Một số tính chất của vành chính quy

1 MỤC LỤC Trang Mởđầu Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành Noether 1.2 Phổ giá mơđun 1.3 Địa phương hóa vành 1.4 Vành địa phương 1.5 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic 1.6 Chiều Krull vành môđun 1.7 Hệ tham số dãy quy 1.8 Chiều xạ ảnh 1.9 Mơđun hồn chỉnh 10 1.10 Vành Cohen – Macaulay 11 1.11 Phép giải tự tối thiểu 12 Chƣơng Một số tính chất vành quy 14 2.1 Vành quy 14 2.2 Một số tính chất vành quy 16 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Trong toàn luận văn chúng tơi ln xét vành Noether giao hốn có đơn vị Một tính chất đặc sắc vành Noether địa phương iđêan cực đại sinh hệ tham số Một vành giao hoán địa phương Noether R với iđêan cực đại m gọi vành quy m sinh hệ tham số Hệ tham số gọi hệ tham số quy Đối với vành Noether R khơng thiết vành địa phương R gọi vành quy địa phương hóa R iđêan nguyên tố vành quy địa phương Điều kiện tương đương với điều kiện: địa phương hóa R iđêan cực đại vành quy địa phương Nếu k trường k vành quy, vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến k x1 , , xn vành đa thức n biến k[x1,…, xn] vành quy Nếu R vành quy R vành Gorenstein R vành Cohen – Macaulay Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo mà chủ yếu dựa vào [5] [7] để tìm hiểu, tổng hợp, từ trình bày lại khái niệm số tính chất vành quy Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm chương Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hốn có liên quan đến kết chứng minh Chương Chƣơng 2: Một số tính chất vành quy Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất vành quy trường hợp: vành địa phương vành không thiết địa phương Các kết chương tổng hợp chủ yếu dựa vào [5] [7] Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2010 trường Đại học Vinh hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán khoa Sau Đại học tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn anh, chị bạn học viên lớp Cao học 16 - Đại số - Lý thuyết số giúp đỡ, động viên tác giả suốt q trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành Noether 1.1.1 Định nghĩa Vành R gọi vành Noether dãy tăng iđêan R  I  I1  I  dừng, nghĩa tồn số tự nhiên n cho I n = I n 1 =… 1.1.2 Tính chất (i) Cho R vành giao hốn, có đơn vị Khi R vành Noether iđêan nguyên tố R hữu hạn sinh (ii) Nếu R vành Noether vành đa thức n biến R  x1 , , xn  vành Noether (iii) Nếu R vành Noether p iđêan ngun tố vành R vành địa phương hóa Rp vành Noether 1.2 Phổ giá môđun 1.2.1 Phổ vành (i) Iđêan p vành R gọi iđêan nguyên tố p  R với x, y  R , xy  p x  p y  p (ii) Ký hiệu SpecR tập hợp tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R (iii) Cho I i đêan vành R, ký hiệu V(I) =  p  SpecR | p  I  1.2.2 Giá môđun Cho M R-môđun Tập hợp SuppR M = { p  Spec R | Mp  0} gọi giá môđun M Với x  M, ký hiệu AnnR  x   a  R | ax  0 ; AnnR M  a  R | aM  0  a  R | ax  0, x  M  Ta có Ann R ( x ) Ann R M iđêan M, Ann R M gọi linh hố tử mơđun M Hơn nữa, SuppR M  V  AnnR M  1.3 Địa phƣơng hoá vành 1.3.1 Định nghĩa Cho R vành S  R tập nhân đóng vành R