Tập lồi và một số tính chất của tập lồi

Lý thuyết về tập lồi và các tính chất của tập lồi có một vị trí quantrọng trong toán học, nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán họcnhư giải tích, hình học,...Có thể nói nghiên cứu

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2017

NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG

TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS Bùi Ngọc Mười

Hà Nội – 2017

conv E Bao lồi của E.

LỜI MỞ ĐẦU 1

1.1 Tập afin 2

1.2 Tập lồi 4

1.3 Phần trong tương đối và bao đóng 6

1.4 Bao lồi 9

2 Các định lí tách cơ bản của tập lồi 10 3 Cấu trúc hình học và biểu diễn tập lồi 12 3.1 Siêu phẳng tựa 12

3.2 Mặt và điểm cực biên 13

3.3 Biểu diễn của một tập lồi 14

3.4 Cực của tập lồi 16

4 Tập đa diện lồi 18 4.1 Mặt của khối đa diện 19

4.2 Đỉnh và cạnh của khối đa diện 20

4.3 Cực của một khối đa diện 22

4.4 Biểu diễn của khối đa diện lồi 22

Lý thuyết về tập lồi và các tính chất của tập lồi có một vị trí quantrọng trong toán học, nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán họcnhư giải tích, hình học, Có thể nói nghiên cứu về tập lồi và các tính chấtcủa tập lồi là một trong những đề tài được rất nhiều các nhà khoa họcquan tâm Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về giải tích nhằm bổ sungkiến thức cho bản thân em đã chọn đề tài "Tập lồi và một số tính chấtcủa tập lồi" Luận văn gồm bốn chương.

Chương 1 "Các khái niệm cơ bản của tập lồi" trình bày một số kháiniệm có liên quan đến tập lồi

Chương 2 "Các định lý tách cơ bản của tập lồi"

Chương 3 "Cấu trúc hình học và cách biểu diễn tập lồi" đưa ra hìnhảnh minh họa cho các khái niệm được xét trong Chương 1 và Chương 2.Chương 4 "Khối đa diện lồi" trình bày điều kiện để một tập lồi làmột đa diện và các tính chất của đa diện

Các khái niệm cơ bản của tập lồi

1.1 Tập afin

Định nghĩa 1.1 Cho a, b là hai điểm thuộc Rn Tập hợp tất cả cácđiểm x thuộc Rn có dạng: x = (1 − λ)a + λb = a + λ(b − a), λ ∈ R đượcgọi là đường thẳng đi qua a và b

Tập M ⊂ Rn được gọi là tập afin ( hay còn gọi là đa tạp afin) nếu nóbao hàm mọi đường thẳng bất kì đi qua hai điểm nằm trong nó

Tức là: (1 − λ)a + λb ∈ M, ∀λ ∈ R

Tập afin bao hàm điểm gốc thì được gọi là không gian con

Định lý 1.1 (Xem [1, Proposition 1.1 P.3]) Tập M 6= ∅ là tập afinnếu và chỉ nếu M = a + L, với a ∈ M và L là không gian con

Mệnh đề 1.1 Không gian con L được gọi là song song với tập afin M

Có duy nhất một tập M 6= ∅ và song song với không gian con L

Số chiều của không gian con L song song với tập afin M được gọi là

số chiều của M

Ví dụ 1.1.1 Điểm a ∈ Rn được gọi là tập afin có số chiều bằng 0 bởi

vì không gian con song song với tập M = {a} là L = {0}

Đường thẳng đi qua hai điểm a và b là tập afin có số chiều là 1

Vì không gian con song song với nó là không gian con 1 chiều x ={λ(b − a)|λ ∈ R}

Tập afin (n − 1) chiều được gọi là siêu phẳng

Định lý 1.2 (Xem [1, Proposition 1.2 P.4])

Mọi tập afin r-chiều có dạng:

M = {x|Ax = b}, b ∈ Rn, A ∈ Rm×n sao cho: rank A = n − r

Ngược lại, mọi tập có dạng trên là tập afin r-chiều

Hệ quả 1.1 (Xem [1, Corollary 1.1 P.4]) Mọi siêu phẳng là tập códạng:

H = {x|ha; xi = α}, a ∈ Rn\{0}, α ∈ R (1.1)Ngược lại, mọi tập có dạng (1.1) là một siêu phẳng

Vectơ a trong định nghĩa (1.1) được goi là vectơ pháp tuyến đến siêuphẳng H

Giao của họ các tập afin là một tập afin

Với E ⊂ Rn cho trước tồn tại tập afin bé nhất bao gồm E là Rn Tậpnhư vậy được gọi là bao afin của E và kí hiệu là : aff E

Định lý 1.3 (Xem [1, Proposition 1.3 P.4]) Bao afin của tập E là tập

gồm tất cả các điểm có dạng:

x = λ1x1 + λ2x2 + + λkxk sao cho xi ∈ E, λ1 + λ2 + + λk = 1.Định lý 1.4 (Xem [1, Proposition 1.4 P.5]) Bao afin của tập k điểm

x1, x2, , xk (k > r) trong Rn là r-chiều nếu và chỉ nếu ma trận cấp(n + 1) × k:

Định nghĩa 1.2 Cho hai điểm a, b ∈ Rn, tập hợp tất cả các điểm

x = (1 − λ)a + λb thỏa mãn 0 ≤ λ ≤ 1 được gọi là đoạn thẳng đi quahai điểm avà b Kí hiệu [a, b]

Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đường thẳng đi quahai điểm bất kì nằm trong nó Hay nói cách khác, nếu (1 − λ)a + λb ∈ C,với a, b là hai điểm bất kì trong C và 0 ≤ λ ≤ 1 thì ta nói C là tập lồi.Định nghĩa 1.3 Điểm x thỏa mãn: x = Pk

i=1λiai, ai ∈ Rn, với λi ≥

0,Pk

i=1λi = 1 được gọi là một tổ hợp lồi của a1, a2, , ak ∈ Rn

Định lý 1.5 (Xem [1, Proposition 1.5 P.6]) Tập C ⊂ Rn là tập lồi nếu

và chỉ nếu nó bao hàm tất cả các tổ hợp lồi cơ bản của nó

Định lý 1.6 (Xem [1, Proposition 1.6 P.7]) Giao của một họ các tậplồi là một tập lồi Nếu C, D là tập lồi thì C + D := {x + y|x ∈ C, y ∈ D};

βC := {βx|x ∈ C} là một tập lồi

Định nghĩa 1.4 Tập M ⊂ Rn được gọi là mặt nón nếu:

x ∈ M, λ > 0 ⇒ λx ∈ M

Gốc 0 của nó có thể không nằm trong tập M

Mặt nón M không bao gồm đường thẳng nào thì được gọi là điểm.Trong trường hợp 0 cũng được gọi là đỉnh của M và a + M là nón vớiđỉnh tại a

Định lý 1.7 (Xem [1, Proposition 1.7 P.7]) Tập M ⊂ Rn là nón lồinếu và chỉ nếu:

Hệ quả 1.3 (Xem [1, Corollary 1.4 P.8])

Cho E là một nón lồi Tập {λx|x ∈ E, λ > 0} là nón lồi nhỏ nhấtchứa E

Nón sinh bởi E kí hiệu là cone E

1.3 Phần trong tương đối và bao đóng

Định nghĩa 1.5 Chuẩn trong Rn là ánh xạ k k đi từ Rn đến R thỏamãn:

k x k∞= max1≤i≤n | xi | được gọi là chuẩn Tchebycheff

Chuẩn l2 có thể được định nghĩa thông qua tích vô hướng Có nghĩalà:

k x k= phx, xi được gọi là chuẩn Ơ-clit

Cho chuẩn k.k trong Rn, khoảng cách giữa hai điểm x, y ∈ Rn là một

số không âm, kí hiệu là: kx − yk

Hình cầu tâm a, bán kính r là tập hợp {x ∈ Rn|kx − ak ≤ r}

Định lý 1.8 Với hai chuẩn k k, k k0 trong Rn, ∃c2 ≥ c1 > 0 thỏamãn:

c1 k x k≤k x k0≤ c2 k x k, ∀x ∈ Rn

Bao đóng và miền nằm trong của tập C kí hiệu lần lượt là là cl C vàint C.

