Toán tử tích phân loại hardy và các giao hoán tử của chúng trên một số không gian hàm tt

Bậ GIO DệC V O TO TRìNG I HC Sì PHM H NậI * NGUYN TH HầNG TON T TCH PH…N LO„I HARDY V€ C•C GIAO HO•N TÛ CÕA CHĨNG TRN MậT Sẩ KHặNG GIAN HM Chuyản ng nh: Phữỡng trẳnh vi phƠn v tẵch phƠn M số: 9.46.01.03 TM T•T LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC H Nëi - 2019 Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi: Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH Nguyạn Minh Chữỡng TS H Duy H÷ng Ph£n bi»n 1: GS TSKH Vơ Ngåc Ph¡t, Vi»n To¡n håc, Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cỉng nghằ Viằt Nam PhÊn biằn 2: PGS TS KhuĐt Vôn Ninh, Trữớng PhÊn biằn 3: PGS TS TrƯn ẳnh Ká, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi Luên Ăn s ữủc bÊo vằ trữợc Hởi ỗng chĐm luên Ăn cĐp Trữớng hồp tÔi Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi v o hỗi giớ ng y thĂng nôm Cõ th tẳm hiu luên Ăn tÔi thữ viằn: Thữ viằn Quốc Gia, H Nởi hoc Thữ viằn Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nëi dp d p MÐ †U LÀCH SÛ V‡N — V€ LÞ DO CHÅN — T€I Mët nhỳng vĐn ã cốt lói cừa giÊi tẵch iãu hỏa l nghiản cựu tẵnh b chn cừa cĂc toĂn tỷ T tr¶n mët sè khỉng gian h m v mët sè khæng gian h m suy rëng (1) jjT fjj Cjjfjj ; Y X vợi C l hơng số n o â, X; Y l hai khæng gian h m hoc h m suy rởng vợi chuân tữỡng ựng l jj jjX ; jj jjY ¥y l c¥u häi xuĐt hiằn mởt cĂch tỹ nhiản cĂc nghiản cựu vã giÊi tẵch, lỵ thuyát h m, phữỡng trẳnh Ôo h m riảng Chng hÔn, ta xt toĂn tỷ Riesz J cho bði cỉng thùc h¼nh thùc Z y) J (f)(x) = Rd f( dy (2) j j x Vỵi p< d v q= th¼ J p d q d bà ch°n tø L (R ) v o L (R ) Mët ¡p dưng yd trüc ti¸p k¸t qu£ n y l nh lỵ nhúng Sobolev-Gagliardo-Nirenberg: khổng gian 1;p d q d W (R ) ữủc nhúng liản tửc v o L (R ), vỵi p q p , â p =p d Mởt nhỳng ối tữủng nghiản cựu chẵnh cừa luên Ăn n y l nghiản cựu (1) cho mởt lợp toĂn tỷ tẵch phƠn v giao hoĂn tỷ cừa chóng Lỵp to¡n tû n y chùa üng ho°c câ mối liản hằ mêt thiát vợi nhiãu toĂn tỷ cờ iºn quan trång nh÷ to¡n tû Hardy, to¡n tû cüc Ôi Calderõn, toĂn tỷ Riemann-Lioville trản ữớng thng, trữớng hủp mởt chiãu cừa toĂn tỷ J nõi trản CĂc ữợc lữủng dÔng (1) õ văn thữớng gồi l bĐt ng thực Hardy Vã lch sỷ, bĐt ng thực tẵch phƠn Hardy v dÔng rới rÔc cừa nõ ới khoÊng nhỳng nôm 1920, liản quan p án tẵnh liản tưc cõa to¡n tû trung b¼nh Hardy giúa c¡c khỉng gian L Mởt nhỳng ởng lỹc chẵnh dăn tợi cĂc kát quÊ õ ữủc xuĐt