Địa phương hóa R S vành S-1R hay RS với đồng cấu vành  RS thỏa mãn tính chất sau:  : R  (i)  (s) phần tử khả nghịch RS, s  S (ii) Nếu T vành (giao hốn, có đơn vị)  : R  T đồng cấu vành cho  (s) khả nghịch T, s  S tồn ánh xạ h: RS   T cho   h  1.3.2 Ví dụ 1) Nếu R miền nguyên, S = R\{0} Khi S-1R trường gọi trường thương miền nguyên R 2) Cho p iđêan nguyên tố R, S = R\p tập nhân đóng vành R (do p iđêan nguyên tố) Khi S-1R ký hiệu Rp gọi vành địa phương hóa R iđêan nguyên tố p 1.4 Vành địa phƣơng 1.4.1 Định nghĩa (i) Vành R gọi vành địa phương R có iđêan cực đại m Khi vành thương R/m trường gọi trường thặng dư vành R, kí hiệu: k = R/m Người ta thường kí hiệu (R, m, k) vành địa phương với iđêan cực đại m trường thặng dư k (ii) Vành R gọi vành nửa địa phương R có hữu hạn iđêan cực đại 1.4.2 Tính chất (i) Giả sử m iđêan thực vành R cho  x  R\m khả nghịch vành R Khi R vành địa phương với iđêan cực đại m (ii) Cho m iđêan cực đại vành R Khi phần tử tập hợp: + m = {1 + a | a  m} khả nghịch vành R R vành địa phương với iđêan cực đại m 1.5 Vành địa phƣơng đầy đủ theo tôpô m-adic Cho (R, m) vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử không iđêan mt, t = 0, 1, 2, … Chú ý sở lân cận phần tử tùy ý r  R gồm lớp ghép r + mt, với t = 0, 1, 2, … Khi vành đầy đủ theo tơpơ m-adic R kí hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: dãy Cauchy R dãy (rn) phần tử R cho với t > 0, tồn số tự nhiên n0 để rn - rm  mt với m, n > n0 Hai dãy Cauchy (rn) (rm) gọi tương đương, kí hiệu (rn) dãy (rn - rm) dãy khơng Khi quan hệ tương đương (rm) tập dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta kí hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý (rn) (rm) dãy Cauchy dãy (rn + rm), (rnrm) dãy Cauchy lớp tương đương dãy (rn + rm), (rn rm) không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy Cauchy (rn) (rm), tức (rn) (rnsn) (rn’) (sn) (sn’) (rn + sn) (rn’+ sn’) (rn’sn’) Vì R trang bị hai phép tốn hai ngơi (+) (.), với hai phép toán này, R lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành RR r r   r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử khơng {mt M} Khi M R - môđun với phép nhân vô hướng sau: Cho a = (a1, a2, …)  R , x = (x1, x2, …)  M Ta có ax = (a1x1, a2x2, …)  M 1.6 Chiều Krull vành môđun (i) Một dãy iđêan nguyên tố vành R p0  p1  p2  …  pn gọi xích ngun tố có độ dài n (ii) Cho p iđêan nguyên tố vành R Cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p gọi độ cao p, kí hiệu ht(p) Nghĩa ht(p) = sup {độ dài xích nguyên tố với p0 = p} (iii) Cận tất độ cao iđêan nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dim R Ta có dim R = sup{ht(p) | p  SpecR} (iv) Cho M R – mơđun Khi dim  R / AnnR M  gọi chiều Krull R – mơđun M kí hiệu dimR M hay dim M Chú ý dim M = dim M dim M = max {dim R/p | p AssM} 1.7 Hệ tham số dãy quy 1.7.1 Hệ tham số Cho M môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d vành giao hoán địa phương Noether (R, m) (i) Một hệ gồm d phần tử x :  x1 , , xd  m gọi hệ tham số M R  M /  x , , x  M    (với d (  ) ký hiệu độ dài R – môđun) (ii) Iđêan