Tóm lại:

a ∈ cl C nếu và chỉ nếu hình cầu quanh a tại điểm lớn nhất của Choặc tương đương a là giới hạn dãy điểm của C

a ∈ int C nếu và chỉ nếu hình cầu quanh a hoàn toàn nằm trong C

Hệ quả 1.4 (Xem [1, Corollary 1.6 P.9]) Một điểm của tập lồi C ⊂ Rn

là điểm nằm trong của C nếu ∀x ∈ Rn, ∃α > 0 thỏa mãn:

pC(x) = inf{λ > 0|x ∈ λC} được gọi là độ đo của C

Định lý 1.10 (Xem [1, Proposition 1.11 P.11]) Hàm độ đo pC(x) củatập lồi C ⊂ Rn, 0 thuộc phần trong tương đối của nó thỏa mãn:

(i) pC(αx) = αpC(x), ∀x ∈ Rn, α > 0

(ii) pC(x + y) ≤ pC(x) + pC(y), ∀x, y ∈ C

(iii) pC là hàm liên tục.

(iv) int C = {x|pC(x) < 1} ⊂ C ⊂ cl C = {x|pC(x) ≤ 1}

Hệ quả 1.5 (Xem [1, Corollary 1.7 P.11]) Nếu a ∈ int C, b ∈ cl C, thì

x = (1 − λ)a + λb ∈ int C, ∀λ ∈ [0, 1) Nếu tập lồi C có phần trong khácrỗng thì cl(int C) = cl C, int(cl C) = int C

Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập lồi trong Rn, vectơ y khác 0 đượcgọi là phương lùi xa của C nếu:

{x + λy|λ ≥ 0} ⊂ C, ∀x ∈ C (1.4)

Mệnh đề 1.2 (Xem [1, Lemma 1.1 P.11]) Tập hợp tất cả các phươnglùi xa của C là một tập lồi Nếu C là tập đóng thì (1.4) thỏa mãn điềukiện Nếu C là tập đóng và {x + λy|λ ≥ 0} ⊂ C, với x ∈ C Nón lồi đượcxây dựng bởi tất cả các phương lùi xa và vectơ 0 được gọi là nón lùi xacủa C và kí hiệu là rec C

Định lý 1.11 (Xem [1, Proposition 1.12 P.12]) Cho C ⊂ Rn là tập lồibao gồm điểm a nằm trong nó

(i) ∀x 6= a, nửa đường thẳng Γ(x, a) = {a + λ(x − a)|λ > 0} cũng hoàntoàn nằm trong C hoặc nó cắt giới hạn của ∂C tại một điểm duynhất σC mà mọi điểm nằm trong đọn thẳng [a, σ(x)], trừ σ(x) đều

là điểm nằm trong của C

(ii) Ánh xạ σ(x) là xác định và liên tục trong tập Rn\(a + M ) khi M =rec(int C) = rec(cl C) là một tập đóng

Hệ quả 1.6 (Xem [1, Corollary 1.8 P.13]) Tập lồi đóng C ⊂ Rn(C 6= ∅)

là giới hạn nếu và chỉ nếu tập lồi lùi xa của nó là tập chỉ có duy nhấtđiểm {0}

Mọi tập E ⊂ Rn cho trước, đều tồn tại một tập lồi bao hàm E Đó là

Rn Phần giao nhau của tất cả các tập lồi bao hàm E được gọi là Baolồi của E và kí hiệu là : conv E

Định lý 1.12 (Xem [1, Proposition 1.13 P.13])Bao lồi của tập E ⊂ Rngồm có tất cả các tổ hợp của tất cả các phần tử của nó trong đó

