Một số tính chất của tập lồi trắc địa và bao lồi trắ địa

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Tập lồi, bao lồi, điểm cực biên 1.2 Đa giác đơn tam giác phân 1.3 Độ phức tạp thuật toán 1.4 Thuật toán tăng dần tìm bao lồi đa giác đơn Một số tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa 2.1 Đường trắc địa, tập lồi trắc địa, bao lồi trắc địa 2.2 Một số tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa 2.3 Thuật toán tìm điểm chung họ hữu hạn tập lồi trắc địa đa giác đơn Thuật toán tìm bao lồi trắc địa 3.1 Đa giác đơn yếu 3.2 Thuật toán tìm bao lồi trắc địa đa giác đa giác đơn 3.3 Thuật toán tìm bao lồi trắc địa tập hợp hữu hạn điểm đa giác đơn Kết luận Tài liệu tham khảo 11 12 12 14 22 24 24 25 27 32 33 LỜI NÓI ĐẦU Tập lồi bao lồi khái niệm Giải tích lồi Bài toán tìm bao lồi tập hợp hữu hạn điểm mặt phẳng, đường gấp khúc đa giác toán quan trọng Hình học tính toán Đã có số nhà toán học nghiên cứu tập lồi mở rộng, H X Phú (1999) đưa tập γ-lồi (xem [15]), P T An N N Hải (2004) đưa tập δ-lồi (xem [5]) Năm 1989, khái niệm tập lồi trắc địa (trong mặt phẳng) xuất lần báo Toussaint (xem [23]) Tập lồi trắc địa mở rộng tập lồi, có nhiều ứng dụng thực tế: công nghiệp (xem [23]), chế tạo Rôbốt (xem [9]) Trong khóa luận này, nghiên cứu số tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa Đồng thời, đưa thuật toán tìm điểm chung họ hữu hạn tập lồi trắc địa đa giác đơn trình bày chi tiết thuật toán tìm bao lồi trắc địa Toussaint Do đó, lựa chọn đề tài Một số tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa Khóa luận chia làm chương Chương Kiến thức sở Trong chương này, trình bày khái quát số kiến thức sở cho nội dung khóa luận, bao gồm: Định nghĩa tập lồi, bao lồi, điểm cực biên bao lồi số tính chất Khái niệm đa giác đơn, tam giác phân đa giác đơn khái niệm liên quan Khái niệm độ phức tạp cách tính độ phức tạp thuật toán Thuật toán tăng dần tìm bao lồi Chương Một số tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa Nội dung khóa luận trình bày chương này, bao gồm: Khái niệm đường trắc địa, tập lồi trắc địa, bao lồi trắc địa Hệ thống tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa Phát biểu chứng minh định lý kiểu Motzkin, định lý kiểu Radon, định lý kiểu Helly-1 kiểu Helly-2 mặt phẳng Đưa thuật toán tìm điểm chung họ hữu hạn tập lồi trắc địa đa giác đơn Kết chương công bố báo [4] tác giả báo cáo Hội thảo Tối ưu Tính toán khoa học toàn quốc (Ba Vì, 20/04 - 22/04/2010) Chương Thuật toán tìm bao lồi trắc địa Trong chương này, trình bày chi tiết thuật toán Toussaint: Thuật toán tìm bao lồi trắc địa đa giác đa giác đơn Thuật toán tìm bao lồi trắc địa tập hợp hữu hạn điểm đa giác đơn Khóa luận thực trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo, TS Nguyễn Duy Bình Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người bảo tác giả cách tận tình, chu đáo kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Hữu Quang đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Phan Thành An, TS Nguyễn Ngọc Hải Thầy giáo Viện Toán học giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo khoa Toán nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình hoàn thành khóa luận Vinh, tháng năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, nhắc lại định nghĩa số tính chất liên quan đến: khái niệm tập lồi, bao lồi, điểm cực biên bao lồi; khái niệm đa giác đơn, tam giác phân đa giác đơn, hình ống tay Đồng thời, trình bày cách sơ lược khái niệm độ phức tạp thuật toán thuật toán tăng dần tìm bao lồi Với điểm p, q Rn , ta kí hiệu: [p, q] := {(1 − λ)p + λq : ≤ λ ≤ 1} , ]p, q] := [p, q]\{p}, ]p, q[ := ]p, q]\{q} 1.1 Tập lồi, bao lồi, điểm cực biên 1.1.1 Định nghĩa ([24]) Một tập A ⊂ Rn gọi tập lồi với x1 , x2 ∈ A đoạn thẳng [x1 , x2 ] ⊂ A 1.1.2 Ví dụ Tam giác, hình tròn mặt phẳng; hình cầu mở B(x, r) tâm x bán kính r > không