sinh hệ tham số gọi iđêan tham số (iii) Nếu x :  x1 , , xd  hệ tham số mơđun M hệ phần tử  x1, , xi  gọi phần hệ tham số với i = 1, …, d Sau số tính chất hệ tham số +) dim  M /  x1 , , xi  M   d  i với i = 1,…, d +) xi +  p với p  AssR  M /  x1 , , xi  M  thoả mãn dim R/p = d – i, với i  1, , d 1 +) Nếu x   x1 , , xd  hệ tham số M n   n1 , , nd  gồm d số n n nguyên dương x  n  :  x1 , , xd d  hệ tham số M +) Nếu x   x1 , , xd  hệ tham số M x hệ tham số M , M bao đầy đủ m-adic M 1.7.2 Dãy quy Một phần tử a  R gọi ước không tồn b  R, b  cho ab = Một phần tử a  R gọi quy vành R khơng ước khơng, trường hợp luật giản ước thực phần tử a Trong Đại số đại, khái niệm ước không mở rộng cho môđun Tổng qt hơn, với M R-mơđun, ta có khái niệm M-dãy quy, khái niệm sử dụng cơng cụ hữu ích Đại số giao hốn Hình học đại số Cho M R – môđun hữu hạn sinh Phần tử a  R gọi phần tử quy M hay M-chính quy ax  với x  M, x  Dãy phần tử  x1 , , xn  R gọi dãy quy R – mơđun M hay cịn gọi M-dãy quy thoả mãn điều kiện sau: (i) M /  x1 , , xn  M  ; (ii) xi M /  x1 , , xi 1  M - quy với i = 1,…, n 1.8 Chiều xạ ảnh 1.8.1 Phép giải xạ ảnh (i) Một phức P : …   Pn +   Pn   Pn –   …   P0   R – môđun gọi phức xạ ảnh tất mơđun phức xạ ảnh (ii) Cho M R – môđun Một phép giải xạ ảnh M phức xạ ảnh P với cấu xạ eo : Po   M để phức sau khớp e …   Pn +   Pn   Pn -   …   P0   M   0 e M Ký hiệu phép giải xạ ảnh P  1.8.2 Chiều xạ ảnh Cho M R-mơđun M có phép giải xạ ảnh    P : …   Pn   Pn -   …   P1   P0   M   n Đặt M0 = M Mi = Ker i 1 với i  Chiều xạ ảnh môđun M ký hiệu proj dim M, vơ hạn khơng có mơđun Mi xạ ảnh 10 Ta nói proj dim M = n n số nguyên bé cho Mn môđun xạ ảnh Thay Pn Mn ta có phép giải xạ ảnh M có độ dài n :   M n   Pn1   …   P0   M  0 1.8.3 Mệnh đề Cho (R, m) vành địa phương Noether M R – môđun hữu hạn sinh Khi proj dim M = Supp {i | ToriR(M, R/m)  } 1.8.4 Bổ đề Cho (R, m, k) vành địa phương Noether M R – môđun hữu hạn sinh Nếu x  m R-chính quy M-chính quy thì: proj dimR M = proj dimR/(x) M / xM 1.9 Mơđun hồn chỉnh 1.9.1 Bậc mơđun (i) Cho I iđêan R cho IM  M {x1, …, xr} M-dãy I Khi {x1, …, xr} gọi dãy quy cực đại I không tồn x  I cho {x1,…, xr, x} dãy quy M Ress (xem [5; Định lý 1.2.5]) chứng minh dãy quy cực đại I có độ dài n xác định n = {i | ExtRi (R/I, M)  } Độ dài dãy quy cực đại iđêan I kí hiệu grade(R/I, M) gọi bậc iđêan I mơđun M Ta có grade(R/I, M) =   ExtRi (R/I, M)  ,  i Thật vậy, IM = M Supp M  Supp(R/I) =  Khi theo Bổ đề Nakayama ta có Supp ExtRi (R/I, M)  Supp M  Supp (R/I) =  Ngược lại, ExtRi (R/I, M)  0,  i ta IM = M (ii) Cho R vành Noether M  R-mơđun hữu hạn sinh Khi bậc M kí hiệu grade M, xác định 16 vành quy địa phương hóa R iđêan nguyên tố vành địa phương quy Điều tương đương với điều kiện: địa phương hóa R iđêan cực đại vành địa phương quy 2.1.4 Ví dụ (1) Nếu dim R = 0, R vành điạ phương quy R trường (2) Vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến k x1 , , xn vành đa thức n biến k[x1, …, xn] vành quy k trường 2.1.5 Chú ý Đối với vành địa phương Noether (R, m), theo Định lý iđêan Krull, có (m)  dim R, (m) số phần tử sinh tối thiểu m Chúng ta định nghĩa R vành địa phương quy (m) = dim R Thật vậy, R vành quy nên hệ sinh m hệ tham số quy, có dim R phần tử 2.2 Một số tính chất vành quy 2.2.1 Mệnh đề Một vành địa phương Noether (R, m) vành quy bao đầy đủ m-adic R vành quy Chứng minh Iđêan cực đại R m R , ta có đẳng cấu tự nhiên: R/m  R /m R m/m  m R /(m R )2 Do (m) = (m R ) Hơn dim R = dim R Theo Chú ý 2.1.5 ta có R quy  dim R = (m) Suy 17 dim R = (m R ) Suy R vành quy 2.2.2 Mệnh đề Cho R vành địa phương với iđêan cực đại m x phần tử m\m2 cho x không nằm iđêan nguyên tố tối thiểu R Giả sử R* = R/(x) vành quy Khi R vành quy Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.2, V(R*) = V(R) – Mặt khác, dim R* = dim R – Theo giả thiết R vành quy nên dim R* = V(R*) Suy dim R = V(R) Do R vành quy 2.2.3 Định lý Cho (R, m) vành địa phương quy Khi R miền nguyên Chứng minh Ta sử dụng phép quy nạp theo số chiều R  Với dim R = 0, R trường Rõ ràng R miền nguyên  Giả sử dim R > Gọi p1, …, pm iđêan nguyên tố tối thiểu R Theo Bổ đề 1.9.2, tồn phần tử x  m x không nằm iđêan sau đây: m2, p1, …, pm Do x phần hệ sinh tối thiểu m phần hệ tham số quy Giả sử m = (x) = (x1,…, xn) Khi R* = R/(x) vành địa phương, quy với iđêan m* =  x1 , , xn  ảnh m Do R* vành quy, theo phép quy nạp, R* miền nguyên Vì iđêan (x) iđêan nguyên tố, chứa iđêan nguyên tố tối thiểu p1 R Do dim R/(x) < dim R, p1  (x) nên với y  p1 có dạng y = rx với r  R Do x  p1, r  p1 nên p1 = xp1 Theo Bổ đề Nakayama, p1 = Do R miền nguyên 2.2.4 Mệnh đề Cho (R, m) vành địa phương quy I iđêan 18 R Khi R/I vành quy I sinh tập hệ tham số quy Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử R/I vành quy Khi (m/I) = dim R/I Theo Định lý 2.2.3, R/I miền nguyên Theo Bổ đề Nakayama tồn phần tử x1, , xm  I chúng phần hệ sinh tối thiểu m Ở m = dim R - dim R/I Khi vành thương R/(x1, , xm) vành quy với số chiều dim R - m = dim R/I Do I (x1, , xm) iđêan nguyên tố, I = (x1, , xm) Điều kiện đủ: Giả sử I sinh tập hệ tham số quy, đặt I = (x1,…, xr)  m = (x1,…,xr, xr + 1,…, xn) Khi m/I =  xr 1 , , x n  sinh hệ tham số quy R/I vành quy 2.2.5 Định lý Cho (R, m, k) vành địa phương Noether Khi R vành quy m sinh R – dãy có độ dài số chiều R Chứng minh Giả sử R vành quy với hệ tham số quy x1,…, xd Theo Mệnh đề 2.2.4, với i = 1,…, d R = R/(x1,…, xi) vành quy có chiều d – i Iđêan cực đại m* R sinh x i 1  , , xd Vì phần tử hệ tham số quy R Do xi 1 khơng phải ước khơng R , nói cách khác xi + ước không R/(x1,…, xi) Theo phép quy nạp, (x1,…, xd) R-dãy Ngược lại, giả sử m sinh R – dãy x1,…, xd Khi ta có dimR/m = dim R – d Do R/m = k trường nên dim R/m = 0, dim R = d 19 Vì R vành quy Từ định lý ta có hệ sau 2.2.6 Hệ Cho R vành địa phương quy Khi R vành CohenMacaulay Chứng minh Giả sử R vành quy Khi tồn hệ tham số x   x1 , , xd  R sinh iđêan cực đại m Ta có x hệ sinh tối thiểu m Do theo Định lý 2.2.5, x R-dãy Vậy R vành Cohen – Macaulay 2.2.7 Định lý (Ferrand and Vasconcelos) Cho (R, m) vành địa phương Noether I  iđêan thực m với proj dim I <  Nếu I/I2 R/I-môđun tự I sinh