Một số tính chất của vành và môđun các thương

Trờng đại học vinh Khoa toán -------- Một số tính chất của vành và môđun các thơng khoá luận tốt nghiệp ngành: đại số Cán bộ hớng dẫn: T.S. Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Nhã Lớp : 46A- Toán Vinh_2009 1 mục lục mở đầu . 1 chơng 1. vành các thơng .2 1.1 Một số khái niệm liên quan 2 1.2 Vành các thơng 5 1.3 Iđêan trong vành các thơng 14 chơng 2. môđun các thơng 19 2.1 Xây dựng môđun các thơng 19 2.2 Tính chất của môđun các thơng .21 kết luận 27 tài liệu tham khảo 27 2 Mở đầu trong Đại số giao hoán, ngời ta thờng nghiên cứu vành địa phơng (tức là vành chỉ có một iđêan cực đại duy nhất) và môđun trên vành địa phơng. bởi vì, các kết quả đó thờng đợc ứng dụng nhiều trong Hình học đại số. Vì thế kỹ thuật chuyển từ vành giao hoán sang vành địa phơng ( mà ngời ta thờng gọi là địa phơng hoá) thờng đợc sử dụng trong Đại số giao hoán. mục đích của khoá luận là dựa vào [1] để trình bày cách xây dựng và chứng minh các tính chất của vành các thơng RS 1 và mô đun các thơng MS 1 , trong đó là R vành giao hoán, có đơn vị, M là R -mô đun, S là tập nhân đóng của R . Khi PRS \ = , với P là một iđêan nguyên tố của R thì vành các thơng RS 1 là vành địa phơng đợc kí hiệu là Rp . Trong luận văn, chúng tôi mô tả iđêan trong vành các thơng và chứng minh rằng vành Rp là vành địa phơng. Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận đợc sự giúp đỡ tận tình của t.S nguyễn thị hồng loan. nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo t.S nguyễn thị hồng loan, cùng các thầy cô giáo trong Khoa Toán, đặc biệt các thầy cô trong tổ Đại số đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. mặc dù đã hết sức cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót. vì vậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của thầy, cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn! vinh, ngày 04 tháng 05 năm 2009. tác giả nguyễn thị nhã 3 Chơng I. vành các thơng 1.1. một số khái niệm liên quan 1.1.1. định nghĩa. Tập hợp R , trên đó đợc trang bị hai phép toán cộng và nhân thoã mãn các điều kiện sau: (i) R cùng với phép cộng là một nhóm giao hoán, (ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm, (iii) phép nhân phân phối với phép cộng: với mọi Rzyx ,, : yzxyzyx +=+ )( và yzxzzyx +=+ )( đợc gọi là vành. phần tử đơn vị của phép cộng ký hiệu là 0 và gọi là phần tử không của vành. Nếu phép nhân là giao hoán thì ta nói vành R là vành giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi nó là phần tử đơn vị của vành R và thờng ký hiệu là 1. Trong toàn bộ luận văn luôn giả thiết vành R là vành giao hoán, có đơn vị. 1.1.2. Ví dụ. tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân các số thông thờng là một vành giao hoán có đơn vị và gọi là vành các số nguyên. Ta cũng có vành các số hữu tỉ, vành các số thực, vành các số phức đối với phép cộng và phép nhân các số thông thờng. 