Một số tính chất của vành và môđun phân bạc

trờng đại học vinh khoa toán --------***-------- lê hải nam Một số tính chất của vành và môđun phân bậc Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành S phạm toán cán bộ hớng dẫn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viên thực hiện Lê Hải Nam Lớp 46A Toán Vinh - 2009 1 Mục lục Trang Mở đầu . 2 Chơng I. Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Tổng trực tiếp nhóm . . 3 1.2. Nhóm đầy đủ 3 1.3. Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại. 5 1.4. Iđêan hữu hạn sinh. . . . 5 1.5. Môđun hữu hạn sinh. 6 1.6. Môđun Noether. . . 7 1.7. Vành Noether. . 9 1.8. Iđêan nguyên tố liên kết. . . 9 1.9. Sự phân tích nguyên sơ. . . 10 1.10. Đại số . 11 Chơng II. Vành và môđun phân bậc 13 2.1.Vành và môđun phân bậc . 13 2.2.Tính chất Noether của vành và môđun phân bậc. . . 18 2.3. Vành phân bậc liên kết. . . 21 Kết luận . 24 Tài liệu tham khảo 25 2 Mở đầu Trong một vài thập niên gần đây, lý thuyết vành và môđun đã có những bớc phát triển rực rỡ. Đã có nhiều hớng phát triển lý thuyết vành và môđun mang lại nhiều ứng dụng khác nhau. Nhìn nhận một vành và môđun dới dạng tổng trực tiếp của các nhóm mở ra hớng nghiên cứu khá thú vị dẫn đến lý thuyết vành và môđun phân bậc. Mục đích của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết cấu trúc vành và môđun phân bậc, nêu ra các tính chất của chúng đặc biệt là tính chất Noerther của vành phân bậc. Luận văn đợc chia làm hai chơng. ở chơng I, chúng tôi trình bày mà không chứng minh các khái niệm, kết quả liên quan đến chứng minh trong chơng II. Chơng II là nội dung chính của luận văn. Trong chơng này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của một vành và môđun phân bậc, đặc biệt trình bày tính chất Noether của vành phân bậc và vành phân bậc liên kết. Để hoàn thành luận văn này tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã hết sứ cố gắng nhng do trình độ đang còn hạn chế nên không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong muốn nhận đợc sự góp ý của các thầy, cô và các bạn. Vinh, tháng 5 năm 2009 3 Chơng I Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này chúng tôi trình bày các khái niệm và kết quả cần dùng cho chứng minh ở chơng II. 1.1 Tổng trực tiếp nhóm Cho (G i ) i I là một họ các nhóm. Trên tập tích Đêcac G = G 1 ì G 2 ì ì G i ì ta định nghĩa một phép nhân nh sau: Với mọi (a i ) i I , (b i ) i I thuộc G, trong đó a i , b i thuộc G i , i I đặt (a i ) i I (b i ) i I =(a i b i ) i I . Khi đó G cùng với phép toán đã định nghĩa lập thành một nhóm gọi là tích trực tiếp của họ các nhóm {G i } i I và đợc kí hiệu Ii G i . Tích trực tiếp này có phần tử đơn vị là e = (e i ) i I trong đó e i là đơn vị nhóm G i . Trong tích trực tiếp i I G i ta xét tập con S gồm tất cả các phần tử (a i ) i I sao cho a i = e i đối với hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i S = {(a i ) i I | a i G i , a i =e i hầu hết trừ hữu hạn khác e i }. Ta có S là nhóm con của tích trực tiếp i I G i và gọi là tổng trực tiếp của họ các nhóm (G i ) i I , kí hiệu là Ii G i . 