dãy quy Chứng minh Do proj dim I <  nên theo Mệnh đề 1.11.4, I chứa phần tử R-chính quy x Khơng tính tổng qt, giả sử x  mI: Nếu x  mI, ta chọn y  I\mI cho Ry + Rx không bị chứa p  Ass R Theo Bổ đề 1.9.2, tồn a  R cho y + ax không bị chứa p  Ass R Do y + ax  I phần tử R-chính quy Đây phép chứng minh định lý trường hợp  ( I ) = Giả sử  ( I ) > 1, lấy x  I\mI phần tử quy Do x  mI I/I2 R/I-môđun tự do, chọn x2,…, xm  I cho x , x2 , , xm  I/I2 R/I-cơ sở I/I2 Đặt J = (x2,…, xm), ta cần J  (x)  xI Thật vậy, lấy z = ax = a2x2 + … + amxm  J  (x) Do x , x2 , , xm độc lập tuyến tính modulo I, a  I Do J  (x)  xI Khi ta có dãy hợp thành ánh xạ: i   I/xI   I/(x)  0  I/(x) = (J + (x))/(x)  J/J  (x)  20 Ở đây, ánh xạ bao hàm thức tự nhiên phép xạ ảnh Do ánh xạ  : I/(x)  I/xI định nghĩa  (y + xR) = y + xI chẻ Vì vậy, I/(x) tổng trực tiếp I/xI mà x I-chính quy Do x phần tử R-chính quy nên I/xI có chiều xạ ảnh hữu hạn R/(x) (theo Bổ đề 1.8.4) Vì vậy, proj dimR/(x) I/(x) <  Do x, x2, , xm độc lập tuyến tính modulo I nên I / I R / I - môđun tự với I = I/(x) Do theo phép quy nạp, I sinh dãy quy Giả sử I = ( y1 , , yr ), I = (x, y1,…, yr) sinh dãy quy 2.2.8 Định lý (Auslander-Buchsbaum-Serre) Cho (R, m, k) vành địa phương quy Khi điều kiện sau tương đương: (i) R vành quy; (ii) proj dim M <  với R-môđun hữu hạn sinh M; (iii) proj dim k <  Chứng minh (i)  (iii): Giả sử R vành quy với hệ tham số quy x1,…, xn Khi theo Định lý 2.2.5 ta có x1,…, xn R-dãy Do proj dim k <  (iii)  (i): Do proj dim m <  m/m2 k-không gian vectơ Theo Định lý 2.2.7, m sinh dãy quy Do R vành quy (ii)  (iii): Hiển nhiên (iii)  (ii): Nếu proj dim k <  , theo Mệnh đề 1.8.3, ToriR (M , k) = 0, i Do Tor tính từ phép giải xạ ảnh môđun khác, điều kéo theo proj dim M <  2.2.9 Hệ Cho R vành địa phương quy p iđêan nguyên tố 21 R Khi Rp vành quy Chứng minh Theo Định lý 2.2.8 ((iii)) ta có: proj dim R/p <  Do proj dim R p (R/p)p = proj dim R p Rp/pRp <  Do Rp vành quy (theo Định lý 2.2.8) 2.2.10 Hệ Cho R vành địa phương quy Khi mơđun hữu hạn sinh M vành R môđun Cohen – Macaulay M mơđun hồn chỉnh Chứng minh Hệ kết suy trực tiếp từ định lý 1.10.3 Định lý 2.2.8 2.2.11 Mệnh đề Nếu {x1,…, xn} n phần tử iđêan cực đại m vành địa phương quy R Khi điều kiện sau tương đương: (i) x1,…, xn tập hệ tham số quy R; (ii) Ảnh x1, …, xn m/m2 độc lập tuyến tính k; (iii) Vành địa phương R/(x1, …, xn ) quy có chiều dim R – n Đặc biệt, (x1,…, xn ) iđêan nguyên tố Chứng minh (i)  (ii): Thật vậy, hệ tham số quy R tương ứng với k-cơ sở m/m2 (ii)  (iii): Chúng ta có dãy khớp:  p/p  m2  m/m2  J/J2  0, p = (x1,…, xn ), J = m/p Từ ta có: (ii)  [p/p  m2 : k] = n  [J/J : k] = dim R - n Do (x1,…, xn ) tập hệ tham số quy R nên R/(x1,…, xn ) 22 vành địa phương, quy có chiều dim R - n (iii)  (ii): Từ (iii) ta có: [J/J : k] = dim R/p dim R/p = dim R - n Suy [J/J : k] = dim R – n Suy [ p/p  m2 : k] = n  (ii) Cho (R, m) vành địa phương Noether Theo Mệnh đề 1.9.4 (ii), ta có R vành Cohen – Macaulay bao đầy đủ m-adic R vành Cohen – Macaulay Mặt khác, R chứa trường miền nguyên R môđun hữu hạn sinh