Một số tính chất của không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh Đinh Huy Hoàng (a) , Phan Anh Tài (b) Nguyễn Đình Lập (c) Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi đa ra một số tính chất và mối liên hệ của các không gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, không gian đối xứng và chứng minh rằng một không gian o-mêtric mạnh (tơng ứng, o-mêtric Hausdorff) là không gian Frechet mạnh (tơng ứng, 4 -không gian). 1 Mở đầu Không gian mêtric là một không gian tôpô đặc biệt có rất nhiều tính chất và trực quan. Vì thế khi nghiên cứu các không gian tôpô tổng quát, ngời ta thờng xét các tính chất tơng tự nh không gian mêtric. Một trong những hớng nghiên cứu trong tôpô hiện đại là xây dựng những hàm tơng tự nh mêtric trên các không gian tôpô và nghiên cứu các tính chất sinh ra từ các hàm đó. Để xây dựng các hàm kiểu này, ngời ta mở rộng khái niệm mêtric bằng cách giảm bớt các điều kiện trong định nghĩa của nó. Với cách làm nh vậy, ngời ta thu đợc các khái niệm giả mêtric, nửa mêtric, o-mêtric, symmetric, và nghiên cứu các không gian bằng cách dựa vào các khái niệm này. Những ngời đạt đợc những kết quả đáng kể về những lĩnh vực đã nêu là A. V. Arhangel'ski, G. Gruenhage, K. B. Lee, Ja. A. Kofnor, S. Lin, Mục đích của chúng tôi là tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của các không gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, đối xứng, Đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản. 1.1. Định nghĩa. Giả sử V là một tập con của không gian tôpô X. V đợc gọi là lân cận dãy của x X nếu với mỗi dãy {x n } hội tụ tới x tồn tại n 0 N sao cho {x} {x n : n n 0 } V. 1.2. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet nếu với mỗi tập con A của X và x A tồn tại dãy {x n } trong A sao cho dãy {x n } hội tụ tới x. 1.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet mạnh nếu mỗi dãy giảm các tập con {A n } của X và x A n với mọi n N đều tồn tại dãy {x n } trong X sao cho x n A n với mọi n và {x n } hội tụ tới x. 1.4. Định nghĩa ([3]). Giả sử X là một không gian tôpô và d : X ì X R. Hàm d đợc gọi là một o-mêtric trên X nếu 1 Nhận bài ngày 29/5/2009. Sửa chữa xong 15/9/2009. (i) d(x, y) 0 với mọi x, y X, (ii) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y, (iii) Tập con U X là mở khi và chỉ khi d(x, X \ U) > 0 với mọi x U, trong đó d(x, X \ U) = inf{d(x, y) : y X \ U}. Hàm d đợc gọi là một o-mêtric mạnh nếu d là o-mêtric và với mỗi x X, với mỗi r > 0, hình cầu B(x, r) = {y X : d(x, y) < r} là một lân cận của x. Hàm d đợc gọi là một symmetric nếu d là o-mêtric và d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y X. Hàm d đợc gọi là một nửa mêtric nếu d là symmetric và với M X thì x M khi và chỉ khi d(x, M) = inf{d(x, y) : y M} = 0. Không gian tôpô X cùng với một o-mêtric (tơng ứng, o-mêtric mạnh, symmetric, nửa mêtric) d trên nó đợc gọi là không gian o-mêtric (tơng ứng, o-mêtric mạnh, đối xứng, nửa mêtric) và ký hiệu là (X, d) hoặc X nếu không cần chỉ ra d. 1.5. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là có tính chất (*) nếu với mỗi điểm không cô lập x của X đều tồn tại một dãy không tầm thờng (không là dãy dừng) trong X hội tụ tới x. 1.6. