Luận văn tính bị chặn của toán tử địa phương hóa trong không gian wiener hỗn hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HƯƠNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ ĐỊA PHƯƠNG HĨA TRONG KHƠNG GIAN WIENER HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HƯƠNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ ĐỊA PHƯƠNG HĨA TRONG KHƠNG GIAN WIENER HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Bùi Kiên Cường HÀ NỘI - 2018 i LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc cho tơi, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo Khoa Tốn, thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K20 đợt chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, 15 tháng 11 năm 2018 Tác giả Trần Thị Hương ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Bùi Kiên Cường, luận văn thạc sĩ chun nghành Tốn giải tích với đề tài “Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp” hồn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2018 Tác giả Trần Thị Hương iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Mở đầu Chương Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Các toán tử 1.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 10 1.3 Không gian biến điệu hỗn hợp 16 1.3.1 Không gian hỗn hợp chuẩn 16 1.3.2 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng 20 1.4 Không gian biến điệu 23 1.5 Toán tử địa phương hóa 28 1.5.1 Định nghĩa tính chất 28 1.5.2 Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa 29 Chương Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp 32 2.1 Điều kiện đủ cho tính bị chặn 32 2.2 Điều kiện cần cho tính bị chặn 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Lý chọn đề tài Tên “Tốn tử địa phương hóa” xuất lần vào năm 1988, Daubechies sử dụng tốn tử cơng cụ tốn học để định vị hóa tín hiệu mặt phẳng thời gian–tần số Từ lần xuất đầu tiên, chúng nghiên cứu rộng rãi cơng cụ tốn học quan trọng phân tích tín hiệu ứng dụng khác Tuy nhiên, toán tử địa phương hóa với cửa sổ Gauss biết đến Vật lý qua cơng trình Berezin tên toán tử Wick) Các Toán tử địa phương gọi toán tử Toeplitz toán tử nhân biến đổi Fourier thời gian ngắn Ta xác định tốn tử địa phương hóa biểu diễn thời gian–tần số: Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) Để rõ hơn, xét phép dịch chuyển biến điệu xác định bởi: Tx f (t) = f (t − x) Mω f (t) = e2πiωt f (t) Với hàm cửa sổ khác không