trong S. Đặt L = ∞  n=1 K n . Ta có N ⊆ L ⊆ M, ta chứng minh L ∈ S. Thật vậy, vì x ∈ K i , ∀i nên x ∈ L. Theo bổ đề Zorn, trong S tồn tại các phần tử tối đại. Nghóa là có môđun tối đại K thỏa N ⊆ K và x ∈ K. (ii) Suy ra từ (i). 6 §2. Căn Jacobson - Đònh lý Wedderburn-Artin Đònh nghóa 2.4. Cho S là lớp các R-môđuntrái đơn. Khi đó, với mỗi R-môđun trái M ta đònh nghóa căn Jacobson (Jacobson radical) của M là Rad M = Rej M (S). Ta biết rằng: Rej M (S) =  {Ker h | h: M → U, U ∈ S} . S là lớp các môđun đơn nên: Rad M =  {K ≤ M | K tối đại trong M}. Vì bản thân vành R cũng là một R-môđun trái, phải trên chính nó. Với phép nhân vô hướng chính là phép nhân trên vành R. Từ đây, ta có đònh nghóa căn Jacobson của vành như sau: Đònh nghóa 2.5. Cho R là vành. Khi đó căn Jacobson của vành R được kí hiệu là J(R) và được xác đònh bởi J(R) = Rad( R R). Đònh nghóa 2.6. Một vành R được gọi là J-nửa đơn (J-semisimple) nếu J(R) = 0. Mệnh đề 2.1. Cho R là vành. R = ⊕ α∈A I α là tổng trực tiếp của các ideal phải (trái) khi và chỉ khi tồn tại một tập (e i ) n i=1 các luỹ đẳng trực giao thoả 1 = e 1 + e 2 + +e n . Khi đó R = e 1 R ⊕ ⊕ e n R (R = Re 1 ⊕ ⊕ Re n ). Chứng minh. Một cách đầy đủ ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp R được phân tích theo các ideal phải. Bằng cách lập luận hoàn toàn tương tự ta có được kết quả đối với các ideal trái. (⇒) Gọi R = I 1 ⊕ ⊕ I m ⊕ là một phân tích của R thành tổng trực tiếp của các ideal phải khác không (số phần tử của tổng này không nhất thiết phải hữu hạn). Khi đó 1 = e j 1 + + e j n , trong đó e j t ∈ I j t và e j t khác không (t = 1, , n). Với mọi a ∈ R ta có: a = 1.a = n  t=1 e j t a ∈ n  t=1 I j t . Suy ra R = I j 1 + + I j n , hơn nữa tổng của các ideal trong phân tích của R ở trên là trực tiếp nên R = I j 1 ⊕ ⊕ I j n . Bằng cách đánh số lại các ideal này, ta có thể giả sử rằng R = I 1 ⊕ ⊕ I n và 1 = e 1 + + e n . Do tổng ở trên là tổng trực tiếp nên a k = e k a k với mọi a k ∈ I k . Suy ra I k = e k R, e 2 k = e k .e k = e k và e i e j = 0 nếu i = j. Do đó R = e 1 R⊕ ⊕e n R và (e i ) n i=1 là tập các lũy đẳng trực giao thỏa 1 = e 1 + +e n . (⇐) Với (e i ) n i=1 là tập hợp các luỹ đẳng trực giao của R thoả 1 = e 1 + + e n . Khi đó, với mỗi a ∈ R ta có a = 1.a = e 1 a + + e n a. Suy ra R = e 1 R + + e n R. Để chứng minh rằng R là tổng trực tiếp của các ideal này, ta cần chỉ ra rằng với mọi a ∈ e i R ∩  j=i e j R, thì a = 0. Thật vậy, với a ∈ e i R ∩  j=i e j R, ta có các a j ∈ R sao cho a = e i a i =  j=i e j a j . Suy ra a = e i a i = e i e i a i =  j=i e i e j a j = 0. Vậy R = e 1 R ⊕ ⊕ e n R. 7 Đònh lý 2.2. Cho e, f là các luỹ đẳng của