Tập lồi và một số tính chất của tập lồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Bùi Ngọc Mười Hà Nội – 2017 Ký hiệu toán học R Tập tất số thực Rn Tập tất vectơ có n chiều B Hình cầu đóng có tâm x bán kính r = ., Tích phần tử H cl C Bao đóng C int Phần C conv E Bao lồi E i Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Các 1.1 1.2 1.3 1.4 khái niệm Tập afin Tập lồi Phần Bao lồi tập lồi tương đối bao đóng 2 Các định lí tách tập lồi 10 Cấu trúc hình học biểu diễn tập lồi 3.1 Siêu phẳng tựa 3.2 Mặt điểm cực biên 3.3 Biểu diễn tập lồi 3.4 Cực tập lồi 12 12 13 14 16 18 19 20 22 22 Tập đa diện lồi 4.1 Mặt khối đa diện 4.2 Đỉnh cạnh khối đa diện 4.3 Cực khối đa diện 4.4 Biểu diễn khối đa diện lồi Tài liệu tham khảo 25 ii LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết tập lồi tính chất tập lồi có vị trí quan trọng toán học, liên quan đến hầu hết ngành toán học giải tích, hình học, Có thể nói nghiên cứu tập lồi tính chất tập lồi đề tài nhiều nhà khoa học quan tâm Với mong muốn tìm hiểu sâu giải tích nhằm bổ sung kiến thức cho thân em chọn đề tài "Tập lồi số tính chất tập lồi" Luận văn gồm bốn chương Chương "Các khái niệm tập lồi" trình bày số khái niệm có liên quan đến tập lồi Chương "Các định lý tách tập lồi" Chương "Cấu trúc hình học cách biểu diễn tập lồi" đưa hình ảnh minh họa cho khái niệm xét Chương Chương Chương "Khối đa diện lồi" trình bày điều kiện để tập lồi đa diện tính chất đa diện Chương Các khái niệm tập lồi 1.1 Tập afin Định nghĩa 1.1 Cho a, b hai điểm thuộc Rn Tập hợp tất điểm x thuộc Rn có dạng: x = (1 − λ)a + λb = a + λ(b − a), λ ∈ R gọi đường thẳng qua a b Tập M ⊂ Rn gọi tập afin ( hay gọi đa tạp afin) bao hàm đường thẳng qua hai điểm nằm Tức là: (1 − λ)a + λb ∈ M, ∀λ ∈ R Tập afin bao hàm điểm gốc gọi không gian Định lý 1.1 (Xem [1, Proposition 1.1 P.3]) Tập M = ∅ tập afin M = a + L, với a ∈ M L không gian Mệnh đề 1.1 Không gian L gọi song song với tập afin M Có tập M = ∅ song song với không gian L Số chiều không gian L song song với tập afin M gọi Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG số chiều M Ví dụ 1.1.1 Điểm a ∈ Rn gọi tập afin có số chiều không gian song song với tập M = {a} L = {0} Đường thẳng qua hai điểm a b tập afin có số chiều Vì không gian song song với không gian chiều x = {λ(b − a)|λ ∈ R} Tập afin (n − 1) chiều gọi siêu phẳng Định lý 1.2 (Xem [1, Proposition 1.2 P.4]) Mọi tập afin r-chiều có dạng: M = {x|Ax = b}, b ∈ Rn , A ∈ Rm×n cho: rank A = n − r Ngược lại, tập có dạng tập afin r-chiều Hệ 1.1 (Xem [1, Corollary 1.1 P.4]) Mọi siêu phẳng tập có dạng: H = {x| a; x = α}, a ∈ Rn \{0}, α ∈ R (1.1) Ngược lại, tập có dạng (1.1) siêu phẳng Vectơ a định nghĩa (1.1) goi vectơ pháp tuyến đến siêu phẳng H Giao họ tập afin tập afin Với E ⊂ Rn cho trước tồn tập afin