1.2 Nhóm đầy đủ và hệ ngợc 1.2.1 Nhóm đầy đủ. Cho G là một nhóm Aben tôpô và không nhất thiết là Hausdorff . Nghĩa là G là không gian tôpô đồng thời là nhóm Aben với hai cấu trúc này tơng thích theo nghĩa ánh xạ : G ì G G và G G đợc định nghĩa là (x,y) x+y và x -x là các ánh xạ liên tục. Nếu {0} là tập đóng trong G thì nghịch ảnh của nó là đóng trong G ì G (nhờ ánh xạ ngợc (x,y) x-y ) và do đó G là Hausdorff. Nếu a là một phần tử cố định thì phép tịnh tiến T a (x)=a+x là một đồng cấu từ G G (với T a liên tục có ánh 4 xạ ngợc là T -a ), do đó nếu U là lân cận của 0 thì a+U là lân cận của a. Vậy tôpô trong G là xác định duy nhất với lân cận của 0 trong G. Giả thiết rằng 0 G có đếm đợc lân cận. Khi đó nhóm đầy đủ à G của G đợc định nghĩa nhờ các dãy Cauchy. Một dãy Cauchy trong G đợc định nghĩa là một dãy (x n ) gồm các phần tử của G sao cho với bất kì lân cận U nào của 0 đều tồn tại một số tự nhiên s(U) thoã mãn x m - x n U với mọi m, n s(U). Hai dãy Cauchy (x n ) và (y n ) đợc gọi là tơng đơng nếu x n -y n 0 trong G. Tập các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy kí hiệu bởi à G . Nếu (x n ), (y n ) là các dãy Cauchy thì (x n +y n ) cũng là dãy Cauchy và là một lớp trong à G , nó phụ thuộc vào các dãy (x n ) và (y n ). Hơn nữa ta có phép cộng là giao hoán nên à G là nhóm Aben. Với mọi x G là lớp của dãy hằng (x) cũng là phần tử của (x) của G nhờ ánh xạ : G à G là một đồng cấu nhóm Aben và ta có : Ker = U Trong đó U chạy khắp các lân cận của 0. Nếu G là Hausdorff thì gọi là ánh xạ đơn ánh. Nếu H là một nhóm Aben tôpô khác và f : G H là đồng cấu liên tục, khi đó ảnh qua f của một dãy Cauchy trong G là một dãy Cauchy trong H và do đó f cảm sinh một đồng cấu à f : à G à H là liên tục. Nếu ta có G f H g K thì ả 0 g f = $ à 0 g f . 1.2.2 Hệ ngợc. Cho {A n } và A là các nhóm cho trớc và đồng cấu n : A n A. Gọi chúng là hệ ngợc và nhóm của các khớp n (nghĩa là n A n và n+1 n+1 = n ) gọi là giới hạn ngợc của hệ, kí hiệu là n A lim . Giả sử {A n }, {B n } và {C n } là các hệ ngợc và sơ đồ sau giao hoán 0 A n+1 B n+1 C n+1 0 5 0 A n B n C n 0. Ta có định lí sau : (i) Định lí. Nếu 0 {A n } {B n } {C n } 0 là khớp của hệ ngợc, khi đó : 0 n A lim n B lim n C lim cũng là khớp. Nếu {A n } là hệ toàn ánh ngợc ( n là toàn ánh) khi đó 0 n A lim n B lim n C lim 0 là khớp. 1.3 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại 1.3.1 Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị R. i) I đợc gọi là iđêan nguyên tố của vành R nếu I R và với mọi a, b R mà ab I thì a I hoặc b I. ii) I đuợc gọi là iđêan cực đại của vành R nếu I R và không tồn tại một iđêan J R mà J thực sự chứa I. 1.3.2 Ví dụ. Trong vành các số nguyên Z, cho n là một số nguyên tố bất kì, khi đó nZ là iđêan nguyên tố đồng thời cũng là iđêan cực đại. 1.3.3 Chú ý. Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị R. 1) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên. 2) I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là trờng. 3) Trong một vành giao hoán có đơn vị mọi iđêan cực đại là nguyên tố. 4) Mọi vành giao hoán, có đơn vị không tầm thờng đều chứa ít nhất một iđêan cực đại. 5) Nếu I là iđêan thực sự của vành giao hoán, có đơn vị R thì tồn tại ít nhất một iđêan cực đại của R chứa I. 1.4 Iđêan hữu hạn sinh 1.4.1 Định nghĩa. Cho R là vành và S R. Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là một iđêan của R chứa S, kí hiệu bởi < S > . S đợc gọi là tập sinh (hay hệ sinh) của iđêan I =<S> và ta nói I sinh bởi S. 6 S đợc gọi là tập sinh tối tiểu (còn gọi là hệ sinh tối tiểu) của I nếu S là tập sinh của I và không thực sự chứa một tập sinh khác của I. Ta nói I là iđêan hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn. Giả sử S ={x 1 , ,x n } là một hệ sinh của iđêan I trong vành giao hoán có đơn vị R. Khi đó I có biểu diễn là I={ a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n | a i R, x i S, i=1, ,n }. 