phĂt tứ bĐt ¯ng thùc Hilbert Nh to¡n håc Hilbert, nghi¶n cựu nghiằm cừa mởt số phữỡng trẳnh tẵch phƠn, dăn tợi b i toĂn nghiản cựu tẵnh hởi tử cừa chuội kp PP a mb n dÔng n=1 m=1 m + n Trong b i b¡o n«m 1915 cừa mẳnh Hardy  ch sỹ hởi tử cừa chuội nP P 1 tữỡng ữỡng vợi sỹ hëi tö cõa hai chuéi sau aman m+n =1 m=1 n=1 X An v a nn A n=1 nn X ; â An = a1 + + an Tứ Ơy dăn tợi dÔng tẵch phƠn cừa kát quÊ n y chẵnh l : p + p + n¸u mët h m f thuëc L (R ), vợi < p < thẳ Hf cụng thuởc L (R ), â Hf(x) = x f(t)dt: x Z0 Nôm 1920 G Hardy  ữa bĐt ng thực tẵch phƠn sau Ơy x f(t)dt p p Z0 fp(x)dx: p Z x (4) p dx Z0 (3) vỵi < p < 1, f l h m o ữủc khổng Ơm trản (0; 1), v h¬ng sè p l sè p nhọ nhĐt thoÊ mÂn ToĂn tỷ Hardy l mởt trữớng hủp riảng cừa lợp toĂn tỷ Hausdorff, xuĐt hiằn cĂc b i toĂn nghiản cựu tẵnh khÊ tờng cho chuội số, chuội lu thứa vợi cĂc cổng trẳnh mang tẵnh nãn mõng cừa Siskakis v cừa Liflyand-Mõricz Trản trữớng thỹc, toĂn tỷ Hausdorff cõ dÔng sau (5) Z (u)f(xA(u))du H ;A(f)(x) = d R d vỵi l h m o ữủc trản R v A = A(u) = (aij(u)) l ma cĐp d d õ aij(u) l h m o ữủc theo bián u: c biằt, (u) = [0;1](u), A(u) = u th¼ H ;A tr th nh toĂn tỷ Hardy cờ in nhữ  ã cêp trản Mởt cƠu họi tỹ nhiản t ra, vỵi c¡c khỉng gian X; Y n o v vợi cĂc iãu kiằn n o cừa , ma A thẳ (1) úng vợi T = H ;A Hỡn nỳa, õ thẳ hơng số tốt nhĐt C (1) l bao nhiảu? CƠu họi thự nhĐt tứ lƠu ¢ thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n hồc trản thá giợi v cõ th ch mởt số kát quÊ gƯn Ơy cừa K Andersen, E Liflyand, F Moricz, D.S Fan Tuy nhiản cĂc iãu kiằn cƯn vã tẵnh b chn ữủc ữa chữa hn l iãu kiằn v cƠu họi vã hơng số tốt nhĐt mội trữớng hủp õ ãu khổng trÊ lới Vợi cƠu họi thự hai vã viằc xĂc nh hơng số tốt nhĐt cĂc ữợc lữủng dÔng (1) cho cĂc lợp toĂn tỷ trung bẳnh cõ hai hữợng: Thự nhĐt l cho lợp toĂn tỷ trung bẳnh trản hẳnh cƯu cõ dÔng Z H(f)(x) = d xd d (6) f(y)dy; x R n f0g: jj jyj d vỵi méi j = 1; : : : ; m q q (3.2) ; m : (3.3) m °t q Y ! =1 qk k (x); (3.4) p â ta câ ! W ành ngh¾a 3.2 Cho c¡c h m trång !k W (!1; : : : ; !m) thäa m¢n p p k ; k = 1; : : : ; m Ta nâi r¬ng i·u ki»n W! n¸u m Y !(S0) k=1 q !k(S0) qk : (3.5) p V½ dư 3.1 Cho c¡c h m trång !k W ; k = 1; : : : ; m vỵi !k(x) = jxj k vỵi k p Trong to n bë ch÷ìng n y, s1; : : : ; sm l c¡c h m ! ta k½ hi»u bði l vectì s (s1; : : : ; sm) o ÷đc tø Z ? n p v o Qp v 14 Bờ ã dữợi Ơy l mët v½ dư cho h m thc khỉng gian Lr!