Tính bị chặn của toán tử loại hausdorff trên một số không gian hàm TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐỨC DUYỆT TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ LOẠI HAUSDORFF TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Hà Nội, 2021 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Minh Chương TS Nguyễn Văn Tuấn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm 2021 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Một chủ đề quan trọng giải tích điều hịa nghiên cứu tính bị chặn tốn tử T khơng gian Cụ thể hơn, có tốn chứng minh bất đẳng thức Tf ≤C f Y X, (1) C số dương, X , Y hai không gian với chuẩn tương ứng · X · Y Để thấy tầm quan trọng toán này, nhắc lại số tốn quan trọng sau • Định lý khả vi Lebesgue phát biểu rằng: với hàm khả tích địa n phương f không gian lim r→0 với hầu khắp x , có |B(x, r)| n f ( y)d y = f (x), B(x,r) Để chứng minh toán này, người ta nghiên cứu hàm cực đại Hardy–Littlewood có tâm sau M f (x) = sup r>0 |B(x, r)| | f ( y)|d y, B(x,r) chứng minh hàm cực đại Hardy–Littlewood có tâm bị chặn yếu (1, 1) Chúng ta có định nghĩa hàm cực đại Hardy–Littlewood sau f (x) = sup x∈B |B| | f ( y)|d y, B sup lấy tất hình cầu B khơng gian • Xét toán Dirichlet sau  n  i=1 ∂ x2i u(x, t) + ∂ t2 u(x, t) = 0,  u(x, 0) = f (x), hầu khắp (x, t) ∈ với x∈ n , n × + , n f thuộc khơng gian L p ( n ) với ≤ p < ∞ Để giải toán này, người ta xét u(x, t) = ( f ∗ Pt )(x), Pt (x) = t −n P(t −1 x), P(x) = n+1 Γ π n+1 (1 + |x|2 ) n+1 hạch Poisson Rõ ràng Pt (x , , x n , t) hàm điều hòa theo biến (x , , x n , t), nghĩa n ∂i2 Pt + i=1 d2 d t2 Pt = Do hàm u(x, t) hàm điều hịa khơng gian hội tụ đến f khơng gian L p ( n n × + ) t dần Để giải tốn Dirichlet bên trên, ta cịn hội tụ điểm hầu khắp u(x, t) f t tiến Tuy nhiên, điều dễ dàng nhận từ bất đẳng thức sup |u(x, t)| ≤ f (x), t>0 tính bị chặn yếu (p, p) hàm cực đại Hardy–Littlewood • Chúng ta xét thêm tốn Cauchy cho phương trình Schră odinger nh sau i t u(x, t) ∆u(x, t) = 0, (x, t) ∈ n × + ,  u(x, 0) = u0 (x) Như biết, nghiệm u(x, t) toán cho công thức u(x, t) = (e−i t∆ u0 )(x), u(x, t) = (e−i t∆ u0 )(x) xác định thông qua biến đổi Fourier (e−i t∆ u0 )(ξ) = e i t|ξ| uˆ0 (ξ) Để nghiên cứu tính quy nghiệm, cần đánh giá e−i t∆ (u0 − v0 ) Y ≤ C u0 − v0 X, Do đó, ta đưa tốn việc xét tính bị chặn tốn tử tuyến tính e−i t∆ thông qua bất đẳng thức e−i t∆ f Y ≤C f X Qua trường hợp trên, thấy phần tầm quan trọng việc nghiên cứu tính bị chặn tốn tử, khơng gian để giải tốn giải tích hay lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Ngồi việc chứng minh bất đẳng thức (1), toán quan trọng thú vị đưa điều kiện cần đủ để bất đẳng thức (1) đúng, có thể, xác định số C tốt Với số lớp toán tử quan trọng giải tích điều hịa, chẳng hạn hàm cực đại Hardy–Littlewood, khó Chẳng hạn, xem L Grafakos S MontgomerySmith (1997), D Melas (2003) tài liệu trích dẫn bên Năm 1920, G H Hardy thiết lập bất đẳng thức tích phân p f L p ( +) ≤ f L p ( +), p−1 với < p < ∞ f hàm đo không âm (0; ∞) Hơn