gian Rn tập lồi 1.1.3 Định nghĩa ([3]) Một tổ hợp lồi x1 , x2 , , xk ∈ Rn tổng có dạng k i=1 λi xi , với λi ≥ (i = 1, k) k i=1 λi = 1.1.4 Mệnh đề ([3]) Cho A ⊂ Rn tập lồi điểm x1 , x2 , , xm ∈ A Khi với λi 0, m i=1 λi = tổ hợp lồi chúng m i=1 λi xi ∈ A 1.1.5 Định nghĩa ([24]) Cho tập A không gian Rn - Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi A Kí hiệu convA - Giao tất tập lồi đóng chứa A gọi bao lồi đóng A Kí hiệu convA 1.1.6 Nhận xét ([24]) (i) Bao lồi A tập lồi nhỏ chứa A (ii) A tập lồi convA = A (iii) Bao lồi đóng A tập lồi đóng nhỏ chứa A 1.1.7 Mệnh đề ([24]) Tập A lồi A chứa tất tổ hợp lồi 1.1.8 Định lý (Định lí Caratheodory) ([3]) Bao lồi tập A không gian Rn tập tất tổ hợp lồi không n + điểm A 1.1.9 Định nghĩa ([13]) Cho tập lồi M Điểm x ∈ M gọi điểm cực biên tập M x ∈ [x1 , x2 ]; x1 , x2 ∈ M x ≡ x1 x ≡ x2 1.1.10 Ví dụ Nếu M đoạn thẳng điểm cực biên hai đầu mút, M tam giác điểm cực biên đỉnh tam giác, M tứ diện điểm cực biên đỉnh tứ diện Chú ý tập điểm cực biên tập hữu hạn Chẳng hạn M hình tròn đóng (theo chuẩn Euclide mặt phẳng) điểm biên điểm cực biên hình tròn Để đơn giản không gian R2 ta có số dấu hiệu nhận dạng điểm cực biên sau: 1.1.11 Nhận xét ([13]) - Ta gọi điểm cao tập M điểm có tung độ lớn Trong điểm cao nhất, điểm có hoành độ lớn điểm có hoành độ nhỏ điểm cực biên convM - Ta gọi điểm thấp tập M điểm có tung độ nhỏ Trong điểm thấp nhất, điểm có hoành độ lớn điểm có hoành độ nhỏ điểm cực biên convM - Ta gọi điểm xa bên phải tập M điểm có hoành độ lớn Trong điểm xa bên phải, điểm có tung độ lớn điểm có tung độ nhỏ điểm cực biên convM - Ta gọi điểm xa bên trái tập M điểm có hoành độ nhỏ Trong điểm xa bên trái, điểm có tung độ lớn điểm có tung độ nhỏ điểm cực biên convM 1.2 Đa giác đơn tam giác phân đa giác đơn 1.2.1 Định nghĩa ([18]) Đa giác miền mặt phẳng giới hạn đường khép kín đoạn thẳng mặt phẳng Những đoạn thẳng gọi cạnh đa giác điểm chung hai cạnh gọi đỉnh đa giác Đa giác đơn đa giác mà hai cạnh không giao nhau, giao điểm chung đỉnh Kí hiệu đa giác [p0 , p1 , , pn ], pi , ∀i = 0, n đỉnh, [pi , pi+1 ] ∀i = 0, n − [pn , p0 ] cạnh Phần đa giác P kí hiệu int(P ), phần kí hiệu ext(P ) 1.2.2 Định nghĩa Cho đa giác đơn [p0 , p1 , , pn ] Ta nói thứ tự đỉnh pi , i = 1, n đa giác xếp theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ tiếp giáp với phần bên trái cạnh [pi , pi+1 ] , ∀i = 0, n − [pn , p0 ] phần đa giác Trong trường hợp ngược lại, ta nói đỉnh pi đa giác xếp theo thứ tự chiều kim đồng hồ 1.2.3 Định nghĩa ([23]) Cho xi đỉnh đa giác đơn P Ta đặt: y = λxi−1 + (1 − λ)xi , z = µxi+1 + (1 − µ)xi - Nếu int [y, z] ⊂ int(P ), ∀λ, µ ∈ [0; 1] xi gọi đỉnh lồi - Nếu int [y, z] ⊂ ext(P ), ∀λ, µ ∈ [0; 1] xi đươc gọi đỉnh phản xạ Hình 1.1: Đa giác Hình 1.2: Đa giác đơn 1.2.4 Định nghĩa ([12]) Một đường gấp khúc p0 , p1 , , pk dãy đoạn thẳng [pi , pi+1 ] với i = 0, 1, , k − Khi điểm pi , ∀i = 0, k gọi đỉnh đoạn thẳng [pi , pi+1 ], ∀i = 0, k − gọi cạnh đường gấp khúc 1.2.5 Định nghĩa ([18]) Cho hai điểm p, q thuộc đa giác đơn P Ta nói i) p nhìn thấy q [p, q] ⊂ P ii) p nhìn thấy rõ q p nhìn thấy q [p, q] ∩ ∂P = {p, q}, ∂P biên P 1.2.6 Định nghĩa ([18]) Cho p, q hai đỉnh đa giác đơn P Khi p, q gọi đường chéo p nhìn thấy rõ q 1.2.7 Định nghĩa ([23]) Tam giác phân đa giác đơn P có n đỉnh, kí hiệu T (P ), hợp P với tập hợp n − đường chéo chia P thành n − tam giác cho đường chéo cắt đầu mút chúng Nghĩa phép tam giác phân đa giác đơn P dùng đường chéo không giao chia P thành tam giác Cho đa giác đơn P với phép tam giác phân Trong tam giác, ta chọn điểm đại diện (thông thường ta chọn trọng tâm tam giác đó) Nối trọng tâm cặp tam giác có chung cạnh, ta thu đồ thị (cây đối ngẫu) P tương ứng với phép tam giác phân đó, kí hiệu T (P ) 1.2.8 Định nghĩa ([18]) Một đa giác gọi hình ống tay đồ thị phép tam giác phân đa giác dãy cạnh đồ thị nối tiếp