(Qdp) Bê · 3.1 Cho ! W ; > d v > Khi â, c¡c h m fr; (x) = d+ r thäa m¢n jsk(t1; : : : ; tn)jp minfjt1jp ; : : : ; jtnjp g óng vỵi måi ? n k = 1; : : : ; m v vỵi (t1; : : : ; tn) Z p hƯu kh-p nỡi Khi õ tỗn tÔi mởt hơng số C cho bĐt ng thực sau q d jj m (f1 ; : : : ; fm) jj L! (Qp ) Up;m;ns Y C ;! Z A (Zp) d+ k j Y := ! j k=1 ? n Hìn núa, qk (t)dt < : sk(t) p q d (3.7) A L!1 (Qp)L!m (Qp) Up;m;n;s (3.6) ch úng vợi bĐt ký h m o ữủc f1; : : : ; fm v m k=1 jjfkjjLq!kk (Qdp) qm d = : Nhên xt 3.2 Vợi m = n = ta nhên ữủc nh lỵ 3.1 cừa Hung(2014) Lữu ỵ rơng bĐt ng thực (13) cho hai dÂy số thỹc khổng Ơm, l hằ quÊ trỹc tiáp cừa nh lỵ 3.1 cừa Hung(2014) nh lẵ 3.2 Cho q; qk < 1; ; k; k l c¡c sè thäa m¢n (3.2), (3.3) p cho q k < k < vỵi k = 1; : : : ; m Gi£ sû r¬ng (!1; : : : ; !m) thäa m¢n i·u ki»n W! t = GiÊ thiát rơng d+ Z B= 1+ + d +d + d+ m m: m kY (Zp?)n =1 (d+ k) jsk(t)jp k (t)dt < 1; (3.8) 15 m v (!(B0)) d vợi B0 l hẳnh cƯu fx Qp ¯ng thùc sau Y 1+ q q =1 : jxjp ; ! m (!k(B0)) ; qk (3.9) 1g Tỗn tÔi mởt hơng số C cho b§t q; jj U p;m;n(f ; : : : ; f )jj s 1+ kqk k d Qp L! ( ) Y C m jjf jj k=1 q ; !kk k k L (Qdp) ; (3.10) úng vợi bĐt ký h m c¡c o ÷đc f1; : : : ; fm Hỡn nỳa hơng số tốt nhĐt C (3.10) bơng B nh lẵ 3.3 Cho q; qk; ; k; k l cĂc số thọa mÂn cĂc iãu kiằn nhữ nh lỵ 3.2 v cĂc iãu kiằn (3.2), (3.3) cụng ữủc thọa mÂn GiÊ sỷ rơng (! 1; ; !m) p;m;n p thäa m¢n i·u ki»n Khi â U ÷đc x¡c ành nh÷ mët to¡n tû bà ch°n ;s W! _ tø B!1 q ; ! d 1 _ q ; d m m (Qp)B!m (Qp) v o B! jj Up;m;n ;! s _ jj d q ; 1 B!1 _ q; _ (Qp) d (Qp) Hìn núa, d q ; m m B !m (Qp) ! B! _ q; d (Qp) =B : (3.11) Nhªn x²t 3.3 Tr÷íng hđp m = n = tø nh lỵ 3.2 v 3.3 ta thu ữủc nh lỵ 2.1 chữỡng cừa luên Ăn n y 3.3 T½nh bà ch°n cõa giao ho¡n tû cõa to¡n tû song tuyán tẵnh Hardy- Ces ro cõ trồng Trản trữớng p adic, giao hoĂn tỷ cừa toĂn tỷ tẵch phƠn kiu Hardy  ữủc nghiản cựu bi cĂc tĂc giÊ nhữ Fu, Lu, Wu, Chuong, Hung, é Ơy chúng tổi cơng nghi¶n cùu giao ho¡n tû cõa to¡n tû song tuyán tẵnh p-adic Hardy- Ces ro p;2 ;n q d cõ trồng U ! vợi biu trững CM O! Q p ;s 3.3.1 C¡c giao ho¡n tû v bê · bê trđ Chóng tỉi ành ngh¾a cõa giao hoĂn tỷ cừa toĂn tỷ song tuyán tẵnh p-adic Hardy- Ces ro cõ trồng nhữ sau: ?n ?n nh nghắa 3.3 Cho n N; : Z ! [0; 1); s1; s2 : Z ! Qp; b1; b2, l p p Giao hoĂn tỷ cừa toĂn tỷ song tuyán tẵnh p-adic Hardy- Ces ro câ trång U p;n s ;! ÷đc ành ngh¾a nh÷ sau: Up;n; (f ; f )(x) = ! ;! s b Z (Zp) = ! k=1 Y ? n ! k=1 Y fk(sk(t)x) (bk(x) bk(sk(t)x)) (3.12) (t)dt: 