Luận văn về tính đơn điệu của toán tử và áp dụng trong bất đẳng thức biến phân

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI II Lấ HONG GIANG Vẩ TNH N IấU CA TON T V P DUNG TRONG BT NG THC BIN PHN LUN VN THC s TON HC H NI, 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI II Lấ HONG GIANG Vẩ TNH N IấU CA TON T V P DUNG TRONG BT NG THC BIN PHN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH Lờ Dng Mu LI CM N Trong quỏ trỡnh hc v thc hin lun vn, tụi ó nhn uc s dy bo tn tỡnh ca cỏc thy cụ giỏo trung i hc Su phm H ni II c bit l s ch bo, dn trc tip ca GS TSKH Lờ Dng Muu Qua õy, tụi xin by t lũng bit n sõu sc n GS TSKH Lờ Dng Muu, cỏc thy cụ giỏo cựng cỏc bn ng nghip ó giỳp tụi sut thi gian thc hin lun H Ni, thỏng nm 2016 Tỏc gi Lờ Hung Giang LI CAM OAN Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó uc cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó uc ch rừ ngun gc H Ni, thỏng nm 2016 Ngui cam oan Lờ Hung Giang Mc Lc Cỏc ký hiu v danh mc cỏc t vit tt H - Khụng gian Hilbert M-Tp s thc [a,b] - on úng ca hp s thc vi cỏc u mỳt a, b v a < b (a, b) - Khong m ca hp s thc vi cỏc u mỳt a, b v a < b V Vi mi - Tn ti ( ) - Tớch vụ I I - Chun domf - Min hu hiu ca ỏnh x a tr / gphf - th ca ỏnh x a tr / rgef - Min nh ca ỏnh x a tr / 2Y - gm ton b cỏc ca Y 2H - gm ton b cỏc ca H Pc - Phộp chiu VIP - Bi toỏn bt ng thc bin phõn Soi - Tp nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn M U Lý chn ti Trong cỏc lnh vc ca gii tớch hin i, toỏn t n iu khụng nhng cú ý ngha v mt lý thuyt m cũn cú úng gúp quan trng lnh vc kinh t c bit, toỏn t n iu l cụng c uc s dng nhiu v rt hiu qu toỏn hc ng dng Nú giỳp ớch cho vic nghiờn cu v cu trỳc nghim, xõy dng phung phỏp gii cỏc bi toỏn cõn bng, bt ng thc bin phõn v bi toỏn ti uu Bn lun ny nghiờn cu toỏn t n iu v ng dng ca nú vo bt ng thc bin phõn ti lun l v tớnh n iu ca toỏn t v ỏp dng bt ng thc bin phõn Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v nm uc cỏc kin thc v toỏn t n iu, bt ng thc bin phõn, c bit l tip cn uc ng dng ca toỏn t n iu bt ng thc bin phõn Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu v tớnh n iu ca toỏn t khụng gian Hilbert Nghiờn cu bi toỏn bt ng thc bin phõn ng dng v tớnh n iu ca toỏn t vo bi toỏn bt ng thc bin phõn i tng v phm vi nghiờn cu Trong lun i tng ỏp dng chớnh l toỏn t n iu, bt ng thc bin phõn v ỏp dng toỏn t n iu vo bt ng thc bin phõn Phng phỏp nghiờn cu Tỡm tũi, thu thp cỏc ti liu v toỏn t n iu, bt ng thc bin phõn Nghiờn cu cỏc ti liu liờn quan n ti Phõn tớch, tng hp v h thng cỏc kin thc liờn quan ti toỏn t n iu, bt ng thc bin phõn v xột mt s ng dng ca toỏn t n iu bi toỏn bt ng thc bin phõn D kin úng gúp mi Hon thnh bn lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch theo ti v tớnh n iu ca toỏn t v ỏp dng bt ng thc bin phõn, vi mong mun lun s l mt ti liu tham kho b ớch cho nhng cú nhu cu tỡm hiu v ti ny NễI DUNG Chng Toỏn t n iờu * Ni dung ca chng gm phn chớnh: Mt s kin thc c s v khụng gian Hilbert, bt ng thc Schwarz, ng thc hỡnh bỡnh hnh Tip theo l toỏn t n iu cựng cỏc khỏi nim liờn quan n li, hm li Cỏc kin thc chng ny ly t ti liu [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9] 1.1 Khụng gian Hilbert 1.1.1 nh ngha v vớ d nh