1.1.3. iđêan 1.1.3.1. Định nghĩa: i) Một iđêan trái của vành R là một vành con RI thoả mãn: IaRrIra ,, . ii) Một iđêan phải của vành R là một vành con RI thoả mãn: IaRrIar ,, . iii) Nếu vành con RI vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải thì nó đợc gọi là iđêan của vành R . Đối với vành giao hoán các khái niệm iđêan, iđêan trái, iđêan phải là trùng nhau. 4 Mỗi iđêan của vành R mà khác R đợc gọi là iđêan thực sự của R . 1.1.3.2.Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại. i) Iđêan p của R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu RI và với mọi Ryx , sao cho pxy suy ra hoặc px hoặc py . ii) Iđêan m của R đợc gọi là iđêan cực đại nếu Rm và không tồn tại iđêan mI sao cho mI và RI . Từ định nghĩa ta suy ra nếu I là một iđêan của vành R thì I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành thơng IR / là miền nguyên và I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thơng IR / là một trờng. Do đó mọi iđêan cực đại của R đều là iđêan nguyên tố. Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, 0 R . Khi đó trong R có ít nhất một iđêan cực đại. Vì vậy nếu I là một iđêan của R , RI thì I đợc chứa trong một iđêan cực đại nào đó của R . 1.1.4. Iđêan thơng. Cho I và J là các iđêan của vành giao hoán R . Đặt: { } IxJRxJI = : { } JaIxaRx = , . Khi đó JI : là một iđêan của vành R và đợc gọi là iđêan thơng của I và J . Đặc biệt ta ký hiệu { } 0:0)( === xJRxJJAnn R { } JyxyRx == ,0 . Iđêan )(JAnn R đợc gọi là linh tử hoá của iđêan J . Cho Rx ta ký hiệu )(xAnn R ( hoặc )(xAnn ) thay cho )( >< xAnn R ( >< x là iđêan sinh bởi x ). Tức là { } 0)( == yxRyxAnn R . 1.1.5. Iđêan mở rộng, iđêan thu hẹp. Cho ': RRf là một đồng cấu vành. Khi đó: i) Nếu J là một iđêan trong 'R , ta ký hiệu )( 1 JfJ c = . Khi đó c J là một iđêan của R và đợc gọi là thu hẹp của iđêan J trong vành R bởi đồng cấu f . ii) Cho I là một iđêan trong R . Ký hiệu >= < )(IfI e là iđêan sinh bởi )(If . Khi đó e I là một iđêan của vành 'R và đợc gọi là mở rộng của iđêan I 5 trong vành 'R bởi đồng cấu f ( mỗi phần tử của e I là một tổ hợp tuyến tính trên 'R của các phần tử trong )(If . 1.1.6. Mệnh đề. cho ': RRf là một đồng cấu vành giao hoán, J là iđêan trong R . Khi đó JJ ce . Chứng minh. Ta có >= <== ))(())(()( 11 JffJfJJ eecce . Giả sử ii ce yryJffyJy '))(( 1 =>< , trong đó ))((,'' 1 JffyRr ii . với mỗi i, tồn tại )( 1 Jfx i , sao cho: )( ii xfy = . Do NiJyrJxfyJfx iiiii = ,')()( 1 (do J là iđêan ). Mà Jyyry ii = ' . JJ ce . 1.1.7. vành noether. 1.1.7.1. Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành noether nếu mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu . 210 K IIII là dãy tăng các iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên n sao cho . 1 == + nn II . 1.1.7.2. Chú ý. vành R là vành Noether khi và chỉ khi mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh. 1.1.7.3. Ví dụ. 1) vành các số nguyên Z là vành Noether vì mọi iđêan của Z đều có dạng mZ ( với Zm ) có nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh ( sinh bởi một phần tử). 2) Mọi trờng X là vành Noether, do trờng X chỉ có hai iđêan là { } 0 và X . Vậy dãy tăng các iđêan chỉ là { } X 0 , suy ra dãy dừng. 1.1.8. Vành địa phơng. 