16 °t Z C D Z = k=1 k=1 Y Y ! j p ! j log k=1 sk(t) Y (d+ ) k k p sk(t) p (3.13) (t)dt: ! j (d+ k) k sk(t) ? n ?n j j = j (Zp) (Z p) (t)dt: p (3.14) Nhªn x²t 3.4 D2 < khæng suy C2 < Nhên xt 3.5 Ngữủc lÔi, C2 < cụng khổng suy ữủc D2 < 3.3.2 CĂc kát quÊ ch½nh ành l½ 3.4 Cho < q < < 1; < pk < 1; qk 1= + p 1 k < k < 0; k = 1; cho + + ; q q q q1 v v = + Gi£ thiát rơng !(x) = !1 q +p1 ! k Y q ; = q1 q q1 + p + q2 q + q2 p 2 1+ q !(B0) q + p2 q2 1+ kqk !k(B0) q k + p k : = d p1 (i) Náu cÊ C2 v D2 hỳu hÔn thẳ vợi bĐt ký cĂc h m b = (b1; b2) CBMO!1 p db CBMO!2 (Qp) â U p;n; _ ! q ; d 1 bà ch°n tø B!1 ;! _ B (Q p ) q ; 2 !2 (Q p ) _ q; d (Q p ) v o B! d (Qp): s (ii) N¸u vợi bĐt ký b = (b1; b2) q ; q ; p1 d CBMO!1 (Q p ) db p2 p;n; CBMO!2 ! bà ;! (Q p ), U s _ q; d !2 ch°n tø B!1 (Qp) (Qp) v o B! (Qp) thẳ D2 hỳu hÔn < k < 0; k = 1; cho H» qu£ 3.1 Let < q < qk < 1; < pk < 1; _ 1 d _ B 2 d pk =1 q v q1 q2 p1 = + Hỡn nỳa giÊ thiát rơng jsk(t)jp hkn vợi t U ch náu D2 hỳu hÔn ? n s p;n; Khi â ; ! Zp ho°c bà ! chn tứ Thêt vêy, vẳ jxjp > nản jxjp p, â ta câ D2 (log p) C2 Vªy hằ quÊ 3.1 ữủc suy trỹc tiáp tứ nh lỵ 3.4 17 Chữỡng TON T A TUYN TNH HARDY-CESRO V GIAO HON T TRN TCH CC KHặNG GIAN LOI HERZ Trong chữỡng n y chúng tổi nghiản cựu toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro trản tẵch c¡c khỉng gian Herz v t½ch c¡c khỉng gian Morrey-Herz Ưu tiản chúng tổi t vĐn ã nghiản cựu b i toĂn Tiáp theo sỷ dửng phữỡng phĂp cừa Xiao(2001) v  ữủc vên dửng nhiãu cổng trẳnh khĂc nhữ Fu, Wu, Hung, Ky , cĂc kắ thuêt tứ giÊi tẵch a tuyán tẵnh, chúng tổi thu ữủc tẵnh b chn cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro trản tẵch cĂc khổng gian Herz v tẵch cĂc khỉng gian Morrey-Herz Ci còng düa v o ph÷ìng ph¡p bián thỹc cừa Coifman-Rochberg-Weiss(1976), phữỡng phĂp Ănh giĂ giÊi tẵch a tuyán tẵnh, v lữủc ỗ nghiản cựu  ÷đc h¼nh th nh cõa Fu, Gong, Lu, Yawn, v °c bi»t cõa Hung, Ky, chóng tỉi chùng minh giao ho¡n tû cõa to¡n tû n y bà ch°n tứ tẵch cĂc khổng gian tƠm Morrey v o khổng gian tƠm Morrey vợi biu trững khổng gian Lipschitz Nởi dung cừa chữỡng n y l dỹa trản b i bĂo danh mửc cổng trẳnh  cổng bè 4.1 °t v§n · B i to¡n °t l nghiản cựu toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng trản tẵch cĂc khổng gian Herz v khổng gian Morrey-Herz Dữợi Ơy l nh nghắa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng ữủc ữa bi Hung v Ky(2015) n n c¡c h m o Cho m; n