Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN PHAN TH± THÚY TƠPƠ YEU VÀ M®T SO TÍNH CHAT CUA KHƠNG GIAN бNH CHUAN KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2012 LèI CÃM ƠN Đe hồn thành khố lu¾n này, trưóc het em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen thay to Giái tích, khoa Tốn trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i đ®ng viên giúp đõ em suot q trình làm khố lu¾n Đ¾c bi¾t em xin chân thành cám ơn thay Tran Văn Bang - Ngưòi thay trnc tiep hưóng dan em, tao đieu ki¾n tot nhat chí báo t¾n tình đe em có the hồn thành khố lu¾n tot nghi¾p Do thòi gian kien thúc có han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc nên nhung van đe trình bày khố lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cúa thay ban sinh viên M®t lan nua em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành, sâu sac lòi chúc súc kh đen thay toàn the ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, ngày 06 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phan Th% Thuý LèI CAM ĐOAN Qua trình nghiờn cỳu khoỏ luắn Tụpụ yeu v mđt so tớnh chat cúa khơng gian đ%nh chuan” giúp em tìm hieu sâu ve b® mơn Giái tích Qua giúp em bưóc đau làm quen vói phương pháp nghiên cúu khoa hoc Em xin cam đoan khố lu¾n đưoc hồn thành sn co gang no lnc tìm hieu, nghiên cúu cúa bán thân vói sn hưóng dan chí báo t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang thay to Giái tích, khoa Tốn trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i Đây đe tài khơng trùng vói đe tài cúa tác giá khác Rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay cô ban bè đe khoỏ luắn oc hon thiắn hn H Nđi, ngy 06 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phan Th% Thuý Mnc lnc Mé đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Tôpô 1.2 Ánh xa liên tnc 1.3 Không gian Banach .6 1.4 Tốn tú tuyen tính Chương Tơpơ yeu m®t so tính chat cúa khơng gian đ%nh chuan 2.1 Tôpô yeu 2.2 Tôpô yeu* σ (E∗ , E ) 13 2.3 Không gian phán xa 19 2.4 Không gian tách đưoc 25 2.5 Không gian loi đeu .30 Ket lu¾n 34 Tài li¾u tham kháo 35 Me ĐAU Lý chon đe tài Giái tích hàm m®t ngành Tốn hoc đưoc xây dnng vào khống núa đau the ký XX hi¾n hau đưoc xem m®t ngành Tốn hoc co đien N®i dung cúa sn hop nhat cúa nhung lý thuyet tong quỏt xuat phỏt tự viắc mú rđng mđt so khái ni¾m ket q cúa giái tích, đai so, phương trình vi phân Trong trình phát trien tù đen nay, giái tích hàm tích luy đưoc m®t so n®i dung het súc phong phú Nhung phương pháp ket rat mau mnc cúa giái tích hàm xâm nh¾p vào tat cá ngành Tốn hoc có liên