Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm (LV00950)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN QUỐC VIỆT GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ long biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, chính nhờ tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo tận tình của thầy Khuất Văn Ninh đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của minh. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và long biết ơn các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Hà nội, tháng 7 năm 2013 Học viên Trần Quốc Việt LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riên tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn này là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà nội, tháng 7 năm 2013 Học viên Trần Quốc Việt Mục lục Mở đầu 01 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 03 1.1 . Không gian metric 03 1.2 . Nguyên lý ánh xạ co 07 1.3 . Không gian Banach 09 1.4 . Không gian Hilbert 12 1.5 . Toán tử đơn điệu 13 Chương 2 : Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu 20 2.1. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 20 2.2. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach 24 2.3. Áp dụng giải phương trình toán tử trong không gian 2 l 32 2.4. Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến 40 Chương 3: Ứng dụng phần mềm toán học vào giải số phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian 2 l 46 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo .55 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán giải phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn và ý nghĩa thực tiễn cao. Đặc biệt là phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn điệu x Ax f . Vì trong thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho bài toán chỉ có tính chất gần đúng do đó nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử luôn là vấn đề mà nhiều nhà toán học nghiên cứu và đề cập đến. Việc giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu luôn phụ thuộc vào không gian hàm chứa miền xác định của toán tử, hơn nữa việc xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ và đánh giá tốc độ hội tụ là việc rất cần thiết trong giải xấp xỉ phương trình toán tử. Bởi vậy tôi chọn đề tài là “Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm” để thực hiện luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết giải xấp xỉ phương trình toán tử trong các không gian hàm và một số ứng dụng của nó. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đề ra nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian hàm cụ thể. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu việc giải phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn diệu trong không gian Banach và Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu dã có, từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan đến đề tài. 2 6. Đóng góp mới của luận văn Giải xấp xỉ phương trình toán tử theo phương pháp thác triển theo tham số trên máy tính. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric 1.1.1. Định nghĩa không gian metric Cho X là một tập khác rỗng. Hàm : d X X được gọi là một khoảng cách (hay một metric) trên X nếu thỏa mãn các tiên đề sau: ) ( , ) 0, , ; ( , ) 0 .     i d x y x y X d x y x y ) ( , ) ( , ) , .  ii d x y d y x x y X ) ( , ) ( , ) ( , ) , , .   iii d x z d x y d y z x y z X Cặp ( , )Xd trong đó d là một khoảng cách trên X được gọi là một không gian metric. Sau này ta viết X thay cho ( , )Xd . 1.1.2. Hình cầu, lân cận trong không gian metric Cho không gian metric X . Tập hợp       , : ,  B a r x X d x a r , được gọi là hình cầu mở tâm a bán kính r Tập hợp       , : ,  B a r x X d x a r , được gọi là hình cầu đóng tâm a bán kính r Tập con VX được gọi là một lân cận của điểm 0 xX nếu tồn tại số 0r sao cho:   0 , B x r V Từ định nghĩa về lân cận ta suy ra hình cầu   0 ,B x r cũng là lân cận của 0 x . 