vành quy địa phương Mệnh đề sau đặc trưng khác vành Cohen – Macaulay 2.2.12 Mệnh đề Cho R vành địa phương Noether, S vành quy địa phương R cho R S – môđun hữu hạn sinh Khi R vành Cohen – Macaulay R S – môđun tự Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2.8 ta có: proj dimS R <  Do R S-môđun tự khi: depthS R = dim S Chọn x = x1, , xr hệ tham số (chính quy) S, x hệ tham số R R vành Cohen – Macaulay  x R – dãy  depthS R = dim S  R S – môđun tự Cho M R – mơđun hữu hạn sinh Khi M gọi R-môđun phẳng 23 hàm tử M R  : R-mod   R-mod hàm tử khớp Cho f : R   S đồng cấu vành Khi f gọi đồng cấu phẳng S R – môđun phẳng 2.2.13 Bổ đề Cho  : (R, m)  (S, n) đồng cấu vành địa phương Noether Nếu S R - đại số phẳng dim S = dim R + dim S/mS 2.2.14 Định lý Cho  : (R, m, k)  (S, n, l ) đồng cấu phẳng vành địa phương Noether Khi đó: (i) Nếu S vành quy R vành quy; (ii) Nếu vành R S/mS quy S vành quy Chứng minh (i) Cho F phép giải tự tối thiểu R-môđun k Do S R – môđun phẳng nên F  S phép giải tự k  S  S/mS Do  địa phương, nghĩa (m)  n nên F  S phép giải tự tối thiểu S/mS Vì proj dimR k = proj dimS S/mS <  Do đó, theo Định lý 2.2.8, R vành quy (ii) Giả sử dim R = m, dim S/mS = n, ta chọn hệ sinh tối thiểu x1,…, xm m y1, …, yn n/mS Khi (x1), …, (xm), y1,…, yn sinh n Do S R-phẳng, theo Bổ đề 2.2.13 ta có dim S = dim R + dim S/nS = m + n Do S vành quy 2.2.15 Định lý Cho R vành Noether Khi đó: (i) R vành quy vành đa thức n biến R  x1 , , xn  vành quy; 24 (ii) R vành quy vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến R x1 , , xn vành quy Chứng minh Ta chứng minh trường hợp n = đặt x1 = x (i) Ta chứng minh R vành quy R[x] vành quy Giả sử R vành quy p iđêan cực đại R[x] Đặt m = p  R Khi Rp[x] vành địa phương hóa Rm [x] Khơng tính tổng qt, giả sử R vành địa phương Đặt R/m = k R[x]/m[x] = k[x], có đa thức đơn hệ (lồi) f(x) với hệ tử R để p = (m, f(x)) Do R[x] phẳng R, có dim R[x]p = ht p = + ht m = + dim R Do R vành quy, m sinh dim R phần tử, p = (m, f) sinh dim R + phần tử hay dim R[x] phần tử, R[x] vành quy Ngược lại, giả sử R[x] vành quy Do R[x]n vành địa phương hóa Rm [x], ta giả sử R vành địa phương Gọi m iđêan cực đại R Đặt n = (m, x) Khi x  n\n2, tương đương với x  n R[x]n\(n R[x]n)2 Do R[x] R-phẳng nên dim R[x]n = ht n = + ht m = + dim R Do + dim R = dim R[x]n =  (n) =  (m) + Do R vành quy (ii) Ta chứng minh R vành quy R x vành quy Đặt B = R x giả sử M iđêan cực đại B, x  M Do M  R = m iđêan cực đại R Mặc dù BM không chứa Rm x BM = R m x Theo Mệnh đề 2.2.1, vành địa phương Noether vành 25 quy bao đầy đủ vành quy Vì vậy, ta thay R R m, iđêan cực đại B = R x M = (m, X) ht M = ht m + Vì B vành quy hay R x vành quy Chiều ngược lại ta áp dụng Định lý 2.2.14 (i) để chứng minh tính quy giảm từ R x tới R Từ định lý ta có hệ sau 2.2.16 Hệ Giả sử k trường Khi vành đa thức n biến k[x1,…, xn] vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến k x1 , , xn vành quy 2.2.17 Hệ Cho k trường, R = k[x1,…, xn], m = (x1,…, xn) M R – môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Cohen – Maccaulay; (ii) M mơđun