quan có sú dnng đen nhung cơng cn cúa giái tích khơng gian vectơ Ngồi có nhung úng dnng v¾t lý lý thuyet m®t so lĩnh vnc ky thuắt Khi hoc bđ mụn giỏi tớch hm, chỳng ta se đưoc nhac đen khái ni¾m: Khơng gian tơpơ Vói mong muon đưoc nghiên cúu tìm hieu sâu ve Khơng gian tơpơ b® mơn giái tích hàm em chon đe tài: “Tơpơ yeu m®t so tính chat cúa khơng gian đ%nh chuan” Nghiên cúu đe tài có h®i tìm hieu sâu ve tơpơ, m®t n®i dung quen thu®c bao hàm nhieu tính chat đ¾c trưng tong qt cúa giái tích hàm Cau trúc khóa lu¾n Ngồi mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham kháo, khố lu¾n gom chương: Chương Kien thúc chuan b% Chương Tơpơ yeu m®t so tính chat cúa khơng gian đ%nh chuan Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Tôpô Đ%nh ngha 1.1 Cho X bat k Ta núi mđt ho nhung cỳa X l mđt tụpụ X , neu thố mãn tính chat sau: (i) 0/ , X ∈ τ, (ii) Neu Gα ∈ τ, ∀α ∈ Λ [ Gα ∈ τ, α∈Λ (iii) Neu G j ∈ τ, j = 1, n, n \ G j ∈ τ j=1 C¾p (X, τ) đưoc goi m®t khơng gian tôpô Moi phan tú x ∈ X đưoc goi mđt iem %nh ngha 1.2 Mđt X cựng vúi tôpô τ X , goi không gian tôpô (X, τ) ( hay không gian tôpô X ) Các thuđc ho goi l mú Nh vắy, cho mđt tụpụ trờn mđt X , cú ngha qui đ%nh rõ nhung t¾p cúa X đưoc coi t¾p mó vi¾c qui đ%nh phái ý cho: X 0/ đeu l mú v giao cỳa mđt so huu han hoắc hop cỳa mđt so bat k mú cng l t¾p mó Vì ho tat cá t¾p mó không gian Metric (gom cá không gian đ%nh chuan không gian Hilbert) đeu không gian tôpô Đ%nh nghĩa 1.3 [So sánh Tơpơ] Khi có hai khơng gian tơpơ τ, τr X ta nói tơpơ τ yeu tôpô τr (hay tôpô τr manh tôpô τ) neu τ ⊂ τr ; nghĩa moi t¾p mó tơpơ τ đeu t¾p mó tơpơ τr Trong tat cá tôpô X , tôpô thô tơpơ yeu nhat, tơpơ ròi rac tơpơ manh nhat Đ%nh nghĩa 1.4 [Cơ só tien só tơpơ] Cho τ m®t tơpơ X M®t ho β cúa τ goi só cúa neu moi thuđc eu bang hop cỳa m®t ho thu®c β Nói cách khác, ho β cúa τ só cúa τ neu ∀G ∈ τ, ∀x ∈ G, ∃V ∈ β cho x ∈ V ⊂ G M®t ho σ cúa ho τ goi m®t tien só cúa τ neu ho tat cá giao huu han t¾p thuđc l mđt c sú cỳa Nh vắy ho σ cúa τ tien só cúa τ neu ∀G ∈ τ, ∀x ∈ G, ∀W1 ,W2 , ,Wn ∈ σ cho x ∈ W1 ∩ ∩Wn ⊂ G Hien nhiên m®t tơpơ hồn tồn đưoc xác đ%nh biet m®t só hay tien só cúa Đ%nh nghĩa 1.5 [Lân c¾n] Cho X m®t khơng gian tơpơ x ∈ X Tắp V cỳa X oc goi l mđt lân c¾n cúa điem x neu ton tai t¾p mó G cho x ∈ G ⊂ V Neu lân c¾n V cúa x t¾p mó V đưoc goi lân c¾n cúa x Moi lân c¾n cỳa x eu chỳa mđt lõn cắn mú %nh ngha 1.6 Cho khơng gian tơpơ X , t¾p A điem x ⊂ X • Điem x goi l iem cỳa A neu cú mđt lõn cắn V cho V ⊂ A • Điem x goi l iem ngoi cỳa A neu cú mđt lõn cắn V cho V ∩ A = 0/ • Điem x goi điem biên