vành R. Khi đó có một đẳng cấu nhóm giữa Hom R (eR, fR) và fRe. Nếu e = f, thì vành End R (eR) ∼ = eRe. Trường hợp riêng, R ∼ = End R (R). Chứng minh. Với mỗi ψ ∈ Hom R (eR, fR) ta có một a ∈ R sao cho ψ(e) = fa. Do ψ là một đồng cấu môđun nên ψ( e) = ψ(e 2 ) = ψ(e)e = fae ∈ fRe. Do đó ta có thể đònh nghóa ánh xạ θ: Hom R (eR, fR) → eRf xác đònh bởi: θ(ψ) = ψ(e). Theo như trên ta có θ(ψ) = fae ∈ fRe, ngoài ra θ(ψ − ρ) = (ψ − ρ)(e) = ψ(e) − ρ(e) = θ(ψ) − θ( ρ). Vậy θ là đồng cấu nhóm. Ta sẽ chỉ ra rằng θ là đẳng cấu. Nếu θ(ψ) = 0, thì ψ(ea 1 ) = ψ(e)a 1 = 0, ∀a 1 ∈ R. Suy ra ψ = 0, nghóa là θ là đơn cấu. Mặt khác, với mọi fae ∈ fRe ta có thể xây dựng đồng cấu ψ ∈ Hom R (eR, fR) bằng cách đặt ψ(e) = fa và đồng cấu θ bằng cách đặt θ(ψ) = fae. Do đó θ là toàn cấu, Suy ra θ là đẳng cấu. Với e = f ta có một đẳng cấu nhóm θ: End R (eR) → eRe. Ta sẽ chỉ ra rằng θ bảo toàn phép toán nhân là phép hợp nối đồng cấu trong End R (eR). Thật vậy, với ψ, ψ 1 ∈ End R (eR) và ψ(e) = ea, ψ 1 (e) = ea 1 . Ta có θ(ψ) = ea và θ(ψ 1 ) = ea 1 . Mà ψψ 1 (e) = ψ(ea 1 ) = ψ(e)a 1 = ψ(e 2 )a 1 = ψ(e)ea 1 = eaea 1 . Nên θ(ψψ 1 ) = ψψ 1 (e) = eaea 1 = θ(ψ)θ(ψ 1 ). Vậy End R (eR) ∼ = eRe. Trường hợp riêng, khi e = 1 ta có R ∼ = End R (R). Với e, f là lũy đẳng của vành R. Khi đó, với mỗi ψ ∈ Hom R (Re, Rf). Ta có a ∈ R sao cho ψ(e) = af. Suy ra ψ(e 2 ) = eψ(e) = eaf ∈ eRf. Bằng cách xét tương ứng θ: Hom R (Re, Rf) → eRf đònh bởi: θ(ψ) = ψ(e). Dễ dàng có được khẳng đònh của đònh lý trên cho trường hợp môđun phải như sau: Đònh lý 2.3. Cho e, f là các luỹ đẳng của vành R. Khi đó có một đẳng cấu nhóm giữa Hom R (Re, Rf) và eRf. Nếu e = f, thì vành End R (Re) ∼ = eRe. Trường hợp riêng, R ∼ = End R (R). Cho R là tổng trực tiếp của các ideal phải R = e 1 R ⊕ ⊕ e n R, với tương ứng 1 = e 1 + +e n . Khi đó, với mọi a ∈ R ta có: a = 1.a.1 = (e 1 + +e n )a(e 1 + +e n ) =  n i,j=1 e i ae j . Dễ thấy R có thể được phân tích dưới dạng tổng trực tiếp của các nhóm aben e i Re j (i, j = 1, , n): R = ⊕ n i,j=1 e i Re j . Kí hiệu các phần tử của R ij = e i Re j bởi a ij và viết a ∈ R dưới dạng ma trận a =      a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nn      8 trong đó a ij = e i ae j ∈ R ij . Lúc này R được biểu diễn như là một vành ma trận R =      R 11 R 12 . . . R 1n R 21 R 22 . . . R 2n . . . . . . . . . . . . R n1 R n2 . . . R nn      với các phép toán cộng và nhân thông thường. Phân tích dạng này được gọi là phân tích Peirce hai phía của vành R (two-sided Peirce decomposition, hay ngắn gọn là Peirce decomposition). Theo đònh lý 2.2 thì các phần tử của e i Re j được xác đònh một cách tự nhiên qua đồng cấu từ e