nữa, số p p−1 thu tốt Ở đây, toán tử Hardy định nghĩa f (x) = x f (t)d t x Bất đẳng thức Hardy dạng mở rộng chúng giữ vai trị quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết không gian phiếm hàm (xem K F Andersen B Muckenhoupt (1982), D E Edmunds W D Evans (2004), D Lukkassena, A Meidella, L E Persson N Samko (2012)) Một tốn tử quan trọng giải tích điều hịa tốn tử Hausdorff mà liên quan mật thiết đến tốn tính khả tổng chuỗi Fourier cổ điển Cho Φ hàm khả tích địa phương (0, ∞) Toán tử Hausdorff chiều định nghĩa sau ∞ Φf (x) = Φ(t) t f x t d t (2) Rõ ràng, chọn Φ(t) = χ(1,∞) (t) t , toán tử Hausdorff trở thành toán tử Hardy bên Hơn nữa, với hàm Φ thích hợp, tốn tử Hausdorff trở thành số tốn tử quan trọng giải tích như: tốn tử Cesàro, tốn tử Hardy– Littlewood–Pólya, tốn tử tích phân phân số Riemann–Liouville (xem K Andersen E Sawyer (1988), J Chen, D Fan J Li (2012), M Christ L Grafakos (1995), Z W Fu, S L Gong, S Z Lu W Yuan (2015), A Miyachi (2004)) Tốn tử Hausdorff mở rộng đến khơng gian n Brown Móricz (2002), độc lập nghiên cứu A Lerneran E Liflyand (2007) Cụ thể hơn, cho ϕ hàm khả tích địa phương khơng gian Hausdorff ϕ,A n Tốn tử tương ứng với hàm hạch ϕ định nghĩa ϕ,A f (x) = ϕ(t) f (A(t)x)d t, x∈ n , n A(t) ma trận vng cấp n thỏa mãn det A(t) = với hầu khắp t thuộc giá ϕ Nếu lấy ma trận A(t) hàm ϕ thích hợp ϕ,A trở thành số tốn tử quen thuộc giải tích Chi tiết xem báo tổng quan E Liflyand (2013) tài liệu tham khảo trích dẫn bên Trong năm gần đây, tốn tử Hausdorff giao hoán tử chúng, kể trường hợp tuyến tính đa tuyến tính nhiều nhà toán học nước giới quan tâm nghiên cứu Chi tiết hơn, tham khảo cơng trình K F Andersen (2003), R Bandaliyev P Gorka (2019), G Brown F Móricz (2002), E Liflyand cộng (2007, 2020), N M Chuong, D V Duong K H Dung (2018, 2019), J Chen, D Fan cộng (2012, 2017, 2018), J H Guo (2015), A Hussain cộng (2013, 2017), Y Kanjin (2001), J C Kuang (2012), S S Volosivets (2013, 2017) Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn, ước lượng chuẩn số lớp toán tử Hausdorff giao hoán tử chúng trường thực nhóm Heisenberg Hơn nữa, chúng tơi ước lượng chuẩn toán tử trường hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Luận án lớp toán tử Hausdorff giao hoán tử chúng trường thực nhóm Heisenberg Phạm vi nghiên cứu thể thông qua nội dung sau: • Nội dung 1: Chúng tơi nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff thô Φ,Ω không gian Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz Hơn nữa, đánh giá tính bị chặn cho giao hốn tử tốn tử rough Hausdorff khơng gian có hai trọng kiểu Morrey-Herz với biểu trưng thuộc khơng gian Lipschitz • Nội dung 2: Chúng nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff đa tuyến tính Φ,A tích khơng gian có hai trọng mũ hai trọng Muckenhoupt không gian Morrey, khơng gian Herz khơng gian Morrey-Herz • Nội dung 3: Chúng nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn tử rough Hausdorff Hausdorff ma trận b Φ,A b Φ,Ω giao hốn tử tốn tử nhóm Heisenberg với biểu trưng