1.4.2 Ví dụ: Mỗi iđêan nZ trong vành Z sinh bởi phần tử n. 1.5 Môđun hữu hạn sinh 1.5.1 Định nghĩa. Cho M là R-môđun và S M. Khi đó giao của tất cả các môđun con của M chứa S là một môđun con của M chứa S, kí hiệu bởi <S>. Tập S đợc gọi là tập sinh ( hay hệ sinh ) của môđun con N=<S>. Trong trờng hợp N=M thì ta nói S là một hệ sinh của M (hay M đợc sinh bởi S ). Nếu môđun M có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M đợc gọi là môđun hữu hạn sinh. Môđun đợc sinh bởi một phần tử thì gọi là môđun xyclic. Giả sử S ={x 1 , ,x 2 } là một hệ sinh của môđun con N. Khi đó: N = {a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n | a i R, x i S, i=1, ,n }. 1.5.2 Bổ đề. (Bổ đề Nakayama) Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R. Nếu M = IM thì tồn tại a I sao cho (1+a)M = 0. Hơn nữa, nếu I rad(R) thì M = 0, với rad(R) là giao của tất cả iđêan cực đại trong R. Chứng minh: Giả sử M sinh bởi các phần tử x 1 , ,x n . Từ điều kiện M = IM suy ra tồn tại n 2 phần tử a ij I sao cho x i = 1= n ij j j a x , i = 1, ,n . Ta có thể viết lại thành hệ phơng trình: ( ) n j ij ij j 1 a x = = 0, i = 1, ,n , trong đó ịj = 0 nếu i j và ii = 1. Kí hiệu b ij là định thức bù của phần tử (i,j) của ma trận A = (a ij - ij ) và d = det(A). Nhân phơng trình thứ i với b ik và cộng tất cả lại với nhau ta sẽ đợc k x d = 0 với mọi k = 1, ,n . Do đó dM = 0 với d có dạng 1+a, a I. 7 Nếu I rad(A) thì 1+a là khả nghịch trong vành R. Do đó nhân hai vế của (1+a)M với (1+a) -1 ta đợc M = 0. Cho dù M là môđun hữu hạn sinh, không nhất thiết mọi tập sinh tối tiểu của nó đều có cùng số phần tử. Tuy nhiên định lí sau đây cho thấy trong trờng hợp vành có cơ sở là địa phơng (tức là vành chỉ có duy nhất mội iđêan cực đại) thì mọi hệ sinh tối thiểu của môđun hữu hạn sinh trên nó đều có cùng số phần tử. 1.5.3 Định lí. Giả sử R là vành chỉ có một iđêan cực đại duy nhất m và M là một R- môđun hữu hạn sinh. Khi đó x 1 , , x n là tập sinh của M khi và chỉ khi ảnh 1 , ., n x x là tập sinh của không gian véc tơ = M/mM trên R/m. Do vậy mọi tập sinh tối tiểu của M có số phần tử nh nhau. Chứng minh: Mệnh đề đầu ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Vì 1 , ., n x x là tập sinh của không gian véc tơ = M/mM dẫn đến M = N +mM , trong đó N=Rx 1 + +Rx n . Suy ra M/N = m(M/N). Theo giả thiết ta có rad(R)= m. Theo bổ đề Nakayama M/N = 0 hay M = N, tức x 1 , ,x n là tập sinh của M. Từ mệnh đề đầu suy ra x 1 , ,x n là tập sinh tối tiểu của M khi và chỉ khi ảnh 1 , ., n x x là tập sinh tối tiểu của không gian véc tơ = M/mM. Nhng tập sinh tối tiểu của không gian véc tơ là cơ sở của nó. Vậy số phần tử sinh tối tiểu của M chính bằng dim(M/mM). 1.6 Môđun Noether 1.6.1 Định nghĩa. Cho M là R-môđun. M đợc gọi là môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con của M: M 1 M 2 M n đều dừng, tức là tồn tại một số tự nhiên k sao cho M k =M k+1 = 1.6.2 Định lí. Cho R là vành và M là một môđun trên vành R. Các điều kiện sau đây là tơng đơng: i) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm). ii) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng. iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. 