cúa A neu moi lân c¾n V cúa x đeu có V ∩ A ƒ= 0/ V ∩ (X \ A) ƒ= 0/ T¾p tat cá điem biên cúa A goi biên cúa A Kí hi¾u: ∂ A Cho X l mđt khụng gian tụpụ v A cúa X • Ta goi phan cúa A hop tat cá t¾p mó chúa A Kí hi¾u: A◦ Tù đ%nh nghĩa ta có: A◦ t¾p mó lón nhat chúa A A ⊂ B A◦ ⊂ B◦ A mó neu chí neu A = A◦ • Ta goi bao đóng cúa A giao cúa tat cá t¾p đóng chúa A Kí hi¾u: A¯ Tù đ%nh nghĩa ta có: A¯ t¾p đóng nhó nhat chúa A A ⊂ B A¯ ⊂ B¯ A đóng neu chí neu A = A¯ Không gian tôpô X goi khơng gian Hausdorff neu vói moi c¾p điem khác x1, x2 ∈ X , ton tai m®t lân cắn V cỳa x1 v mđt lõn cắn U cỳa x2 cho U ∩ V = 0/ Cho X l mđt khụng gian tụpụ Tắp A X goi compact (trong X ) neu voi moi phú mó cúa A đeu có m®t phú huu han Nghĩa neu Di t¾p mó cúa X vói moi i thu®c I A⊆ [ Di iI thỡ cú mđt huu han I0 I cho: [ Di ⊇ A i∈I0 Không gian X đưoc goi không gian compact neu X mđt compact X Tỳc l neu Di mó X , ∀i ∈ I [ Di = X iX thỡ cú mđt huu han I0 ⊆ I cho [ i∈I0 Di = X 1.2 Ánh xa liên tnc Cho X Y không gian tôpô ánh xa f : X → Y , ánh xa f goi liên tnc tai x ∈ X neu vói moi lân c¾n V cúa f (x) Y đeu ton tai lân c¾n U cúa x X cho f (U ) ⊂ V , hay f −1 (V ) mđt lõn cắn cỳa x Vỡ moi lõn cắn eu chỳa mđt lõn cắn mú nờn %nh ngha trờn ta có the thay lân c¾n lân c¾n mó Ánh xa liên tnc X neu liên tnc tai ∀x ∈ X Đ%nh lý 1.1 Moi ánh xa f : X → Y , đieu ki¾n sau tương đương: a) f liên tnc, b) f −1 (G) mó X vói moi t¾p mó Y , c) f −1 (F) đóng X vói moi t¾p F đóng Y , d) f A¯ ⊂ f (A) vói moi A ⊂ X H¾ 1.1 Hop thành cúa ánh xa liên tnc ánh xa liên tnc Cho ánh xa f : X →Y , ánh xa f goi mó neu moi t¾p mó G X , f (G) mó Y ; goi đóng neu moi t¾p đóng F X , f (F) đóng Y M®t song ánh f : X → Y goi m®t phép đong phơi neu f f −1 đeu ánh xa liên tnc Neu có m®t phép đong phơi f : X → Y không gian X Y goi đong phôi vói Rõ ràng f phép đong phơi f −1 m®t phép đong phơi Hop thành cúa phép đong phơi m®t phep đong phơi Đ%nh lý 1.2 Cho f : X → Y mđt song ỏnh, liờn tnc Khi ú, cỏc ieu kiắn sau tươnng đương: a) f phép đong phôi, b) f ánh xa mó, c) f ánh xa đóng Chúng minh: Vì f liên tnc, f phép đong phôi ⇔ f −1 : X → Y liên tnc −1 ⇔ f −1 (G) mó vói moi G X ⇒ E phán xa Hắ quỏ 2.3 Cho E l mđt khụng gian Banach phán xa Giá sú K ⊂ E t¾p b% ch¾n, đóng loi cúa E Khi K compact theo tôpô σ (E, E∗ ) Chúng minh K đóng đoi vói tơpơ σ (E, E ∗ ) M¾t khác, ton tai hang so m cho : K ⊂ mBE mBE compact theo σ (E, E ∗ ) (theo Đ%nh lý 2.2) H¾ 2.4 Cho E m®t khơng gian Banach phán xa; A E l mđt loi úng cỳa E Giá sú ϕ : A → (−∞, +∞) hàm loi, núa liên tnc dưói cho ϕ ƒ≡ +∞ lim = +∞ (khơng có giá