j R đến e i R. Mệnh đề 2.4. Cho M là R-môđun và S = End R (M). Khi đó, với số nguyên dương n bất kỳ, tồn tại đẳng cấu vành giữa End R (M n ) và M n (S). Chứng minh. Với f ∈ End R (M n ), gọi ε j : M → M n là phép nhúng M vào thành phần thứ j, và π i : M n → M là phép chiếu M n xuống thành phần thứ i. Gọi α ij = π i fε j là dãy hợp nối ánh xạ M ε j −→ M n f −→ M n π i −→ M. Khi đó, tương ứng f −→ (α ij ) xác đònh một đồng cấu nhóm ϕ : End R (M n ) → M n (S). Ngược lại, nếu (α ij ) là một ma trận bất kỳ thuộc M n (S) thì ta đònh nghóa f(x 1 , , x n ) = (y 1 , , y n ), trong đó y i =  n j=1 α ij x j , ∀i = 1, , n. Tương ứng (α ij ) → f xác đònh một đồng cấu nhóm ψ : M n (S) → End R (M n ). Hơn nữa, kiểm chứng dễ dàng ψϕ = 1 End R (M n ) và ϕψ = 1 M n (S). Vậy ϕ là một đẳng cấu nhóm abel. Mệnh đề 2.5. Cho M = M 1 ⊕ ⊕ M n , trong đó (M i ) n i=1 là tập các R-môđun con của M đôi một đẳng cấu với nhau. Khi đó, End R (M) ∼ = M n (End R (M 1 )). Chứng minh. Với i = 1, , n, gọi π i là phép chiếu của môđun M xuống hạng tử trực tiếp M i . Khi đó (π i ) n i=1 là họ các luỹ đẳng trực giao trong vành End R (M) thoả 1 = π 1 + + π n . Ta có phân tích Peirce của vành End R (M): End R (M) = ⊕ n i,j=1 π i End R (M)π j . 9 Theo phân tích này thì mọi phần tử ϕ ∈ End R (M) có dạng ϕ =      ϕ 11 ϕ 12 . . . ϕ 1n ϕ 21 ϕ 22 . . . ϕ 2n . . . . . . . . . . . . ϕ n1 ϕ n2 . . . ϕ nn      trong đó ϕ ij = π i ϕπ j . Một cách tự nhiên, các phần tử ϕ ij được coi như là các đồng cấu môđun từ M j đến M i . Theo giả thiết các môđun M i , i = 1, , n là đẳng cấu với nhau. Cố đònh một đẳng cấu µ i : M 1 → M i . Xét tương ứng đi từ ma trận ϕ = (ϕ ij ) tới ma trận ˆϕ = (µ −1 i ϕ ij µ i ) ∈ M n (End A (M 1 )). Rõ ràng tương ứng này xác đònh một đẳng cấu vành từ End A (M) vào M n (End A (M 1 )). Bổ đề 2.6. (Schur’s Lemma) Mọi đồng cấu khác không giữa các môđun đơn là đẳng cấu. Trường hợp riêng, vành tự đồng cấu của một môđunđơn là vành chia. Chứng minh. Cho f: U → V là đồng cấu khác không từ môđun đơn U vào môđun đơn V . Do Im f, Ker f lần lượt là môđun con của V và U, f = 0 suy ra Ker f = U và Im f = 0. Từ U, V là đơn ta có Ker f = 0 và Im f = V suy ra f là đẳng cấu. Từ bổ đề Schur ta còn thấy: nếu M và N là các môđun đơn và M ≇ N thì Hom R (M, N) = 0. Đònh lý 2.7. (Wedderburn-Artin) Cho vành R, khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương: (a) R là nửa đơn phải; (b) R đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành ma trận trên vành chia; (c) R là nửa đơn trái. Chứng minh. (a) ⇒ (b): Theo đònh nghóa, vành R là R-môđun nửa đơn phải thì R được phân tích thành tổng trực tiếp của các R-môđun phải