Một số tính chất của hàm lồi một biến và nhiều biến

1 Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh trần thị hồng vân một số tính chất của hàm lồi một biến và nhiều biến CHUYÊN NGàNH: toán giải tích Mã Số: 60.46.01 luận văn thạc sĩ toán học ngời hớng dẫn khoa học: pgs.ts. phạm ngọc bội Vinh - 2010 MỤC LỤC Trang Mục lục .1 Mở đầu .2 Chương 1. Hàm lồi một biến 4 1.1. Tập lồi, hàm lồi .4 1.2. Tính liên tục của hàm lồi, giá và tính khả vi của hàm lồi 5 1.3. Các đặc trưng của hàm lồi khả vi .13 1.4. Một số bất đẳng thức về hàm lồi 14 1.5. Hàm Gamma 20 Chương 2. Hàm lồi nhiều biến .22 2.1. Tính liên tục của hàm lồi nhiều biến, giá và tính khả vi của hàm lồi nhiều biến 22 2.2. Tiêu chuẩn lồi dạng Hess .29 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 2 MỞ ĐẦU Hàm lồi là khái niệm toán học có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và nhiều ngành khoa học khác. Vào đầu thế kỷ XX hàm lồi đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Stolz, Brunn, Hadamard và Jensen. Các kết quả thu được trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm lồi được áp dụng trong việc chứng minh các bất đẳng thức sơ cấp, tìm giá trị lớn nhất của hàm lồi, tìm nghiệm của các phương trình… Các tính chất của hàm lồi được nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cập đến. Đã có nhiều khoá luận, luận văn trình bày vấn đề hàm lồi và ứng dụng (xem [1], [2], [3], [4]). Tuy vậy các tài liệu trên chưa đi sâu vào việc trình bày các tính chất của hàm lồi, đặc biệt chưa đề cập đến hàm lồi nhiều biến. Chúng tôi thấy rằng việc trình bày chi tiết các tính chất của hàm lồi và chứng minh chi tiết các tính chất đó là việc làm cần thiết nhằm bổ sung cho các tài liệu trên thành hệ thống tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và những người quan tâm đến khái niệm này. Với mục đích trên luận văn sẽ hệ thống và chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản của hàm lồi một biến và nhiều biến. Luận văn được trình bày theo hai chương Chương 1. Hàm lồi một biến Phần đầu của chương này dành cho việc hệ thống lại một số kiến thức cơ bản cần dùng trong luận văn về tập lồi,về hàm lồi,về tính liên tục… sau đó chúng tôi nêu các đặc trưng của hàm lồi, chứng minh chi tiết một số bất đẳng thức về hàm lồi và tính chất hàm Gamma. Chương 2. Hàm lồi nhiều biến. Đầu tiên chúng tôi trình bày về tính liên tục, tính khả vi và giá của hàm lồi nhiều biến. 3 Sau đó chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn lồi dạng Hess. Các kết quả trình bày trong luận văn đã có trong các tài liệu tham khảo. Chúng tôi tổng hợp, trình bày lại và chứng minh chi tiết một số định lý, hệ quả như bất đẳng thức Jensen, Hệ quả 1.4.2, Hệ quả 1.4.3, Hệ quả 1.4.5,… Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Phạm Ngọc Bội. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thấy giáo hướng dẫn. Nhân dịp hoàn thành luận văn tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy giáo PGS.TS. Tạ Quang Hải. Qua đây tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các các thầy cô trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại Học - Trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp và đặc biệt là chồng và gia đình tôi đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của các thầy, các cô, bạn bè và đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoàn thành luận văn tốt nhất. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả Trần Thị Hồng Vân 4 Chương 1 HÀM LỒI MỘT BIẾN Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày năm vấn đề. - Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và trên đồ thị của hàm lồi. - Tính liên tục của hàm lồi, giá và tính khả vi của hàm lồi. - Các đặc trưng của hàm lồi. - Một số bất đẳng thức về hàm lồi. - Hàm Gamma và các tính chất của nó. 1.1. TẬP LỒI, HÀM LỒI 1.1.1. Định nghĩa. Tập C d ⊂ ¡ . Tập C được gọi là tập lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm thuộc C thì nằm trọn trong C. Nói cách khác tập C được gọi là tập lồi nếu với mọi ,x y C∈ thì (1 )x y C λ λ − + ∈ với 0 1 λ ≤ ≤ . Tập C được gọi là tập lồi ngặt nếu C đóng và (1 ) intx y C λ λ − + ∈ , với mọi ,x y C∈ , ,0 1x y λ ≠ < < . Các ví dụ về tập lồi: Hình cầu, hình elíp là các tập lồi ngặt. Trong d ¡ lấy d+1 điểm độc lập 0 1 , , . d x x x , tập lồi nhỏ nhất chứa 0 1 , , . d x x x gọi là đơn hình d-chiều có đỉnh là 0 1 , , . d x x x . Phương trình của đơn hình có đỉnh 0 1 , , . d x x x là 0 d i i i x x l = = å , với 0 i l ³ , i=0, . d , 0 1 d i i l = = å . Ta thấy rằng mỗi đơn hình d- chiều là một tập lồi trong d ¡ . Đơn hình 1-chiều là đoạn thẳng, đơn hình 2-chiều là hình tam giác, đơn hình 3-chiều là hình tứ diện. 5 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử :f C → ¡ là hàm thực trên C d ⊂ ¡ . Hàm f được gọi là hàm lồi nếu C là tập lồi và ((1 ) ) (1 ) ( ) ( )f x y f x f y λ λ λ λ − + ≤ − + với mọi ,x y C∈ và 0 1 λ ≤ ≤ Hàm f được gọi là lồi ngặt nếu C là tập lồi và ((1 ) ) (1 ) ( ) ( )f x y f x f y λ λ λ λ − + < − + với mọi ,x y C∈ , x y ≠ , 0 1y< < . Ví dụ. Chuẩn và nửa chuẩn là các hàm lồi. Chú ý. Để xây dựng khái niệm hàm lồi chúng ta có thể thay thế không gian d ¡ bởi không gian tô pô tuyến tính. 1.1.3. Trên đồ thị của hàm lồi Giả sử tập C d ⊆ ¡ và :f C → ¡ là hàm thực. Trên đồ thị của hàm f kí hiệu là epif = ( ) { } 1 , , ( ) d x t x C t f x + Î Î ³¡ . 1.1.4. Mệnh đề. Giả sử C d ⊆ ¡ và :f C → ¡ . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: i) f là hàm lồi, ii) Trên đồ thị của hàm f là tập lồi trong 1d + ¡ . 1.2. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM LỒI, GIÁ VÀ TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM LỒI Ký hiệu ,I J là các khoảng trong ¡ . 