g L2 (Rd ), biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) tín hiệu f ∈ L2 (Rd ) cửa sổ g cho công thức: f (t) g (t − x)e−2πiωt dt Vg f (x; ω) = f, Mω Tx g = Rd Toán tử địa phương hóa Aϕa ,ϕ2 với biểu trưng a ∈ S(R2d ) hàm cửa sổ ϕ1 , ϕ2 ∈ S(Rd ) xác định Aaϕ1 ,ϕ2 f (t) = a (x, ω) Vϕ1 f (x, ω) Mω Tx ϕ2 (t) dxdω, f ∈ L2 Rd R2d Trong báo có tựa đề “Some remark on localization operators” Elena Cordero Fabio Nicola (xem [1]), tác giả trình bày số kỹ thuật việc chứng minh tính bị chặn tốn tử địa phương hóa tác động khơng gian Wiener hỗn hợp, không gian Lp Với mong muốn tìm hiểu nội dung đồng ý hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường, chọn đề tài: “Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Đối tượng nghiên cứu Tính bị chặn Tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Dự kiến đóng góp đề tài Là cơng trình tổng quan lớp tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lớp tốn tử địa phương hóa, trọng vào chứng minh tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Giới hạn phạm vi nghiên cứu Định nghĩa tốn tử địa phương hóa tính bị chặn khơng gian Wiener hỗn hợp Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu đặc trưng giải tích hàm Phương pháp phân tích, tổng hợp, thu thập thông tin Dự kiến cấu trúc luận văn Luận văn dự kiến trình bày chương Chương Một số khái niệm kết chuẩn bị Chương Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Chương Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa tính chất d Ta kí hiệu xω := x · ω = √ chuẩn Euclide |x| = xx xi ωi , ∀x, ω ∈ Rd tích vơ hướng Rd i=1 Định nghĩa 1.1 Biến đổi Fourier hàm f ∈ L1 (Rd ), ký hiệu fˆ Ff , hàm xác định f (x) e−2πixω dx, fˆ (ω) = ω ∈ Rd (1.1) Rd Nhận xét 1.1 (i) Từ (1.1), ta có f L∞ ≤ f L1 (ii) Ta dùng kí hiệu F(f ) muốn nhấn mạnh phép biến đổi Fourier toán tử tuyến tính tác động khơng gian hàm f ∈ L1 (Rd ) (iii) Ngoài cách định nghĩa biến đổi Fourier trên, người ta dùng định nghĩa biến đổi Fourier theo cách khác sau: n f (ω) = (2π)− f (t).e−itw dt Rd f (t).e−itw dt f (ω) = Rd (iv) Nếu f tín hiệu, kĩ sư, biến ω tần số fˆ(ω) hiểu biên độ tần số ω tín hiệu f Trong vật lý, ω gọi biến −2 động lượng f −2 f L2 I L2 f (ω) mật độ xác xuất động lượng Do đó, f (ω) dω xác xuất chất điểm trạng thái f có động lượng miền I ⊂ Rd Bổ đề 1.1 (Bổ đề Riemann - Lebesgue) Nếu f ∈ L1 (Rd ) fˆ liên tục lim|ω|→∞ |fˆ(ω) | = Nhận xét 1.2 (i) Với C0 (Rd ) không gian Banach hàm liên tục triệt tiêu vơ cực Khi đó, bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ biến đổi Fourier sau F : L1 (Rd ) → C0 (Rd ) (ii) Nếu bỏ điều kiện mà biến đổi Fourier xác định theo điểm cơng thức (1.1) thác triển phép biến đổi Fourier không gian hàm tốt phát biểu định lý sau Định lý 1.1 (Định lí Hausdorff - Young) Giả sử ≤ p ≤ số p thỏa mãn 1 + = p p F : Lp (Rd ) → Lp (Rd ) f Lp ≤ f Lp Chú ý 1.1 (i) Thực ra, hệ số so sánh xác Becker Brascamp Lieb xác định số Babenco - Becker Ap = p p (p ) p (1.2) 27 Chuẩn Wiener hỗn hợp hàm đo F R2d xác định F W (Lp1 ,Lq1 )W (Lp2 ,Lq2 ) = F (x,)      m∈d W (Lp2 ,Lq2 )          d n∈Zd W (Lp1 ,Lq1 ) d  pq1  q11  pq2  pq21    p2   |F (x, ω) Tn χQ (ω) Tm χQ (x)|  dx    Q = [0, 1)d Bổ đề 1.13 (Lemma 2.5,[1]) Cho Bi , Ci , i = 1, 2, 3, không gian Banach cho W (Bi , C1 ) xác định Khi (i) Nếu B1 ∗ B2 → B3 C1 ∗ C2 → C3 , W (B1 , C1 ) ∗ W (B2 , C2 ) → W (B3 , C3 ) (1.56) (ii) Nếu B1 → B2 C1 → C2 , W (B1 , C1 ) → W (B2 , C2 ) Hơn nữa, việc nhúng B1 vào B2 cần giữ tính “địa phương” nhúng C1 vào C2 giữ tính “tồn cục” Đặc biệt, với ≤ pi , qi ≤ ∞, i = 1, có p1 ≥ p2 q1 ≤ q2 ⇒ W (Lp1 , Lq1 ) → W (Lp2 , Lq2 ) (1.57) (iii) Cho < θ < 1, có [W (B1 , C1 ) , W (B2 , C2 )][θ] = W [B1 , B2 ][θ] , [C1 , C2 ][θ] Nếu C1 C2 có chuẩn liên tục tuyệt đối (iv) Cho p, q < ∞ Nếu B , C hai không gian tôpô khơng gian Banach B, C tương ứng, W (B, C) = W B , C (1.58) (v) Nếu ≤ p, q ≤ F (W (Lp , Lq )) → W Lq , Lp (1.59) (vi) Nếu B1 B2 → B3 C1 C2 → C3 , ta có W (B1 , C1 ) W (B2 , C2 ) → W (B3 , C3 ) (1.60) 28 Cho B(x0 , R) hình cầu tâm x0 Rd bán kính R > Rd Bổ đề 1.14 (Bất đẳng thức Bernstein, Lemma2.6, [1]) Cho f ∈ S (Rd ) cho f có giá B(x0 , R), ≤ p ≤ q ≤ ∞ Khi đó, tồn số dương C, độc lập với f, x0 , R, p, q, cho f q ≤ CRd( p − q ) f p (1.61) Mệnh đề 1.14 (Proposition2.7, [1]) Cho ≤ p ≤ q ≤ ∞ Với R > 0, tồn số CR > cho f ∈ S (Rd ) mà biến đổi Fourier có giá hình cầu bán kính R, có f W (Lq ,Lp ) ≤ CR f p Chứng minh Cho hàm g thuộc Schwartz với biến đổi Fourier g có giá compact B(0, 1), với hàm cửa sổ xuất định nghĩa chuẩn W (Lp , Lq ) Khi đó, hàm (Tx g)f, x ∈ Rd biến đổi Fourier hình cầu bán kính R + Do đó, từ bất đẳng thức Bernstein’s (Bổ đề 1.14) ta có (Tx g) f q ≤ CR (Tx g) f p Lấy Lp chuẩn x ta có kết luận Chú ý 1.10 Không gian biến điệu không gian Wiener hỗn hợp có liên quan chặt chẽ với nhau: p = q, ta có  p1  f W (FLp ,Lp ) = |Vg f (x, ω)|p m(x, ω)p dxdω  f Mp (1.62) Rd Rd 1.5 Tốn tử địa phương hóa 1.5.