nhau, mà điểm nối đầu mút hai cạnh đồ thị (trừ điểm đầu điểm cuối) Khi đó, dây có điểm đầu a, điểm cuối b ta nói hình ống tay xác định điểm a điểm b Theo phép tam giác phân đa giác định nghĩa hình ống tay, ta có hình ống tay đa giác đơn Hình 1.3: Minh họa tam giác phân T(P) đa giác đơn P đồ thị T(P) (đường đứt nét) Miền gạch chéo minh họa ống tay 1.3 Độ phức tạp thuật toán Độ phức tạp thuật toán thước đo để so sánh tính hiệu thuật toán Một thước đo hiệu thời gian máy tính sử dụng để giải toán theo thuật toán xét, giá trị đầu vào có kích thước xác định Một thước đo thứ hai nhớ đòi hỏi thực thuật toán giá trị đầu vào có kích thước cho trước Gắn liền với thời gian tính toán thuật toán độ phức tạp thời gian nhớ độ phức tạp không gian Biết độ phức tạp thời gian cho thuật toán quan trọng, ta biết thời gian phút, năm, hay tỉ năm để thực thuật toán Độ phức tạp không gian thuật toán cho ta bước chuẩn bị thấy khả đáp ứng việc tính toán thuật toán Độ phức tạp không gian gắn liền với cấu trúc liệu đặc biệt dùng để tính toán thuật toán Trong luận văn không nghiên cứu sở liệu nên ta bỏ qua độ phức tạp không gian Để tính toán độ phức tạp thuật toán ta xét hàm thực f : N −→ R dương (nghĩa tồn số nguyên dương n0 cho f (n) > với n > n0 ) làm công cụ đo Kí hiệu F tập hợp tất hàm 1.3.1 Định nghĩa ([1]) Cho hàm số g(n) ∈ F , ta định nghĩa O g(n) tập hợp tất hàm f (n) ∈ F có tính chất: Tồn số c n0 cho với n > n0 f (n) ≤ c.g(n) Nếu f (n) ∈ O g(n) , ta nói f (n) Ô lớn g(n) Ta dùng kí hiệu f (n) = g(n) + O h(n) f (n) − g(n) ∈ O h(n) 1.3.2 Ví dụ Nếu f (n) = 2n3 + 7n2 − 6n + ta viết f (n) = 2n3 + O(n2 ) 1.3.3 Mệnh đề ([1]) Nếu f1 (n) ∈ O g1 (n) f2 (n) ∈ O g2 (n) f1 (n) + f2 (n) ∈ O g1 (n) + g2 (n) 1.3.4 Mệnh đề ([1]) Nếu f1 (n) ∈ O g1 (n) f2 (n) ∈ O g2 (n) f1 (n) + f2 (n) ∈ O max{g1 (n), g2 (n)} 1.3.5 Mệnh đề ([1]) Nếu f1 (n) ∈ O g1 (n) f2 (n) ∈ O g2 (n) f1 (n).f2 (n) ∈ O g1 (n).g2 (n) 1.3.6 Mệnh đề ([1]) Cho P (n) = ak nk + ak−1 nk−1 + + a1 n + a0 đa thức bậc k, ak > Khi P (n) ∈ O(nk ) Ta sử dụng T () cho độ phức tạp tính toán toán tử riêng đoạn mã chương trình Khi mã chương trình tách 10 biệt rõ ràng ta kí hiệu độ phức tạp tính toán T (n) (hàm biến số n, với n số phép toán sở) Độ phức tạp tính toán đo hàm O(.) Vì để tính độ phức tạp tính toán thuật toán, ta cần xác định hàm T (n) ∈ O(.) cho đoạn mã chương trình Các phép tính dùng để đo độ phức tạp thời gian phép so sánh số nguyên, phép cộng, phép trừ, nhân, chia số nguyên phép toán sơ cấp khác 1.3.7 Định nghĩa ([1]) Phép tính sở phép so sánh số nguyên, phép cộng, trừ, nhân, chia hàm lượng giá, hàm mũ, hàm logarit phép toán sơ cấp khác Độ phức tạp phép tính sở O(1) Tuy nhiên thực tính toán với số lớn phép nhân hàm không phép tính sở Vì với số lớn, phép nhân hàm thực tính toán dãy 1.3.8 Mệnh đề ([1]) Độ phức tạp thời gian dãy liên tiếp phép tính xác định độ phức tạp cao chúng Tức là, giả sử phép tính s1 có độ phức tạp F1 , phép tính s2 có độ phức tạp F2 Khi T (s1 ) ∈ O(F1 ); T (s2 ) ∈ O(F2 ) ⇒ T (s1 , s2 ) ∈ max{O(F1 ); O(F2 )} Để dễ dàng cho việc phân tích thuật toán, người ta định độ phức tạp số phép tính trường hợp xấu (xem [1]): (1) Phép gán có độ phức tạp O(1) (2) Phép nhập vào thủ tục có độ phức tạp O(1) (3) Phép khỏi thủ tục có độ phức tạp O(1) 1.3.9 Ví dụ ([1]) Phân tích độ phức tạp vòng for f act := 1; for i := to n do; f act := f act + i; end for 21 Radon S 2.2.15 Định lý (Định lý Helly-1 mặt phẳng) (xem [24]) Cho F họ tập lồi mặt phẳng, F hữu hạn Khi đó, tập F có điểm chung, tập F có điểm chung Định lý Helly-2 mặt phẳng phát biểu tương tự trên, thay giả thiết F hữu hạn giả thiết F compact Ta phát biểu hai định lý tương tự cho tập lồi trắc địa 2.2.16 Định lý (Định lý kiểu Helly-1 mặt phẳng) Cho F họ tập lồi trắc địa đa giác đơn, F hữu hạn Khi đó, tập F có điểm chung, tập F có điểm chung Chứng minh Giả sử F := {V1 , V2 , , Vm } Ta chứng minh kết luận Định lý với m > quy nạp theo m Giả sử Định lý đến m − Lấy xi ∈ V1 ∩ ∩ Vi−1 ∩ Vi+1 ∩ ∩ Vm Theo Định lý 2.2.13 tập S := {x1 , x2 , , xm } chia thành hai tập S1 S2 cho chúng thỏa mãn (2) Giả sử S1 := {x1 , x2 , , xk } S2 := {xk+1 , xk+2 , , xm } (1 ≤ k < m) cho: x ∈ CHG (S1 /P ) ∩ CHG (S2 /P ) - Với i ≥ k, ta có xi ∈ Vk+1 ∩ ∩ Vm Vk+1 ∩ ∩ Vm tập lồi trắc địa Theo Tính chất 2.2.8 ta có: x ∈ CHG (S1 /P ) = CHG (x1 , x2 , , xk /P ) ⊂ Vk+1 ∩ ∩ Vm - Với i ≤ k + 1, ta có xi ∈ V1 ∩ ∩ Vk V1 ∩ ∩ Vk tập lồi trắc địa Theo Tính chất 2.2.8 ta có: x ∈ CHG (S2 /P ) = CHG (xk+1 , xk+2 , , xm /P ) ⊂ V1 ∩ ∩ Vk Do đó, x ∈ V1 ∩ V2 ∩ Vm , tức tập F có điểm chung 22 Định lý kiểu Helly-2 cho tập lồi trắc địa phát biểu tương tự Định lý Helly-2 Lưu ý mặt phẳng khái niệm compact tương đương với đóng bị chặn, mà tập lồi trắc địa nằm đa giác đơn nên hiển nhiên chúng bị chặn 2.2.17 Định lý (Định lý kiểu Helly-2 mặt phẳng) Cho F họ tập đóng lồi trắc địa đa giác đơn Khi đó, tập F có điểm chung, tập F có điểm chung 2.3 Thuật toán tìm điểm chung họ hữu hạn tập lồi trắc địa đa giác đơn Bài toán: Cho F = {V1 , V2 , , Vm } họ tập lồi trắc địa đa giác đơn P Giả sử họ F có giao khác rỗng Ta đưa thuật toán tìm điểm chung họ F Giả thiết ta có sẵn thuật toán "oracle", gọi O, sau: tập F tìm điểm chung, thông báo tập có giao rỗng Khi ta xây dựng thuật toán tìm điểm chung họ gồm m tập lồi trắc địa đa giác đơn P sau: Input: F = {V1 , V2 , , Vm } m Output: q ∈ i=1 Vi Thuật toán: Thuật toán thực ý tưởng dùng phương pháp quy nạp Với k = 1, 2, , m − 2, ta tìm điểm chung họ có dạng: {V1 , V2 , , Vk , Vt1 , Vt2 } , {t1 , t2 } ⊂ {k + 1, , m} (3) - Với k = 1: ta tìm điểm chung họ gồm tập {V1 , Vt1 , Vt2 }, thu trực tiếp từ "oracle O" - Với k ≥ 2: Ta sử dụng phương pháp quy nạp theo k Giả sử ta tìm điểm chung họ có dạng (3) đến giá trị k − ≥ Ta tìm điểm chung họ với giá trị k: 23 Bước 1: Tìm điểm giao p0 , p1 , p2 , p3 sau đây: p0 điểm giao họ {V1 , V2 , , Vk−1 , Vt1 , Vt2 } p1 điểm giao họ {V1 , V2 , , Vk , Vt2 } p2 điểm giao họ {V1 , V2 , , Vk , Vt1 } p3 điểm giao họ {Vk , Vt1 , Vt2 } Trong p0 , p1 , p2 tìm theo giả thiết quy nạp, p3 thu trực tiếp từ "oracle O" Bước 2: Tìm phân hoạch Radon tập S = {p0 , p1 , p2 , p3 } Theo Định lý 2.2.13, tập S = {p0 , p1 , p2 , p3 } chia thành hai tập S1 S2 cho tồn điểm q thuộc vào CHG (S1 /P ) ∩ CHG (S2 /P ) Giả sử ta thu S1 = {p0 , , pl } S2 = {pl+1 , , p3 }, (l = 0, 1, 2) Bước 3: Xác định điểm q ∈ CHG (S1 /P ) ∩ CHG (S2 /P ) Khi q điểm cần tìm Chứng minh Đặt: K0 = Vk ; Ki = Vti , i = 1, K3 = k−1 i=1 Vi Khi đó, Ki (0 ≤ i ≤ 3) tập lồi trắc địa Mặt khác, theo cách xác định pi ta có: pi ∈ Kj với j = i Do đó, theo Tính chất 2.2.8, ta suy ra: CHG (S2 /P ) ⊂ Ki ≤ i ≤ l CHG (S1 /P ) ⊂ Ki l + ≤ i ≤ Từ ta có: CHG (S1 /P ) ∩ CHG (S2 /P ) ⊂ K0 ∩ K1 ∩ K2 ∩ K3 Như q điểm chung tất tập V1 , V2 , , Vk , Vt1 , Vt2 24 CHƯƠNG THUẬT TOÁN TÌM BAO LỒI TRẮC ĐỊA Trong chương này, trình bày chi tiết thuật toán Toussaint, bao gồm thuật toán tìm bao lồi trắc địa đa giác đa giác đơn (với độ phức tạp O(n)) thuật toán tìm bao lồi trắc địa tập hợp hữu hạn điểm đa giác đơn (với độ phức tạp O(n log n)) Trước hết, trình bày khái niệm quan trọng việc tìm bao lồi trắc địa, "đa giác đơn yếu" 3.1 Đa giác đơn yếu 3.1.1 Định nghĩa ([23]) Cho C1 C2 hai đường cong định hướng, tự cắt Ta nói C1 C2 cắt thực ta dọc theo C1 từ điểm đầu tới điểm cuối đến giao điểm C1 C2 , lân cận giao điểm C2 cắt C1 hai phía Hình 3.1: Hai đường cong cắt thực Hình 3.2: Hai đường cong không cắt thực Một đường gấp khúc p0 , p1 , , pk gọi khép kín p0 ≡ pk 3.1.2 Định nghĩa ([23]) Một đường gấp khúc khép kín P gọi "đa giác" đơn yếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 25 i) Mọi cặp điểm phân biệt biên P chia biên P thành hai đường gấp khúc không cắt thực ii) Tổng tất góc đổi hướng dọc theo biên P từ điểm (bất kì) kết thúc điểm 360 độ Hình 3.3: Minh họa đa giác đơn yếu P Miền gạch chéo phần P Mũi tên chiều ngược chiều kim đồng hồ qua biên P (ở số đỉnh biên P tính hai lần) Mặc dù ta dùng cụm từ "đa giác" "đa giác" đơn yếu không thỏa mãn định nghĩa đa giác thông thường (Định nghĩa 1.2.1) Đa giác đơn yếu tổng quát có ý nghĩa đa giác đơn, với toán đường trắc địa miền cần quan tâm không đơn, nhiên đơn yếu 3.1.3 Nhận xét Đa giác đơn đơn yếu có phần phần ngoài, đa giác đơn yếu có phần phần gồm nhiều thành phần gián đoạn (minh họa Hình 3.3) 3.2 Thuật toán tìm bao lồi trắc địa đa giác đa giác đơn Bài toán: Input: P = [p1 , p2 , , pn ] đa giác đơn Q = [q1 , q2 , , qn ] đa giác đơn yếu thỏa mãn Q ⊂ P Output: CHG (Q/P ) 26 (Số đỉnh P Q không cần nhau, giả thiết làm giảm độ phức tạp tính toán) 3.2.1 Mệnh đề ([23]) Bao lồi trắc địa CHG (Q/P ) đa giác đơn yếu có chu vi nhỏ chứa Q nằm P Sklansky Kibler (1976) (xem [19]) có thuật toán tính CHG (Q/P ) trường hợp đặc biệt: Q ⊂ int(P) miền A(P − Q) chia thành đa giác kề lồi Trong đó: A(P − Q) = P ∩ (int(Q))c , với (.)c kí hiệu phần bù P Toussaint (1986) chứng minh thuật toán có độ phức tạp O(n2 ) trường hợp xấu (xem [22]) Do Toussaint đưa thuật toán khác có độ phức tạp tuyến tính 3.2.2 Bổ đề ([23]) Cho q ∗ đỉnh CH(Q) (bao lồi thông thường Q) Khi q ∗ đỉnh CHG (Q/P ) Thuật toán: Hình 3.4: Minh họa thuật toán tìm bao lồi trắc địa đa giác Q đa giác đơn P Bước Xác định đỉnh q ∗ CH(Q) Cách thực hiện: theo Nhận xét 1.1.11 dấu hiệu nhận dạng điểm cực biên, ta chọn q ∗ điểm cực biên CH(Q) Không tính tổng quát, giả sử q ∗ đỉnh có tung độ lớn (minh họa Hình 3.4) Bước thực thời gian tuyến tính (xem [23]) 27 Bước Xác định đỉnh p∗ P thỏa mãn ]p∗ , q ∗ [ nằm int(P ) ∩ ext(Q) Bước thực thời gian tuyến tính (xem [23]) Bước Biến đổi A(P - Q) thành đa giác đơn yếu P ∗ tam giác phân P ∗ Cách thực hiện: tính hai lần đoạn thẳng [p∗ , q ∗ ] với biên P Q, miền A(P − Q) biến đổi thành đa giác đơn yếu P ∗ Đa giác P ∗ tam giác phân theo thuật toán Tarjan Van Wyk (1988) (xem [20]) với độ phức tạp O(n log log n) Sau có thuật toán Chazelle (1991) (xem [8]) thực tam giác phân đa giác thời gian tuyến tính Bước Tìm đường trắc địa q ∗ q ∗∗ P ∗ , CHG (Q/P ) (Trong q ∗∗ q ∗ , nằm cạnh khác [p∗ , q ∗ ]) Cách thực hiện: q ∗ đỉnh CH(Q) nên theo Bổ đề 3.2.1, q ∗ đỉnh CHG (Q/P ) Như q ∗ q ∗∗ hai điểm đa giác đơn yếu P ∗ tam giác phân Khi đó, CHG (Q/P ) đường trắc địa q ∗ q ∗∗ P ∗ Bài toán tìm đường trắc địa hai điểm P ∗ (đã tam giác phân) giải thuật toán Chazelle (1982) (xem [7]) Lee Preparata (1984) (xem [13]) thời gian tuyến tính Như vậy, thuật toán hoàn thành Theo Mệnh đề 1.3.7 tính chất độ phức tạp thuật toán, ta rút định lý sau: 3.2.3 Định lý ([23]) Cho đa giác đơn P = [p1 , p2 , , pn ] đơn yếu Q = [q1 , q2 , , qn ] thỏa mãn Q ⊂ P Khi CHG (Q/P ) tính thời gian tuyến tính 3.3 Thuật toán tìm bao lồi trắc địa tập hợp hữu hạn điểm đa giác đơn Bài toán: Input: Đa giác đơn P tập hợp điểm S nằm P 28 Output: CHG (S/P ) (Số đỉnh P số điểm S không cần nhau, giả thiết làm giảm độ phức tạp tính toán) Thuật toán:(Thuật toán Geodesic - Hull) Hình 3.5: Bao lồi trắc địa tập hợp điểm đa giác đơn Bước Tam giác phân P , ký hiệu T (P ) Khi T (P ) chứa n − tam giác, kí hiệu Ti (i = 1, n − 2) Ta dùng thuật toán Tarjan, Van Wyk (1988) (xem [20]) với độ phức tạp O(n log log n) thuật toán Chazelle (1991) (xem [8]) thực tam giác phân đa giác đơn thời gian tuyến tính Bước Tính đồ thị (cây đối ngẫu) τ (T (P )) T (P ) Bước thực thời gian tuyến tính (xem [17]) Bước Tính đồ thị liên thông Euler ω (T (P )) T (P ) Đồ thị liên thông Euler đa giác có cạnh đánh số, thu kết đa giác đơn yếu định hướng ngược chiều kim đồng hồ (xem [23]) Cách thực hiện: ta tô đậm hai lần cạnh τ (T (P )) thu ω (T (P )) Bước thực thời gian tuyến tính (xem [17]) Bước Xác định tam giác T (P ) với điểm S mà tam giác chứa 