N; : [0; 1] ! [0; 1), s1; : : : ; sm : [0; 1] ! R l m;n ữủc ToĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng U , ữủc nh nghắa bi s Z n k=1 ! ;! m ! [0;1] k k ;! U m;n f : : : ; f m ), ! s ! vỵi f 1; = (f s = (s (x) = 1; f : : : ; sm ) : (s (t)x) (t)dt; (4.1) 18 4.2 T½nh b chn cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro trản tẵch cĂc khổng gian Herz v Morrey-Herz 4.2.1 Mởt số khĂi niằm v bờ ã Chúng tổi nh-c lÔi nh nghắa cừa lợp h m trồng thuƯn nhĐt giợi thi»u bði Chuong v Hung(2014) ành ngh¾a 4.1 Cho l mởt số thỹc bĐt ký t W l têp tĐt c£ c¡c h m d d ! x¡c ành tr¶n R , l cĂc h m o ữủc thọa mÂn !(x) > hƯu kh-p nỡi vợi x R , < (y)d (y) < 1, v h m thuƯn nhĐt tuyằt ối bêc , nghắa l R ! Sd d !(tx) = jtj !(x), vỵi måi t R n f0g; x R : Chú ỵ rơng W = W chùa t§t c£ c¡c h m trång lơy thøa !(x) = jxj S º cho thuªn tiằn chúng tổi ữa v i kẵ hiằu chung cho c£ möc n y Cho c¡c sè thüc, > 0; ; ; 1; : : : ; m l 1; : : : ; m > d, < p < 1, thäa m¢n q < 1, pi; qi = 1; : : : ; m v ; 1; : : : ; m < vỵi i 1 + + p = 1p ; q1 +q1 + + q = 1q ; +p 1+ 2+ + m = ; p 1 q1 + + + ( = ; m d m + + + m = : Sd = fx R : jxj = 1g vỵi måi i = 1; : : : ; m, °t d : C¡c h m !i thuëc v o lỵp W i 2) d q2 Sd = m qm q q m ! qi (x): !(x) = Yi i = (4.2) n Vỵi c¡ch ành nghắa cừa ! nhữ trản ta thĐy ! W (f ) Bê · 4.1 Cho p v Khi â ta câ k k l c¡c h m khỉng ¥m v f (t)dt [0;1]n k k=1 p X fkp(t) k=1 Zn Z Bê ã 4.2 Náu f MK _; (!) thẳ p;q k@ kkq;! f ! dt 1p 1=p X [0;1] B o ữủc trản [0; 1] : C k( ) f A ; k kMK_p;q (!) 4.2.2 C¡c k¸t qu£ ch½nh n ành l½ 4.1 (i) Cho s1(t); : : : ; sm(t) 6= h¦u kh-p nìi [0; 1] v A1 = Z n i=1 m jsi(t)j i d qi i+ i ! + (t)dt < 1: (4.3) [0;1] Y 19 Gi£ sû r¬ng p < hoc < p < v ẵt nhĐt mët sè c¡c 1; : : : ; m l dữỡng thẳ m ! k k i m;n ; kU !( f )kMK_ (!) fi C; _ i i (! ) : (4.4) !! Y pi;qi ; ;s vỵi A p;q MK i=1 m = C; ! k=1 ! Q > > < j k k mj n¸u p < +1 1=p jk j k +1 < p < v> 0: n¸u k=1 (2 p 1) Q > > : vỵi i = 1; : : : ; m Gi£ sû r¬ng m ; _ i i Q _ ; i MK pi;qi (!i) v o MKp;q (!) =1 (ii) Ngữủc lÔi cho < p < 1, < i < m;n U ÷đc x¡c ! ;s ành nhữ mởt toĂn tỷ b chn tứ thẳ (4.3) úng v m;n kU !k m ;s Q i=1 vỵi m D =i p =1 ;! 