thuộc khơng gian -tâm BMO có trọng, không gian Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz có trọng trọng Muckenhoupt Phương pháp nghiên cứu • Để nghiên cứu tính bị chặn tốn tử Hausdorff trường số thực nhóm Heisenberg, dựa vào phương pháp CoifmanRochberg-Weiss (1976) xây dựng không gian với biến đổi đặc trưng trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt Chiều ngược lại, sử dụng lược đồ mà Xiao (2001) phát triển Trong đó, hàm thử lựa chọn để đưa ước lượng cho chuẩn tốn tử • Đối với nghiên cứu giao hoán tử, dựa phương pháp tiếng Coifman-Rochberg-Weiss (1976) Trong đó, mấu chốt đưa ước lượng giao động trung bình kết hợp với số kĩ thuật đặc trưng tiếp cận toán tử Hausdorff xây dựng D Fan, Chen, Li, Fu, Lu cộng (2011, 2012, 2018) Kết luận án Luận án đạt kết sau đây: • Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff thơ Φ,Ω khơng gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có trọng Ngồi ra, chúng tơi ước lượng chuẩn tốn tử Hausdorff thơ Φ,Ω kết luận ước lượng chuẩn toán tử Hardy, toán tử Hardy liên hợp cho không gian với trọng lũy thừa Hơn nữa, đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn tử Hausdorff thơ b Φ,Ω với biểu trưng thuộc không gian Lipschitz, không gian tâm Morrey, không gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng Đó nội dung Chương • Ước lượng chuẩn tốn tử Hausdorff đa tuyến tính Φ,A tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng lũy thừa Ngồi ra, chúng tơi ước lượng chuẩn tốn tử Hardy-Cềro đa tuyến tính tích khơng gian Hơn nữa, đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff đa tuyến tính Φ,A tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng Muckenhoupt Đó nội dung Chương • Nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn tử Hausdorff thơ b Φ,Ω nhóm Heisenberg với biểu trưng thuộc không gian -tâm BMO, không gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt Đồng thời, đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn tử ma trận Hausdorff b Φ,A nhóm Heisenberg với biểu trưng thuộc không gian - tâm BMO, không gian tâm Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz có trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt Đó nội dung Chương Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị, danh mục cơng trình cơng bố danh mục tài liệu tham khảo Luận án gồm chương: • Chương trình bày kiến thức chuẩn bị; • Chương nghiên cứu tính bị chặn tốn tử Hausdorff thơ giao hốn tử khơng gian kiểu Morrey-Herz; • Chương nghiên cứu ước lượng chuẩn cho tốn tử Hausdorff đa tuyến tính khơng gian kiểu Morrey-Herz có hai trọng; • Chương nghiên cứu tính bị chặn hai loại giao hốn tử tốn tử Hausdorff nhóm Heisenberg Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng toàn luận án 1.1 Không gian Lebesgue Trong mục này, nhắc đến khơng gian Lebesgue, Định lí hội tụ Lebesgue, bất đẳng thc Hă older, bt ng thc Minkowski, nh lớ Fubini 1.2 Một số kí hiệu khơng gian hàm Trong mục này, chúng tơi giải thích số kí hiệu nhắc lại định nghĩa không gian kiểu