1.1.8.1. Định nghĩa. vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu nó chỉ có duy nhất một iđêan cực đại. 1.1.8.2. Ví dụ. 1) Mỗi trờng là một vành địa phơng vì chỉ có một iđêan cực đại duy nhất là { } 0 . 6 2) Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức [ ][ ] = = KaxaxK i i i i 0 là vành địa phơng với iđêan cực đại duy nhất là )(x . 1.2. vành các thơng 1.2.1. Tập nhân đóng của một vành. 1.2.1.1. Định nghĩa. Một tập S R đợc gọi là tập nhân đóng của R nếu 1 S và ab S với mọi a,b S. 1.2.1.2. Ví dụ. Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R . Khi đó tập S = R\p là một tập nhân đóng của R. Thật vậy, ta có: 1 R\p vì giả sử 1 R\p hay 1 p suy ra a.1 = a p với mọi a R. Khi đó p R. Tuy nhiên p R. Vậy 1 R\p. Với mọi a, b R\p, tức là a, b p ta có ab p do p là iđêan nguyên tố. Do đó ab R\p. Vậy R\p là tập nhân đóng của vành R . 1.2.2. Xây dựng vành các thơng. Giả sử R là vành giao hoán, có đơn vị. S là tập nhân đóng của R. Trên tích Đề các R ì S ta xét quan hệ ~ sau: với ),( sr và )','( sr thuộc SR ì ta nói ),( sr ~ )','( sr nếu có phần tử Ss 1 , sao cho 0)''( 1 = srrss . Quan hệ ~ là quan hệ tơng đơng. Thật vậy: i) Tính phản xạ: Với mọi (r,s) R ì S ta luôn có sr sr = 0. Suy ra tồn tại s 1 S sao cho s 1 (sr - sr ) = 0. Vậy (r,s) ~ (r,s), với mọi (r,s) R ì S. ii) Tính đối xứng: Giả sử (r,s) và )','( sr là hai phần tử bất kỳ thuộc R ì S sao cho (r,s) ~ (r,s) tức là tồn tại s 1 S, sao cho 0)''( 1 = srrss hay 0)''( 1 = rssrs . Do đó ),( sr ~ )','( sr . iii) Tính bắc cầu: Giả sử (a,s) ~ (b,t) và (b,t) ~ (c,u) tức tồn tại s 1 ,s 2 S sao cho: s 1 (ta - sb) = 0 và s 2 (ub - tc) = 0. Suy ra ( ) = = 0)( 0 21 12 tcubsss sbtauss Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta đợc: 7 s 2 us 1 ta - s 1 ss 2 tc= 0, suy ra: s 2 s 1 t(ua - sc) = 0. Vì S khép kín với phép nhân nên s 2 s 1 t S, suy ra (a,s) ~ (c,u). Vậy quan hệ ~ là một quan hệ tơng đơng trên R ì S. Lớp tơng đơng của phần tử (r,s) đợc ký hiệu s r hay r/s. Tập thơng R ì S/~ đợc ký hiệu S -1 R. Bây giờ trên S -1 R, với s r , , , s r S -1 R ta định nghĩa hai phép toán nh sau: Phép toán cộng (+): s r + , , s r = , ,, ss srrs + . Phép toán nhân ( ì ): s r ì , , s r = , , ss rr . Định nghĩa này không phụ thuộc và các đại diện đợc chọn. Thật vậy, giả sử 1 1 s r s r = và , , , 1 , 1 s r s r = , tức là tồn tại các phần tử 32 , ss S sao cho: 0)( 112 = rssrs (1) và 0)( ,, 1 , 1 , 3 = rsrss (2). Ta nhân đẳng thức (1) với , 1 , 3 sss và ta nhân đẳng thức (2) với 12 sss rồi cộng vế theo vế chúng ta đợc: 0)()( ,, 1 , 1 , 312112 , 1 , 3 =+ rsrsssssrssrssss . Suy ra ( ) 0)()( , 1 , 1 ,, 111 1 ,, 32 =+ rsrsssrssrssss . Hay ( ) 0)()( ,, 1 , 1 1 , 11 1 ,, 32 =++ srrsssrsrsssss . Vì s 2 ,s 3 S nên s 2 s 3 S . Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ : , ,, , 11 , 111 , 1 ss srrs ss rsrs + = + , nghĩa là: , 1 , 1 1 1 , , s r s r s r s r +=+ . Ta nhân đẳng thức (1) với , 1 , 3 rss và nhân đẳng thức (2) với rss 12 rồi cộng vế theo vế chúng lại ta đợc: 0 ,, 132 , 1 , 32 = rrsssrssss . Suy ra 0)( ,, 11 , 11 , 32 = rrssrrssss vì 32 , ss S. Đẳng thức cuối chứng tỏ: , , , 11 , 11 ss rr ss rr = . Suy ra , 1 , 1 1 1 , , s r s r s r s r = . 