Các định lí tách cơ bản của tập lồi

Khái niệm tách là một trong nhứng khái niệm rất hữu ích của định lílồi Đầu tiên chúng ta đi nghiên cứu các định lí như sau:

Định lý 2.1 (Xem [1, Lemma 1.2 P.18]) Cho C là một tập con lồi(C 6= ∅) của Rn Nếu 0 /∈ C thì ∃−→t ∈ Rn thỏa mãn:

trên , nó là có ích để nhắc lại một tính chất cơ bản của hàm tuyến tính:Một hàm tuyến tính l(x) := ht, xi với t ∈ Rn\{0} không bao giờ đạtgiá trị nhỏ nhất (hoặc giá trị lớn nhất) trong tập C tại điểm trong của

C Nếu nó là giới hạn trên (hoặc dưới) trên một tập afin thì nó là một

số không đổi trong tập afin đó

Nếu tập D trong định lí trên tập mở thì (2.4) dẫn đến:

Định lý 2.3 (Định lý tách thứ 2)

Cho C, D là hai tập lồi, đóng, rời nhau và khác rỗng nằm trong Rnthỏa mãn: C hoặc D là tập compact có thể tách mạnh mẽ bởi một siêuphẳng

Cấu trúc hình học và biểu diễn tập lồi

là một phần không gian phụ tới C

Định lý 3.1 (Xem [1, Theorem 1.5 P.21]) Qua mọi điểm giới hạn x0của một tập lồi C ⊂ Rn, tồn tại siêu phẳng tựa nhỏ nhất đến C

Pháp tuyến t đến siêu phẳng H tới C tại x0 được mô tả bởi điều kiện:

ht, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ C (3.1)Vectơ t thỏa mãn điều kiện đó sẽ không tạo thành góc tù với mọi đường

thẳng trong C với x0 như điểm cuối.

Nó chỉ gọi là pháp tuyến hay chính xác hơn là pháp tuyến trong đến

Định lý 3.3 (Xem [1, Theorem 1.6 P.23]) Một tập lồi đóng C, màkhông phải là rỗng và cũng không phải toàn bộ không gian, sẽ là giaocủa tất cả các siêu phẳng tựa của nó

Định nghĩa 3.2 Một tập lồi con F của tập lồi C được gọi là mặt của

C nếu với mọi đường thẳng trong C với họ các điểm nằm trong F nằmtrọn trong F , tức là :

Định lý 3.4 (Xem [1, Proposition 1.16 P.23]) Giao của một tập lồi Cvới siêu phẳng tựa H là một mặt của C.

Mặt 0 - chiều của C được gọi là điểm cực biên Mặt khác, điểm cựcbiên của C là điểm x ∈ C mà không phải là điểm trong của mọi đườngthẳng với hai điểm mút khác nhau trong C

Nếu mặt lồi C có một siêu phẳng và chiều của siêu phẳng được gọi làhướng cực biên của C

Định lý 3.5 (Xem [1, Proposition 1.17 P.24])Cho E là một tập bất kìnằm trong Rn.Mọi điểm cực biên của C = conv E thuộc vào E

Một điểm a bất kì cho trước của một tập lồi luôn luôn tồn tại mộtmặt nhỏ nhất của C chứa a Kí hiệu là Fa

Định lý 3.6 (Xem [1, Proposition 1.18 P.24]) Fa là hợp của a và tất

cả các điểm x ∈ C với x là một điểm của đường thẳng [x, y] ⊂ C với anhư một điểm trong tương đối

Hệ quả 3.1 (Xem [1, Corollary 1.11 P.25])Nếu một mặt F1 của tập lồi

C là một tập con riêng của một mặt của mặt F2 thì dim F1 < dim F2

Hệ quả 3.2 (Xem [1, Corollary 1.12 P.25]) Một mặt F của một tậplồi, đóng của C là một tập đóng

3.3 Biểu diễn của một tập lồi

Định nghĩa 3.3 Cho C là một tập lồi khác rỗng Tập (rec C)T(− rec C)được gọi là không gian tuyến tính hóa (lineality − space) của C