4 1.1.3. Sự hội tụ trong không gian metric Giả sử   n x là một dãy điểm trong không gian metric X . Điểm x được gọi là giới hạn của dãy   n x nếu:   lim , 0   n n d x x Lúc đó ta nói dãy   n x hội tụ đến x và ký hiệu lim   n n xx . 1.1.4. Không gian metric đầy Cho không gian metric X . Dãy    n xX được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu:   0, : , , , .      nm n d x x n m     Nếu mọi dãy Cauchy trong không gian metric X đều hội tụ thì X được gọi là không gian metric đầy. 1.1.5. Ví dụ Ví dụ 1.1.1. Ký hiệu   ,ab C là không gian các hàm số liên tục trên đoạn   ,ab . Xét hàm     ,, :  a b a b d C C cho bởi:           , , , sup , , .      ab t a b d x y x t y t x y C Ta có không gian   ,ab C là không gian metric đầy. Thật vậy:   , , ab x y C ta có       0, , .  x t y t t a b       , sup 0.     t a b x t y t Vậy   , ( , ) 0, , ; ( , ) 0 .      ab d x y x y C d x y x y   , , ab x y C ta có                 ,, sup sup , , .       t a b t a b x t y t y t x t d x y d y x   ,t a b thì             .    x t z t x t y t y t z t 5 Từ đó ta có                   , , , sup sup sup .         t a b t a b t a b x t z t x t y t y t z t Tức là         , , , , , , , .    ab d x z d x y d y z x y z C Lại có, giả sử     ,  n ab xC là dãy Cauchy tùy ý, nghĩa là 0,  n   sao cho:       , n n , , , .         n p n x t x t p t a b   (1.1) Với mỗi   ,t a b ta có dãy số tương ứng     n xt là dãy Cauchy trong . Đặt     lim .   n n x t x t Trong (1.1) cho p ta có:       , , , .      n x t x t n n t a b   (1.2) Chứng tỏ hàm liên tục   n x hội tụ đều đến hàm x , do đó   ,  ab xC . Từ (1.2) suy ra   , , .   n d x x n n   lim .   n n xx Vậy   ,ab C là không gian metric đầy. Ví dụ 1.1.2. Ký hiệu     2 2* 12 1 , , , , | , , .           i i i i l x x x x x i x Xét hàm 22 : d l l cho bởi:   1 2 2 2 1 , , , .           ii i d x y x y x y l Ta có không gian 2 l là không gian metric đầy. Thật vậy Nhận xét rằng:         2 , 0; , 0 ; , , , , .      d x y d x y x y d x y d y x x y l Mặt khác 2 ,,x y z l thì áp dụng bất đẳng thức Minkovski dạng tổng ta có: 6   11 22 22 11 11 22 22 11 , i i i i i i ii i i i i ii d x y x y x z z y x z z y                                               , , , .  d x y d x z d z y Lại có, giả sử   n x là một dãy Cauchy trong không gian 2 l với   ,1 ,2 , ,  n n n x x x . Lúc đó ta có: ** 00 0, , , , :       n m n n k  2 2 ,, 1 .     m k n k k xx  (1.3) Suy ra ** 00 0, , , , :       n m n n k  ,, . m k n k xx  Vậy với mỗi * k bất kỳ thì dãy   ,nk x là một dãy Cauchy trong nên nó hội tụ. Đặt , lim , 1,2,   k n k n x x k và    k xx lúc đó ta có: Từ (1.3) cho m ta được: 2 2 ,0 1 , .        k n k k x x n n  lim .   n n xx Ta cần chứng minh 2 xl . Theo bất đẳng thức Minkovski ta có:   00 11 22 22 11                   k k n k n k kk x x x x   00 11 2 22 2 11                   k n k n k kk x x x 00 11 22 2 11                     k n k n k kk x x x [...]... Chương 2 Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu 2.1 Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 2.1.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert Giả sử X là không gian Hilbert trên trường số thực với tích vô hướng  ,  và A : X  X có miền xác định chuẩn sinh bởi tích vô hướng Toán tử D  A  X Xét phương trình có dạng x  Ax  f (2.1) Định nghĩa 2.1.1 (Toán tử đơn điệu trong. .. xn với n  C Dãy này sẽ chứa trong D  A và tnC 1  xn  x* với tốc độ 1  1  O  n  C  1 2   O  n 2        2.2 Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach Xét phương trình loại hai x  Ax  f (2.8) 2.2.