8 1.2.3. Mệnh đề. với hai phép toán cộng và nhân định nghĩa nh trên thì S -1 R lập thành vành giao hoán có đơn vị là 1/1. Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh S -1 R là một nhóm giao hoán với phép cộng. Với 2 2 1 1 , s r s r và 3 3 s r S -1 R. Ta có: 321 32121123 3 3 21 2112 3 3 2 2 1 1 )( )( sss sssrsrss s r ss rsrs s r s r s r ++ =+ + =++ = )( 3 3 2 2 1 1 32 3223 1 1 s r s r s r ss rsrs s r ++= + + . Phép cộng trên S -1 R có phần tử không là 1 0 vì với mọi s r , ta có: s r s sr s r s r = + =+=+ 1. 0 1 1 0 1 0 . Với mọi s r S -1 R luôn tồn tại phần tử đối là (- s r ). Thật vậy, ta có 1 00)( )( == + =+ ssss rssr s r s r . Vậy S -1 R là một nhóm giao hoán với phép cộng. Bây giờ ta chứng minh S -1 R với phép nhân là một nửa nhóm giao hoán có đơn vị. Với mọi 3 3 2 2 1 1 ,, s r s r s r S -1 R , ta có : )( )( )( )( 3 3 2 2 1 1 32 32 1 1 321 321 3 3 2 2 1 1 s r s r s r ss rr s r sss rrr s r s r s r === . Mặt khác 1 1 s r 2 2 s r = 1 1 2 2 12 12 21 21 s r s r ss rr ss rr == và 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s r s r s r == . Vậy S -1 R là một na nhóm giao hoán và có đơn vị với phép nhân. Trên S -1 R phép nhân phân phối với phép cộng. Thật vậy với 1 1 s r , 2 2 s r và 3 3 s r S -1 R ta có: 1 1 s r ( 2 2 s r + 3 3 s r ) = 1 1 s r 321 321231 321 32231 32 3223 )( sss rsrrsr sss rsrsr ss rsrs + = + = + = 3 3 1 1 2 2 1 1 31 31 21 21 3121 31212131 ))(( ))(())(( s r s r s r s r ss rr ss rr ssss rrssrrss +=+= + (s 1 S nên s 1 0). 9 Tơng tự ta có: ( 2 2 s r + 3 3 s r ) 1 1 s r = 2 2 s r 1 1 s r + 3 3 s r 1 1 s r . Vậy S -1 R cùng với hai phép toán cộng và nhân định nghĩa ở trên lập thành một vành giao hoán có đơn vị 1/1. 1.2.4. Định nghĩa. vành S -1 R đc gọi là vành các thơng của R theo tập nhân đóng S. 1.2.5. Ví dụ . Giả sử p là một iđêan nguyên tố trong vành R. Khi đó S = R\P là một tập nhân đóng ( Ví dụ 1.2.1.2). Trong trờng hợp này ta ký hiệu S -1 R là Rp. Vậy Rp = { } psrrsr ,/ cùng với phép toán cộng và phép toán nhân nói trên lập thành một vành các thơng. Định lý 1.2.l3 sau đây sẽ chứng tỏ rằng Rp là một vành địa phơng. 1.2.6. Nhận xét. Nếu 0 S thì S -1 R chứa đúng một phần tử, đó là 0/1. Thật vậy, với mọi r R, s S ta có 0(s0 - 1r) = 0 suy ra (r,s) ~ (0,1) hay r/s = 0/1. Nh thế tr- ờng hợp 0 S ít có ý nghĩa. 1.2.7. Mệnh đề. Cho S là tập nhân đóng của vành R . Khi đó ánh xạ RSRf 1 : xác định bởi: 1 )( r rf = , Rr là đồng cấu vành. Chứng minh. Ta có: )'()( 1 ' 11 ' )'( rfrf rrrr rrf +=+= + =+ ,với Rr . )'()( 1 ' . 11 '. )'.( rfrf rrrr rrf === ,với Rrr ', . Vậy f là đồng cấu vành. 1.2.8. Mệnh đề. Giả sử ARg : là đồng cấu vành, S là tập nhân đóng của R sao cho Ss thì )(sg khả nghịch trong A . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành ARSh 1 : sao cho biểu đồ sau là giao hoán. Nghĩa là : fhg = với RSRf 1 : là đồng cấu chính tắc xác định nh trong Mệnh đề 1.2.7 f R RS 1 10