Nó thực sự là tập con lớn nhất chứa trong rec C và gồm có −→

Định lý 3.7 (Xem [1, Proposition 1.20 P.26]) Cho C là một tập lồi,đóng, khác rỗng có điểm cực trị nếu và chỉ nếu nó không chứa đườngthẳng nào

Kí hiệu của một tập các điểm cực trị của C là U (C) và tập các hướngcực trị của C là V (C)

Định lý 3.8 (Xem [1, Theorem 1.7 P.26]) Cho C ⊂ Rn là một tập lồiđóng mà không chứa đường thẳng nào Khi đó:

P

i∈Iλi = 1

Hệ quả 3.3 (Xem [1, Corollary 1.14 P.27]) Cho C là một tập lồi,compact, khác rỗng Khi đó C có ít nhất một điểm cực biên và mọi siêuphẳng tựa H đến C chứa ít nhất một điểm cực biên của C

Nếu E là một nón lồi, đóng sao cho: λE ⊂ E, ∀x ∈ E thì điều kiện

hy, xi ≤ 1, ∀x ∈ E tương đương với hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ E

Vì vậy, cực của một nón M là nón M0 = {y ∈ Rn|hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ M } Cực của không gian con cũng như một phần bù trực giao của nó

(i) Độ đo của C là một hàm tựa của C0

(ii) Nón lùi xa của C và bao đóng của một nón sinh ra bởi C0 là cựclẫn nhau

(iii) Tập con tuyến tính của C và không gian con sinh ra bởi C là phần

bù trực giao của nhau Với C và C0 là hoán vị của nhau

Hệ quả 3.4 (Xem [1, Corollary 1.15 P.30]) Với mọi tập lồi đóng

C ⊂ Rn chứa 0 ta có:

dim C0 = n − lineality C (1)

lineality C0 = n − dim C (2)

Số dim C − lineality C được gọi là rank C

Ta có rank C = dim(CT L⊥), với L là không gian tuyến tính hóacủa C

Khi đó: rank C = rank C0

Tập đa diện lồi

Định nghĩa 4.1 Một tập lồi được gọi là đa diện nếu nó là giao của hữuhạn họ các nửa không gian đóng Tập đa diện lồi cũng được gọi là khối

đa diện

Mặt khác, một khối đa diện là tập nghiệm của một hệ hữu hạn củabất đẳng thức tuyến tính có dạng :

hai, xi 6 bi, i = 1, , m (4.1)hoặc ma trận tuyến tính có dạng :

hai, xi = bi, i = 1, , m1.

hai, xi ≤ bi, i = m1 + 1, , m

Hạng của hệ của các bất đẳng thức tuyến tính dạng (4.2) là địnhnghĩa hạng của ma trận A Khi đó nó bằng số của bất đẳng thức,ta nóirằng bất đẳng thức này là độc lập tuyến tính

Định lý 4.1 (Xem [1, Proposition 1.24 P.30])

Khối đa diện D 6= ∅ định nghĩa bởi hệ (4.2) có số chiều r nếu vàchỉ nếu hệ con của (4.2) hình thành bởi bất đẳng thức mà thỏa mãn nhưđẳng thức bởi tất cả điểm của D có hạng n − r

Hệ quả 4.1 (Xem [1, Corollary 1.16 P.31])Khối đa diện (4.2) là đủchiều nếu và chỉ nếu x0 thỏa mãn hai, x0i ≤ bi, ∀i = 1, , m

Như trên, ký hiệu bởi D khối đa diện (4.2) và cho:

I0 = {i | hai, xi = bi, ∀x ∈ D}

Định lý 4.2 (Xem [1, Theorem 1.8 P.31])Một tập con khác rỗng của

D là một mặt của D nếu và chỉ nếu:

F = {x | hai, xi = bi, i ∈ I; hai, xi ≤ bi, i /∈ I} (4.3)với tập chỉ số I sao cho I0 ⊂ I ⊂ {1; ; m}