hồn chỉnh; (iii) Mm mơđun Cohen – Maccaulay; (iv) Mm mơđun hồn chỉnh Chứng minh (ii)  (i)  (iii)  (iv) : Đã chứng minh Hệ 2.2.10 (iv)  (ii): Là hệ trực tiếp từ đẳng thức : proj dim M = proj dim Mm grade M = grade Mm Thật vậy, Mm mơđun hồn chỉnh nên proj dim Mm = grade Mm Do proj dim M = grade M Suy M mơđun hồn chỉnh Cho A vành vành B Một phần tử b  B gọi nguyên A b nghiệm đa thức đơn hệ với hệ tử A Tập hợp tất 26 phần tử B nguyên A vành A B chứa A A gọi bao đóng nguyên A B Nếu A = A A gọi đóng nguyên B Nếu A đóng nguyên trường thương A gọi miền đóng nguyên Vành R gọi vành định chuẩn vành địa phương hóa iđêan nguyên tố miền đóng nguyên Một vành Noether R vành định chuẩn tổng trực tiếp hữu hạn miền đóng nguyên 2.2.18 Định lý Cho R vành quy Khi R vành định chuẩn Chứng minh Chúng ta cần điều kiện sau thỏa mãn: (i) Vành địa phương hóa iđêan có độ cao vành chuẩn hóa rời rạc (DVR) (theo Hệ 2.2.8 Định lý 11.2 [5]) (ii) Tất ước nguyên tố iđêan khác khơng có độ cao (theo Hệ 2.2.6) Cho x phần tử khác 0, khơng khả nghịch vành R Khi x phần tử nguyên tố x chia hết tích ab x chia hết a b Tiếp theo, chứng minh tính nhân tử hóa vành địa phương quy Trước hết chứng minh vài bổ đề miền nhân tử hóa sau chứng minh định lý Một miền ngun R mà phần tử khác không khả nghịch biểu diễn dạng tích phần tử nguyên tố gọi miền nhân tử hóa (viết tắt UFD) 2.2.19 Bổ đề Một miền nguyên Noether R miền nhân tử hóa iđêan nguyên tố p có độ cao iđêan 27 Chứng minh Giả sử R miền nhân tử hóa p iđêan nguyên tố có độ cao Lấy a  p a =  x , xi phần tử nguyên tố Khi xi  p với i i i lớn Giả sử x1  p, (x1)  p Nhưng (x1) iđêan nguyên tố khác có độ cao 1, (x1) = p hay p iđêan Ngược lại, giả sử iđêan nguyên tố p có độ cao iđêan Do R vành Noether, phần tử R khác không khả nghịch biểu diễn dạng tích hữu hạn phần tử bất khả quy, điều kiện đủ để chứng minh phần tử bất khả quy nguyên tố Giả sử a  R phần tử bất khả quy p ước nguyên tố nhỏ (a) Khi theo Định lý iđêan chính, ht p = Do p = (b) với b  R Vì a = rb với r  R a bất khả quy, b không khả nghịch, r khả nghịch, kéo theo (a) = (b) = p a phần tử nguyên tố Do R miền nhân tử hóa 2.2.20 Bổ đề Cho R miền nguyên Noether x phần tử nguyên tố R Nếu Rx miền nhân tử hóa R miền nhân tử hóa Chứng minh Giả sử Rx miền nhân tử hóa Cho S = (1, x, x2, …) p iđêan nguyên tố có độ cao cho p  S =  Khi theo Bổ đề 2.2.19, pRx iđêan nguyên tố có độ cao Rx, pRx = aRx với a  p Chọn a cho (a)  R iđêan cực đại Khi a  (x) Ta cần chứng minh p = (a) Lấy y  p, sy = az với s  S z  R, cho s = xr Khi z  (x), z = z1x Do xz1  p x  p, z1  p nên s1y = z1a, s1 = xr – Tiếp tục trên, ta y  (x), x  (a) Do p = (a) Suy điều phải chứng minh 2.2.21 Định lý (Auslander-Buchsbaum) Cho R vành địa phương quy Khi R miền nhân tử hóa 28 Chứng minh Chúng ta sử dụng phép quy nạp dim R  Nếu dim R = 0, R trường, ta có điều phải chứng minh  Giả sử dim R > 0, ta chọn x  m/m x phần tử nguyên tố, vành thương R/(x) vành địa phương quy Theo Bổ đề trên, ta cần chứng minh S = Rx miền nhân tử hóa Giả sử p iđêan nguyên tố S với ht p = Gọi q iđêan nguyên tố S Khi Sq vành