1=p (2 i i 1) Q (2 p _ MK 1)1=p pi;qi ( (1 ! _ q( i i i m 1=q ) ) 1=qi Q (qi( i i)) ) ) 1=q ; ;! (q( i=1 m ))1=q i i Q m d jsi(t)j i=1 qi ! i U m;n s k ( ! A k=1 _ f) (!) ;p Kq i K iQ ch°n tø =1 ;p i (!i) qi v n o Kq m;n _ ;p +1 jk j kk fi i _ : i t k !k (4.7) i (!i) ; : : : ; t g vỵi i = 1; : : : ; m v U m;n bà n ;p i i Y s m K _ qi (!i)!K _ ;p q A (!) (4.8) E ; Q =1 ðâ ! m 1=p 1=p E = (mp) Q i p i i q 1=q q ;! (!) th¼ (4.6) óng v ;s U (4.6) Kq n m i=1 Y (ii) Gi£ sû r¬ng j s (t ; : : : ; t ) j minf i i + m k ;! _ (!i(Sd)) (t)dt < 1; i Y [0;1] m Q =1 Zn A2 = th¼ 1=q p < 1, s1(t); : : : ; sm(t) 6= h¦u kh-p nìi [0; 1] v : 1=q (!(Sd)) i=1 ành l½ 4.2 (i) N¸u (4.5) ! A (!i)!MK p;q (!) q( m i D ; i; i m i=1 Y 2qi i 1=qi 1=q m (! (S ))1=qi qi (!(Sd)) i Q i d : =1 i=1 20 Nhªn x²t 4.1 Khi = = m = ta thu ữủc tẵnh b chn v chuân cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro trản tẵch cĂc khổng gian Lebesgue Tuy nhiản cĂc kát quÊ n y khổng tốt bơng cĂc kát quÊ Â thu ữủc cừa Hung, m;n Ky(2015) Trong ành l½ 3.1 cõa Hung, Ky(2015) ch rơng chuân cừa U tứ L v o L chẵnh xĂc bơng L!m !1 ! p1 pm p [0;1]n i=1 R s ;! jsi(t)j m d+ i i Q q (t)dt: i Nhên xt 4.2 Tứ kát quÊ cừa nh lỵ 4.2 suy ra, trữớng hủp tỗn tÔi hơng số dữỡng cho jsi(t1; : : : ; tn)j minft1 ; : : : ; tng vỵi i = 1; : : : ; m (lữu ỵ trữớng hủp toĂn tỷ H m thẳ iãu kiằn n y tỹ ởng ữủc thoÊ mÂn), thẳ ; m m;n _ i i _ ; U ! ÷đc x¡c ành nh÷ mët to¡n tû bà ch°n tø (!) p ;q i MK ; s thẳ iãu kiằn cƯn v l A2 hỳu hÔn Hằ quÊ n i=1 Q i (! ) v o MK p;q i ành lỵ y, chựa hai kát quÊ l v nh lỵ cừa Gong, Fu v Ma(2014), hỡn nỳa thu ữủc iãu kiằn cƯn, cĂc tĂc giÊ phÊi giÊ thi¸t = = m, p1 = = pm v q1 = = qm, nhiản kát quÊ cừa chúng tổi khổng cƯn cõ giÊ thiát õ Tữỡng tỹ nhữ vêy cho kát quÊ cừa Morrey-Herz, cĂc kát quÊ cừa chúng tổi thu ữủc nh lỵ 4.1 l thỹc sỹ l m mÔnh cĂc kát quÊ trữợc õ cừa Gong, Fu v Ma Nhên xt 4.3 nh lỵ 4.1 xem x²t c£ tr÷íng hđp < p < 1, ỵ tững tiáp cên trữớng hủp n y ữủc chóng tỉi tham kh£o tø cỉng tr¼nh cõa J Kuang(2008), â t¡c gi£ ¡nh gi¡ chu©n cõa to¡n tû V khổng gian Herz Chẵnh vẳ vêy kát quÊ cừa chúng tổi l m rởng hỡn v mÔnh hỡn vợi kát quÊ tữỡng ựng thu ữủc cừa Gong, Fu, Ma(2014) v l m rởng cho trữớng hủp a tuyán tẵnh cừa cĂc cổng trẳnh cừa Kuang, Liu, Fu, Chuong, Duong, 4.3 Giao ho¡n tû cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro Giao ho¡n tû cõa to¡n tû a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro U m;n , theo nghắa cừa s ;! Coifmann-Rochberg-Weiss, ÷đc x¡c ành nh÷ sau Z ;! Um;n; s n ! b m f m Y (x) := ! ! ! k=1 k=1 f (s (t)x) k k Y (b (x) k b k (s (t)x)) (t)dt: k (4.9) Dỹa theo ỵ tững cừa Tang, Xue, Zhou(2011), chúng tổi s xem xt cĂc biu trững thuởc lợp h m