bé bao gồm E Rn Tập gọi bao afin E kí hiệu : aff E Định lý 1.3 (Xem [1, Proposition 1.3 P.4]) Bao afin tập E tập Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG gồm tất điểm có dạng: x = λ1 x1 + λ2 x2 + + λk xk cho xi ∈ E, λ1 + λ2 + + λk = Định lý 1.4 (Xem [1, Proposition 1.4 P.5]) Bao afin tập k điểm x1 , x2 , , xk (k > r) Rn r-chiều ma trận cấp (n + 1) × k:   x k x x 1   (∗) có hạng r + Hệ 1.2 (Xem [1, Corollary 1.2 P.5]) Bao afin M tập k điểm afin độc lập là: {x1 , , xk } ∈ Rn tập afin (k − 1) chiều ∀x ∈ M , ta có cách biểu diễn nhất: x = 1.2 k i i=1 λi x , k i=1 λi = Tập lồi Định nghĩa 1.2 Cho hai điểm a, b ∈ Rn , tập hợp tất điểm x = (1 − λ)a + λb thỏa mãn ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng qua hai điểm avà b Kí hiệu [a, b] Tập C ⊂ Rn gọi tập lồi chứa đường thẳng qua hai điểm nằm Hay nói cách khác, (1 − λ)a + λb ∈ C, với a, b hai điểm C ≤ λ ≤ ta nói C tập lồi Định nghĩa 1.3 Điểm x thỏa mãn: x = 0, k i=1 λi k i i i=1 λi a , a ∈ Rn , với λi ≥ = gọi tổ hợp lồi a1 , a2 , , ak ∈ Rn Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG Định lý 1.5 (Xem [1, Proposition 1.5 P.6]) Tập C ⊂ Rn tập lồi bao hàm tất tổ hợp lồi Định lý 1.6 (Xem [1, Proposition 1.6 P.7]) Giao họ tập lồi tập lồi Nếu C, D tập lồi C + D := {x + y|x ∈ C, y ∈ D}; βC := {βx|x ∈ C} tập lồi Định nghĩa 1.4 Tập M ⊂ Rn gọi mặt nón nếu: x ∈ M, λ > ⇒ λx ∈ M Gốc không nằm tập M Mặt nón M không bao gồm đường thẳng gọi điểm Trong trường hợp gọi đỉnh M a + M nón với đỉnh a Định lý 1.7 (Xem [1, Proposition 1.7 P.7]) Tập M ⊂ Rn nón lồi nếu: λM ⊂ M, ∀λ > (1.2) M +M ⊂M (1.3) Hệ 1.3 (Xem [1, Corollary 1.4 P.8]) Cho E nón lồi Tập {λx|x ∈ E, λ > 0} nón lồi nhỏ chứa E Nón sinh E kí hiệu cone E Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.3 NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG Phần tương đối bao đóng Định nghĩa 1.5 Chuẩn Rn ánh xạ từ Rn đến R thỏa mãn: x ≥ 0, ∀x ∈ Rn , x = ⇔ x = (i) αx =| α | (ii) x+y ≤ x (iii) x , ∀x ∈ Rn , α ∈ R y , x, y ∈ Rn + Ví dụ 1.3.1 Chuẩn Rn chuẩn lp : x p= ( n i=1 | xi |p ) p , ≤ p ≤ ∞ Và chuẩn l∞ : x ∞= max1≤i≤n | xi | gọi chuẩn Tchebycheff Chuẩn l2 định nghĩa thông qua tích vô hướng Có nghĩa là: x = x, x gọi chuẩn Ơ-clit Cho chuẩn Rn , khoảng cách hai điểm x, y ∈ Rn số không âm, kí hiệu là: x − y Hình cầu tâm a, bán kính r tập hợp {x ∈ Rn | x − a ≤ r} Định lý 1.8 Với hai chuẩn , mãn: c1 x ≤ x ≤ c2 x , ∀x ∈ Rn Rn , ∃c2 ≥ c1 > thỏa Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG , có ích để nhắc lại tính chất hàm tuyến tính: Một hàm tuyến tính l(x) := t, x với t ∈ Rn \{0} không đạt giá trị nhỏ (hoặc giá trị lớn nhất) tập C điểm C Nếu giới hạn (hoặc dưới) tập afin số không đổi tập afin Nếu tập D định lí tập mở (2.4) dẫn đến: t, x ≥ α > t, y , ∀x ∈ C, y ∈ D Hệ 2.1 (Xem [1, Corollary 1.10 