Một số tính chất của vành tựa morphic trái

1 mở đầu Lý thuyết vành là một trong những lý thuyết phong phú và phát triển mạnh mẽ trong giai đoạn hiện nay. Vấn đề nghiên cứu để đặc trng các lớp vành là một bài toán đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm và đã đạt đợc nhiều kết quả sâu sắc, thú vị. Có hai hớng chính để nghiên cứu lý thuyết vành. Hớng thứ nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hớng thứ hai là đặc trng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng. Về mặt lịch sử hớng thứ nhất phát triển sớm hơn và đã đa ra đợc những định nghĩa và đặc trng ban đầu về các lớp vành khá quen thuộc hiện nay nh vành nửa đơn, vành tựa Frobenius, vành Actin, vành Noether, vành nửa nguyên tố, vành nửa nguyên sơ. Lớp vành tựa - morphic cũng là lớp vành đợc V.Camillo và W.K.Nicholson nghiên cứu theo hớng này. Đề tài của chúng tôi nghiên cứu dựa trên cơ sở của bài báo Quasi - morphic ring của V.Camillo và W.K.Nicholson mà chúng tôi chỉ nghiên cứu tính trái của vành. Và tên của đề tài là Một số tính chất của vành tựa - morphic trái . Luận văn đợc chia làm hai chơng nh sau Chơng I. Dành cho việc trình bày các khái niệm cơ sở. Chơng II. Một số tính chất của vành tựa - morphic trái. Xuất phát điểm của chơng này là bài báo của V.Camillo và W.K.Nicholson về lớp vành - tựa morphic. Trong bài báo này, tác giả V.Camillo và W.K.Nicholson đã nêu lên khái niệm của phần tử morphic trái, vành tựa - morphic trái và từ đó nêu lên mối quan hệ giữa vành tựa - morphic trái với một số lớp vành nh vành chính quy, vành hữu hạn trực tiếp, vành P - nội xạ, vành hoàn chỉnh phải, vành đặc biệt trái, vành Kasch trái, vành nửa địa phơng. Chơng này chia làm hai phần. Phần 1. Phần tử tựa - morphic trái. 2 Phần 2. Nghiên cứu về vành tựa - morphic trái. Kết quả chính của phần này là chúng tôi đã chứng minh đợc rằng giao của hai iđêan chính trong vành R tựa - morphic trái là iđêan chính và một số kết quả khác. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn - ngời đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Trong suốt quá trình học tập và viết luận văn, chúng tôi đã nhận đợc những đóng góp quý báu và sự tận tình chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán. Nhân dịp này, chúng tôi xin đợc cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại Học - Trờng Đại Học Vinh và tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành luận văn đúng kế hoạch. Cuối cùng, chúng tôi mong đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả 3 chơng I Các khái niệm cơ sở Trong chơng này chúng tôi sẽ đa ra những định nghĩa và các kết quả cơ bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, tính chất cơ bản và kí hiệu trong luận văn chủ yếu đợc dựa theo tài liệu [7]. Các vành luôn đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị. Các môđun trên một vành luôn đợc hiểu là các môđun phải unita (nếu không nói gì thêm). 1.1. Môđun 1.1.1. Môđun con tối đại Môđun con A của môđun M đợc gọi là môđun con tối đại trong M nếu A M và A không chứa trong thực sự của một môđun con nào khác M.(Hay A là phần tử tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập tất cả các môđun con của M). 1.1.2. Môđun đơn Môđun M đợc gọi là môđun đơn nếu M 0 và chỉ có hai môđun con là 0 và M. Ví dụ. Z 2 là Z - môđun đơn. 1.1.3. Môđun nửa đơn Môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn nếu nó là tổng của những R - môđun đơn. Ví dụ. Mỗi môđun đơn là một môđun nửa đơn. 1.1.4. Môđun con cốt yếu Cho M là R - môđun phải và N là một môđun con của M . 