thiet neu A b% ch¾n) (5) x∈A "x"→∞ Khi ϕ đat GTNN A, túc ∃x0 ∈ A cho: ϕ (x0) = ϕ A Chúng minh Co đ%nh a ∈ A cho: ϕ (a) < +∞ Xét t¾p A˜ = {x ∈ A : ϕ (x) ≤ ϕ (a)} Khi đó, A˜ đóng, loi b% ch¾n (theo (5) ) ⇒ A˜ compact theo tơpơ σ (E, E ∗ ) (theo H¾ 2.3) M¾t khác, ϕ núa liên tnc dưói theo tơpơ σ (E, E ∗ ) ⇒ ϕ đat cnc tieu A˜ , túc là: ∃x0 ∈ A˜ cho: ϕ (xo ) ≤ ϕ (x), ∀x ∈ A˜ Neu x ∈ A\A˜ , ta có: ϕ (x0 ) ≤ ϕ (a) < ϕ (x) Do ϕ (xo) ≤ ϕ (x), ∀x ∈ A Đ%nh lý 2.5 Cho E F hai không gian Banach phán xa A : D (A) ⊂ E → F toán tú tuyen tính, khơng b% ch¾n, xác đ%nh trù m¾t đóng Khi D (A∗) trù m¾t F ∗ A∗∗ đưoc xác đ %nh tot (A∗∗ : D (A∗∗) ⊂ E∗∗ → F∗∗ ) đưoc xem m®t tốn tú khơng b% ch¾n tù E → F Khi ta có A∗∗=A Chúng minh (1) D (A∗) trù m¾t F ∗ Giá sú ϕ m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc F ∗ , tri¾t tiêu D (A∗) Ta phái chúng minh ϕ ≡ F ∗ Vì F phán xa nên ϕ ∈ F ta có : (ω, ϕ) = 0, ∀ω ∈ D (A∗) (6) Neu ϕ ƒ= [0, ϕ] ∈/ G (A) E × F Do v¾y ta có the tách ng¾t [0, ϕ] G (A) búi mđt siờu phang úng E ì F, túc ∃ [ f , v] ∈ E ∗ × F ∗ α ∈ R cho: ( f , u) + (v, Au) < α < (u, ϕ) , ∀u ∈ D (A) ⇒ ( f , u) + (v, Au) = , ∀u ∈ D (A) (v, ϕ) ƒ= V¾y v ∈ D (A∗) suy mâu thuan bang cách chon ω = v (6) (2) A∗∗=A Ta nhó lai rang: I [G (A∗)] = G(A) ⊥ Và I [G (A∗∗)] = G(A∗) ⇒ G (A∗∗) = G(A) 2.4 ⊥⊥ ⊥ = G (A), A đóng Khơng gian tách đưec Đ%nh nghĩa 2.4 Ta nói khơng gian metric E tách đưoc neu ∃D ⊂ E đem đưoc trù m¾t Nhieu khơng gian quan trong giái tích tách đưoc Rõ ràng, khơng gian huu han chieu tách đưoc Lp (và l p) không gian tách đưoc Tuy nhiên, L∞ l p khơng gian tách đưoc M¾nh đe 2.10 Cho E không gian metric tách đưoc F ⊂ E t¾p bat kỳ Khi F tách đưoc Chúng minh Giá sú (Un) t¾p trù, đem đưoc cúa E (rm) dãy so dương, rm → Chon điem bat kỳ am,n ∈ B (Un, rm) ∩F neu t¾p khác rong Khi t¾p (am,n) đem đưoc trù m¾t F Đ%nh lý 2.6 Giá sú E không gian Banach Neu E ∗ tách đưoc E tách đưoc Nh¾n xét 2.13 Đieu ngưoc lai khơng Vì E = L1 tách đưoc không gian đoi ngau E ∗ = L∞ không tách đưoc Chúng minh Giá sú ( fn)n≥1 đem đưoc trù m¾t E ∗ Vì " fn" = nên ∃xn ∈ E cho sup x∈E "x"≤1 ( fn, x) "xn" = ( fn, xn) ≥ " fn" Ta kí hi¾u L0 khơng gian vectơ Q sinh bói (xn)n≥1, túc L0 khơng gian tat cá to hop tuyen tính huu han vói h¾ so Q cúa phan tú xn, n ≥ Ta chúng minh rang L0 đem đưoc Thnc v¾y, vói moi n ∈ Z , goi Λn khơng gian vectơ Q sinh bói (xk)1≤k≤n Rõ ràng, Λn đem đưoc L0 = ∪ Λn ≥n Kí hi¾u L khơng gian vectơ R sinh bói (xn)n≥1 Tat nhiên, L0 t¾p trù m¾t cúa L Ta chúng minh rang: L khơng gian trù m¾t cúa E Khi đó, L0 se t¾p đem đưoc trù m¾t cúa E Th¾t v¾y, giá