Morrey-Herz có trọng 1.3 Trọng nhất, trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt Trong mục này, nhắc đến trọng nhất, trọng lũy thừa, trọng Muckenhoupt Bổ đề, Mệnh đề quan trọng liên quan 1.4 Nhóm Heisenberg Trong mục này, chúng tơi nhắc đến nhóm Heisenberg -tâm BMO n n , không gian Hệ 2.3 Cho < p < ∞, ≤ q < ∞, α ∈ ,γ ∈ λ > Giả sử Ω ∈ L q (Sn−1 ), ω(x) = |x|γ Φ hàm bán kính khơng âm Khi đó, ˙ α,λ,p,q ( n ) chặn M K Φ,Ω bị ω ∞ Φ(t) 3.1 = γ Hơn nữa, 1− q − qn +λ−α t α,λ,p,q n )→M K ˙ω ( α,λ,p,q ˙ω Φ,Ω M K ( Ω n) d t < ∞ L q (Sn−1 ) 3.1 Đặc biệt, đạt kết luận bất đẳng thức cho toán tử Hardy toán tử Hardy liên hợp nhiều chiều mở rộng kết Christ Grafakos (1995), khơng gian có trọng lũy thừa như: không gian tâm Morrey (Hệ 2.4), không gian Herz (Hệ 2.5), không gian Morrey-Herz (Hệ 2.6) Hệ 2.4 Cho ≤ q < ∞, + λq > 0, λ ∈ , ω(x) = |x|γ với γ > −n ˙ λ,q ( n ) Khi đó, tốn tử Hardy bị chặn M ω ∞ 1.2 = t n+1+(n+γ)λ Hơn nữa, chặn ˙ ωλ,q ( n ) ˙ ωλ,q ( n )→ M 1.2 M ˙ λ,q ( n ) M ω 1.3 t 1+(n+γ)λ Hơn nữa, ˙ ωλ,q ( M n )→ M ˙ ωλ,q ( Tương tự, toán tử Hardy liên hợp bị = d t < ∞ d t < ∞ 1.3 n) Hệ 2.5 Cho ≤ p, q < ∞, α ∈ ω(x) = |x|γ với γ ∈ Khi đó, tốn ˙ α,p,q ( n ) tử Hardy bị chặn K ω ∞ 2.2 = γ t Hơn nữa, chặn α,p,q ˙ω K ( α,p,q n ˙ K ( ) ω α,p,q n )→ K ˙ω ( n+1− q − qn −α 2.2 n) 2.3 = α,p,q ˙ω K ( Tương tự, toán tử Hardy liên hợp bị Hơn nữa, d t < ∞ α,p,q n )→ K ˙ω ( n) t γ 1− q − qn −α 2.3 12 d t < ∞ Hệ 2.6 Cho < p < ∞, ≤ q < ∞, α ∈ , γ ∈ , λ > ω(x) = |x|γ ˙ α,λ,p,q ( n ) Khi đó, tốn tử Hardy bị chặn M K ω ∞ 3.2 t Hơn nữa, ta có = γ n+1− q − qn +λ−α ˙ω ( n) ( n )→M K ˙ α,λ,p,q ( n ) MK ω 3.3 α,λ,p,q ˙ω MK = Hơn nữa, ta có 3.2 α,λ,p,q α,λ,p,q ˙ω MK liên hợp bị chặn d t < ∞ α,λ,p,q n )→M K ˙ω ( ( b Φ,Ω 2.3 Giao hoán tử t γ 1− q − qn +λ−α Tương tự, toán tử Hardy d t < ∞ 3.3 n) lớp trọng Trong mục này, đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn giao b Φ,Ω hốn tử với biểu trưng thuộc không gian Lipschitz, khơng gian có hai trọng như: khơng gian tâm Morrey (Định lí 2.4), khơng gian Herz (Định lí 2.5), khơng gian Morrey-Herz (Định lí 2.6) Định lí 2.4 Cho ≤ q < ∞, Ω ∈ L p (Sn−1 ) b ∈ Li pβ ( Giả sử v, ω ∈ γ, n ) với < β ≤ γ > −n ω(x ) ≥ c > với x ∈ Sn−1 Nếu λ1 = βq λ − n+γ > ∞ t b Φ,Ω |Φ(t)| = ˙ λ1 ,q ( bị chặn từ M v,ω λ −1 1+(γ+n) 1q n (1 + ˙ λ,q ( ) đến M v,ω n t −1 )−β d t < ∞, ) Định lí 2.5 Cho ≤ p, q < ∞, Ω ∈ L q (Sn−1 ) b ∈ Li pβ ( β ≤ Giả sử v, ω ∈ α1 = α2 + nβ n+γ γ, ∞ |Φ(t)| 5= b Φ,Ω ) với < γ > −n ω(x ) ≥ c > với x ∈ Sn−1 Nếu γ n t γ 1− q − qn −α1 1+ n ˙ α1 ,p,q ( bị chặn từ K v,ω n (1 + ˙ α2 ,p,q ( ) đến K v,ω 13 n t −1 )−β ) d t < ∞ Định lí 2.6 Cho < p < ∞, ≤ q < ∞, Ω ∈ L q (Sn−1 ), λ > b ∈ Li pβ ( n ) với < β ≤ Giả sử v, ω ∈ x ∈ Sn−1 Nếu α1 = α2 + nβ n+γ b Φ,Ω |Φ(t)| = γ > −n ω(x ) ≥ c > với ∞ γ, t γ 1− q − qn +(λ−α1 ) ˙ α1 ,λ,p,q ( bị chặn từ M K v,ω n γ 1+ n (1 + t −1 )−β ˙ α2 ,λ,p,q ( ) đến M K v,ω n d t < ∞ ) Từ Định lí 2.5 Định lí 2.6, chọn Φ(t) = t −n χ(1,∞) (t) Ω ≡ Chúng đạt kết tính bị chặn giao hốn tử tốn tử Hardy khơng gian Morrey-Herz có hai trọng 14 Chương TỐN TỬ HAUSDORFF ĐA TUYẾN TÍNH Φ,A TRÊN KHƠNG GIAN KIỂU MORREY-HERZ Trong chương này, chúng tơi ước lượng chuẩn tốn tử Φ,A tích không gian hàm tâm Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz có hai trọng lũy thừa Sau đó, có kết luận ước lượng chuẩn cho tốn tử Hardy-Cềro đa tuyến tính tích khơng gian Đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn tốn tử Φ,A tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng Muckenhoupt Nội dung chương dựa báo [2] danh mục cơng trình cơng bố 3.1 Giới thiệu Bài tốn nghiên cứu ước lượng chuẩn toán tử Hausdorff đa tuyến tính Φ,A khơng gian kiểu Morrey-Herz 3.2 Tốn tử Φ,A lớp trọng lũy thừa Trong mục này, chúng tơi trình bày kết ước lượng chuẩn cho tốn tử Φ,A tích khơng gian có hai trọng lũy thừa như: khơng gian tâm Morrey (Định lí 3.1), khơng gian Herz (Định lí 3.2), khơng gian MorreyHerz (Định lí 3.3) Định lí 3.1 Cho Φ : n → [0, ∞) v(x) = |x|β , ω(x) = |x|γ , vi (x) = |x|βi , ωi (x) = |x|γi , với i = 1, , m Nếu điều kiện sau thỏa mãn m i=1 βi qi = β q m , i=1 n + βi n+β 15 m λi = λ, i=1 γi qi = γ q Φ,A m i=1 bị chặn từ Hơn nữa, ˙ λi ,qi ( M vi ,ωi Φ,A n | y|n m i=1 ,qi ˙ vλi,ω M ( i i Định lí 3.2 Cho Φ : n ˙ λ,q ( ) đến M v,ω m Φ( y) = n A−1 i ( y) n ) −(βi +n)λi +(γi −βi ) q1 i d y < ∞ i=1 λ,q n )→ M ˙ v,ω ( n) → [0, ∞) v(x) = |x|β , ω(x) = |x|γ , vi (x) = |x|βi , ωi (x) = |x|γi , với i = 1, , m Nếu điều kiện sau thỏa mãn m γi i=1 Φ,A = , qi q i=1 n m i=1 αi = n ˙ α,p,q ( ) to K v,ω 1+ A−1 i ( y) | y|n ,pi ,qi ˙ vαi,ω ( K i i n βi m Φ( y) 8= Φ,A 1+ m ˙ αi ,pi ,qi i=1 K vi ,ωi ( bị chặn từ Hơn nữa, m γ βi n 1+ n β α, n ) αi + n+γi qi d y < ∞ i=1 α,p,q n )→ K ˙ v,ω ( n) Định lí 3.3 Cho Φ : n → [0, ∞), λ, λi > v(x) = |x|β , ω(x) = |x|γ , vi (x) = |x|βi , ωi (x) = |x|γi , với i = 1, , m Nếu điều kiện sau thỏa mãn m 1+ i=1 βi n tốn tử λi = Φ,A 1+ m β λ, n i=1 m i=1 bị chặn từ γi m γ = , qi q ˙ αi ,λi ,pi ,qi ( MK vi ,ωi 1+ i=1 n βi n αi = ˙ α,λ,p,q ( ) đến M K v,ω 1+ n β n ) Φ( y) 9= n Hơn nữa, Φ,A m i=1 | y|n m A−1 i ( y) βi n (αi −λi )+ n+γi qi d y < ∞ i=1 α ,λ ,pi ,qi ˙ v i,ω i MK i i 1+ ( α,λ,p,q n )→M K ˙ v,ω ( n) Chọn Ai ( y) = diag[si ( y), , si ( y)], s1 ( y), , sm ( y) = hầu khắp n với i = 1, , m Khi đó, đưa Hệ ước lượng chuẩn tốn tử φ,s khơng gian có hai trọng lũy thừa như: không gian tâm Morrey (Hệ 3.1), không gian Herz (Hệ 3.2), không gian Morrey-Herz (Hệ 3.3) 16 α, Hệ 3.1 Cho φ hàm không âm v(x) = |x|β , ω(x) = |x|γ , vi (x) = |x|βi , ωi (x) = |x|γi , với i = 1, , m Nếu điều kiện sau thỏa mãn m i=1 φ,s βi = qi m β , q ˙ λi ,qi ( M vi ,ωi n m 7.1 = |si ( y)| n Hơn nữa, φ,s m i=1 λi = λ, n+β i=1 m i=1 bị chặn từ m n + βi i=1 ˙ λ,q ( ) đến M v,ω n γi qi = γ q ) (βi +n)λi +(βi −γi ) q1 φ( y)d y < ∞ i i=1 ,qi ˙ vλi,ω M ( i i λ,q n )→ M ˙ v,ω ( 7.1 n) Hệ 3.2 Cho φ hàm không âm v(x) = |x|β , ω(x) = |x|γ , vi (x) = |x|βi , ωi (x) = |x|γi , với i = 1, , m Nếu điều kiện sau thỏa mãn m i=1 φ,s m γ γi = , qi q n m 8.1 = |si ( y)| n Hơn nữa, φ,s m i=1 αi = n i=1 