1.2.1. Bổ đề. Nếu :f I → ¡ là hàm lồi thì , ,x y z I∀ ∈ , x y z< < ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f y f x f z f x f z f y y x z x z y − − − ≤ ≤ − − − Chứng minh. Vì , ,x y z I∈ , ,x y z< < nên tồn tại 0 1 λ < < sao cho y = (1 )x z λ λ − + . Do hàm f là hàm lồi nên ta có ( ) ( ) ((1 ) ) ( ) (1 ) f y f x f x z f x y x x z x λ λ λ λ − − + − = ≤ − − + − (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) f x f z f x f z f x x z x z x λ λ λ λ − + − − = − + − − , Nghĩa là 6 xy xfyf − − )()( xz xfzf − − ≤ )()( . (1.1) Ta lại có ( ) ( ) ( ) ((1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) f z f y f z f x z f z f x f z z y z x z z x z λ λ λ λ λ λ λ λ − − − + − − − = ≥ − − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( )f z f x f x f z z x x z λ λ λ λ − + − = − + − = xz xfzf xz xfzf − − = −− −− )()( ))(1( ))()()(1( λ λ Hay xz xfzf yz yfzf − − ≥ − − )()()()( . (1.2) Từ (1.1) và (1.2) ta có: yz yfzf xz xfzf xy xfyf − − ≤ − − ≤ − − )()()()()()( . (1.3) Lưu ý: Nếu f(x) là hàm lồi ngặt thì (1.3) không có dấu bằng. 1.2.2. Tính chất liên tục 1.2.2.1. Định nghĩa. Giả sử RIf → : . Hàm f được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên I ⊆ J nếu tồn tại L > 0, sao cho yxLyfxf −<− )()( với Jyx ∈ , . L được gọi là hằng số Lipschitz của f trên I Hàm f được gọi là liên tục tuyệt đối trên J nếu với mọi 0 ε > , tồn tại 0 δ > sao cho nếu [a i , b i ], i = 1,…, n là hệ hữu hạn rời nhau trong J, có độ dài nhỏ hơn δ thì ε <− ∑ = n oi ii afbf )()( . Rõ ràng một hàm Lipschitz là hàm liên tục tuyệt đối và một hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục. Một ví dụ của hàm liên tục mà không liên tục tuyệt đối là f: [0,1] ® ¡ xác định bởi 7 0 ( ) 0 1 f x x ì ï ï ï ï = æö í ÷ ç ï < £ ÷ ç ï ÷ ç è ø ï ï î nÕu = 0 1 sin nÕu x x x 1.2.2.2. Định lý. Nếu RIf → : là hàm lồi thì f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên mỗi đoạn compắc nằm trong intI. Đặc biệt f liên tục đều trên tập compắc nằm trong intI và liên tục trên intI. Chứng minh. Giả sử J là đoạn compắc trong intI. Ta cần chứng minh f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên J. Chọn u, v, ω , z I ∈ , u < v, ω < z với u, v ở bên trái J, ω , z ở bên phải J. Giả sử x, y J ∈ , x < y. Áp dụng Bổ đề 1.2.1 cho u, v, x và u, x, y ta có: vx vfxf ux ufxf uv ufvf − − ≤ − − ≤ − − )()()()()()( (1.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f v f y f v f y f x x v y v y x − − − ≤ ≤ − − − (1.5) Từ (1.4) và (1.5) ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )f v f u f y f x v u y x − − ≤ − − Tương tự đối với cặp x, y, ω và x, y, ω ta có: ( ) ( ) ( ) ( )f y f x f z f y x z ω ω − − ≤ − − Do đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ax , f x f y f v f u f z f m x y v u z ω ω   − − − ≤   − − −   = L. Vậy ( ) ( )f x f y L x y − ≤ − . Chú ý. Nếu a là một điểm mút của I thì hàm lồi :f I → ¡ có thể không liên tục tại a. Ví dụ xét hàm :[0,1]f → ¡ xác định bởi 1 ( ) 0 1 f x x ì ï ï = í ï < £ ï î nÕu = 0 0 nÕu x Hàm này không liên tục tại x=0 8 1.2.3. Giá của hàm lồi 1.2.3.1. Định nghĩa. Hàm :a ®¡ ¡ được gọi là hàm affine nếu với mọi 1 2 , ,x x Î ¡ mọi λ ∈ ¡ thì 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )a x x a x a x l l l l + - = + - . Một hàm :f I → ¡ được gọi là có giá affine tại điểm x ∈ I nếu có một hàm affine :a →¡ ¡ xác định bởi a(y) = f(x) +u(y-x) với y ∈ ¡ . Ở đây u là một hằng số thảo mãn sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ),f y a y f x u y x y I≥ = + − ∈ . Hàm affine a được gọi là một giá affine của f tại x. 1.2.3.2. Định lý. Nếu :f I → ¡ là hàm lồi và x ∈ intI thì f có giá affine tại x. Chứng minh. Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử x = 0 và f(0)=0. Nếu không như vậy ta chỉ cần đổi hệ tọa độ.Nếu , 0I ω ω ∈ ≠ khi đó do f là hàm lồi nên ta có 0 ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ),f f f λ µ λ µ µω λω λ µω µ λω λ µ λ µ = + − + ≤ − + + + với , 0, ,I I λ µ λω µω > ∈ − ∈ . hay ( ) ( )f f mw l w m l - - £ với 0, 0, , I l m l w mw > > - Î . Cận trên đúng của vế trái theo m là bé hơn hoặc bằng cận dưới đúng của vế phải theo m . Vì vậy có thể chọn α ∈¡ sao cho ( ) ( )f f µω λω α µ λ − − ≤ ≤ , với , 0, ,I I λ µ λω µω > ∈ − ∈ . Do đó ( )f λω αλ ≥ với , I λ λω ∈ ∈ ¡ .Như vậy ( )a λω αλ = với λ ∈ ¡ là một giá affine của f tại x = 0. 1.2.3.3. Định lý. Nếu I mở và :f I → ¡ thì các mệnh đề sau là tương đương: i) Hàm f lồi, ii) Hàm f có giá affine tại mỗi x thuộc I. Chứng minh. i Þ ii suy từ Định lý 1.2.3.2. Ta cần chứng minh ii i⇒ . 9 Nếu f có giá affine tại mỗi x ∈ I, gọi giá affine này là x (.)a thì rõ ràng { } x ( ) sup ( ) :f y a y x I= ∈ với y I∈ . Vì cận trên đúng của một họ các giá affine là hàm lồi nên f là hàm lồi. Ta có { } ((1 ) ) sup ((1 ) ) : x f y z a y z x I l l l l - + = - + Î { } sup (1 ) ( ) ( ) : x x a y a z x I λ λ = − + ∈ { } { } (1 )sup ( ) : sup ( ) : x x a y x I a z x I l l - +£ Î Î (1 ) ( ) ( )f y f z l l = - + với , ,0 1.y z I l Î £ £ Vậy hàm f lồi. 1.2.4. Tính khả vi 1.2.4.1. Định nghĩa. 1. Giả sử :f I ® ¡ và điểm x IÎ . Nếu x không phải là mút bên trái của I và tồn tại giới hạn 0 ( ) ( ) lim y x f y f x y x − → − − thì ta nói f có đạo hàm bên trái tại điểm x và gọi giới hạn đó là đạo hàm bên trái của x. Ta kí hiệu đạo hàm bên trái của x là '( )f x − . Khi đó '( )f x − = 0 ( ) ( ) lim y x f y f x y x − → − − Tương tự ta có đạo hàm bên phải của x là '( )f x + và 0 ( ) ( ) ' ( ) lim y x f y f x f x y x + + → − = − . Nếu '( )f x − , '( )f x + tồn tại và '( )f x − = '( )f x + thì ta nói f khả vi tại x. Kí hiệu f'(x). Khi đó f ' (x) = '( )f x − = '( )f x + . 2. Một hàm :f I ® ¡ được gọi là khả vi cấp hai hầu khắp nơi trên I nếu tồn tại các tập ,M N I⊆ có độ đo Lebesgue 0 sao cho ( ) ( ) ' ( ) lim y x f y f x f x y x → − = − tồn tại với \x I M∈ , '( ) '( ) lim y x f y f x y x → − − tồn tại với \ ( ), \x I M N y I M∈ ∪ ∈ . Giới hạn thứ 2 được kí hiệu là f ''(x). 10 . nghĩa tập lồi, hàm lồi và trên đồ thị của hàm lồi. - Tính liên tục của hàm lồi, giá và tính khả vi của hàm lồi. - Các đặc trưng của hàm lồi. - Một số bất. tập lồi, về hàm lồi, về tính liên tục… sau đó chúng tôi nêu các đặc trưng của hàm lồi, chứng minh chi tiết một số bất đẳng thức về hàm lồi và tính chất hàm