sú f ∈ E ∗ phiem hàm tuyen tính liên tnc tri¾t tiêu L, Ta phái chúng minh rang: f = E vói ∀ε>0, ∃N ∈ N : " f − f N " < ε Ta có: " fN " ≤ ( fN , xN ) = ( fN − f , xN ) < ε (Vì ( f , x N) = 0) Tù ta suy " f " ≤ " f − f N " + " f N " < 3ε V¾y f = trờn E Hắ quỏ 2.5 Cho E l mđt khụng gian Banach Khi đó: E tách đưoc phán xa ⇔ E ∗ tách đưoc phán xa Chúng minh (⇐) Tù H¾ 2.2 Đ%nh lý 2.6 ta có: E ∗ phán xa tách đưoc ⇒ E ∗ phán xa tách đưoc (⇒) Ngưoc lai, Neu E phán xa tách đưoc E∗∗ = J (E) phán xa tách đưoc, E ∗ phán xa tách đưoc Tính chat tách đưoc liên quan m¾t thiet vói tính metric cúa tôpô yeu Ta nhac lai: không gian X goi metric neu có m®t metric X sinh tôpô cúa X Đ%nh lý 2.7 Cho E khơng gian Banach tách đưoc Khi BE∗ metric theo tôpô yeu* σ (E ∗ , E) Ngưoc lai, neu BE∗ metric theo σ (E ∗ , E) E tách đưoc Đây m®t ket “đoi ngau” Đ%nh lý 2.8 Cho E m®t khơng gian Banach cho E∗ tách đưoc Khi BE metric theo tơpơ yeu σ (E, E ∗ ) Ngưoc lai, neu BE metric theo σ (E, E ∗ ) E ∗ tách đưoc CHÚNG MINH бNH LÝ 2.7: Chúng minh Cho (xn)n1 l mđt trự mắt cỳa BE Vói moi f ∈ E ∗ đ¾t ∞ [ f ] = ∑ |( f , xn)| n n=1 Rõ ràng, [.] m®t chuan [E ∗ ] [ f ] ≤ " f " Goi d( f , g) = [ f − g] metric tương úng Ta se chúng minh rang: tôpô cám sinh bói d BE∗ tơpơ σ (E∗ , E) han che BE∗ (a) Lay f0 BE v goi V l mđt lõn cắn cỳa f0 đoi vói σ (E∗ , E) Ta se phái chí m®t so r > cho: U = { f ∈ BE∗ : d( f , f0) < r} ⊂ V Ta giá sú V có dang : V = { f ∈ BE∗ : |( f − f0, yi)| < ε, ∀i = 1, 2, , k} vói ε > y1, y2, , yk ∈ E Không mat tong quát, ta giá sú: "yi" ≤ 1, ∀i = 1, 2, , k Vói moi i, ∃ni ∈ Z cho: ε "yi − xni " < ( Vì t¾p (xn)n≥1 trù m¾t BE ) Chon r > đú nhó đe 2ni r < ε , ∀i = 1, 2, , k Ta se chúng minh rang: U ⊂ V Th¾t v¾y, Neu d ( f , f0)< r ta có: |( f − f0, xni )|< r ∀i = 1, 2, , k 2ni Do đó, vói ∀i = 1, 2, , k, ε ε |( f − f0, yi)| = |( f − f0, yi − xni ) + ( f − f0, xni )|< + ⇒f∈ V (b) Lay f0 ∈ BE∗ Vói r > 0, ta phái chí cú mđt lõn cắn V cỳa f0 oi vúi σ (E ∗ , E) cho: V ⊂ U = [ f ∈ BE∗ : d( f , f0)] < r Ta chon V = { f ∈ BE∗ : |( f − f0, xi)| < ε, ∀i = 1, 2, , k} vói ε k đưoc xác đ%nh cho V ⊂ U Cn the vói f ∈ V ta có: ∞ k ∞ 1 d ( f , f0) = ∑ |( f − f0, xn)| + ∑ |( f − f0, xn)| < ε + ∑ = n n n n=k+1 n=1 n=k+1 ε+ k−1 r r Do v¾y, lay ε = k đú lón < cho 2k−1 ⇒ Ta có đieu phái chúng minh +) Ngưoc lai, Giá sú BE∗ metric theo σ (E ∗ , E) Ta chúng minh rang : E tách đưoc Đ¾t: Un = f ∈ B E∗ : d ( f , 0) < n Vn mđt lõn cắn cỳa theo (E , E) cho: Vn ⊂ Un Giá sú Vn có dang: Vn = { f ∈ BE∗ : |( f , x)| < εn, ∀x ∈ Φn} vói εn > Φn t¾p huu han cúa E Đ¾t ∞ D = ∪ Φn n=1 D đem