Định nghĩa 4.2 Một mặt riêng của chiều cực trị của một khối đa diệnđược gọi là một mặt nhỏ ( một diện) Nếu F là một diện của D thì khi

đó nó là một số k ∈ I0 thỏa mãn:

F = {x ∈ D|hak, xi = bk} (4.4)

Tuy nhiên, không phải mọi mặt ở dạng đó đều là một diện

Bất đẳng thức hak, xi ≤ bk được gọi dư nếu bỏ đi bất đẳng thức này

từ (4.2) mà không làm ảnh hưởng gì đến khối đa diện D

Tức là, hệ (4.2) bằng với : hai, xi ≤ bi, i ∈ {1, 2, , m}\{k}

Định lý 4.3 (Xem [1, Proposition 1.25 P.32]) Nếu Bất đẳng thức

hak, xi ≤ bk, với k /∈ I0 là không dư thì (4.5) là một diện

4.2 Đỉnh và cạnh của khối đa diện

Một điểm cực trị (mặt 0-chiều) của một khối đa diện được gọi là mộtđỉnh và mặt 1-chiều được gọi là một cạnh

Hệ quả 4.2 (Xem [1, Corollary 1.17 P.33])

(i) Một điểm x ∈ D là một đỉnh nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn như mộtđẳng thức của n bất đẳng thức độc lập tuyến tính từ (4.1)

(ii) Một đường thẳng (hoặc nửa đường hoặc đường) Γ ⊂ D là một cạnhcủa D nếu và chỉ nếu nó là một tập điểm của D thỏa mãn như đẳngthức (n − 1) bất đẳng thức độc lập tuyến tính từ (4.1)

Định lý 4.4 (Xem [1, Theorem 1.9 P.33]) Cho x0 là một đỉnh khôngsuy biến của khối đa diện đủ chiều D định nghĩa bởi hệ (4.2)

Khi đó, nó là đúng n cạnh của D bắt nguồn từ x0.

Nếu I là tập của các chỉ số của bất đẳng thức thỏa mãn bởi x0 nhưđẳng thức thì ∀k ∈ I một cạnh xuất phát từ x0 theo hướng z là địnhnghĩa bởi hệ:

Ngược lại, một mặt bất kì r - chiều của D là của dạng đó

Định lý 4.6 (Xem [1, Proposition 1.27 P.34]) Một nón lùi xa của khối

đa diện ( 4.2) là một nón M := {x|Ax ≤ 0}

Như vậy, hướng cực trị của một khối đa diện (4.2) là giống như hướngcực trị của nón Ax ≤ 0

4.3 Cực của một khối đa diện

Cho x0 là nghiệm của hệ (4.1) Khi đó: Ax0 ≤ b ⇔ A(x − x0) ≤ b − Ax0,với b − Ax0 ≥ 0

Bằng sự tịnh tiến điểm gốc dần đến 0 và phân chia hệ (4.1) thànhdạng:

hai, xi ≤ 1, i = 1, p, hai, xi ≤ 0, i = p + 1, m (4.6)Định lý 4.7 (Xem [1, Proposition 1.28 P.35]) Cho P là một khối đadiện định nghĩa bởi hệ (4.1) thì cực của P là một đa diện

Q = conv{0, a1, a2, , ap} + cone{ap+1, , am} (4.7)

Và ngược lại, cực của P là đa diện Q

Ví dụ 4.3.1 Nếu P = {x ∈ R2|x1 ≤ 1, x2 ≤ 1} thì cực của nó là

P0 = conv{0, e1, e2} và không phải conv{e1, e2}

Tuy nhiên nếu P là giới hạn thì 0 ∈ int P0 và 0 có thể bỏ đi trong(4.8)

4.4 Biểu diễn của khối đa diện lồi

Từ các định lí trên ta khẳng định rằng một đa diện có hữu hạn mặt.Trong trường hợp đặc biệt nó cũng có hữu hạn các điểm cực trị và hướngcực trị