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.15 Tốn tử địa phương hóa Aϕa ,ϕ2 , với biểu trưng a ∈ S(R2d ) cửa sổ ϕ1 , ϕ2 ∈ S(Rd ) xác định bởi: Aϕa ,ϕ2 f (t) = a (x, ω) Vϕ1 f (x, ω) Mω Tx ϕ2 (t) dxdω, R2d f ∈ L2 Rd (1.63) 29 Nhận xét 1.7 Định nghĩa mở rộng từ trường hợp cụ thể sau: Nếu a ∈ χΩ với tập compact Ω ⊆ R2d ϕ1 = ϕ2 Aϕa ,ϕ2 phần f “xác định Ω” mặt phẳng thời gian – tần số Do đó, Aϕa ,ϕ2 gọi tốn tử địa phương Tính chất 1.2 Nếu a ∈ S (R2d ) ϕ1 , ϕ2 ∈ S(Rd ) (1.63) toán tử liên tục từ S(Rd ) đến S (Rd ) Nếu ϕ1 (t) = ϕ2 (t) = e−πt Aa = Aϕa ,ϕ2 lớp toán tử Anti – Wick ánh xạ a → Aaϕ1 ,ϕ2 quy tắc lượng tử hóa Tốn tử địa phương hóa ánh xạ đa tuyến tính tác động khơng gian tích biểu trưng cửa sổ: (a, ϕ1 , ϕ2 ) → Aϕa ,ϕ2 (1.64) Định nghĩa Aaϕ1 ,ϕ2 biểu diễn theo nghĩa yếu là: Aaϕ1 ,ϕ2 f, g = aVϕ1 f, Vϕ2 g = aVϕ1 f Vϕ2 g , f, g ∈ S(Rd ) (1.65) Xét tốn tử Aaϕ1 ,ϕ2 khơng gian Lebesgue Lp không gian hỗn hợp W (Lp , Lq ) Khi a thuộc không gian Hàm đồng đẳng đo f thuộc W (Lp , Lq ) sai số tính theo chuẩn f W (Lp ,Lq )   =   n∈Z  pq  1q p  f (x) Tn χQ (x)   , (1.66) Rd Q = [0, 1)d (với điều chỉnh thông thường p = ∞ q = ∞) hữu hạn Đặc biệt, W (Lp , Lq ) = Lp Với số mũ (q, r) cho a ∈ Lq toán tử Aϕa ,ϕ2 bị chặn Lr với tất hàm cửa sổ ϕ1 , ϕ2 lớp hợp lý Toán tử Aaϕ1 ,ϕ2 viết lại tốn tử tích phân 1.5.2 Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa Định lý 1.4 (Theorem 1.2, [1]) Cho a ∈ Lq (R2d ), ϕ1 , ϕ2 ∈ S(Rd ) Khi 1 Aϕa ,ϕ2 xác định bị chặn Lr (Rd ), với ≤ q, r ≤ ∞, ≥ − , q r 30 với ước lượng Aϕa ,ϕ2 f r ≤ Cϕ1 ,ϕ2 a q f r Chứng minh Với q = ∞, r = 2, chứng minh nhiều tài liệu Và thực ra, suy từ cơng thức biến đổi Fourier thời gian ngắn, STFT xác định phép đẳng cự L2 (Rd ) → L2 (R2d ) Theo định lí nội suy Riez - Thorin, ta cần chứng minh ước lượng: Aaϕ1 ,ϕ2 f a r q f r, a ∈ Lq 2d , f ∈ Lr d , (1.67) với ≤ q ≤ 2, ≤ r ≤ ∞ Hơn cần chứng minh (1.67) với biểu trưng thuộc Schwartz, tính trù mật S(R2d ) Lq (R2d ) Cho a ∈ S(R2d ), hạt nhân Aaϕ1 ,ϕ2 hàm thuộc Schwartz xác định a (t, ω) Mω Tt ϕ2 (x) M−ω Tt ϕ1 (y)dtdω K (x, y) = R2d F2 a (t, y − x) Tt ϕ1 (y)Tt ϕ2 (x) dt, = Rd đó, F2 viết tắt biến đổi Fourier biến th hai Theo bt ng thc Hăolder, s i bin tuyến tính bất đẳng thức Hausdorff - Young thu được: |K (x, y)| ≤ (F2 a) (·, y − x) q T−y ϕ1 T−x ϕ2 = (F2 a) (·, y − x) q ϕ2 Tx−y ϕ1 a (·, y − x) q q q ϕ2 Tx−y ϕ1 q Đặt Bz = a (·, z) Ta có |K(x, y)| q ϕ2 T−z ϕ1 q B(x − y) Sai số ước lượng (1.67) chứng minh từ bất đẳng thức Young chứng minh rằng: B a q Điều cú c s dng bt ng thc Hăolder mt lần B (z) dz a q ϕ2 T−z ϕ1 qq q 31 (với thay đổi tương ứng q = ∞) Tích phân cuối thực chất hội tụ hoàn toàn cho ϕ1 , ϕ2 ∈ S(Rd ) 32 Chương Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Trong chương này, tác giả trình bày điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp 2.1 Điều kiện đủ cho tính bị chặn Bây ta xét trường hợp biểu trưng hàm thuộc khơng gian Wiener hỗn hợp Có nhận xét quan trọng là: hai hàm cửa sổ γ1 , γ2 ∈ (Rd ) có giá hình cầu có bán kính R > STFT Vγ1 γ2 (x, ω) giá dải B(y0 , 2R) × Rd , với y0 ∈ Rd s Ta ký hiệu B(W (Lr , Ls )) không gian Banach toán tử bị chặn W (Lr , Ls ) Mệnh đề 2.1 Cho a ∈ W L1 , L∞ tử Aaϕ1 ,ϕ2 bị chặn W L2 , Ls Aaϕ1 ,ϕ2 R2d , ϕ1 , ϕ2 ∈ M1 Rd Khi đó, tốn Rd với ≤ s ≤ ∞, với ước lượng a B(W (L2 ,Ls )) W (L1 ,L∞ ) ϕ1 M1 ϕ2 M1 Chứng minh Chúng ta phải chứng minh ước lượng | Aaϕ1 ,ϕ2 f, g | ≤ C a W (L1 ,L∞ ) f W (L2 ,Ls ) g W (L2 ,Ls ) ϕ1 M1 ϕ2 M1 33 với f ∈ W L2 , Ls , g ∈ W L2 , Ls Sử dụng định nghĩa yếu (1.65) ta viết Aaϕ1 ,ϕ2 f, g = a (x, ω) Vϕ1 f (x, ω) Vϕ2 g (x, ω)dxdω R2d Theo Bổ đề 1.13(ii) Viết f = | Aaϕ1 ,ϕ2 f, g | ≤ a W (L1 ,L∞ ) f Tk χQ g = gTh χQ Hơn nữa, chọn ψ ∈ S(Rd ) thỏa mãn k∈Zd Vϕ1 f Vϕ2 g W (L1 ,L∞ ) h∈Zd (1.54) viết ϕ1 = l∈Zd ϕ1,l , ϕ2 = m∈Zd ϕ2,m , với ϕ1,l = ψ(D − l) ϕ1 ϕ2,m = ψ(D − m) ϕ2 Ta suy | Aϕa ,ϕ2 f, g | ≤ a Vϕ1,l (f Tk χQ ) Vϕ2,m (gTh χQ ) W (L1 ,L∞ ) m,l∈Zd k,h∈Zd W (L1 ,L∞ ) (2.1) Bằng cách áp dụng Bổ đề 1.8(iv) (v) ta F Vϕ1,l (f Tk χQ ) Vϕ2,m (gTh χQ ) (x, ω) = VgTh χQ (f Tk χQ ) (−ω, x) Vϕ2,m ϕ1,l (−ω, x) = VgTh χQ (f Tk χQ ) (−ω, x) Vϕ2 Tm ψ (ϕ1 Tl ψ) (x, ω) Do đó, quan sát nêu trước mệnh đề tại, biểu thức Vϕ1,l (f Tk χQ ) Vϕ2,m (gTh χQ ) có biến đổi Fourier với giá nằm hình cầu R2d , bán kính độc lập với k, h, m, l Do đó, từ (2.1) Mệnh đề 1.14 có | Aaϕ1 ,ϕ2 f, g | a Vϕ1,l (f Tk χQ ) Vϕ2,m (gTh χQ ) W (L1 ,L∞ ) m,l∈Zd k,h∈Zd (2.2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz công thức Parseval biểu thức cuối ≤ a Vϕ1,l (f Tk χQ ) (x, ·) W (L1 ,L∞ ) m,l∈Zd k,h∈Zd Rd Vϕ2,m (gTh χQ ) (x, ·) dx 34 = a f Tk χQ Tx ϕ1,l W (L1 ,L∞ ) m,l∈Zd k,h∈Zd ≤ a f Tk χQ W (L1 ,L∞ ) gTh χQ gTh χQ Tx ϕ2,m dx Rd k,h∈Zd × Tk χQ Tx ϕ1,l ∞ Rd m,l∈Zd Th χQ Tx ϕ2,m ∞ dx