đưoc Ta chúng minh rang: không gian vectơ sinh bói D trù m¾t E ( ⇒ E tách đưoc) Th¾t v¾y, Giá sú f ∈ E ∗ : ( f , x) = 0, ∀x ∈ D Khi f ∈ Vn, ∀n, f ∈ Un, ∀n ⇒ f = CHÚNG MINH бNH LÝ 2.8: Chúng minh E ∗ tách đưoc ⇒ BE metric theo σ (E, E ∗ ) chí can thay đoi vai trò cúa E E ∗ Chúng minh phan ngưoc lai phúc tap nên khơng trình bày ó Nh¾n xét 2.14 Can nhan manh lai rang : không gian vô han chieu tôpô yeu σ (E, E ∗ ) ( tôpô yeu* σ (E∗ , E) ) E ( tương úng E ∗ ) không metric Nói riêng, ta có tơpơ sinh bói chuan [.] E ∗ khơng trùng vói tơpơ yeu* σ (E , E) Hắ quỏ 2.6 Cho E l mđt không gian Banach tách đưoc, ( fn) mđt dóy b% chắn E Khi ú, ton tai dãy fnk h®i tn theo tơpơ yeu* σ (E∗ , E) Chúng minh Không mat tong quát, giá sú " fn" ≤ 1, ∀n T¾p BE∗ compact metric đoi vói tơpơ σ (E ∗ , E) ( theo Đ%nh lý 2.1 Đ%nh lý 2.7) nên ta có điêù phái chúng minh Bây giò ta có the chúng minh Đ%nh lý 2.3 sau: Chúng minh Goi M0 khơng gian vectơ sinh bói xn M = M0 Rõ ràng, M tách đưoc (xem chúng minh Đ%nh lý 2.6) Hơn nua, M phán xa ( xem M¾nh đe 2.9) Do BM compact metric theo tơpơ yeu σ (M, M∗) Vì M∗ tách đưoc (suy tù H¾ 2.5 Đ%nh lý 2.8) Do v¾y, ton tai m®t dãy xnk h®i tn yeu theo σ (M, M∗ ) xnk h®i tn yeu theo σ (E, E ∗ ) 2.5 Không gian loi đeu Đ%nh nghĩa 2.5 M®t khơng gian Banach đưoc goi loi đeu neu ∀ε > 0, ∃δ > cho [x, y ∈ E,"x" ≤ 1, "y" ≤ "x − y" > ε] ⇒ 30 x+y δ − chuyen đ®ng hình cau đơn v%, trung điem cúa phái nam m®t hình cau vói bán kính − δ , δ > 31 Nói riêng, m¾t cau đơn v% phái tròn khơng chúa bat kỳ đoan thang cá VÍ DU 1: Cho E = R2 , "x"2 = [|| + |x2| ] x1 2 loi đeu Trong đó: "x"1 = |x1| + |x2| "x"∞ = max(|x1 |, |x2 |) không loi đeu Đieu de dàng nh¾n thay tù hình cau đơn v% VÍ DU 2: Khơng gian L∞ loi đeu vói < p < ∞ không gian Hilbert loi đeu Đ%nh lý 2.9 (MILMAN- PETTIS) Moi không gian Banach loi đeu đeu phán xa Nh¾n xét 2.15 Tính loi đeu m®t tính chat hình hoc cúa chuan, chuan tương đương vói chuan loi đeu khơng nhat thiet loi đeu (xem VD1) M¾t khác, tính phán xa m®t tính chat cúa tơpơ: m®t khơng gian phán xa se van phán xa đoi vói chuan tương Do v¾y tính hap dan cúa Đ%nh lý 2.9 “tính chat hình hoc kéo theo tính chat tơpơ” Tính loi đeu thưòng đưoc sú dnng phương ti¾n đe chúng minh tính phán xa Nhưng khơng phái cơng cn toi ưu - có m®t so khơng gian phán xa khơng thùa nh¾n bat cú chuan loi tương đương Chúng minh Giá sú ξ ∈ E∗∗ vói "ξ " = Ta phái chí rang: ξ ∈ J (BE ) Vì J (BE ) đóng E∗∗ theo tơpơ manh nên ta chí can chúng minh ∀ε > 0, ∃x ∈ BE : "ξ − J (x)" ≤ ε (7) Co đ%nh ε > goi δ > mơđun cúa tính loi đeu Chon f ∈ E ∗ cho: " f " = δ (ξ , 1) > − (Đieu có the, "ξ " = 1) Đ¾t (8) δ V = η ∈ E ∗∗ , |(η − ξ , f )| < , thỡ V l mđt lõn cắn cúa ξ theo tơpơ σ (E∗∗, E ∗ ) Vì J (BE ) trù m¾t BE∗∗ đoi vói σ (E∗∗, E ∗ ) (Bo đe 2.3) nên V ∩ J (BE ) ƒ= 0/ => ∃x ∈ BE : J (x) ∈ V Bây giò ta se chúng minh x thố mãn (7) Th¾t v¾y, C Giá sú ngưoc lai: "ξ − Jx" > ε, túc ξ ∈ (Jx + εBE∗∗ ) = W T¾p W cng l mđt lõn cắn cỳa theo tụpụ (E∗∗, E∗ ) (Vì BE∗∗ đóng theo σ (E∗∗, E ∗ ) Áp dnng Bo đe 2.3, ta có: V ∩ W ∩ J (BE ) ƒ= 0/ , túc : ∃y ∈ BE cho J (y) ∈ V ∩ W Do J (x) , J (y) ∈ W nên δ |( f , x) −(ξ, f )| < δ |( f , y) −(ξ, f )| < C®ng bat thúc ta đưoc (ξ , f ) < ( f , x + y) + δ ≤ "x + y" + δ x +y Ket hop (8) ⇒ > −δ Do tính loi đeu ⇒ "x − y" ≤ ε (vơ lý), J (y) ∈ W V¾y "x − y" > ε M¾nh đe 2.11 Giá thiet E m®t khơng gian Banach loi đeu, (xn) m®t dãy E cho xn ~ x yeu theo σ (E, E ∗ ) lim sup "xn" ≤ "x" Khi xn → x manh Chúng minh Neu x = đieu hien nhiên Giá thiet x ƒ= Đ¾t λn = max ("xn " , "x") , yn = λn−1 xn y = "x" −1 x, Khi λn → "x" yn ~ y yeu theo σ (E, E ∗ ) Do 32 yn + y "y" ≤ liminf (xem M¾nh đe 2.3) M¾t khác, "y" = "yn" ≤ nên yn + y → Tù tính loi đeu ⇒ "yn − y" → Do đó, xn → x manh KET LU¾N Trong lu¾n văn em nghiên cúu m®t so van đe bán sau “Tơpơ yeu, tôpô yeu*, không gian phán xa, không gian tách đưac, khơng gian loi đeu”.Lu¾n văn mang tính tong qt em tìm hieu trình bày hồn van đe mà lu¾n văn đe c¾p Em xin gúi lòi cám ơn chân thành đen thay giáo Tran Văn Bang, thay khoa Tốn, thay to Giái tích Do thòi gian có han chưa có kinh nghi¾m cơng tác làm nghiên cúu khoa hoc nên khơng tránh khói nhung thieu sót Rat mong đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay cô ban đoc Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phn Hy (2005), Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc v ky thuắt, H Nđi [2] Nguyen Vn Khuờ, Lê M¾u Hái, Cơ só lý thuyet hàm giái tớch hm, I, II,Nxb Giỏo Dnc H Nđi [3] Nguyen Xn Liêm, Tơpơ đai cương - đ® đo tích phân,Nxb Giáo dnc [4] Hồng Tu¡, Hàm thnc giái tích hàm, Nxb Đai hoc Quoc gia Hà N®i [B] Tài li¾u tieng Anh [5] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2010 ... mó không gian Metric (gom cá không gian đ%nh chuan không gian Hilbert) đeu không gian tôpô Đ%nh nghĩa 1.3 [So sánh Tơpơ] Khi có hai khơng gian tơpơ τ, τr X ta nói tơpơ τ yeu tôpô τr (hay tôpô. .. 1.1 Không gian Tôpô 1.2 Ánh xa liên tnc 1.3 Không gian Banach .6 1.4 Tốn tú tuyen tính Chương Tơpơ yeu m®t so tính chat cúa không gian đ%nh chuan 2.1 Tôpô. .. không gian huu han chieu phán xa (Vì dim E = dimE∗=dimE∗∗) L p ( l p) khơng gian phán xa vói 1