Toán tử tích phân loại hardy và các giao hoán tử của chúng trên một số không gian hàm

1. TÊNG QUAN V— V‡N — NGHI–N CÙU V€ L DO CHÅN — T€I Mët trong nhúng v§n · cèt lãi cõa gi£i t½ch i·u háa l  nghi¶n cùu t½nh bà ch°n cõa c¡c to¡n tû T tr¶n mët sè khæng gian h m v  mët sè khæng gian h m suy rëng jjTfjj Y  Cjjfjj ; (1) vîi C l  h¬ng sè n o â, X; Y l  hai khæng gian h m ho°c h m suy rëng vîi chu©n t÷ìng ùng l  jj
jj X ; jj
jj Y X . ¥y l  c¥u häi xu§t hi»n mët c¡ch tü nhi¶n trong c¡c nghi¶n cùu v· gi£i t½ch, lþ thuy¸t h m, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. Ch¯ng h¤n, ta x²t th¸ và Riesz J Vîi 1  p < d  v o khæng gian L v  q = q (R d J  (f)(x) = dp dp th¼ J  Z R d  f(y) jx yj cho bði cæng thùc d dy: (2) l  to¡n tû bà ch°n tø khæng gian L ). Mët ¡p döng trüc ti¸p cõa k¸t qu£ n y l  ành lþ nhóng Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, khæng gian W 1;p (R d ) ÷ñc nhóng li¶n töc v o trong khæng gian L q (R d ) vîi 1  p  q  p  , trong â Mët trong nhúng èi t÷ñng nghi¶n cùu ch½nh cõa luªn ¡n n y l  ¡nh gi¡ (1) cho mët lîp to¡n tû t½ch ph¥n v  giao ho¡n tû cõa chóng. Lîp to¡n tû n y chùa üng ho°c câ mèi li¶n h» mªt thi¸t vîi nhi·u to¡n tû cê iºn quan trång nh÷ to¡n tû Hardy, to¡n tû cüc ¤i Calderân, to¡n tû Riemann-Lioville tr¶n ÷íng th¯ng, tr÷íng hñp mët ph½a cõa to¡n tû th¸ và Riesz J nh÷ trong cæng thùc (2), bi¸n êi Abel. C¡c ÷îc l÷ñng d¤ng (1) cho lîp to¡n tû T nh÷ th¸ th÷íng ÷ñc gåi l  b§t ¯ng thùc Hardy, v  ÷ñc bi¸t ¸n nh÷ l  mët cæng cö húu ½ch trong nghi¶n cùu lþ thuy¸t v· c¡c to¡n tû elliptic. V· làch sû, b§t ¯ng thùc t½ch ph¥n Hardy v  d¤ng ríi r¤c cõa nâ ra íi kho£ng n«m 1920, li¶n quan ¸n t½nh li¶n töc cõa to¡n tû trung b¼nh Hardy giúa c¡c khæng gian L  p . Mët trong nhúng ëng lüc ch½nh d¨n tîi c¡c k¸t qu£ â ÷ñc xu§t ph¡t tø b§t ¯ng thùc Hilbert (xem [16, 43]). Nh  to¡n håc Hilbert, khi nghi¶n cùu nghi»m cõa mët sè ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, d¨n tîi b i to¡n nghi¶n cùu t½nh hëi tö cõa chuéi k²p d¤ng 6 1 p  = p 1 p (R d 1 d ) .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN THỊ HỒNG TOÁN TỬ TÍCH PHÂN LOẠI HARDY VÀ CÁC GIAO HỐN TỬ CỦA CHÚNG TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 1.1 Trường số p-adic 17 1.1.1 Chuẩn p-adic 17 1.1.2 Số p-adic 17 1.1.3 Không gian Qdp 18 1.2 Độ đo tích phân Qdp 19 1.3 Các không gian hàm 22 1.3.1 Không gian Lebesgue 22 1.3.2 Không gian Herz 24 1.3.3 Không gian Morrey-Herz 25 1.3.4 Không gian BMO 26 1.3.5 Không gian Morrey trường p-adic 27 1.3.6 Không gian tâm Morrey trường p-adic 28 Chương TOÁN TỬ P -ADIC HARDY-CESÀRO VÀ GIAO HỐN TỬ TRÊN CÁC KHƠNG GIAN KIỂU MOREY 30 2.1 Đặt vấn đề 30 p 2.2 