P.20]) Nếu tập afin C không thỏa mãn cắt tập mở D tồn siêu phẳng chứa C cắt D Hệ 2.2 (Xem [1, Lemma 1.3 P.20])Cho C tập lồi khác rỗng Rn Nếu C đóng ∈ / C tồn t ∈ Rn \{0} thỏa mãn: t, x ≥ η > 0, ∀x ∈ C Định nghĩa 2.1 Hai tập C, D khác rỗng Rn gọi "tách mạnh mẽ" siêu phẳng t, x = α(t ∈ Rn {0}, α ∈ R) inf x∈C t, x > α > supy∈D t, y (2.5) Định lý 2.3 (Định lý tách thứ 2) Cho C, D hai tập lồi, đóng, rời khác rỗng nằm Rn thỏa mãn: C D tập compact tách mạnh mẽ siêu phẳng 11 Chương Cấu trúc hình học biểu diễn tập lồi 3.1 Siêu phẳng tựa Định nghĩa 3.1 Một siêu phẳng H = {x| t, x = α} gọi siêu phẳng tựa tới tập lồi C ⊂ Rn điểm nhỏ x0 ∈ C ⊂ H : t, x0 = α tất điểm C nằm nửa không gian xác định H, nói: t, x ≥ α, ∀x ∈ C Một phần không gian t, x ≥ α gọi phần không gian phụ tới C Định lý 3.1 (Xem [1, Theorem 1.5 P.21]) Qua điểm giới hạn x0 tập lồi C ⊂ Rn , tồn siêu phẳng tựa nhỏ đến C Pháp tuyến t đến siêu phẳng H tới C x0 mô tả điều kiện: t, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ C (3.1) Vectơ t thỏa mãn điều kiện không tạo thành góc tù với đường 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG thẳng C với x0 điểm cuối Nó gọi pháp tuyến hay xác pháp tuyến đến C điểm x0 Tập tất vectơ pháp tuyến t đến C x0 gọi nón pháp tuyến đến C x0 Kí hiệu : NC (x0 ) Định lý 3.2 (Xem [1, Proposition 1.15 P.22]) Cho C tập lồi đóng, ∀y ∈ / C, ∃x0 ∈ ∂C thỏa mãn: x0 − y ∈ NC (x0 ) với siêu phẳng tựa đến C x0 Định lý 3.3 (Xem [1, Theorem 1.6 P.23]) Một tập lồi đóng C, mà rỗng toàn không gian, giao tất siêu phẳng tựa 3.2 Mặt điểm cực biên Định nghĩa 3.2 Một tập lồi F tập lồi C gọi mặt C với đường thẳng C với họ điểm nằm F nằm trọn F , tức : x, y ∈ C, (1 − λ)x + λy ∈ F, < λ < ⇔ [x, y] ⊂ F (3.2) Vì tập ∅ C mặt C Mặt C mặt mà không tập rỗng không Mặt nón lồi nón lồi 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG Định lý 3.4 (Xem [1, Proposition 1.16 P.23]) Giao tập lồi C với siêu phẳng tựa H mặt C Mặt - chiều C gọi điểm cực biên Mặt khác, điểm cực biên C điểm x ∈ C mà điểm đường thẳng với hai điểm mút khác C Nếu mặt lồi C có siêu phẳng chiều siêu phẳng gọi hướng cực biên C Định lý 3.5 (Xem [1, Proposition 1.17 P.24])Cho E tập nằm Rn Mọi điểm cực biên C = conv E thuộc vào E Một điểm a cho trước tập lồi luôn tồn mặt nhỏ C chứa a Kí hiệu Fa Định lý 3.6 (Xem [1, Proposition 1.18 P.24]) Fa hợp a tất điểm x ∈ C với x điểm đường thẳng [x, y] ⊂ C với a điểm tương đối Hệ 3.1 (Xem [1, Corollary 1.11 P.25])Nếu mặt F1 tập lồi C tập riêng mặt mặt F2 dim F1 < dim F2 Hệ 3.2 (Xem [1, Corollary 1.12 P.25]) Một mặt F tập lồi, đóng C tập đóng 3.3 Biểu diễn tập lồi Định nghĩa 3.3 Cho C tập lồi khác rỗng Tập (rec C) (− rec C) gọi không gian tuyến tính hóa (lineality − space) C 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG → − Nó thực tập lớn