29 Hình 3.6: Minh họa đồ thị (cây đối ngẫu) τ (T (P )) đồ thị liên thông Euler ω (T (P )) Ta dùng thuật toán Kirkpatrick (1983) (xem [11]) Giả sử tam giác Ti T (P ) chứa tập hợp điểm Si S Bước Tính bao lồi thông thường CH(Si ) Ta dùng thuật toán Toussaint (1985) (xem [21]) với độ phức tạp O(n log n), dùng thuật toán tăng dần tìm bao lồi (xem mục 1.4) Bước Với bao lồi CH(Si ) ⊂ Ti , tính tất đỉnh nối Đỉnh nối CH(Si ) tương ứng với đường chéo dik Ti đỉnh gần dik (tức khoảng cách ngắn nhất), kí hiệu vik Trong tam giác Ti có 1; đỉnh nối (minh họa Hình 3.7) Một đỉnh CH(Si ) đỉnh nối nhiều đường chéo Ti Bước thực thời gian tuyến tính (xem [23]) Bước Tính đường trắc địa đỉnh nối liên tiếp Cách thực hiện: Giả sử Ti Tj hai tam giác T (P ) thỏa mãn tam giác chứa tập điểm Si Sj Gọi ti tj kí hiệu điểm đại diện tương ứng Ti Tj τ (T (P )) Đường ngắn ti tj τ (T (P )) tương ứng với ống tay T (P ), kí hiệu Sl(Ti , , Tj ); ống tay rõ dãy đường chéo thứ tự dik , , dim 30 Hình 3.7: Đỉnh nối (điểm màu đen) CH(Si ) tam giác Ti Nếu điểm S nằm tam giác Sl(Ti , , Tj ) khác Ti Tj (minh họa Hình 3.8) đỉnh nối vik vjm tương ứng với đường chéo dik djm gọi hai đỉnh nối liên tiếp Đã có thuật toán tính đường trắc địa hai điểm đa giác đơn thuật toán Chazelle (1982) (xem [7]) thuật toán Lee Preparata (1984) (xem [12]) Do hình ống tay đa giác đơn nên ta tính đường trắc địa vik vjm Sl(Ti , , Tj ), với độ phức tạp tuyến tính Lưu ý: Đường trắc địa có hướng, xác định hướng ω (T (P )) (ngược chiều kim đồng hồ) Bước Nối đường trắc địa bước với chuỗi thích hợp CH(Si ), ∀i ("quét" theo chiều ω (T (P ))), ta thu đa giác Q∗ Bước thực thời gian tuyến tính (xem [23]) 3.3.1 Bổ đề ([23]) Đa giác Q∗ có tính chất sau đây: i) Q∗ đơn yếu ii) Q∗ ⊃ S iii) Q∗ ⊂ CHG (S/P ) Bước Biến đổi A(P − Q∗ ) = P ∩ (int(Q∗ ))c thành đa giác đơn yếu 31 Hình 3.8: Miền gạch chéo minh họa ống tay Sl(Ti , , Tj ) Đường trắc địa hai đỉnh nối liên tiếp minh họa đường đứt nét Với cách thực tương tự bước thuật toán mục 3.2, bước thực thời gian tuyến tính Bước 10 Tam giác phân A(P − Q∗ ) Thực thuật toán bước 1, ta thực bước thời gian tuyến tính Bước 11 Tính CHG (S/P ) = CHG (A(P − Q∗ )/P ) Bài toán tính bao lồi trắc địa đa giác đơn yếu đa giác đơn giải mục 3.2, với độ phức tạp tuyến tính Như vậy, thuật toán hoàn thành Theo Mệnh đề 1.3.7 tính chất độ phức tạp thuật toán, ta rút định lý sau: 3.3.2 Định lý ([23]) Thuật toán Geodesic - Hull tính bao lồi trắc địa tập n điểm đa giác đơn n đỉnh tính thời gian O(n log n), với hai lần tam giác phân Từ thuật toán trên, ta nhận thấy bao lồi trắc địa tập hợp hữu hạn điểm S đa giác đơn P đa giác đơn yếu P , có biên đường trắc địa, đỉnh đa giác điểm S 32 KẾT LUẬN Kết đạt Khóa luận nghiên cứu Một số tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa đạt số kết sau đây: - Hệ thống khái niệm tính chất (có bổ sung Tính chất 2.2.2, 2.2.4 Nhận xét 2.2.3, 2.2.5) tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa Phát biểu chứng minh Định lý kiểu Motzkin (2.2.10), Định lý kiểu Radon (2.2.13), Định lý kiểu Helly-1 (2.2.16) kiểu Helly-2 (2.2.17) mặt phẳng cho tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa - Đưa thuật toán (2.3) tìm điểm chung họ hữu hạn tập lồi trắc địa đa giác đơn - Trình bày chi tiết hai thuật toán Toussaint tìm bao lồi trắc địa đa giác tập hợp hữu hạn điểm đa giác đơn Hướng phát triển đề tài Đề tài tiếp tục nghiên cứu số vấn đề sau: - Bao đóng tập lồi trắc địa có phải tập lồi trắc địa không? - Chiều ngược lại Định lý kiểu Motzkin có không? (chiều ngược lại Định lý Motzkin phát biểu cho tập lồi đúng) - Tìm thuật toán tính bao lồi trắc địa với lần tam giác phân 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số vấn đề thuật toán, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình phương pháp Tối ưu Lý thuyết Thuật toán, NXB Đại học Bách khoa Hà Nội [3] Đặng Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật tiếng anh [4] P T An, D T Giang and N N Hai (2010), Some computational aspects of geodesic convex sets in a simple polygon, Numerical Functional Analysis and Optimization, 31, No 3, pp 221-231 [5] P T An and N N Hai (2004), δ-convexity in normed linear spaces, Numerical Functional Analysis and Optimization, 25, pp 407-422 [6] B Aronov, S Fortune and G Wilfong (1993), The furthest-site geodesic voronoi diagram, Discrete and Computational Geometry, 9, pp 217255 [7] B Chazelle (1982), A theorem on polygon cutting with applications, Proc 23rd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, Chicago, pp 339-349 [8] B Chazelle (1991), Triangulating a simple polygon in linear time, Discrete Computing Geometry, 6, pp 485-524 [9] A Ganguli, J Cortes and F Bullo (2009), Multirobot rendezvous with visibility sensors in nonconvex environments, IEEE Transactions on Robotics, 25, No 2, pp 340-352 34 [10] R L Graham (1972), An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite planar set, Information Processing Letters, 26, pp 132133 [11] D Kirkpatrick (1983), Optimal search in planar subdivisions, SIAM Journal of Computing, 12, No 1, pp 28-35 [12] T Lee and F P Preparata (1984), Euclidean shortest paths in the presence of rectilinear barriers, Networks , 14, No.3, pp 393-410 [13] S R Ley (1982), Convex sets and their applications, John Wiley & Sons [14] J S B Mitchell (2000), Geometric shortest paths and network optimization, in Handbook of Computational Geometry, J R Sack and J Urrutia, eds, Elsevier Science B V., pp 633-701 [15] H X Phu and P T An (1999), Outer γ-convexity in normed spaces, Vietnam Journal of Mathematics, 27, pp 323-334 [16] R Pollack, M Sharir and G Rote (1989), Computing the geodesic center of a simple polygon, Discrete and Computational Geometry, 4, No 1, pp 611-626 [17] F P Preparata and M I Shamos (1985), Computational Geometry, Springer-Verlag, New York [18] J O’Rourke (1998), Computational Geometry in C, Cambridge University Press, Second Edition [19] J Sklansky and D F Kibler (1976), A theory of nonuniformly digitized binary pictures, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, SMC-6, pp 637-647 [20] R E Tarjan and C J Van Wyk (1988), An O(n log log n)-time algorithm for triangulating simple polygons, SIAM Journal on Computing, 17, No.1, pp 143-178 35 [21] G T Toussaint (1985), A historical note on convex hull finding algorithms, Pattern Recognition Letters, 3, pp 21-28 [22] G T Toussaint (1986), An optimal algorithm for computing the relative convex hull of a set of points in a polygon, Signal Processing III: Theories and Applications, Proc of EURASIP-86, Part 2, pp 853-856 [23] G T Toussaint (1989), Computing geodesic properties inside a simple polygon, Revue D’Intelligence Artificielle, 3, No 2, pp 9-42 [24] F A Valentine (1964), Convex Sets, McGraw-Hill, New York [...]... lồi trắc địa của một tập con Q trong đa giác đơn P , kí hiệu là CHG (Q/P ), là tập lồi trắc địa bé nhất chứa Q Tập con Q trong P có thể là một đa giác, hoặc là một tập hợp điểm 2.2 Một số tính chất của tập lồi trắc địa và bao lồi trắc địa 2.2.1 Tính chất ([6]) Mọi tập lồi trắc địa trong một đa giác đơn P là liên thông Một số tính chất của điểm cực biên và "chóp" của tập lồi trắc địa đã được giới thiệu... tập lồi trắc địa trong P 2.2.5 Nhận xét i) Trong trường hợp đa giác đơn P là lồi, khái niệm tập lồi trắc địa trở thành khái niệm tập lồi và bao lồi trắc địa của tập con Q trở thành bao lồi thông thường của Q ii) Một tập lồi chính là tập lồi trắc địa trong một đa giác bất kì chứa nó Như vậy tập lồi trắc địa là mở rộng của tập lồi 2.2.6 Tính chất (Bổ đề tam giác) ([6]) Cho P là một đa giác đơn và tập {x1... trong P 16 Từ tính chất này ta nhận thấy rằng bao lồi trắc địa của tập con Q trong đa giác đơn P là