ngha 1.1 Cho khụng gian tuyn tớnh H trờn R Tớch v hng xỏc nh H l mt nh x: tha cỏc iu kin sau: i { x , y ) = { y , x } , \ / x , y G ii ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) , Vx,y , z G iii ( x , y ) = x , y ) , \ / x , y e H , e M x , x ) > 0, Vx e H , iv \ x , x j = X = ú ( x , y ) c gi l tớch vụ hng ca hai vect X v y nh lý 1.1 H c gi l khụng gian tin Hlbert (hay khụng gian Unita , khụng gian vi tớch vụ hng) kh H l khụng gian tuyn tinh nh chun, vi chun c xỏc nh bi cụng thc: ||x|| = y J ( x , x ) , V x e H Chun ny c gi l chun sinh bi tớch vụ hng Vớ du 1.1 Khụng gian vect thc k chiu M* l mt khụng gian Hilbert cựng vi tớch vụ hng: k (xy) = Hxiyi i=l v chun sinh bi tớch vụ hng ú X = (*!,*2,= { y ỡ , y , , y i ) e M* c[a,b] l tt c cỏc hm thc liờn tc trờn [a,b] cựng vi tớch vụ hng {x,y) = bx(t)y(t)dt,x(t),y(t) e c [ a , b ] v chun sinh bi tớch vụ hng |x(ớ)|2ớ/ớ ||x|| = khụng l mt khụng gian Hilbert c ^ a b ] l khụng gian gm L2[a,b] khụng gian cỏc hm bỡnh phng kh tớch l mt khụng gian tin Hilbert khụng vi tớch vụ hng: {x,y) = b x(t)y(t)dt 1.1.2 Mt s tớnh cht quan trng nh lý 1.2 (Bt ng thc Cauchy-Schwarz) Cho H l mt khụng gian tin Hilbert Vi V x , y Ê H ta c bt ng thc: Du = xy x, y)| = ||x|| Illll (3 a Ê M), X = ay hoc y = ax nh lý 1.3 (ng thc hỡnh bỡnh hnh) H l khụng gian tin Hilbert, vi mi x,y EH ta cú: Ăx+y(+x-yf=2{(+y() ng thc ny cú ngha l: tng bỡnh phng cỏc cnh ca mt hỡnh bỡnh hnh bng tng bỡnh phng ca hai ng chộo nh lý 1.4 Trong khụng gian tin Hilbert thc, nu lim xn = a v lim yn = b thỡ: lim nằ00 (wn ) = (ô>&) t\ 1.2 Toỏn t on iờu 1.2.1 Tp li v hm li 1.2.1.1 Tp li nh ngha 1.2 Cho H l khụng gian tuyn tinh thc, c cz // c gi l li nu: Vx,y e c,V/L eM:0 X e c Vớ d 1.3 Trong M2, c = e X + y < R2^ l úng 1.4 Tp hp c l li kh v ch kh n cha mi t hp li ca cỏc im ca n, tc l c li kh v ch kh: nh ngha M vi mi x1,^2, ,^* G C',yk e N; = => e M > Mnh 1.1 (Giao cỏc li) Nu A, B l cỏc li M", c l li thỡ cỏc sau l li: bt ng thc bin phõn, s tn ti nghim ca bt ng thc bin phõn n iu Ni dung ca chuụng tham kho t cỏc ti liu [4], [10], [11] 2.1 Phỏt biu bi toỏn bt ng thc bin phõn 2.1 Trong khụng gian Hlbert cho c l li, úng, khỏc rng v mt ỏnh x F: c > H liờn tc Bi toỏn bt ng thc bin phõn (k hiu l VIP) nh ngha l bi toỏn tỡm X* e C : ^ Tp tt c cỏc im X* e F ( X * > , V X eC (2.1) c tha (2.1) uc gi l nghim ca VIP, uc ký hiu l Sol(VIP(CF)) Vớ d 2.1 Cho F: [a,b] ằ M l hm liờn tc trờn [a,b] Tỡm X* tha F ( X *) = F(x) Ta cú f'(x )(x - x ) > vi mi xe[a,b] thỡ bt ng thc f'(x )(x-x ) > cng l mt bt ng thc bin phõn Trờn õy l bi toỏn bt ng thc bin phõn n tr i vi ỏnh x F Sau õy, ta s xột bi toỏn bt ng thc bin phõn vi F l ỏnh x a tr Bi toỏn ny uc gi l bi toỏn bt ng thc bin phõn tng quỏt nh ngha 2.2 Trong H cho H F : c ằ c l li, úng, khỏc rng v ỏnh x a tr Bi toỏn bt ng thc bin phõn tng quỏt ( gi tt l GVIP) l bi toỏn tỡm X* e c : 3f* e F ( X * - x * ^ , Vx e c 2.2 S tn ti nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn on iu nh lý 2.1 ( nh lý Brouwer) Cho c l mt li úng, b chn khụng gian Hilbert v o : c > c l nh x liờn tc Khi , tn ti X* e Csao cho X* = 0(x*) c l li, compc yu, khỏc rng v ỏnh x F l ỏnh x liờn tc trờn c thỡ bi toỏn VIP c nghim hay Soi (VIP(C,F)) ^ nh lý 2.2 Neu