Lipschitz, xĂc nh nhữ sau n nh nghắa 4.2 Gi£ sû r¬ng < < Khỉng gian Lipschitz Lip (R ) l têp tĐt n cÊ cĂc h m f : R ! C cho n (4.10) jjf := sup jf(x) f(y)j < : jx yj jj (R ) x;y2Rn;x6=y Lip 21 4.3.1 C¡c k¸t qu£ ch½nh ành l½ 4.3 Cho q qi < 1, ri, pi < 1, < i > d, i < 1, i = 1; : : : ; m, < < 1, 0i; vỵi = + + m > d, = 1 1 1 1 p , v q =q + + q +r + + r 1+ + m, = 1+ + m, p = p + + = 1; : : : ; m C¡c h m GiÊ thiát rơng bi Lip i v !i thọa mÂn (4.2) vợi i n (t)dt < 1: s1(t); : : : ; sm(t) 6= h¦u kh-p nìi t [0; 1] cho Z [0;1]n i=1 Y js (t)j d i qi m + i + m i i j1si(t)j i MK pm;qm m;n; (4.11) _ ;! s _ p;q ; m = Xi i=1 i =1 t th¼ U1;1; ! ;! b q1 < N¸u A= _ : b = U , ta thu ữủc kát quÊ sau: (1 t) (t)dt < 1; (4.13) , vỵi = + + d q2 2; Nhªn x²t 4.4 Trong Tang, Xue, Zhou(2011), thu ữủc tẵnh b chn cừa U p;q1 v o MK _ 2;, c¡c t¡c gi£ c¦n i·u ki»n õ èi vỵi h m l p;q2 C= Z Tuy nhiản vợi t d q1 (4.12) d _ 1; i d bà ch°n tø MK p;q1 v o MK p;q2 b d+ ri h m o ÷ñc, < < 1, b Lip (R ), 1q1 t Z (!1) s : [0; 1] ! [0; 1) l H» qu£ 4.1 Cho _ 1; m X Khi m = n = 1, !1 = 1, s1(t) tø MK ; (!) < p < v > ho°c p < v thẳ U xĂc nh nhữ toĂn tỷ b chn tứ MKp1;q1 GiÊ thiát rơng q2 m ! (! ) v o MK m ! b th¼ giao ho¡n tû U ; _ m m m t1q1(t)dt < 1: q1 b : d thẳ A C Thêt vêy, chồn (t) = t (1 t)1+ = suy C = A < Vêy kát quÊ chúng tổi thu ữủc tốt hỡn so vợi kát quÊ cừa Tang, Xue, Zhou , =2 22 K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ Kát quÊ Ôt ữủc Trong luên Ăn n y chúng tổi  nghiản cựu tẵnh b chn cừa toĂn tỷ loÔi Hardy v giao hoĂn tỷ cừa nõ trản mởt số khổng gian h m Luên Ăn  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau: Tẳm ữủc chuân cừa toĂn tû p-adic Hardy-Ces ro câ trång tr¶n Lq;! (Qdp), _ q; B! CMO! ki»n õ èi vỵi d q; Qp v CM O! d Qp (t) q; d Qp ;s ! Qp p;b _ q; d º U bà chn trản B ỗng thới ữa mởt iãu kiằn cƯn v mởt iãu vợi biu trững Tẳm ữủc chuân cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh p-adic Hardy-Ces ro cõ trồng q trản tẵch cĂc khổng gian L! d (Q p ), L ! q; d (Q p ) v ữủc mởt iãu kiằn cƯn v mởt iãu kiằn ối vợi _ q; chn trản tẵch cĂc khæng gian B ! d _ q; B! d Qp ỗng thới ữa (t) giao hoĂn tỷ b q; Qp vợi biu trững CMO! d Qp ữa mởt iãu kiằn cƯn v mởt iãu kiản ối vợi lợp h m trồng (t) cho toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng b chn trản tẵch cĂc _ ; _ ;p (!) Hìn núa chóng tỉi cơng ÷a ÷đc mët khỉng gian MKp;q (!), Kq iãu kiằn cƯn ối vợi (t) giao hoĂn tỷ cừa chúng b chn trản tẵch c¡c d ) _ ; (R khæng gian MKp;q (!) vợi biu trững Lip Kián ngh mởt số vĐn ã nghiản cựu tiáp theo Bản cÔnh cĂc kát quÊ Â Ôt ữủc luên Ăn, mởt số vĐn ã m liản quan cƯn ữủc tiáp tửc nghiản cựu: Nghiản cựu chuân cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy-Ces ro cõ trồng trản tẵch cĂc khổng gian kiu Herz thuƯn nhĐt, khổng thuƯn nhĐt cõ trồng, v giao hoĂn tỷ cừa nõ trản tẵch cĂc khổng gian Morrey-Herz thuƯn nhĐt cõ trồng Nghiản cựu chuân cừa toĂn tỷ a tuyán tẵnh p-adic Hardy-Ces ro cõ trồng trản tẵch cĂc khổng gian p-adic kiu Herz thuƯn nhĐt, khổng thuƯn nhĐt cõ trồng, v giao hoĂn tỷ cừa nõ trản tẵch cĂc khổng gian p-adic MorreyHerz thuƯn nhĐt cõ trồng DANH MệC CC CặNG TRNH CặNG Bẩ CếA LUN •N 1) Nguyen Minh Chuong, Ha Duy Hung, Nguyen Thi Hong (2016), Bounds of p adic weighted Hardy-Ces ro operators and their commutators on p adic weighted spaces of Morrey types, p-Adic Numbers Ultrametric Analysis, and Applications, 8(1), 31-44 2) Nguyen Minh Chuong, Nguyen Thi Hong, Ha Duy Hung (2018), Bounds of weighted multilinear Hardy-Ces ro operators in p adic functional spaces, Frontiers of Mathematics in China, 13(1), 1-24 3) Nguyen Minh Chuong, Nguyen Thi Hong, Ha Duy Hung (2017), Multilinear Hardy-Ces ro Operator and Commutator on the product of Morrey-Herz spaces, Analysis Mathematica, 43(4), 547-565 C¡c k¸t qu£ cõa luên Ăn ữủc bĂo cĂo tÔi: Seminar cừa Bở mổn GiÊi tẵch, Khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi Hởi thÊo cho Nghiản cựu sinh, Khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi, 2017 Seminar "To¡n tû gi£ vi ph¥n, sâng nhä, gi£i tẵch iãu hỏa trản cĂc trữớng thỹc, p-adic" cừa Viằn To¡n håc, Vi»n H n l¥m Khoa håc v Cỉng nghằ Viằt Nam Ôi hởi toĂn hồc Viằt Nam lƯn thù IX, Nha Trang, 08/2018 ... gian h m Trong ph¦n n y, chúng tổi nh-c lÔi mởt số khổng gian h m cƯn dũng luên Ăn nhữ: Khổng gian Lebesgue, khổng gian Herz, khæng gian Morrey-Herz, khæng gian BMO, khæng gian Morrey trản trữớng... TUYN TNH HARDY- CESRO V GIAO HON T TRN TCH CC KHặNG GIAN LOI HERZ Trong chữỡng n y chúng tổi nghiản cựu toĂn tỷ a tuyán tẵnh Hardy- Ces ro trản tẵch cĂc khổng gian Herz v tẵch cĂc khổng gian Morrey-Herz... khỉng gian h m v mët v i v½ dư v· c¡c h m chån, c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Minkowski v mởt số nh lẵ thữớng dũng 1.1 Trữớng cĂc số p adic Trong phƯn n y, chúng tổi nh-c lÔi mởt số khĂi niằm vã số p-adic,