m ˙ αi ,pi ,qi i=1 K vi ,ωi ( bị chặn từ βi 1+ ˙ α,p,q ( ) đến K v,ω − 1+ βi n αi − 1+ n (n+γi ) qi β α, n ) φ( y)d y < ∞ i=1 ,pi ,qi ˙ vαi,ω ( K i i α,p,q n )→ K ˙ v,ω ( 8.1 n) Hệ 3.3 Cho φ hàm không âm, λ, λi > v(x) = |x|β , ω(x) = |x|γ , vi (x) = |x|βi , ωi (x) = |x|γi , với i = 1, , m Nếu điều kiện sau thỏa mãn m 1+ i=1 φ,s βi λi = n 1+ m i=1 bị chặn từ m β λ, n i=1 = |si ( y)| n Hơn nữa, φ,s m i=1 m γ = , qi q ˙ αi ,λi ,pi ,qi ( MK vi ,ωi m 9.1 γi n 1+ i=1 ˙ α,λ,p,q ( ) đến M K v,ω (λi −αi ) 1+ βi n − (n+γi ) qi i=1 α ,p ,qi ˙ v i,ω i MK i i ( α,p,q n )→M K ˙ v,ω ( 17 n) 9.1 βi n n αi = 1+ β n ) φ( y)d y < ∞ α, Từ Hệ 3.1, chúng tơi có ước lượng chuẩn tốn tử Hardy–Cesàro m m,n ˙ λ,q ( n ) ˙ λi ,qi ( n ) đến M đa tuyến tính U bị chặn từ M ψ,s m 7.2 = |si (t)| [0,1]n m,n Uψ,s Hơn nữa, vi ,ωi i=1 m i=1 v,ω (βi +n)λi +(βi −γi ) q1 ψ(t)d t < ∞ i i=1 ,qi ˙ vλi,ω M ( i i λ,q n )→ M ˙ v,ω ( 7.2 n) Từ Hệ 3.2, chúng tơi có ước lượng chuẩn tốn tử Hardy–Cesàro m m,n ˙ α,p,q ( n ) ˙ αi ,pi ,qi ( n ) đến K đa tuyến tính Uψ,s bị chặn từ i=1 K v,ω vi ,ωi m − 1+ 8.2 = |si (t)| [0,1] m,n Uψ,s Hơn nữa, m i=1 n βi n αi − (n+γi ) qi ψ(t)d t < ∞ i=1 ,pi ,qi ˙ vαi,ω ( K i i α,p,q n )→ K ˙ v,ω ( 8.2 n) Hệ 3.2 mở rộng Định lí 3.2 N M Chương, N T Hồng, H D Hưng (2017) 3.3 Toán tử lớp trọng Muckenhoupt Φ,A Trong mục này, đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn tốn tử Φ,A khơng gian có hai trọng Muckenhoupt như: khơng gian tâm Morrey (Định lí 3.4), khơng gian Morrey-Herz (Định lí 3.5) Định lí 3.4 Cho ≤ q∗ , ξ, η < ∞, − q1 < λi < 0, với i = 1, , m i v ∈ Aη , ω ∈ Aξ với số tới hạn r v , rω cho iu kin Hă older ngc cho (B(0, R)) v(B(0, R)) với R > Giả sử q > q∗ ξrω , δ1 ∈ (1, rω ), δ2 ∈ (1, r v ), λ∗ = λ1 + · · · + λm |Φ( y)| 10 = | y|n n m ξ qi | det A−1 Ai ( y) i ( y)| ξn qi i ( y)d y < ∞, i=1 i ( y) = Ai ( y) × Ai ( y) Khi đó, Φ,A n λi + q1 i − qn i δ1 −1 δ1 δ2 −1 δ2 χ{ y∈ bị chặn từ χ{ y∈ n: n: Ai ( y) m i=1 Ai ( y) ≤1} + Ai ( y) >1} + Ai ( y) ˙ λi ,qi ( M v,ω n 18 ξn −q i nη λi + q1 χ{ y∈ ˙ λ∗ ,q∗ ( ) đến M v,ω i n: n χ{ y∈ Ai ( y) ≤1} ) n: Ai ( y) >1} × Định lí 3.5 Cho ≤ q∗ , ξ, η < ∞, αi < 0, λi ≥ 0, với i = 1, , m ω ∈ Aξ , v ∈ Aη với số tới hạn r , r v cho iu kin Hă older ngc cho ω(Bk ) v(Bk ), với k ∈ Giả sử q > max{mq∗ , q∗ ξrω }, δ1 ∈ (1, rω ), δ2 ∈ (1, r v ) α∗ , λ∗ số thực cho λ = λ1 + · · · + λm Nếu α∗ n α∗ ∗ m n + q∗ = αi n + qi , với i = 1, , m + q1∗ ≤ m 11.1 |Φ( y)| = | y|n n i=1 | det A−1 i ( y)| mξ qi Ai ( y) m mξn qi 1i ( y)d y < ∞, 1i ( y) = Ai ( y) + Ai ( y) α∗ n n +α∗ q∗ − − δ1 −1 δ −1 +(α∗ −mλi ) 2δ −ξα∗ δ1 n +α∗ q∗ ξ+η(α∗ −mλi )−α∗ δ1 −1 δ1 χ{ y∈ χ{ y∈ n: n: Ai ( y) m 11.2 |Φ( y)| = n i=1 | y|n | det A−1 i ( y)| mξ qi Ai ( y) m mξn qi 2i ( y)d y < ∞, 2i ( y) = Ai ( y) − + Ai ( y) tốn tử Φ,A bị chặn từ δ −1 ξn +(α∗ −mλi ) 2δ q∗ − m i=1 χ{ y∈ n δ1 −1 +η(α∗ −mλi ) q ∗ δ1 ˙ αi ,λi ,pi ,qi ( MK v,ω n n: χ{ y∈ Ai ( y) q ξrω , δ ∈ (1, rω ) α∗ , λ∗ số thực thỏa mãn ∗ λ = λ1 + · · · + λm Nếu αi n α∗ n + q∗ = m i=1 αi n + q + q1 ≤ 0, với i = 