chứa rec C gồm có tất vectơ khác cho: ∀x ∈ C đường thẳng qua x theo hướng y chứa C Số chiều tập tuyến tính C gọi lineality C Một tập lồi C lineality tức là: (rec C) (− rec C) = {0}, không chứa đường thẳng Vì ta thường gọi line - free Định lý 3.7 (Xem [1, Proposition 1.20 P.26]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng có điểm cực trị không chứa đường thẳng Kí hiệu tập điểm cực trị C U (C) tập hướng cực trị C V (C) Định lý 3.8 (Xem [1, Theorem 1.7 P.26]) Cho C ⊂ Rn tập lồi đóng mà không chứa đường thẳng Khi đó: C = conv V (C) + cone U (C) (3.3) Mặt khác, x điểm thuộc C biểu diễn dạng: x = i∈I λi v i + j∈J µj uj Với I, J tập hữu hạn số, v i ∈ V (C), ui ∈ U (C), λi ≥ 0, µj ≥ 0, i∈I λi = Hệ 3.3 (Xem [1, Corollary 1.14 P.27]) Cho C tập lồi, compact, khác rỗng Khi C có điểm cực biên siêu phẳng tựa H đến C chứa điểm cực biên C 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG Cực tập lồi Theo định lí trên, tập lồi, đóng mà không rỗng không đủ hoàn toàn xác định tập siêu phẳng tựa Vòng có tính hai mặt tương ứng thiết lập tập lồi tập siêu phẳng tựa Với tập E Rn , tập E = {y ∈ Pn | y, x ≤ 1, ∀x ∈ E} gọi cực E Nếu E nón lồi, đóng cho: λE ⊂ E, ∀x ∈ E điều kiện y, x ≤ 1, ∀x ∈ E tương đương với y, x ≤ 0, ∀x ∈ E Vì vậy, cực nón M nón M = {y ∈ Rn | y, x ≤ 0, ∀x ∈ M } Cực không gian phần bù trực giao Định lý 3.9 (Xem [1, Proposition 1.22 P.29]) Nếu M1 , M2 ⊂ Rn nón lồi, đóng : (M1 + M2 )0 = M10 ∩ M20 , (M1 ∩ M2 )0 = M10 + M20 Cho tập C ⊂ Rn ,hàm số x ∈ Rn −→ sc (x) = supy∈C x, y gọi hàm tựa C Định lý 3.10 (Xem [1, Proposition 1.23 P.29])Cho C tập lồi, đóng, bao hàm (i) Độ đo C hàm tựa C (ii) Nón lùi xa C bao đóng nón sinh C cực lẫn 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG (iii) Tập tuyến tính C không gian sinh C phần bù trực giao Với C C hoán vị Hệ 3.4 (Xem [1, Corollary 1.15 P.30]) Với tập lồi đóng C ⊂ Rn chứa ta có: dim C = n − lineality C (1) lineality C = n − dim C (2) Số dim C − lineality C gọi rank C Ta có rank C = dim(C L⊥ ), với L không gian tuyến tính hóa C Khi đó: rank C = rank C 17 Chương Tập đa diện lồi Định nghĩa 4.1 Một tập lồi gọi đa diện giao hữu hạn họ nửa không gian đóng Tập đa diện lồi gọi khối đa diện Mặt khác, khối đa diện tập nghiệm hệ hữu hạn bất đẳng thức tuyến tính có dạng : , x bi , i = 1, , m (4.1) ma trận tuyến tính có dạng : Ax b (4.2) A ma trận cấp m × n hệ b ∈ Rm Vì đẳng thức tuyến tính biểu diễn thành hai bất đẳng thức , khối đa diện tập nghiệm hệ đẳng thức bất đẳng thức tuyến tính có dạng : 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG , x = bi , i = 1, , m1 , x ≤ bi , i = m1 + 1, , m Hạng hệ bất đẳng thức tuyến tính dạng (4.2) định nghĩa hạng ma trận A Khi số bất đẳng thức,ta nói bất đẳng thức độc lập tuyến tính Định lý 4.1 (Xem [1, Proposition 1.24 P.30]) Khối đa