4 Môđun N đợc gọi là môđun con cốt yếu trong M kí hiệu là N * M, nếu với mọi môđun con MK , 0K thì 0KN . Khi đó ta nói là M mở rộng cốt yếu của N. Chú ý. Khi 0A = , N * M thì ta quy ớc 0M = . Ví dụ. a) Với mọi môđun M thì M * M. b) Xét vành các số nguyên Z, ta có A = nZ * Z, 0n . Thật vậy, lấy bất kì 0 B * Z, khi đó B = mZ với m0 Z. Khi đó nBA = Z m Z nm . Do đó 0BA . Vậy n Z * Z, 0n . 1.1.5. Song môđun Cho R và S là hai vành. Nhóm M là song môđun nếu M vừa là R môđun trái và S môđun phải thoả mãn phép nhân vô hớng r(xs)=(rx)s với r R, xSs , M. 1.1.6. Căn và đế của môđun Cho M là R - môđun phải (1) Ta gọi giao của tất cả của những môđun con tối đại của M là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun M và kí hiệu bởi Rad(M). (2) Ta gọi tổng của tất cả các môđun đơn của M là đế của môđun M và kí hiệu bởi Soc(M). Ví dụ. Giả sử K là một thể, xem K nh một K - không gian véctơ, Rad(K) = 0 vì 0 là môđun con tối đại duy nhất của K. Soc(K) = K vì K là môđun con đơn của K. 5 1.2. Căn và đế của vành (1) Đối với mỗi vành R, Rad(M) đợc gọi là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của nó và đợc viết tắt Rad(R). Kí hiệu J = J(R). (2) Đế phải Soc(R) là iđêan phải của R đợc sinh bởi iđêan phải tối tiểu của R. Kí hiệu S r . Đế trái Soc(R) là iđêan trái của R đợc sinh bởi iđêan trái tối tiểu của R. Kí hiệu S l . 1.3. Vành nửa đơn Để định nghĩa vành nửa đơn ta cần một vài khái niệm và mệnh đề sau 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử R là một vành e R đợc gọi là phần tử luỹ đẳng nếu ee 2 = Ta gọi hai phần tử luỹ đẳng e 1 , e 2 trực giao nếu e 1 e 2 = 0 = e 2 e 1 . 1.3.2. Mệnh đề. Giả sử R là một vành, R là môđun nửa đơn, e R eR là môđun đơn khi và chỉ khi Re là môđun đơn. Nếu eR là môđun đơn thì ReR là một thành phần thuần nhất của R chứa eR. Mỗi thành phần thuần nhất của R là iđêan hai phía đơn của vành R . Vành R đợc gọi là vành nửa đơn nếu R là môđun nửa đơn. Ví dụ. Mỗi thể là một vành nửa đơn. 1.4. Vành địa phơng, vành nửa địa phơng 1.4.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu R/ Rad(R) là một thể. 1.4.2. Định lí. Đối với mỗi vành R các mệnh đề sau là tơng đơng (a) R là một vành địa phơng. 6 (b) Rad(R) là iđêan phải (trái) tối đại. 1.4.3. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu R/ J là vành nửa đơn. Ví dụ. 1) Vành nửa đơn là vành nửa địa phơng. 2) Vành địa phơng là vành nửa địa phơng. 3) Vành Actin là vành nửa địa phơng. 1.4.4. Định lí. Nếu R là vành nửa địa phơng thì với mọi M ta có (1) MJMRad = )( . (2) ( ) { } Jr0xrmxJlMSoc M === ,)( . 1.5. Vành chính quy 1.5.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành chính quy nếu với mỗi r R tồn tại r sao cho rrrr = . Ví dụ. 1) Mọi thể đều là vành chính quy. 2) Mọi vành nửa đơn đều là vành chính quy. 1.5.2. Mệnh đề. Nếu R là vành chính quy thì Rad(R) = 0. 1.6. Vành nửa hoàn chỉnh - vành hoàn chỉnh (1) Một môđun M đợc gọi là môđun nửa hoàn chỉnh nếu mọi ảnh đồng cấu của M đều có bao xạ ảnh. (2) Một môđun M đợc gọi là môđun hoàn chỉnh nếu mọi tập chỉ số A , ( ) A M là nửa hoàn chỉnh. (3) Một vành R đợc gọi là vành nửa hoàn chỉnh nếu mọi R - môđun phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh. 7 (4) Một vành R đợc gọi là vành hoàn chỉnh phải nếu mọi R - môđun phải đều có bao xạ ảnh. 1.6.1. Định lý Bass Cho R là một vành với J = J( R ). Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng (a) R là vành hoàn chỉnh trái. (b) R/J là nửa đơn và J là J - lũy linh trái. (c) R/J là nửa đơn và mọi R - môđun trái khác 0 đều chứa một môđun con tối đại. (d) Mọi R - môđun trái phẳng là xạ ảnh. (e) R thỏa mãn điều kiện cực tiểu cho iđêan phải chính. (f) R chứa tập lũy đẳng trực giao hữu hạn và mọi R - môđun phải chứa một môđun con cực tiểu. 1.7. Linh hoá tử và iđêan suy biến 1.7.1. Linh hoá tử 1.7.1.1. Định nghĩa. (1) Cho M là R - môđun phải và m M Tập hợp ( ) = mr { m R 0mr = } đợc gọi là linh hoá tử của phần tử m và viết gọn r(m). Tập hợp ( ) = Mr { m R 0mr = } với mọi m M đợc gọi là linh hoá tử của môđun M, viết gọn là 0Mr = )( . Một môđun M đợc gọi là môđun trung thành nếu .)( 0Mr = (2) Cho R là một vành nào đó và S là tập con khác rổng của vành R. 8 (a) Linh hoá tử phải của S trong R là = )(Sr { x R Ss0sx = , } (b) Linh hoá tử trái của S trong R là = )(Sl { x R Ss0xs = , } Nếu tập S chỉ gồm một phần tử Ss ta viết r(s) hoặc l(s) tơng ứng. 1.7.1.2. Mệnh đề. Cho vành R và S là tập con của R khi đó: (i) r(S) là iđêan phải của R và l(S) là một iđêan trái của R. (ii) Nếu TS thì )()( SrTr và )()( SlTl . Chứng minh. (i) )(Srx và r R ta chứng minh )(Srxr . Vì )(Srx nên Sx0sx = , . Do đó Ss0r0rsxxrs === ,)()( . Vì thế )(Srxr . Vậy r(S) là iđêan phải của R. Tơng tự ta chứng minh đợc l(S) là iđêan trái của R. (ii) Giả sử TS . Ta sẽ chứng minh )()( SrTr . Lấy bất kì )(Trx . Khi đó ta có Tt0tx = , . Vì TS nên Tt0tx = , . Hay )(Srx . Vậy )()( SrTr . Tơng tự ta chứng minh đợc )()( SlTl . 1.7.2. Iđêan suy biến 1.7.2.1. Định nghĩa. Cho một vành R (a) Ta gọi iđêan suy biến phải của R là r Z (R) = { x R r(x) * R} tơng đơng 9 r Z (R) = {x R / K * R, xK = 0}. (b) Ta gọi iđêan suy biến trái của R là l Z (R) = {x R l(x) * R} tơng đơng l Z (R) = { x R / L * R, Lx = 0}. 1.7.2.2.Hệ quả. (i) Cho vành R. Khi đó ta có x Z r (R) r(x) * R. (ii) Z r (R) là iđêan hai phía của R. Chứng minh. (i) Giả sử x Z r (R). Khi đó tồn tại K * R sao cho xK = 0. Do đó I r(x). Vì K * R nên r(x) * R. Vậy r(x) * R. Ngợc lại, giả sử r(x) * R. Lấy K = r(x), ta có xK = 0, với K * R nên x Z r (R). Vậy x Z r (R) r(x) * R. (ii) Hiển nhiên Z r (R) là iđêan phải của R. Bây giờ ta chứng minh Z r (R) cũng là iđêan trái của R. Giả sử z Z r (R) và a R. Ta sẽ chứng minh za R. Vì z Z r (R) nên theo (i) suy ra r(z) * R. Nếu a = 0 thì hiển nhiên za = 0 Z r (R). Nếu a 0 suy ra tồn tại L * R sao cho 0 aL r(z). Do đó zaL = 0, với L * R hay za Z r (R). Vậy Z r (R) là iđêan hai phía. 1.8. Điều kiện chuỗi trên vành Xét tập hợp (X, ) với quan hệ thứ tự . -) Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng nếu với mọi xích ( chuỗi) n21 xxx đều tồn tại n N sao cho . == + 1nn xx 10 Ký hiệu điều kiện chuỗi tăng là ACC . -) Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm nếu với mọi xích (chuỗi) n21 xxx đều tồn tại n N sao cho . == + 1nn xx Ký hiệu điều kiện chuỗi giảm là DCC . 1.8.1. Mệnh đề Nếu vành R có điều kiện ACC đối với các linh hóa tử trái thì có điều kiện DCC đối với các linh tử phải và ngợc lại. . niệm của phần tử morphic trái, vành tựa - morphic trái và từ đó nêu lên mối quan hệ giữa vành tựa - morphic trái với một số lớp vành nh vành chính quy, vành. R}. Vành vừa vành là tựa - morphic phải và vừa là vành tựa - morphic trái đ- ợc gọi là vành tựa - morphic. Trong [10] vành R đợc gọi là vành morphic trái