đơn. Giả sử R có phân tích dạng: R R = ⊕ A R α trong đó R α là các R-môđun phải đơn với mọi α ∈ A. Đặt (π α ) α∈A là các phép chiếu π α : R → R α . Ta có π α (1) = 0 với một số hữu hạn các α ∈ A. Suy ra chỉ có một số hữu hạn các R α , hay R được phân tích thành tổng của một số hữu hạn các R-môđun đơn. Bằng cách nhóm các môđun đẳng cấu với nhau ta có R = R n 1 1 ⊕ ⊕ R n s s , trong đó các môđun R 1 , , R s là các môđun phải đơn và đôi một không đẳng cấu với nhau. Khi đó theo mệnh đề 2.1, tồn tại các luỹ đẳng trực giao f 1 , , f s sao cho 1 = f 1 + + f s và f i R = R n i i (i = 1, 2, , s). 10 [...]... II Vành chính quy von Neumann §4 Đònh nghóa và một số tính chất cơ bản Đònh nghóa 4.10 Một phần tử x của một vành R được gọi là chính quy (regular) nếu và chỉ nếu tồn tại một phần tử y ∈ R sao cho x = xyx Vành R được gọi là chính qui von Neumann (hay gọi tắt là chính qui) nếu mọi phần tử của R đều là chính quy Ví dụ: 1) Mọi trường đều là vành chính quy 2) Mọi vành chia đều là vành chính quy 3) Xét vành. .. Do đó a = aya = exeyexe = exeeyeexe = aeyea Suy ra eRe là vành chính quy von Neumann 19 Mệnh đề 4.2 Tâm của vành chính quy von Neumann cũng là vành chính quy von Neumann Chứng minh Cho R là vành chính quy von Neumann với tâm là Cen(R) Rõ ràng Cen(R) là vành con của R, hơn nữa Cen(R) còn là vành giao hoán Với x ∈ Cen(R) tùy ý, R là chính quy von Neumann nên tồn tại y ∈ R sao cho xyx = x Đặt z = yxy ta... ideal của Z Đặt I = ∩p pZ Khi đó, I = 0 Mỗi Z/pZ ∼ Zp là trường nên là vành chính quy von Neumann Tuy = nhiên Z/I ∼ Z không chính quy von Neumann = Mệnh đề 4.16 Mọi tích trực tiếp con của hữu hạn các vành chính quy von Neumann cũng là chính quy von Neumann Chứng minh Gọi {Ri }n là họ hữu hạn các vành chính quy von Neumann Ta sẽ i=1 chứng minh rằng nếu R là tích trực tiếp con của họ này thì R cũng là vành. .. Vì J là ideal của R nên z ∈ J Ta có: xzx = xyxyx = xyx = x Suy ra J là chính quy von Neumann (⇐) Giả sử rằng J và K/J là chính quy von Neumann Khi đó, với mọi x ∈ K ta có x + J ∈ K/J chính quy von Neumann nên tồn tại y ∈ K sao cho x + J = xyx + J Suy ra x − xyx ∈ J Mà J chính quy von Neumann nên x − xyx chính quy Theo bổ đề 4.8, ta có x là phần tử chính quy Suy ra K là chính quy von Neumann Hệ quả... ) Ta có R/I1 ∼ R1 nên R/I1 là chính quy von Neumann Lập luận tương tự ta có R/I2 ∼ R2 = = ∼ I1 /I1 ∩ I2 Mà I1 ∩ I2 = 0 nên là chính quy von Neumann Ta có (I1 + I2)/I2 = (I1 + I2)/I2 ∼ I1 trong vành chính quy von Neumann R/I2 Áp dụng mệnh đề 4.9 ta = có I1 là chính quy von Neumann Như vậy R/I1 và I1 đều là chính quy von Neumann, theo mệnh đề 4.9 ta có R là chính quy von Neumann Mệnh đề