diện D = ∅ định nghĩa hệ (4.2) có số chiều r hệ (4.2) hình thành bất đẳng thức mà thỏa mãn đẳng thức tất điểm D có hạng n − r Hệ 4.1 (Xem [1, Corollary 1.16 P.31])Khối đa diện (4.2) đủ chiều x0 thỏa mãn , x0 ≤ bi , ∀i = 1, , m 4.1 Mặt khối đa diện Như trên, ký hiệu D khối đa diện (4.2) cho: I0 = {i | , x = bi , ∀x ∈ D} Định lý 4.2 (Xem [1, Theorem 1.8 P.31])Một tập khác rỗng D mặt D nếu: F = {x | , x = bi , i ∈ I; , x ≤ bi , i ∈ / I} (4.3) với tập số I cho I0 ⊂ I ⊂ {1; ; m} Định nghĩa 4.2 Một mặt riêng chiều cực trị khối đa diện gọi mặt nhỏ ( diện) Nếu F diện D 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG số k ∈ I0 thỏa mãn: F = {x ∈ D| ak , x = bk } (4.4) Tuy nhiên, mặt dạng diện Bất đẳng thức ak , x ≤ bk gọi dư bỏ bất đẳng thức từ (4.2) mà không làm ảnh hưởng đến khối đa diện D Tức là, hệ (4.2) với : , x ≤ bi , i ∈ {1, 2, , m}\{k} Định lý 4.3 (Xem [1, Proposition 1.25 P.32]) Nếu Bất đẳng thức ak , x ≤ bk , với k ∈ / I0 không dư (4.5) diện 4.2 Đỉnh cạnh khối đa diện Một điểm cực trị (mặt 0-chiều) khối đa diện gọi đỉnh mặt 1-chiều gọi cạnh Hệ 4.2 (Xem [1, Corollary 1.17 P.33]) (i) Một điểm x ∈ D đỉnh thỏa mãn đẳng thức n bất đẳng thức độc lập tuyến tính từ (4.1) (ii) Một đường thẳng (hoặc nửa đường đường) Γ ⊂ D cạnh D tập điểm D thỏa mãn đẳng thức (n − 1) bất đẳng thức độc lập tuyến tính từ (4.1) Định lý 4.4 (Xem [1, Theorem 1.9 P.33]) Cho x0 đỉnh không suy biến khối đa diện đủ chiều D định nghĩa hệ (4.2) 20 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG Khi đó, n cạnh D bắt nguồn từ x0 Nếu I tập số bất đẳng thức thỏa mãn x0 đẳng thức ∀k ∈ I cạnh xuất phát từ x0 theo hướng z định nghĩa hệ: ak , z = −1, , z = 0, i ∈ I \ {k} (4.5) Một khối đa diện liên kết với gọi hình đa diện Định lý 4.5 (Xem [1, Proposition 1.26 P.34])Một hình đa diện r-chiều có r + đỉnh Một khối đa diện mà bao lồi r điểm afin độc lập x1 , x2 , , xr+1 gọi r -đơn hình kí hiệu [x1 , x2 , , xr+1 ] Một đỉnh khối đa diện phải điểm x1 , x2 , , xr+1 phải có r+1 đỉnh, xác x1 , x2 , , xr+1 Nếu D khối đa diện r-chiều tập k ≤ r + đỉnh D xác định r- đơn hình mà mặt r-chiều D Ngược lại, mặt r - chiều D dạng Định lý 4.6 (Xem [1, Proposition 1.27 P.34]) Một nón lùi xa khối đa diện ( 4.2) nón M := {x|Ax ≤ 0} Như vậy, hướng cực trị khối đa diện (4.2) giống hướng cực trị nón Ax ≤ 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 4.3 NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG Cực khối đa diện Cho x0 nghiệm hệ (4.1) Khi đó: Ax0 ≤ b ⇔ A(x − x0 ) ≤ b − Ax0 , với b − Ax0 ≥ Bằng tịnh tiến điểm gốc dần đến phân chia hệ (4.1) thành dạng: , x ≤ 1, i = 1, p, , x ≤ 0, i = p + 1, m (4.6) Định lý 4.7 (Xem [1, Proposition 1.28 P.35]) Cho P khối đa diện định nghĩa hệ (4.1) cực P đa diện Q = conv{0, a1 , a2 , , ap } + cone{ap+1 , , am } (4.7) Và ngược