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Banach Đinh nghĩa 2.2.1 ( Toán tử đơn điệu trong không gian Banach) Toán tử A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là đơn điệu. .. tử đơn điệu đều với   s   ms 2 15 + Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử d _đơn điệu đều với   s   ms + Nếu toán tử A đơn điệu đều thì toán tử A đơn điệu nghiêm ngặt + Nếu toán tử A là d -đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì A là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt 1.5.3 Một số khái niệm liên tục Toán tử đêmi liên tục Giả sử X ,Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ A : X  Y Ánh xạ... trên 0,  Toán tử đơn điệu đều Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là đơn điệu đều nếu: Au  Av, u  v    u  v  (1.8) Toán tử đơn điệu mạnh Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số m  0 sao cho: Au  Av, u  v  m u  v , u, v  X 2 (1.9) * Nhận xét: + Nếu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử đơn điệu đều với   s ... pháp giải xấp xỉ phương trình toán tử trong không gian Banach sau đây 28 Xét một họ tham biến các phương trình toán tử x   Ax  f , 0    1 (2.17) Với   0 ta có phương trình thường x  f Với   1 ta có phương trình (2.8) Nếu toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L thì ta có thể chọn  0  0 sao cho  0 L  1 Lúc đó rõ ràng phương trình x   0 Ax  f sẽ xác định một toán tử co... *  H , xét toán tử A : H  H Ta có A x   A y  , x  y   A  x   A  y  , x  y  Lúc đó A là toán tử đơn điệu trong không gian H khi và chỉ khi  A x   A y  , x  y   0, x, y  H 1.5.2 Một số khái niệm đơn điệu Toán tử d -đơn điệu Cho không gian định chuẩn X , toán tử A : X  X * gọi là d -đơn điệu nếu:  Au  Av, u  v    u     v   u  v  (1.7) Với  là hàm số tăng thật... không gian Banach và toán tử A : X  X Xét phương trình: x  Ax  f , f  X , (1.13) phương trình (1.13) được gọi là phương trình toán tử loại 2 Phương trình có dạng Ax  f , (1.14) Phương trình (1.14) được gọi là phương trình toán tử loại 1 Ví dụ 1.5.2 Cho không gian Banach X  Ca ,b , hàm số K  t , s  liên tục theo hai biến t , s trên  a, b   a, b Xét phương trình toán tử tích phân b x  t... Lipschitz với hằng số L  1 Suy ra 1 toán tử  0 AF11 FN1 trong phương trình (2.16) là toán tử co với hệ số co q   0 L  1 Vì vậy theo nguyên tắc ánh xạ co thì phương trình (2.16) có nghiệm duy nhất w với f tùy ý Như vậy phương trình ban đầu (2.15) tương đương với phương trình (2.16) cũng giải được duy nhất nghiệm với phần tử tùy ý f  Từ kết quả và phương pháp chứng minh của định lý (2.2.1) ta xét phương. .. trị xấp xỉ của y thu được nhờ quá trình lặp yn   0 AF11 yn1  f , (2.31) với sai số   n  Vì toán tử  0 A có hệ số co là q   0 L  1 nên sai số   n  trong việc cho đối số của toán tử  0 A tương đương với sai số q  n  trong việc cho vế phải của phương trình y   0 AF11 y  f Mặt khác vì toán tử F11 liên tục Lipschitz với hằng số L  1, nên mang sai số q  n  vào vế phải của phương. .. tương đương với  f  x   f  y . x  y   0; Hay hàm số f là hàm số đơn điệu tăng trên x, y  Định lý 2.1.1 Giả sử phương trình toán tử (2.1) thỏa mã các điều kiện: i) Phương trình có nghiệm x*  D  A  ; ii) x* là điểm trong của miền D  A ; 21 iii) A là toán tử đơn điệu từ D  A vào X Khi đó tồn tại hình cầu S  x* , r  với tâm x* , bán kính r và số dương K sao cho đối với số C tùy ý . tử đơn điệu 20 2.1. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 20 2.2. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach 24 2.3. Áp dụng giải phương trình toán tử trong không. - Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian hàm cụ thể. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu việc giải phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn. rất cần thiết trong giải xấp xỉ phương trình toán tử. Bởi vậy tôi chọn đề tài là Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm để thực hiện luận văn của