1, , m i m 12.1 |Φ( y)| = i=1 n | y|n | det A−1 i ( y)| 19 mξ qi Ai ( y) mξn qi m Ψ1i ( y)d y < ∞, Ψ1i ( y) = Ai ( y) m λi −n + Ai ( y) αi n αi n δ−1 δ + q1 i αi n mξ λi −n + q1 χ{ y∈ χ{ y∈ i n: Ai ( y) 0, với i = 1, , m i m 12.2 |Φ( y)| = n i=1 | y|n | det A−1 i ( y)| mξ qi Ai ( y) mξn qi m < ∞, Ψ2i ( y)d y Ψ2i ( y) = Ai ( y) + Ai ( y) Φ,A bị chặn từ m i=1 m λi δ−1 δ m λi ξ−n −nξ αi n ˙ αi ,λi ,pi ,qi ( MK ω αi n + q1 + q1 i n i δ−1 δ χ{ y∈ n: χ{ y∈ Ai ( y) −Q Giả ˙ O ,r1 ( n ), < λ ∈ (− , 0), λ1 ∈ (− , 0), sử Ω ∈ L q (SQ−1 ), b ∈ C M ω λ1 = λ − Nếu q q1 = ∞ 13 = b Φ,Ω + r1 q Φ(t) t 1+(Q+γ)λ1 ˙ λ1 ,q1 ( bị chặn từ M ω Q n + Ψ(t) + t −(Q+γ) ˙ λ,q ( ) đến M ω 21 n ) d t < ∞, q1 γ Định lí 4.2 Cho ≤ p, q < ∞, < q1 , r1 < ∞ ω(x) = |x|h , γ > −Q Giả ˙ O ,r1 ( n ), < , λ ≥ α1 = α + (Q + γ)( + ) sử Ω ∈ L q (SQ−1 ), b ∈ C M ω Nếu q = q1 + r1 Φ(t) = Q+γ 1− q +λ−α1 t ˙ α1 ,λ,p,q1 ( bị chặn từ M K ω b Φ,Ω r1 ∞ 15 Q n b Φ,Ω 4.3 Giao hoán tử + Ψ(t) + t −(Q+γ) ˙ α,λ,p,q ( ) đến M K ω n d t < ∞, ) lớp trọng Muckenhoupt Trong mục này, chúng tơi trình bày kết điều kiện đủ cho tính bị b Φ,Ω chặn giao hốn tử khơng gian tâm Morrey có trọng Mucken- houpt (Định lí 4.3) < Q1 , ω ∈ Aζ với số tới hạn Định lí 4.3 Cho ≤ q, q1∗ , r1∗ , ζ < ∞, ≤ r , O1 ( r cho iu kin Hă older ngược Giả sử Ω ∈ L q (SQ−1 ), b ∈ C M (1, rω ), λ ∈ (− 1q , 0), λ1 ∈ (− q1 , 0) λ1 = λ − Nếu 1 q > q1∗ + r1∗ n ), δ ∈ ζr rω ω −1 ∞ 14 = b Φ,Ω Φ(t) t t −Q (δ−1)λ1 δ χ(0,1] (t) + t −Qζλ1 χ(1,∞) (t) ˙ ωλ1 ,q1 ( bị chặn từ M ∗ n ˙ λ,q ( ) đến M ω b Φ,A 4.4 Giao hoán tử n + Ψ1 (t) d t < ∞, ) lớp trọng lũy thừa Trong mục này, chúng tơi trình bày kết điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử b Φ,A khơng gian có trọng lũy thừa như: khơng gian tâm Morrey (Định lí 4.4), khơng gian Morrey-Herz (Định lí 4.5) γ Định lí 4.4 Cho ≤ q < ∞, < q1 , r1 < ∞, γ > −Q, ω(x) = |x|h , b ∈ ˙ O r1 ( n ) λ ∈ (− , 0) Nếu = + CM ω q q q r Φ( y) 16 = n b Φ,A | y|Qh ˙ λ,q1 ( bị chặn từ M ω 1 ψ( y).µ( y) A( y) n ˙ λ,q ( ) đến M ω 22 n ) (Q+γ)( q1 +λ) d y < ∞, γ Định lí 4.5 Cho ≤ p, q < ∞, < q1 , r1 < ∞, γ > −Q, ω(x) = |x|h , ˙ O r1 ( n ), λ ≥ 0, α2 = α + Q+γ Nếu = + b ∈ CM ω r q q r Φ( y) = 18 n | y|Qh 1 ∗ 1− p ψ( y).µ( y)(2 − κ ) A( y) λ−α2 2i(λ−α2 ) d y < ∞, i=κ∗ −1 với κ∗ = κ∗ ( y) số nguyên lớn cho ∗ A( y) A−1 ( y) < 2−κ , với hầu khắp y ∈ b Φ,A ˙ α2 ,λ,p,q1 ( bị chặn từ M K ω b Φ,A 4.5 Giao hoán tử n ˙ α,λ,p,q ( ) đến M K ω n n , ) lớp trọng Muckenhoupt Trong mục này, chúng tơi trình bày kết điều kiện đủ cho tính bị b Φ,A chặn giao hốn tử khơng gian tâm Morrey có trọng Mucken- houpt (Định lí 4.6) Định lí 4.6 Cho ≤ q, q1∗ , r1∗ , ζ < ∞, ω ∈ Aζ với số tới hạn rω cho ∗ ˙ Oωr1 ( n ), λ ∈ (− 1∗ , 0) δ (1, r ) Nu iu kin Hă older ngc, b ∈ C M q1 q q1∗ > 17 + r1∗ ζr Φ( y) = n × A( y) b Φ,A rω ω −1 | y|Qh Q v ( y).