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X. Tập con Q của X đợc gọi là một cái quạt tại x của X nếu Q có thể biểu diễn dới dạng Q = {x} {{x nm : m N} : n N}, trong đó {x nm : m N} nN là vô hạn dãy rời nhau của X mà mỗi dãy hội tụ về x. Tập con C của quạt Q tại x đợc gọi là một đờng chéo của Q nếu C có giao với vô hạn dãy của quạt Q và đồng thời C là một dãy hội tụ về một điểm trong quạt Q. Không gian tôpô X đợc gọi là 4 -không gian nếu với mỗi x trong X, mọi cái quạt tại x đều có đờng chéo hội tụ về x. 2 Các kết quả chính 2.1. Mệnh đề. Giả sử X là không gian o-mêtric. Khi đó 1) Tập con U của X là mở khi và chỉ khi với mỗi x U tồn tại > 0 sao cho B(x, ) U. 2) Nếu {x n } X và x X sao cho d(x, x n ) 0 thì x n x. Chứng minh. 1) Giả sử U là tập mở trong X và x U. Khi đó theo định nghĩa của o-mêtric ắt tồn tại r > 0 sao cho d(x, X \ U) = r. Từ đó suy ra B(x, r 2 ) U. Ngợc lại, giả sử U là tập con của X sao cho với mỗi x U, tồn tại > 0 sao cho B(x, ) U. Khi đó với mọi y X\U ta có y / U. Do đó d(x, y) . Từ đó suy ra d(x, X\U) > 0. Theo định nghĩa của o-mêtric thì U là tập mở trong X. 2) Giả sử {x n } X, x X sao cho d(x, x n ) 0. Với bất kỳ lân cận U của x ắt tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) U. Vì d(x, x n )0 nên tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho d(x, x n ) < r với mọi n n 0 . Do đó x n B(x, r) U với mọi n n 0 . Vậy x n x. 2.2. Định lý. Không gian tôpô X là nửa mêtric khi và chỉ khi nó là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng. Chứng minh. Giả sử X là không gian nửa mêtric và d là nửa mêtric trên X. Khi đó, với mỗi x X và n N thì B x, 1 n là một lân cận của x. Thật vậy, đặt E = X\B x, 1 n . Ta có d(x, E) 1 n > 0. Do đó x / E, tức là x X\E và X\E là lân cận mở của x. Với mỗi y X\E ta có y / E, tức là y B x, 1 n . Từ đó ta có X\E B x, 1 n . Nh vậy B x, 1 n là lân cận của x. Bây giờ, với mỗi số dơng r, ắt tồn tại n N sao cho 1 n < r. Do đó B x, 1 n B(x, r). Nh vậy B(x, r) là lân cận của x. Từ đó suy ra X là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng. Ngợc lại, giả sử X là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng. Khi đó trên X có một symmetric d sao cho với mỗi x X và r > 0 tập B(x, r) là một lân cận của x. Ta chứng tỏ X là không gian nửa mêtric. Giả sử M X và x M. Lúc đó, với mỗi r > 0, B(x, r) M = , tức là tồn tại y B(x, r) M. Từ đó ta có 0 d(x, M) d(x, y) < r. Cho r 0 ta kết luận đợc d(x, M) = 0. Ngợc lại, giả sử x X sao cho d(x, M) = 0. Nếu x / M thì x X\M. Do đó tồn tại r > 0 sao cho d(x, M) d(x, M) r > 0. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ x M. Vậy X là không gian nửa mêtric. 2.3. Định lý. Nếu (X, d) là không gian o-mêtric sao cho từ x và dãy {x n } trong X thỏa mãn x B x n , 1 n với mọi n N đủ lớn suy ra {x n } hội tụ tới x thì X là không gian đối xứng. Chứng minh. Ta xác định hàm d : X ì XR bởi công thức d (x, y) = 0 nếu x = y min 1 inf { jN:x/B ( y, 1 j )} , 1 inf { jN:y/B ( x, 1 j )} nếu x = y. Rõ ràng d (x, y) 0, d (x, y) = d (y, x) với mọi x, y X và d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y. Để hoàn thành chứng minh định lý, ta chỉ cần chứng tỏ rằng U mở trong X khi và chỉ khi với mỗi x U đều có d (x, X\U) > 0. Giả sử U là tập mở trong X và x U. Khi đó, theo Mệnh đề 2.1 ắt tồn tại n 0 N sao cho B x, 1 n 0 U. Với mỗi y X\U thì y / B x, 1 n 0 . Do đó 1 inf j N : y / B x, 1 j 1 n 0 . (1) Giả sử d (x, X\U) = 0. Khi đó, với mỗi n N, n n 0 ắt tồn tại y n X\U sao cho d (x, y n ) < 1 n . (2) Nếu x / B y n , 1 n thì 1 inf j N : x / B y n , 1 j 1 n . (3) Từ (1) và (3) suy ra d (x, y n ) 1 n . Bất đẳng thức này mâu thuẫn với (2). Do đó x B y n , 1 n với mọi n n 0 . Theo giả thiết ta có {y n } hội tụ tới x. Điều này mâu thuẫn với y n X\U với mọi n n 0 . Từ đó suy ra d (x, X\U) > 0. Ngợc lại, giả sử U là tập con của X sao cho d (x, X\U) > 0 với mọi x U nhng U không mở trong X. Khi đó, tồn tại x U sao cho với mỗi n = 1, 2, . . . ta có B x, 1 n (X\U) = tức là với mỗi n = 1, 2, . . . tồn tại x n B x, 1 n (X\U). Từ x n B x, 1 n với n = 1, 2, . . . suy ra d (x, x n ) < 1 n . Kết hợp với x n X\U với n = 1, 2, . . . ta có d (x, X\U) = 0. Đây là một điều mâu thuẫn. Do đó, U là tập mở trong X. Vậy d là một symmetric và X là không gian đối xứng. 2.4. Định lý. 1) Nếu X là không gian o-mêtric mạnh, thì X là không gian Frechet mạnh. 2) Nếu X là không gian o-mêtric với o-mêtric d thỏa mãn d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z X thì X là không gian o-mêtric mạnh và đếm đợc thứ nhất. Chứng minh. 1) Giả sử X là không gian o-mêtric mạnh, {A n } là dãy các tập con giảm của X và x A n với mọi n N. Khi đó, với mỗi n N, vì X là không gian o-mêtric mạnh nên B x, 1 n là lân cận của x. Do đó A n B x, 1 n = với mọi n. Từ đó suy ra tồn tại {x n } X sao cho x n A n B x, 1 n với mọi n. Vì thế d(x, x n ) < 1 n , với mỗi n N. Cho n ta đợc d(x, x n )0. Theo Mệnh đề 2.1 thì x n x. Do đó X là không gian Frechet mạnh. 2) Đầu tiên, ta chứng minh hình cầu B(x, r) là tập mở với mỗi x X và r > 0. Với mỗi y B(x, r), đặt = r d(x, y). Vì d(x, y) < r nên > 0. Với mỗi z B(y, ) ta có d(y, z) < và do đó d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + r d(x, y) = r. Từ đó z B(x, r) và ta có B(y, ) B(x, r). Do đó, theo Mệnh đề 2.1, B(x, r) là tập mở trong X. Nh vậy, mỗi B x, 1 n là lân cận của x. Kết hợp với Mệnh đề 2.1 ta suy ra họ B x, 1 n : n = 1, 2, . . . là cơ sở lân cận đếm đợc tại x. Vậy X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất. 2.5. Bổ đề. Nếu X là không gian o-metric, Hausdorff thì B(x, r) là lân cận dãy của x với mọi x X và mọi r > 0. Chứng minh. Giả sử B(x, r) không là lân cận dãy của x. Khi đó tồn tại dãy {x n } trong X\B(x, r) sao cho {x n } hội tụ tới x. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết các x n đôi một khác nhau. Đặt E = {x 1 , x 2 , . . . }. Vì X là không gian Hausdorff nên E {x} là tập con đóng trong X. Do đó X\(E {x}) là tập mở. Giả sử y X\E. Nếu y = x thì B(y, r) = B(x, r) X\E. Nếu y = x thì y X\(E {x}). Vì X\(E {x}) là tập mở nên tồn tại > 0 sao cho B(y, ) X\(E {x}) X\E. Từ Mệnh đề 2.1 suy ra X\E là tập mở hay E là tập đóng. Điều này mâu thuẫn với {x n } E, {x n } hội tụ tới x nhng x / E. Vậy B(x, r) là lân cận dãy của x. Mệnh đề 2.1 chỉ ra rằng trong không gian o-mêtric từ d(x, x n )0 suy ra x n x. Vấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì từ x n x suy ra d(x, x n )0. Mệnh đề sau đây giải quyết vấn đề này. 2.6. Mệnh đề. Giả sử X là không gian o-mêtric Hausdorff và {x n } là dãy trong X. Khi đó, x n x X khi và chỉ khi d(x, x n )0. Chứng minh. Giả sử x n x. Khi đó, vì X là không gian Hausdorff nên với mỗi > 0, B(x, ) là lân cận dãy của x. Do đó tồn tại n 0 N sao cho x n B(x, ) với mọi n n 0 , tức là 0 d(x, x n ) < với mọi n n 0 . Từ đó suy ra d(x, x n )0 Điều kiện đủ của mệnh đề này là 2) của Mệnh đề 2.1. 2.7. Định lý. Nếu X là không gian o-mêtric, Hausdorff thì X là 4 - không gian. Chứng minh. Giả sử Q là một cái quạt tại x X và Q đợc biểu diễn dới dạng Q = {x} {{x n m : m N} : n N}, trong đó {x nm : m N} nN là đếm đợc các dãy rời nhau trong X và x nm x khi m; n = 1, 2, . . . Theo Bổ đề 2.5, mỗi B x, 1 n là một lân cận dãy của x. Từ đó suy ra với n N ắt tồn tại m n N sao cho x nm B x, 1 n với mọi m m n . Điều này chứng tỏ với mỗi n N thì {x nm : m N} B x, 1 n = . Nhờ đó ta xây dựng đợc dãy đờng chéo C = {y n : n N} của quạt Q nh sau: với mỗi n N chọn y n {x nm : m N} B x, 1 n . Khi đó, với mỗi n N thì C {x nm : m N} = , tức là C có giao với vô hạn dãy của Q. Giả sử U là một lân cận của x. Khi đó, tồn tại n 0 N sao cho B x, 1 n 0 U. Ta có y n B x, 1 n B x, 1 n 0 U, với mọi n n 0 . Do đó y n x. Nh vậy mỗi quạt tại x đều có đờng chéo hội tụ về x. Vậy X là 4 - không gian. 2.8. Định lý. Mọi không gian con của không gian o-mêtric mạnh đều là không gian o-mêtric mạnh. Chứng minh. Giả sử (X, d) là không gian o-mêtric mạnh và A X. Khi đó, hiển nhiên thu hẹp của d trên A thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) trong Định nghĩa 1.4. Hơn nữa, nếu B(x, r) là lân cận của x trong X thì B(x, r) A là lân cận của x trong A. Do đó để chứng minh định lý chỉ cần chứng tỏ rằng tập con U của A là mở trong A khi và chỉ khi d(x, A\U) > 0 với mọi x U . Giả sử U là tập mở trong A và x U. Khi đó, tồn tại tập mở G trong X sao cho U = G A. Vì G mở nên d(x, X\G) > 0. Do đó d(x, A\U) d(x, X\G) > 0. Ngợc lại giả sử U A sao cho d(x, A\U) > 0 với mọi x U. Giả sử U A = , tức là U intA (phần trong của A). Khi đó, với mỗi x U ta có d(x, A\U) > 0 và d(x, X\A) d(x, X\intA) > 0. Do đó, từ X\U = (A\U)(X\A) suy ra d(x, X\U) > 0 và ta kết luận đợc U là tập mở trong X. Vì thế U mở trong A. Giả sử U A = . Ta chỉ cần chứng tỏ tồn tại tập G mở trong X sao cho G A = U. Đặt E = {x A : tồn tại lân cận V của x, V (A\U) = }. Từ mỗi B(x, r) là lân cận của x trong X suy ra E A = E U = A U. Đặt G = (X\A) E U. Khi đó, G A = U. Lấy bất kỳ y G. Nếu y X\A thì hiển nhiên d(y, X\G) d(y, A) > 0. Giả sử y E. Khi đó tồn tại lân cận mở V của y sao cho V (A\U) = . Từ đó suy ra V (A\E) = bởi vì nếu tồn tại z V (A\E) thì từ z A\E suy ra V (A\U) = và ta có điều mâu thuẫn. Do đó d(y, (A\U) (A\E)) > 0. Cuối cùng, giả sử y U\E. Khi đó, từ E U = A U suy ra y là điểm trong của A. Do đó tồn tại 1 > 0 sao cho B(y, 1 ) intA. Mặt khác, vì y U nên d(y, A\U) > 0. Từ đó suy ra d(y, (A\U) A) > 0. Kết hợp với X\G (A\U) A ta có d(y, X\G) > 0. Nh vậy d(y, X\G) > 0 với mọi y G. Do đó G mở trong X. 2.9. Bổ đề. Mọi không gian o-mêtric đều có tính chất (*). Chứng minh. Giả sử X là không gian o-mêtric và x không là điểm cô lập trong X. Khi đó với mỗi n = 1, 2, . . . đều có B x, 1 n (X\{x}) = . Thật vậy, nếu tồn tại n 0 N sao cho B x, 1 n 0 (X\{x}) = thì d(x, X\{x}) 1 n 0 > 0, do đó {x} là tập mở và ta có điều mâu thuẫn. Từ B x, 1 n (X\{x}) = vi mi n = 1, 2, . . . suy ra tồn tại dãy {x n } X sao cho x n = x m nếu n = m và d(x, x n )0. Do đó x n x. Vậy X có tính chất (*). 