Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Tôpô yếu số không gian tổng quát Lời cảm ơn Khóa luận em hồn thành với bảo, hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ giải tích, thầy giáo khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Sim Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Tốn Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiến cứu khóa luận kết riêng thân, khơng có trùng lặp với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Sim MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Chương I Một số kiến thức chuẩn bị §1 Khơng gian tơpơ 1.1 Định nghĩa không gian tôpô 1.2 Tập đóng .Error! Bookmark not defined 1.3 Cơ sở, lân cận, sở lân cận 1.4 Điều kiện tương đương ánh xạ liên tục 1.5 Tôpô xác định họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff) .4 1.6 Tập hợp compact §2 Khơng gian Fréchet 2.1 Sơ chuẩn, nửa chuẩn không gian véctơ 2.2 Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương 2.3 Không gian Fréchet §3 Khơng gian Banach, không gian Hilbert 3.1 Không gian Banach 3.2 Không gian Hilbert .10 Chương II Tôpô yếu số không gian tổng quát 11 §1 Tơpơ yếu khơng gian Hilbert 11 1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 11 1.2 Sự hội tụ yếu không gian Hilbert .13 §2 Tơpơ yếu không gian Banach 14 2.1 Không gian liên hợp 14 2.2 Tôpô yếu .15 2.3 Không gian phản xạ 20 §3 Tơpơ yếu không gian véctơ tôpô 24 3.1 Tôpô yếu* σ ( * X ,X ) 24 3.2 Không gian tách 3.3 Áp dụng KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Tốn PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành tốn học xây dựng vào nửa đầu kỉ XX xem ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Phương trình vi phân… Trong q trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích luỹ nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành tốn học có liên quan có sử dụng đến cơng cụ Giải tích Ngồi ra, có ứng dụng vật lí lí thuyết số lĩnh vực khoa học khác Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành tốn học nói trên, mặt khác đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết kết ngành tốn học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu toán học tổng quát trừu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu mơn giải tích hàm, em chọn đề tài “Tôpô yếu số không gian tổng quát” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài thấy phong phú, đa dạng tôpô khác mà cụ thể tôpô yếu tôpô yếu* số khơng gian Thơng qua thấy vai trò quan trọng chúng nhiều vấn đề giải tích ứng dụng chúng vào lĩnh vực khác tốn học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Hồng Thị Sim Lớp K34C SP Tốn Hồng Thị Sim Lớp K34C SP Tốn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết tơpơ yếu khơng gian tổng quát để thấy thấy phong phú, đa dạng tôpô khác mà cụ thể tôpô yếu tôpô yếu* số không gian Thơng qua thấy vai trò quan trọng chúng nhiều vấn đề giải tích ứng dụng chúng vào lĩnh vực khác toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu - Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian Fréchet, không gian Banach, không gian Hilbert không gian véctơ tôpô - Các kiến thức liên quan đến tôpô yếu tôpô yếu* Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh… Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức liên quan đến tôpô yếu số không gian tổng quát Bố cục khóa luận Phần mở đầu Nội dung khoá luận gồm hai chương: Chương I Một số kiến thức chuẩn bị Chương II Tôpô yếu số khơng gian tổng qt Kết luận Hồng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Chương I Một số kiến thức chuẩn bị §1 Khơng gian tơpơ 1.1 Định nghĩa không gian tôpô Định nghĩa 1.1.1 Không gian tôpô cặp ( X ,τ ) , X tập hợp τ họ tập X thoã mãn điều kiện sau: i) X ∈τ ∅ ∈τ ii) Nếu Gα ∈τ  Gα ∈τ ,∀α ∈Λ α∈Λ iii) Nếu G j ∈τ ,∀j = 1, n n G j=1 j ∈τ 1.2 Tập đóng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử ( X ,τ ) không gian tôpô Tập S ⊂ X gọi tập đóng X phần bù CS = X tập mở \S X 1.3 Cơ sở, lân cận, sở lân cận Giả sử ( X ,τ ) không gian tôpô Định nghĩa 1.3.1 Một họ B ⊆ τ gọi sở tôpô τ ∀G ∈τ , ∃ B { i ⊂ B cho G = Bi i∈I i∈I Định nghĩa 1.3.2 Một tập N gọi lân cận x ∈ X tồn tập U cho x ∈U ⊂ N ∈ τ Định nghĩa 1.3.3 Một họ ℵ lân cận điểm x ∈ X gọi sở lân cận x với lân cận M x tồn N ∈ℵ cho N⊂ M 1.4 Điều kiện tương đương ánh xạ liên tục Định lý 1.4.1 Một ánh xạ f từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y liên tục có hai điều kiện đây: i) Nghịch ảnh (bởi f) tập mở (trongY ) tập mở (trong X ) ii)Nghịch ảnh (bởi f) tập đóng (trongY ) tập đóng (trong X ) 1.5 Tơpơ xác định họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff) Định nghĩa 1.5.1 Giả sử X tập hợp, {(Y τ )} s, s gian tôpô, { fs : X s ∈ S họ không họ ánh xạ từ tập hợp X vào không → Ys}s∈S gian tôpô Ys Khi tồn tơpơ yếu τ yếu X cho ánh xạ fs , s ∈ S liên tục Họ gồm tập hợp dạng n  fs i=1 i ,(i = 1, n) ∈ ( ), si ∈ τ si V si S,Vs −1 i sở tôpô tôpô τ Tôpô τ gọi tôpô đầu xác định họ ánh xạ { fs}s∈S Định nghĩa 1.5.2 Một không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff ∀x ∃Ox ,Oy ≠ y∈ X, ∈τ cho x ∈ Ox , Ox ∩ Oy y ∈O y = ∅ Ví dụ Khơng gian metric không gian Hausdorff Định lý 3.1.2 ( Định lí Banach-Alaoglu) Giả sử X * đối ngẫu không { gian Banach X Khi BX * = yếu* ∈ X : f f * * X 1} ≤ compact tôpô Chú ý Nếu cho trước tính compact khơng suy dãy compact Nó khơng gian metric hóa So sánh với định lí Riesz phát biểu hình cầu đơn vị khơng gian Banach compact mạnh số chiều hữu hạn Chứng minh định lí Banach-Alaoglu Định lí Tychonoff phát biểu tích khơng gian compact compact tơpơ tích Áp dụng định lí Tychonoff A = x tơpơtích Các phần tử A phép gán X ∏ B(0, compact ) x∈X x  g(x) Bởi vậy, chúng hàm số x thỏa mãn g(x) ≤ x X Giả sử □A tập A chứa tất hàm số tuyến tính Do đó, ta viết: □A =  A x, x, y∈ y X × Bλ ,x , đó: x∈X , λ∈R Ax, y = { f ∈ A : f (x) − f ( y) = 0} f (x + y) − Bx,λ = { f ∈ A : f (λ x) − λ f (x) = 0} Đây tập đóng tơpơ tích, □A tập đóng tập compact, □A compact tơpơ tích Nhưng tơpơ tích □A tơpơ yếu* Do đó: □A = B X * compact σ(X * , X )  3.2 Không gian tách Định nghĩa 3.2.1 X tách X có tập đếm được, trù mật Định lý 3.2.1 B X * metric hóa tơpơ σ(X * ) , X X tách được, với metric cho bởi: ∑ d ( f , g) = ∞ n=1 đó, dãy n {x n } Chú ý B X * 2n < f − g, xn > tập đếm được, trù mật X metric hóa khơng phải X * Hệ 3.2.1 Giả sử X tách được, giả sử fn} * X Khi đó, tồn dãy f { n dãy bị chặn { } hội tụ yếu* k n Chứng minh Chúng ta giả sử { fn } n ⊂ B * X Theo định lí Banach-Alaoglu, B X * compact yếu* Khi B hóa theo định lí 3.2.1, có X * metric  B * dãy compact X Định lý 3.2.2 Giả sử X không gian phản xạ {x n } n , X tồn dãy Chứng minh X phản xạ ⇒ dãy bị chặn {x } hội tụ σ nk k * (X,X ) B compact X Giả sử M = Bề rộng{x1, x2 , } Khi đó, M khơng gian Banach tách được, phản xạ Bởi vậy, B compact σ ( X , X *) Do đó, M rút dãy hội tụ  Chú ý Hai kết rằng, không gian phản xạ X , B đồng thời compact dãy compact X 3.3 Áp dụng 3.3.1 Không gian p L p Với < p < ∞ đối ngẫu p L ∫f n p' L + L với p p' = Liệu hội tụ yếu p p nào? Câu trả lời là: L ⇔ ∀g ∈ L ' , g→ ∫ fg p Nhớ lại định nghĩa hội tụ mạnh L ∫ fn − f p → Ví dụ 3.3.1.1 • Xét f (x) = sin nx { n∈Z n đoạn[0;1] Khi ∀g ∈C ∞ ([0;1]), ∫ sin nx.g(x)dx → 0 Do C ∞ trù mật yếu p' L , thấy sin nxy7ê →0 p L ( hội tụ yếu) • Mặt khác ln ∃C > Do { cho: ∀n, ∫ sin nx dx = C p L ( hội tụ mạnh) fn} Ví dụ 3.3.1.2 Với < p