giao của tất cả các tập lồi trắc địa chứa Q 2.2.3 Nhận xét Phần trong của một tập lồi trắc địa có thể không liên thông, do đó theo Tính chất 2.2.1 nó có thể không là tập lồi trắc địa (minh họa bởi Hình 2.6) 2.2.4 Tính chất Cho P là tập lồi Tập Q là lồi trắc địa trong P khi và chỉ khi Q là tập lồi Chứng minh... thấy rằng bao lồi trắc địa của một tập hợp hữu hạn điểm S trong đa giác đơn P là một đa giác đơn yếu trong P , có biên là các đường trắc địa, đỉnh của đa giác này là một trong các điểm của S 32 KẾT LUẬN 1 Kết quả đạt được Khóa luận nghiên cứu về Một số tính chất của tập lồi trắc địa và bao lồi trắc địa và đã đạt được một số kết quả sau đây: - Hệ thống các khái niệm và tính chất (có bổ sung Tính chất 2.2.2,... giao của tùy ý các tập lồi là tập lồi, phần trong của một tập lồi cũng là lồi (xem [24]) Ta xét các tính chất này 15 Hình 2.5: Bao lồi trắc địa của đa giác Q trong P (được biểu thị bởi đường đứt nét) Hình 2.6: Bao lồi trắc địa của tập S = {p1 , p2 , p3 , p4 } trong P (được biểu thị bởi hình gạch chéo) xem có còn đúng với tập lồi trắc địa hay không 2.2.2 Tính chất Giao của tùy ý khác rỗng các tập lồi trắc. .. được gọi là tìm bao lồi theo thuật toán tăng dần Thuật toán Set Q2 ←− conv{p0 , p1 , p2 } F or i = 3 to n − 1 Qi ←− conv{Qi−1 ∪ {pi }} 12 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI TRẮC ĐỊA VÀ BAO LỒI TRẮC ĐỊA Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống các khái niệm và tính chất (có bổ sung) của đường trắc địa, tập lồi trắc địa, bao lồi trắc địa Đồng thời, chúng tôi phát biểu và chứng minh định... của Toussaint tìm bao lồi trắc địa của một đa giác và của một tập hợp hữu hạn điểm trong một đa giác đơn 2 Hướng phát triển đề tài Đề tài tiếp tục nghiên cứu một số vấn đề sau: - Bao đóng của tập lồi trắc địa có phải là tập lồi trắc địa không? - Chiều ngược lại của Định lý kiểu Motzkin có đúng không? (chiều ngược lại của Định lý Motzkin phát biểu cho tập lồi là đúng) - Tìm thuật toán tính bao lồi trắc. .. sung Tính chất 2.2.2, 2.2.4 và Nhận xét 2.2.3, 2.2.5) của tập lồi trắc địa và bao lồi trắc địa Phát biểu và chứng minh Định lý kiểu Motzkin (2.2.10), Định lý kiểu Radon (2.2.13), Định lý kiểu Helly-1 (2.2.16) và kiểu Helly-2 (2.2.17) trong mặt phẳng cho tập lồi trắc địa và bao lồi trắc địa - Đưa ra thuật toán (2.3) tìm điểm chung của một họ hữu hạn các tập lồi trắc địa trong một đa giác đơn - Trình bày... là tập lồi tương đối (trong [6] và [9]) hoặc tập P -lồi (trong [16]) Với mọi điểm p và q phân biệt của đa giác đơn P thì U [p, q] và U [q, p] là tập lồi trắc địa, nhưng chúng có thể không là tập lồi 14 Hình 2.2: Điểm bóng q và điểm trước p của GP (p, q/P ) Miền gạch chéo là U [p, q] Hình 2.3: Q không là tập lồi trắc địa Hình 2.4: Q là tập lồi trắc địa 2.1.5 Định nghĩa ([23]) Bao lồi trắc địa của một. .. K2 ∩ K3 Như vậy q là điểm chung của tất cả các tập V1 , V2 , , Vk , Vt1 , Vt2 24 CHƯƠNG 3 THUẬT TOÁN TÌM BAO LỒI TRẮC ĐỊA Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết thuật toán của Toussaint, bao gồm thuật toán tìm bao lồi trắc địa của một đa giác trong một đa giác đơn (với độ phức tạp là O(n)) và thuật toán tìm bao lồi trắc địa của một tập hợp hữu hạn điểm trong một đa giác đơn (với độ phức tạp ... tìm bao lồi 3 Chương Một số tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa Nội dung khóa luận trình bày chương này, bao gồm: Khái niệm đường trắc địa, tập lồi trắc địa, bao lồi trắc địa Hệ thống tính. .. CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI TRẮC ĐỊA VÀ BAO LỒI TRẮC ĐỊA Trong chương này, trình bày cách hệ thống khái niệm tính chất (có bổ sung) đường trắc địa, tập lồi trắc địa, bao lồi trắc địa Đồng... ([23]) Bao lồi trắc địa tập Q đa giác đơn P , kí hiệu CHG (Q/P ), tập lồi trắc địa bé chứa Q Tập Q P đa giác, tập hợp điểm 2.2 Một số tính chất tập lồi trắc địa bao lồi trắc địa 2.2.1 Tính chất