trên không còn... Hoàn toàn tương tự ta có rb ∈ J Suy ra J là ideal của R Vậy ta có mệnh đề dưới đây Mệnh đề 4.7 Cho I là ideal của vành chính quy von Neumann R Khi đó, I cũng là vành chính quy von Neumann và mọi ideal J của I cũng là ideal của R 21 Bổ đề 4.8 Nếu y là một phần tử của R sao cho a − aya là chính quy thì a là chính quy Chứng minh Giả sử a − aya là chính quy Khi đó, tồn tại phần tử z ∈ R sao cho (a − aya)z(a... trong trường hợp họ các vành chính quy von Neumann là vô hạn Thật vậy, xét tập các số nguyên tố P = {p | p nguyên tố, p ∈ Z} Khi đó, theo bổ đề 4.14, Z đẳng cấu với tích trực tiếp con của các vành Zp , p ∈ P Mà p nguyên tố nên Zp là trường Suy ra ∀p ∈ P, Zp là chính quy von Neumann Nhưng Z không chính quy von Neumann 25 §5 Một điều kiện cần và đủ đối với vành chính quy von Neumann Bổ đề 5.1 Cho e,... (R)e11 là vành chính quy von Neumann Mặt khác e11Mn (R)e11 ∼ R nên R là chính quy von Neumann = (⇒) Giả sử rằng R là vành chính quy von Neumann Kí hiệu Rn = Mn (R) Đầu tiên ta chứng minh Rn là chính quy von Neumann với trường hợp n = 2, sau đó ta sẽ ′ mở rộng chứng minh với n tùy ý Với mọi r ∈ R ta gọi r là một phần tử của R thỏa ′ rr r = r Khi đó, với mọi a b A= c d là một phần tử tùy ý của R2 Đặt... von Neumann Hệ quả 4.10 Cho I là ideal của vành R Khi đó, R là chính quy von Neumann khi và chỉ khi I và R/I là chính quy von Neumann Mệnh đề 4.11 Vành R là chính quy von Neumann khi và chỉ khi IJ = I ∩ J với mọi ideal phải I và mọi ideal trái J trong R Chứng minh (⇒) Giả sử R là chính quy von Neumann, I, J lần lượt là ideal phải, trái tùy ý của R Rõ ràng đối với vành R bất kỳ ta luôn có IJ ⊆ J do J... bằng tính toán đơn giản ta có các g, h, i ∈ R sao cho B= g 0 h i Y = g 0 ′ 0 i Tương tự, đặt ′ khi đó 0 0 k 0 C = B − BY B = với k là một phần tử nào đó của R Cuối cùng với ′ Z= 0 k 0 0 ta có C − CZC = 0 Điều này có nghóa là C là chính quy von Neumann, như vậy theo bổ đề 4.8 thì B là chính quy von Neumann Áp dụng bổ đề 4.8 một lần nữa ta có A là chính quy von Neumann Vậy R2 là vành chính quy von Neumann . aeyea. Suy ra eRe là vành chính quy von Neumann. 19 Mệnh đề 4.2. Tâm của vành chính quy von Neumann cũng là vành chính quy von Neumann. Chứng minh. Cho R là vành chính quy von Neumann với tâm là. vành chính quy von Neumann. Mệnh đề 4.1. Cho e là một lũy đẳng khác 0 trong vành chính quy von Neumann R. Khi đó, eRe là vành chính quy von Neumann. Chứng minh. Từ e là phần tử lũy đẳng của vành. 13 Chương 2. Vành chính quy von Neumann 19 §4. Đònh nghóa và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §5. Một điều kiện cần và đủ đối với vành chính quy von Neumann . .