2.10. Mệnh đề. Nếu X là không gian o-mêtric sao cho mỗi không gian con của X cũng là không gian o-mêtric thì X là không gian Frechet. Hơn nữa, nếu thêm giả thiết X là không gian Hausdorff thì X là không gian o-mêtric mạnh. Chng minh. Giả sử A X và x A. Ta chỉ cần chứng minh tồn tại dãy {x n } trong A, hội tụ tới x. Nếu x là điểm cô lập thì điều cần chứng minh là tầm thờng. Giả sử x không là điểm cô lập. Khi đó, theo giả thiết, A là không gian o-mêtric. Vì thế, theo Bổ đề 2.9, A có tính chất (*), nghĩa là tồn tại dãy {x n } trong A hội tụ tới x. Vậy X là không gian Frechet. Bây giờ, giả sử thêm X là không gian Hausdorff. Lấy x X và r > 0. Ta chỉ cần chứng tỏ B(x, r) là lân cận của x. Ký hiệu U là phần trong của B(x, r). Nếu x / U thì x (X\B(x, r)). Theo kết quả vừa chứng minh X là không gian Frechet nên tồn tại dãy {x n } trong X\B(x, r) hội tụ tới x. Mặt khác, theo Bổ đề 2.5, B(x, r) là lân cận dãy của x nên dãy {x n } nằm trong B(x, r) từ một lúc nào đó. Nh vậy, ta có điều mâu thuẫn. Từ đó suy ra x U và do đó B(x, r) là lân cận của x. tài liệu tham khảo [1] G. Gruenhage, E. Michael and Y Tanaka, Spaces ditermined by point-countable covers, Pacific J. Math., 113(2), 1984, 303 - 332. [2] Ja. A. Kofnor, On a new class of spaces and some problems of symmetrizability theory, Soviet Math. Dokl., 10, 1969, 845 - 848. [3] K. B. Lee, On certain g-rst countable space, Pacific J. of Math., 65, 1976, 113 - 118. [4] C. Liu, On weak bases, Topology and its Applications, 150, 2005, 91 - 99. [5] S. Lin and P. Yan, Point - countable k-networks, cs -networks and 4 -spaces, Topology Proc., 24, 1999, 345 - 354. [6] Y. Tanaka, Theory of k-networks II, General Topology, 19, 2001, 27 - 46. Summary Some properties of o-metrizable spaces and strongly o-metrizable spaces In this paper, we give some properties and relationships among o-metrizable spaces, strongly o-metrizable spaces and symmetrizable spaces, and prove that a strongly o-metrizable space (resp., o-metrizable Hausdorff space) is a strongly Frechet space (resp., 4 -space). (a) Khoa Toán, trờng Đại học Vinh (b) Trờng Đại học Sài Gòn (c) Trờng CĐSP Đồng Nai. . hệ của các không gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, không gian đối xứng và chứng minh rằng một không gian o-mêtric mạnh (tơng ứng, o-mêtric Hausdorff) là không gian Frechet mạnh (tơng ứng, 4 -không. x. Vậy X là 4 - không gian. 2.8. Định lý. Mọi không gian con của không gian o-mêtric mạnh đều là không gian o-mêtric mạnh. Chứng minh. Giả sử (X, d) là không gian o-mêtric mạnh và A X. Khi đó,. Một số tính chất của không gian o-mêtric và o-mêtric mạnh Đinh Huy Hoàng (a) , Phan Anh Tài (b) Nguyễn Đình Lập (c) Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi đa ra một số tính chất và mối