lại, cực P đa diện Q Ví dụ 4.3.1 Nếu P = {x ∈ R2 |x1 ≤ 1, x2 ≤ 1} cực P = conv{0, e1 , e2 } conv{e1 , e2 } Tuy nhiên P giới hạn ∈ int P bỏ (4.8) 4.4 Biểu diễn khối đa diện lồi Từ định lí ta khẳng định đa diện có hữu hạn mặt Trong trường hợp đặc biệt có hữu hạn điểm cực trị hướng cực trị 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG Định lý 4.8 (Xem [1, Theorem 1.10 P.34]) Với khối đa diện D tồn hai tập hữu hạn V = {v i , i ∈ I} U = {uj , j ∈ J} cho: D = conv V + cone U (4.8) Mặt khác, D bao gồm điểm có dạng: x= i∈I λi v i + j∈J µj uj , với i∈I λi = 1, λi ≥ 0, µj ≥ 0, i ∈ I, j ∈ J Hệ 4.3 (Xem [1, Lemma 1.4 P.34]) Bao lồi tập hữu hạn phần đường thẳng bắt guồn từ điểm gốc nón đa diện lồi Mặt khác, cho tập hữu hạn vectơ U ⊂ Rn tồn ma trận m × n thỏa mãn: cone U = {x|Ax ≤ 0} (4.9) Định lý 4.9 (Xem [1, Corollary 1.20 P.34]) Cho hai tập hữu hạn bất → − kì V U Rn , tồn ma trận A cấp m × n b ∈ Rm thỏa mãn: conv V + cone U = {x|Ax ≤ b} 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG KẾT LUẬN Trên nội dung khóa luận "Tập lồi tính chất tập lồi " Khóa luận trình bày nội dung sau đây: • Chương Ở chương này, trình bày số định nghĩa tập lồi: tập afin, tập lồi, phần tương đôis bao đóng, bao lồi • Chương Ở chương này, trình bày định lí tách tập lồi • Chương Ở chương này, trình bày cấu trúc tập lồi cách biểu diễn tập lồi • Chương Ở chương này, trình bày tập đa diện lồi bao gồm: mặt, đỉnh, cạnh, cực cách biểu diễn khối đa diện lồi Do thời gian thực khóa luận không nhiều có sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! 24 Tài liệu tham khảo [1] Hoang Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Institute of Mathematics Hanoi-VietNam, 1997 [2] R.K Ahuja, T.L Magnanti, and J.B Orlin , Theory Algorithrms and Applications, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1993 [3] F.A.Al- Khayyal, and J.E.Falk, Mathematics of Operations Research, Jointly constrained bicovex program, 1983 [4] E Balas, Mathematics Programming , Integer programming and convex analysis: intersection cuts and outer polar, 1972 [5] B T Polyak, Introduction to Optimization, Publications Division, New York , 1987 [6] A Ruszczynski, Nonlinear Optimization, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2005 25 ... em chọn đề tài "Tập lồi số tính chất tập lồi" Luận văn gồm bốn chương Chương "Các khái niệm tập lồi" trình bày số khái niệm có liên quan đến tập lồi Chương "Các định lý tách tập lồi" Chương "Cấu... TRANG TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Bùi Ngọc Mười Hà Nội – 2017 Ký hiệu toán học R Tập tất số thực Rn Tập. .. MỞ ĐẦU Lý thuyết tập lồi tính chất tập lồi có vị trí quan trọng toán học, liên quan đến hầu hết ngành toán học giải tích, hình học, Có thể nói nghiên cứu tập lồi tính chất tập lồi đề tài nhiều