Chúng ta chứng minh Tk χQ Tx ϕ1,l ∞ Th χQ Tx ϕ2,m χQ Tx ϕ1,l ∞ χQ Tx+k−h ϕ2,m Rd = Rd ∞ dx ∞ dx = vk−h,l,m với dãy v = vk,l,m ∈ l1 Z3d thỏa mãn v ϕ1 l1 (3d ) M1 ϕ2 (2.3) M1 Giả sử có (2.3), áp dụng bt ng thc Hăolder v Young, cú | Aa1 ,2 f, g | a vk−h,l,m gTh χQ W (L1 ,L∞ ) m,l∈d a W (L1 ,L∞ )  × s vk−h,l,m gTh χQ  m,l∈d ≤ a f Tk χQ k,h∈d k∈d  s1 s s f Tk χQ  k∈d h∈d W (L1 ,L∞ ) s × vk−h,l,m m,l∈d k∈d s s gTh χQ h∈d f Tk χQ s k∈d ước lượng mong muốn suy (2.3) Chúng ta chứng minh (2.3) Thậy vậy: vk,l,m = k∈Zd χQ Tx ϕ1,l Rd ϕ2,m χQ Tx+k−h ϕ2,m ∞ k∈Zd W (L∞ ,L1 ) × χQ Tx ϕ1,l Rd ∞ dx ∞ dx (2.4) 35 ϕ1,l W (L∞ ,L1 ) ϕ1,l ϕ2,m (2.5) W (L∞ ,L1 ) ϕ2,m , (2.6) đó, ước lượng cuối suy từ Mệnh đề 1.14 Sau đó, từ Mệnh đề 1.13, ta có: vk,l,m k,l,m∈Zd ϕ1,l l∈Zd ϕ1,m ϕ1 M1 ϕ2 M1 m∈Zd Do kết luận chứng minh Chú ý 2.1 Bằng cách tương tự phép chứng minh Mệnh đề 2.1 (nhưng đơn giản hơn), cho thấy a ∈ L∞ (R2d ) ϕ1 , ϕ2 ∈ W L∞ , L1 Khi Aaϕ1 ,ϕ2 bị chặn W L2 , Ls Rd với số ≤ s ≤ ∞ Định lý 2.1 Cho a ∈ W (Lp , Lq ) R2d , ϕ1 , ϕ2 ∈ M (Rd ) Nếu ≤ p, q, r, s ≤ ∞, 1 ≥ − q r (2.7) tốn tử Aaϕ1 ,ϕ2 bị chặn W (Lr , Ls ) R2d , với ước lượng Aaϕ1 ,ϕ2 a B(W (Lr ,Ls )) Hình 2.1 mơ tả dải số mũ 1 r, q W (Lp ,Lq ) ϕ1 M1 ϕ2 M1 (2.8) tính bị chặn Aaϕ1 ,ϕ2 Hình 2.1: Ước lượng (2.8) cho cặp 1 , r q vùng kín mà ≤ p, s ≤ ∞ Rd 36 Chứng minh Nhờ quan hệ bao hàm không gian Wiener hỗn hợp, cần chứng minh với p = Với q = ∞, r = 2, kết chứng minh [5,Theorem 1.1] Thật vậy, sử dụng quan hệ L1 ⊂ FL∞ quan hệ bao hàm khơng gian Wiener hỗn hợp có W L1 , L∞ ⊂ W (FL∞ , L∞ ) = M ∞ Do đó, a thuộc khơng gian điều chế tốn tử Aϕa ,ϕ2 bị chặn M = L2 Chúng ta trường hợp ≤ q ≤ xảy liên tục Aϕa ,ϕ2 W (Lr , Ls ) với ≤ r, s ≤ ∞, hàm phức nội suy với trường hợp (q, r) = (∞, 2) xem Mệnh đề 2.1 (xem Bổ đề 1.13 (iii) Hình 2.1) có tính bị chặn tốn tử Aϕa ,ϕ2 theo điều kiện (2.7) s < ∞ Các trường hợp lại, s = ∞ q > (và r > 1) suy tính đối ngẫu, W (Lr , Ls ) = W Lr , Ls Aϕa ,ϕ2 ∗ (Mệnh đề 1.5(iv) ), = Aaϕ1 ,ϕ2 Do đó, lấy ≤ q ≤ Chúng ta viết Aaϕ1 ,ϕ2 dạng tốn tử tích phân với hạt nhân a (t, ω) Mω Tt ϕ2 (x) M−ω Tt ϕ1 (y)dtdω K (x, y) = (2.9) R2d = F2 a (t, y − x) Tt ϕ1 (y)Tt ϕ2 (x) dt (2.10) F ϕ1 (y − ·)ϕ2 (x − ·) (ω) Fa (ω, y − x) dω (2.11) Vϕ∗2 Ty ϕ∗1 (x, ω) Fa (ω, y − x) dω (2.12) Rd = Rd = Rd Với kí hiệu f ∗ (t) = f (−t) Chúng ta đánh giá hạt nhân sau: |K (x, y)| ≤ Rd Vϕ∗2 Ty ϕ∗1 (x, ω) Fa (ω, y − x) dω = Rd Vϕ∗2 ϕ∗1 (x − y, ω) Fa (ω, y − x) dω Sau STFT đạt Vg (Ty f ) (x, ω) = e−2πiωy Vg f (x − y, ω), xem (1.24) Để đơn giản đặt Φ := Vϕ∗2 ϕ∗1 Hơn nữa, biến đổi τ F (t, u) = F (−u, t) Vì hạt nhân K bị chặn |K (x, y)| ≤ |τ Φ (ω, y − x)| |Fa (ω, y − x)| dω Rd 37 Đặt B (t) := Rd |τ Φ (ω, t)| |Fa (ω, t)| dω ước lượng theo chuẩn L1 B |τ Φ (ω, t)| |Fa (ω, t)| dωdt = Rd Rd ≤ τΦ W (Lq ,L1 ) ≤ τΦ M1 = Φ ϕ1 M1 M1 a a Fa W (Lq ,L∞ ) W (L1 ,Lq ) W (L1 ,Lq ) ϕ2 M1 a W (L1 ,Lq ) Chúng ta sử dụng FL1 ⊂ Lq , miền địa phương thỏa mãn W FL1 , L1 ⊂ W Lq , L1 (Bổ đề 1.13, mục (ii)) đẳng thức W FL1 , L1 = M kết hợp với cơng thức (1.62) Do viết |(Aϕa ,ϕ2 f ) (x)| (|B ∗ | ∗ |f |) (x) với B ∗ (x) = B (−x) áp dụng bất đẳng thức Yuong kết hợp với thuộc tính khơng gian Wiener Bổ đề 1.13 (i), suy tính liên tục W (Lr , Ls ) Chú ý 2.2 Cho r = s, ta có kết tính bị chặn khơng gian Lr , nêu Định lí 1.4 cho cửa sổ Schwarts 2.2 Điều kiện cần cho tính bị chặn Chúng ta nhớ lại nội dung Bổ đề 1.10, xét không gian Wiener hỗn hợp Bổ đề 2.1 Với ký hiệu Bổ đề 1.10, có với q ≥ 2, hλ d W (Lp ,Lq ) d λq−2 , λ ≥ Chứng minh Khi p ≤ q, kết thu từ Bổ đề 1.10 sử dụng hàm nhúng Lq → W (Lp , Lq ) Khi p > q, áp dụng Mệnh đề 1.14 Bổ đề 1.10 ta có kết 38 Mệnh đề 2.2 (Proposition 4.2, [1]) Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ C0∞ Rd , χ ∈ C ∞ Rd , với ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = χ (0) = 1, ϕ1 ≥ 0, ϕ2 ≥ 0, χ ≥ Nếu ước lượng χAaϕ1 ,ϕ2 f r ≤C a W (Lp ,Lq ) f ∀f ∈ S Rd , ∀a ∈ S R2d W (Ls1 ,Ls2 ) , (2.13) với ≤ p, q, r, s1 , s2 ≤ ∞ 1 ≥ − q r (2.14) Chứng minh Giả sử ≤ q < 2, ta có kết hiển nhiên Nếu q ≥ ta xét hàm có giá trị thực h ∈ C0∞ , với h(0) = 1, h ≥ Xét hλ (x) = h (x) e−πiλ|x| , λ ≥ Chúng ta kiểm tra ước lượng (2.13) f = hλ a (x, ω) = aλ (x, ω) = h (x) F −1 hλ (ω) Rõ ràng, hλ W (Ls1 ,Ls2 ) không phụ thuộc vào λ Mặt khác theo Bổ đề 2.1 ta có: aλ W (Lp ,Lq ) = h W (Lp ,Lq ) d F −1 hλ W (Lp ,Lq ) d λq−2 Do đó, chứng minh χAϕaλ1 ,ϕ2 f d λ− r r (2.15) Do (2.14) suy từ 2.13 cách cho λ → +∞ Trong thực tế (2.15) hệ ước lượng điểm χ (x) Aϕaλ1 ,ϕ2 hλ (x) với |x| ≤ λ−1 λ ≥ λ0 đủ lớn, thu kết từ biểu diễn Aϕaλ1 ,ϕ2 (2.9) tốn tử tích phân Định lý 2.2 (Theorem 4.3,[1]) Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ C0∞ (Rd ), với ϕ1 (0) = ϕ2 (0), ϕ1 ≥ 0, ϕ2 ≥ Nếu với ≤ p, q, r, s ≤ ∞ ước lượng Aaϕ1 ,ϕ2 f W (Lr ,Ls ) ≤C a W (Lp ,Lq ) f W (Lr ,Ls ) , ∀f ∈ S Rd , ∀a ∈ S R2d (2.16) 1 ≥ − q r (2.17) 39 Chứng minh Chúng ta giả sử q ≥ (nếu trái lại (2.17) tâm thường), r ≥ Trường hợp ≤ r < thu tính đối ngẫu, Aϕa ,ϕ2 ∗ = Aϕa ,ϕ2 Cho χ ∈ C0∞ Rd , χ ≥ 0, χ (0) = Khi (2.16) suy χAϕa ,ϕ2 f W (Lr ,Ls ) ≤C a W (Lp ,Lq ) f W (Lr ,Ls ) , ∀f ∈ S Rd , ∀a ∈ S R2d Cho hàm u có giá compact cố định có u W (Lr ,Ls ) u r χAaϕ1 ,ϕ2 f r ≤C a W (Lp ,Lq ) f W (Lr ,Ls ) , ∀f ∈ S Rd , ∀a ∈ S R2d Do (2.17) suy từ Mệnh đề 2.2 Từ hệ Định lí 2.2 Định lí Đồ thị đóng nhận kết sau Định lý 2.3 (Theorem 4.4, [1]) Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ C0∞ Rd với ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = 1, ϕ1 ≥ 0, ϕ2 ≥ Giả sử với ≤ p, q, r, s ≤ ∞ với a ∈ W (Lq , Lp ) R2d toán tử Aϕa ,ϕ2 bị chặn W (Lr , Ls ) Rd Khi (2.17) 40 Kết luận Luận văn trình bày tổng quan số vấn đề sau: • Biến đổi Fourier,biến đổi Fourier thời gian ngắn, không gian biến điệu • Tốn tử địa phương hóa Khơng gian Wiener hỗn hợp khơng gian biến điệu • Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy giáo bạn đồng nghiệp để luận văn tơi hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn 41 Tài liệu tham khảo [1] Elena Cordero and Fabio Nicola (2011), “Some Remark on Localization Operators”, Pseudo-Differential Operators: Analysis, Applications and Computations, Vol 213, pp 289305, Birkhăauser, Basel [2] K Grăochenig (2001), Foundation of Time-frequency Analysis, Birkhăauser, Boston [3] M.W.Wong (1999), Localization Operators, Seul National University, Reseach Institute of Mathematics, Global Analysis Reseach Center, Seul [4] Ferenc Weisz (2008), “Multiplier theorems for the short-time Fourier transform”, Integral Equations and Operator Theory, Volume 60, Issue 1, pp 133-149, Springer [5] Elena Corderoa and Karlheinz Grăochenig (2003),"Time-Frequency analysis of localization operators" Journal of Functional Analysis, Academic Press ... luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính bị chặn tốn tử địa phương hóa không gian Wiener hỗn hợp Đối tượng nghiên cứu Tính bị chặn Tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp. .. lớp tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lớp tốn tử địa phương hóa, trọng vào chứng minh tính bị chặn tốn tử địa phương hóa khơng gian Wiener hỗn hợp Giới... 1.5 Toán tử địa phương hóa 28 1.5.1 Định nghĩa tính chất 28 1.5.2 Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa 29 Chương Tính bị chặn tốn tử địa phương hóa