8 Chứng minh: ii) i). Gọi A là tập hợp các môđun con của M. Vì 0 M A nên A . Giả sử A không có phần tử cực đại. Lấy môđun con M 1 bất kì thuộc A. Vì A không có phần tử cực đại nên tồn tại môđun con M 2 A sao cho M 1 M 2 . Cũng vì A không cực đại nên tồn tại môđun con M 3 A sao cho M 1 M 2 M 3 . Tiếp tục quá trình nh vậy ta đợc một dây chuyền tăng vô hạn. Điều này mâu thuẫn với ii). i) iii). Gọi I là môđun con bất kì của M và F là tập các môđun con hữu hạn sinh của M chứa trong I. Theo i) thì F có phần tử cực đại J. Nếu J=I thì I là môđun con hữu hạn sinh. Nếu J I thì tồn tại a I\ J. Giả sử J=(a 1 , ,a n ), khi đó xét J =(a 1 , ,a n ,a) là môđun con của của M nằm trong I và J hữu hạn sinh. Suy ra J J và J F, do đó mâu thuẫn với tính cực đại của J trong F. Vậy I=J F tức là mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. iii) ii). Xét dãy tăng các môđun con bất kì của M: M 1 M 2 M n M n+1 Đặt I = 1n M n . Với mọi a,b thuộc I, tồn tại p, q 1 sao cho a M p , b M q . Giả sử p q suy ra M p M q . Vì a M p nên a M q do đó a+b M q I hay a+b I. Với mọi r R ta có r.a M p nên r.a I. Vậy I là môđun con của M. Theo iii) môđun con I hữu hạn sinh nên giả sử I=(a 1 , ,a m ). Do a i I nên có thể chọn đợc p i 1 sao cho a i i P M , i=1, ,m . Đặt p=max{p 1 , ,p m }. Vì pp MM i nên a i I p , i= 1, ,m . Suy ra I M p . Nhng M p M p+n I nên M p =M p+n = I với mọi n 1. Vậy dãy tăng các môđun con bất kì của R-môđun M dừng lại sau hữu hạn bớc. 1.6.3 Ví dụ. 1) Xét Z là Z môđun thì Z là môđun Noether vì mọi môđun con của Z (tức là iđêan của vành Z) đều hữu hạn sinh. 2) V là không gian véctơ hữu hạn chiều thì V là môđun Noether. 1.7 Vành Noether 1.7.1 Định nghĩa. Vành R đợc gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăng các iđêan trong R đều dừng, nghĩa là nếu I 0 I 1 I n là dãy tăng các iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên n sao cho I n =I n+1 = . Nh vậy vành R là Noether nếu nó là một môđun Noether trên chính nó. 9 1.7.2 Định lí. Giả sử R là một vành, khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: i) Mọi tập khác rỗng các iđêan trong vành R đều có phần tử cực đại. ii)Mọi dãy tăng các iđêan trong vành R đều đều dừng. iii)Mọi iđêan trong vành R đều hữu hạn sinh. 1.7.3 Ví dụ. 1) Vành các số nguyên Z là vành Noether vì mọi iđêan của Z có dạng nZ (n Z) nghĩa là mọi iđêan của Z đều hữu hạn sinh (sinh bởi một phần tử). 2) Mọi trờng X đều là vành Noether vì chỉ có hai iđêan là 0 và X, tức là dãy tăng các iđêan là dừng. 1.8 Iđêan nguyên tố liên kết 1.8.1 Định nghĩa. Giả sử M là R-môđun. Một iđêan nguyên tố P của R đợc gọi là nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x M sao cho: P= Ann R (x) = { a R| ax = 0}. Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M đợc kí hiệu là Ass R M (hoặc Ass M nếu ta không để ý đến vành R). 1.8.2 Ví dụ. Giả sử P là một iđêan nguyên tố của vành R. Ta xét vành thơng R/P nh là R-môđun. Khi đó P là một iđêan nguyên tố liên kết của môđun R/P. Thật vậy, giả sử x là một phần tử khác không tuỳ ý của R/P, tức là x = x + P với x R và x P. Ta có: Ann ( x ) = { a R | a x = 0} = { a R | ax P} = { a R | a P} = P. Từ chứng minh trên ta còn suy ra P là iđêan nguyên tố duy nhất của môđun R/P. Do đó Ass( R/P) = {P}. 1.8.3 Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết. Mệnh đề 1. Giả sử M là một R- môđun và P là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó P Ass R M khi và chỉ khi M chứa một môđun con N sao cho N R/P. 10 . Đại số . 11 Chơng II. Vành và môđun phân bậc 13 2.1 .Vành và môđun phân bậc . 13 2.2 .Tính chất Noether của vành và môđun. Z- đại số hữu hạn sinh. Chơng II Một số tính chất của Vành và mô đun phân bậc 13 2.1 Vành và môđun phân bậc 2.1.1 Định nghĩa. Vành R đợc gọi là Z -phân bậc