Chuẩn tốn tử Uψ,s khơng gian kiểu Morrey 32 2.3 Giao hoán tử toán tử p-adic Hardy-Cesàro 37 2.3.1 Các giao hoán tử bổ đề bổ trợ 37 2.3.2 Các kết 38 2.3.3 Chứng minh kết 40 Chương TỐN TỬ ĐA TUYẾN TÍNH P -ADIC HARDY-CESÀRO VÀ GIAO HỐN TỬ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM P -ADIC 45 3.1 Đặt toán 45 3.2 Chuẩn toán tử đa tuyến tính p-adic Hardy-Cesàro tích khơng gian Lebesgue tích khơng gian kiểu Morrey 47 3.2.1 Một số khái niệm bổ đề 47 3.2.2 Các kết 49 3.3 Tính bị chặn giao hốn tử tốn tử song tuyến tính Hardy- Cesàro có trọng 54 3.3.1 Các giao hoán tử 54 3.3.2 Các kết 56 3.3.3 Chứng minh kết 57 Chương TỐN TỬ ĐA TUYẾN TÍNH HARDY-CESÀRO VÀ GIAO HỐN TỬ TRÊN TÍCH CÁC KHƠNG GIAN LOẠI HERZ 67 4.1 Đặt vấn đề 67 4.2 Tính bị chặn tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro tích khơng gian Herz Morrey-Herz 69 4.2.1 Một số khái niệm bổ đề 70 4.2.2 Các kết 71 4.2.3 Chứng minh kết 73 4.3 Giao hoán tử toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro 78 4.3.1 Các kết 78 4.3.2 Chứng minh kết 79 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Rd |x| |x|p Qp Qdp B(a, γ), Bγ S(a, γ), Sγ dx Lr Lrloc Lr (ω) không gian vectơ Euclid d-chiều chuẩn phần tử x Rd chuẩn p-adic số p-adic x trường số p-adic không gian véc tơ d chiều trường số p-adic hình cầu đóng tâm a, tâm bán kính pγ mặt cầu tâm a, tâm bán kính pγ độ đo Haar tập hàm khả tích bậc r Rd tập hàm khả tích địa phương bậc r Rd tập hàm khả tích bậc r Rd ứng với độ đo dµ = ωdx Zp Zp BM O(Rd ) BM O(Qd ) χ K˙ qα,p (ω) α,λ M K˙ p,q (ω) Lipβ (Rn ) Uψ Uψ,s m,n Uψ,s p Uψ,s p,m,n Uψ,s p,b Uψ,s tập số nguyên trường Qp tập số nguyên khác không trường Qp không gian hàm có dao động trung bình bị chặn Rd khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn Qd hàm đặc trưng nhóm cộng tính trường số thực hay trường số p-adic không gian Herz có trọng Rd khơng gian Morrey-Herz có trọng Rd khơng gian Lipschitz Rd tốn tử trung bình Hardy có trọng tốn tử Hardy-Cesàro có trọng Tốn tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng Tốn tử p-adic Hardy-Cesàro có trọng Tốn tử đa tuyến tính p-adic Hardy-Cesàro có trọng Giao hốn tử tốn tử Hardy-Cesàro có trọng p,m,n,b Uψ,s Giao hốn tử tốn tử đa tuyến tính p-adic HardyCesàro có trọng m,n,b Uψ, − → s Giao hoán tử toán tử đa tuyến tính Hardy-Cesàro có trọng MỞ ĐẦU TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Một vấn đề cốt lõi giải tích điều hòa nghiên cứu tính bị chặn tốn tử T số khơng gian hàm số không gian hàm suy rộng ||T f ||Y ≤ C||f ||X , (1) với C số đó, X, Y hai khơng gian hàm hàm suy rộng với chuẩn tương ứng || · ||X ; || · ||Y Đây câu hỏi xuất cách tự nhiên nghiên cứu giải tích, lý