địa phương hóa R iđêan nguyên tố khác m Theo Hệ 2.2.9, Sq vành địa phương quy Theo phép quy nạp, Sq miền nhân tử hóa Nếu p  q, pSq  Sq Nếu p  q, p iđêan nguyên tố có độ cao Sq Do Sq miền nhân tử hóa, theo Bổ đề 2.2.19, pSq iđêan chính, pSq  Sq Điều cho thấy p S – mơđun xạ ảnh có hạng Gọi B iđêan nguyên tố R cho p = BS R – mơđun B có phép giải tự hữu hạn F , p = Bx có phép giải bổ sung s 0 1 G :   Gs   Gs –   …   G1   G0   p   S – môđun tự hữu hạn Do p S-môđun xạ ảnh, ánh xạ 0 chẻ nên ta có Im1  p  G0 Vì vậy, Im1 có tính chất xạ ảnh Tương tự vậy, chứng minh tất mơđun syzygy với mối quan hệ với G có tính chất xạ ảnh Trong trường hợp đặc biệt, Ims 1  Ims = Ims 1  Gs  Gs – 1, giả sử s > 1, thay đổi G để thu phép giải tự có độ dài s – sau:   Ims 1  Gs   p     Gs –  Gs   Gs – 1  G0   …   G1  Do đó, theo phép quy nạp độ dài G , thực chất p có phép giải tự 29    G1   p    G0  Do p có hạng 1, G1  Sn G0  Sn + 1, với n  Do đó, theo Định lý Hilbert-Burch ([5], Định lý 1.4.17), p = aIn(  ) với a  S, In(  ) iđêan sinh n - định thức ma trận  Hơn p = aS, p xạ ảnh Do p iđêan Suy S = Rx miền nhân tử hóa Khi đó, theo Bổ đề 2.2.20, R miền nhân tử hóa KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo [5] [7], chúng tơi tìm hiểu, tổng hợp từ trình bày lại vấn đề sau: Trình bày định nghĩa vành quy Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất vành quy như:  Mỗi vành địa phương quy miền nguyên (Định lý 2.2.3)  Mỗi vành địa phương quy vành Cohen – Macaulay (Hệ 2.2.6)  Địa phương hóa vành quy vành quy (Hệ 2.2.9)  Vành R vành quy vành đa thức n biến (hoặc vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến) R vành quy (Định lý 2.2.11)  Nếu R vành quy R vành định chuẩn (Định lý 2.2.18)  Nếu R vành quy địa phương R miền nhân tử hóa (Định lý 2.2.21) 30 Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] Hồng Thị Tân (2009), Một số tính chất vành môđun Cohen – Macaulay, Luận văn thạc sĩ toán học, trường Đại học Vinh [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, NXB Đại học sư phạm TiÕng anh [3] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addsion-Wesley publishing company [4] I Kaplansky (1970), Commutative rings, University of Chicago [5] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [6] J -P Serre (2000), Local Algebra, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [7] W Bruns and J Herzog (1992), Cohen – Macaulay rings, Cambridge University Press ... nghĩa R vành địa phương quy (m) = dim R Thật vậy, R vành quy nên hệ sinh m hệ tham số quy, có dim R phần tử 2.2 Một số tính chất vành quy 2.2.1 Mệnh đề Một vành địa phương Noether (R, m) vành quy. .. đề Cho R vành địa phương Noether I  iđêan R với phép giải tự hữu hạn Khi I chứa phần tử R – quy 14 CHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHÍNH QUY 2.1 Vành quy Trước đến định nghĩa vành quy, ta tìm...  Địa phương hóa vành quy vành quy (Hệ 2.2.9)  Vành R vành quy vành đa thức n biến (hoặc vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến) R vành quy (Định lý 2.2.11)  Nếu R vành quy R vành định chuẩn (Định