à1 ( y)ì { y n: A( y) ≤1} ˙ ωλ,q1 ( bị chặn từ M ∗ n + A( y) ˙ λ,q ( ) đến M ω 23 Q n (δ−1)λ δ ) χ{ y∈ n: A( y) >1} d y < ∞, KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt Các kết đạt luận án bao gồm: 1) Đưa điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff thơ Φ,Ω khơng gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có trọng Sau đó, có ước lượng chuẩn toán tử Φ,Ω kết luận ước lượng chuẩn toán tử Hardy, toán tử Hardy liên hợp cho không gian với trọng lũy thừa Đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn tử Hausdorff thơ b Φ,Ω với biểu trưng thuộc không gian Lipschitz, không gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng 2) Ước lượng chuẩn toán tử Hausdorff đa tuyến tính Φ,A tích khơng gian hàm tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian MorreyHerz có hai trọng lũy thừa Sau đó, có kết luận ước lượng chuẩn cho tốn tử Hardy-Cềro đa tuyến tính tích không gian Đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn tốn tử Φ,A tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng Muckenhoupt 3) Đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn tử Hausdorff thơ b Φ,Ω , giao hoán tử toán tử ma trận Hausdorff b Φ,A nhóm Heisenberg với biểu trưng thuộc không gian -tâm BMO, không gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian MorreyHerz có trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt 24 Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: 1) Chúng tơi nghiên cứu chuẩn tốn tử Φ,Ω giao hoán tử b Φ,Ω với biểu trưng thuộc không gian Lipschitz, không gian hàm kiểu Morrey-Herz có trọng Thiết lập mối liên hệ tốn tử tích phân kì dị tốn tử Hausdorff 2) Chúng nghiên cứu chuẩn giao hốn tử tốn tử Hausdorff đa tuyến tính Φ,A, với biểu trưng thuộc khơng gian Lipschitz, tích khơng gian kiểu Morrey-Herz có hai trọng Muckenhoupt 3) Chúng tơi nghiên cứu chuẩn số lớp toán tử Hausdorff nhóm Heisenberg, khơng gian kiểu Morrey-Herz có hai trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt 25 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ [1] N M Chuong, D V Duong, N D Duyet, (2020), Weighted Morrey-Herz space estimates for rough Hausdorff operator and its commutators, J Pseudo-Differ Oper Appl Vol 11, No 2, 753–787 (SCIE) [2] N M Chuong, D V Duong, N D Duyet, (2020), Two Weighted estimates for multilinear Hausdorff Operators on the Morrey-Herz Spaces, Adv Oper Theory Vol 5, No 4, 1780–1813 (ESCI/Scopus) [3] N M Chuong, D V Duong, N D Duyet, (2020), Weighted Estimates for Commutators of Hausdorff Operators on the Heisenberg Group, Russian Mathematics Vol 64, No 2, 35–55 (ESCI/Scopus) 26 ... χ(1,∞) (t) t , toán tử Hausdorff trở thành toán tử Hardy bên Hơn nữa, với hàm Φ thích hợp, toán tử Hausdorff trở thành số toán tử quan trọng giải tích như: tốn tử Cesàro, tốn tử Hardy– Littlewood–Pólya,... tốn tử Hausdorff thơ Φ,Ω không gian Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz Hơn nữa, chúng tơi đánh giá tính bị chặn cho giao hoán tử toán tử rough Hausdorff khơng gian có hai trọng kiểu... Φ,Ω không gian tâm Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz có trọng Sau đó, có ước lượng chuẩn toán tử Φ,Ω kết luận ước lượng chuẩn toán tử Hardy, toán tử Hardy liên hợp cho không gian