thuyết hàm, phương trình đạo hàm riêng Chẳng hạn, ta xét vị Riesz Jα cho công thức Jα (f )(x) = Rd f (y) dy |x − y|d−α (2) dp Với ≤ p < αd q = d−αp Jα tốn tử bị chặn từ khơng gian Lp (Rd ) vào không gian Lq (Rd ) Một áp dụng trực tiếp kết định lý nhúng Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, không gian W 1,p (Rd ) nhúng liên tục vào không gian Lq (Rd ) với ≤ p ≤ q ≤ p∗ , p1∗ = p1 − d1 Một đối tượng nghiên cứu luận án đánh giá (1) cho lớp tốn tử tích phân giao hoán tử chúng Lớp toán tử chứa đựng có mối liên hệ mật thiết với nhiều toán tử cổ điển quan trọng toán tử Hardy, tốn tử cực đại Calderón, tốn tử Riemann-Lioville đường thẳng, trường hợp phía tốn tử vị Riesz Jα công thức (2), biến đổi Abel Các ước lượng dạng (1) cho lớp toán tử T thường gọi bất đẳng thức Hardy, biết đến công cụ hữu ích nghiên cứu lý thuyết toán tử elliptic Về lịch sử, bất đẳng thức tích phân Hardy dạng rời rạc đời khoảng năm 1920, liên quan đến tính liên tục tốn tử trung bình Hardy khơng gian Lp Một động lực dẫn tới kết xuất phát từ bất đẳng thức Hilbert (xem [16, 43]) Nhà toán học Hilbert, nghiên cứu nghiệm số phương trình tích phân, dẫn tới tốn nghiên cứu tính hội tụ chuỗi kép dạng ∞ ∞ am b n Trong báo năm 1915 Hardy hội n=1 m=1 m + n ∞ ∞ a a m n tụ chuỗi tương đương với hội tụ hai chuỗi m + n n=1 m=1 ∞ n=1 ∞ an An n n=1 An n , An = a1 + · · · + an Do đó, ta thu dạng tích phân kết hàm f thuộc Lp (R+ ), với < p < ∞, Hf thuộc Lp (R+ ), Hf (x) = x x f (t)dt (3) Năm 1920 G Hardy [33] đưa bất đẳng thức tích phân sau ∞ x p x f (t)dt dx ≤ p p−1 p ∞ f p (x)dx (4) với < p < ∞, f hàm đo không âm (0, ∞), số số nhỏ thoả mãn bất đẳng thức (4) p p−1 Toán tử Hardy trường hợp riêng lớp toán tử Hausdorff, xuất tốn nghiên cứu tính khả tổng cho chuỗi số, chuỗi luỹ thừa với cơng trình mang tính móng Siskakis Liflyand-Móricz [45] Trên trường thực, tốn tử Hausdorff có dạng sau HΦ,A (f )(x) = Φ(u)f (xA(u))du (5) Rd với Φ hàm đo Rd A = A(u) = (aij (u)) ma trận cấp d×d aij (u) hàm đo theo biến u Đặc biệt, Φ(u) = χ[0,1] (u), A(u) = u HΦ,A trở thành toán tử Hardy cổ điển đề cập Một câu hỏi tự nhiên đặt ra, với không gian X, Y với điều kiện Φ, ma trận A (1) với T = HΦ,A Hơn nữa, số tốt C (1) bao nhiêu? Câu hỏi thứ từ lâu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới số kết gần õy ca K Andersen, E Liflyand, F Măoricz, D.S Fan [3, 8, 45, 46] Tuy nhiên điều kiện cần tính bị chặn đưa chưa điều kiện đủ câu hỏi số tốt trường hợp khơng dễ trả lời Với câu hỏi thứ hai việc xác định số tốt ước lượng dạng (1) cho lớp tốn tử trung bình có hai hướng: Thứ cho lớp tốn tử trung bình hình cầu có dạng H(f )(x) = Ωd |x|d x ∈ Rd \ {0} f (y)dy, (6) |y|