c, ta ly Chng minh: Vi mi X e 0( x ) : = P c ( x - F ( x) ) V > Khi ú, c l úng nờn phộp chiu uc xỏc nh Do F l liờn tc v Pc () liờn tc nờn liờn tc vỡ l hp ca cỏc ỏnh x liờn tc, rừ rng o : c > c Do c l compc yu nờn theo nh lý Brouwer tn ti X* G c cho đ(x*) = x-, tc l O(X*) = PC(X*-F(X*)) = X* Theo tớnh cht ca phộp chiu, ta cú (X*-F(X*)-X*,X-X*)^ F ( X *), X - X *^>0, VxeC Vy X* chớnh l nghim ca bi toỏn (VIP) H qu 2.1 Neu X* l nghim ca bi toỏn VIP(C,F), X* Ê inte thỡ F ( X *) = Chng minh: Vi Ê, Ê H tựy ý, suy 3xeC,3Ê>0:^ = s(x-x*) Ta cú ( F ( X *), ầ ) = 0, v e H => nh lý 2.3 Cho li úng CỗH v F : F ( X *) = c > H l ỏnh x liờn tc Khi , bi toỏn VIP(C,F) c nghim v ch tn ti mt s R > cho c mt nghim X R ca bi toỏn VIP(C,F) tha ||xR II < R Chng minh: [=>] Gi s X* Ê S O 1(VIP(C R ,F)) Suy X* ÊS O 1(VIP(C R ,F)),VR>0 Ch cn chn R ln cú mt nghim X R tha ||xR II < R [ v X R Ê Sol(VIP(C, F)) tha ||xR II < R t V Suy c C = B(0,R) nC X E =Ê XRR +(x-X R ) e C R ,Vx e vi Ê (F(x R ),x -x R )>0o(F(x R ),x-x R )>0,VxeC Vy X R e Sol(VIP(C,F)) nh ngha 2.3 Cho CcH Mt ỏnh x F: c ằH c gi l bc trờn c ( F ( X )- F ( X ), X - X ) lim (2.1) ằ +00 X* e c cho X G c v X > +00 tn ti Nhn xột 2.1 iu kin (2.1) tong ong vi mi M > 0,3y > cho ( F ( X )-F( X 0), X - X } llx-xl Nu F l on iu mnh trờn > cho c, ngha l 3y > M, Vx > y G c,||x|| (F( X ) - F(y), X - y) > X ||x - y||2, Vx,y e F tha iu kin bc trờn c c thỡ nu nh lý 2.4 Cho li úng CgH Vô nh x liờn tc F : c > H tha iu kin bc Khi ú, bi toỏn (VIP) c nghim Chng minh: Theo gi thit, ta cú ( F ( X )-F( X ), X - X ) - -1+7+ x-x xeC v llxll > +00 Suy vi VK > 0, tn ti R > cho ( F ( X )- F ( X ), X - X } + ằ K, V ||x|| > R, X e c Hay ^F( X )-F( X ), X - X ^ >K X-X ,V|| X ||>R Do ú ^F(x),x-x ^ > K x-x + ^ F ( X ), X - X ^,V| X | > > R Suy ^F(x),x - x ^ > K x-x -| F ( X )||.|| X - X ,V|| X ||>R Hay ^F(x),x-x ^ > (K-|| F ( X )|)|| X - X >0,V X eC,||x|| = R Suy ^F( X ), X - X ^ > 0,Vx G c,v||x|| > R (2.2) Gi s X R =S O 1(VIP(C R ),F) Suy ( F ( X R ), X R - X } = -( F ( X R ), X - X R } H liờn tc yu v n iu c Khi , X* l nghim ca bi toỏn VIP(C,F) v ch ^F(x),x-x*^> 0,V X G c Chng minh: [=>] Theo gi thit F n iu, X* G c, X* l nghim ca bi toỏn VI(C,F) Ta cú < ^F( X )-F( X *),x- x*^ = ^F(x),x - X *^-^ F ( X *), X -x*^, Vx G c Nhu vy 00,VyEC Hay GC ^FX* + A,(x-x*)j,A,(x-x*^>0,VxEC Rỳt gn, ta cú ^F(X* + A,(X-X*)),X-X*^>0,VXEC Cho X ằ 0+ m F li liờn tc nờn |Fx*j,x-x*>0,VxÊC Mờnh 2.1 Gi s a > Vi mi X E c t h x := ( ) Pcớx F(x) va Khi , X* = h(x*) v ch kh X* l nghim ca (VIP) Chng minh: Theo tớnh cht ca phộp chiu, h l ỏnh x on tr t c vo c Do i mnh (1.2), ta cú * / _*\ _* T1 / * \^ X =h (x J = Pc^x -^F(x )J F(X*),X-X*^> 0, VXEC c Bt ng thc cui ỳng v ch ^ F ( X *), X - X *^ > 0, Vx E n Mnh 2.2 Gi s l li, ng v nh x : ằ n iu mnh c trờn Fc M c vi h s |ui v Lpschtz trờn c vi hng s L Khi ú nu T > thỡ 2\x h x := ( ) Pcfx F(x)>' ^T nh x co trờn c vi h s co TT r Chng mỡnh: Do tớnh khụng gión ca phộp chiờu nờn ||h(x)-h(y)|| =x-èF(x)-(y-F(y) - Il x - yf -|-|^||x-y|| V ||F(x)-F(y)f 2|UL H qu 2.2 Nu c l li, ng v nh x F l n iu mnh, Lỡpschỡtz trờn c thỡ bi toỏn (VIP) luụn c nht nghim Nhc li rng, mt toỏn t t c > H c gi l gi n iu mnh trờn c nu 3p > tha (F(x),y-x)>0=>(F(y),x-y) H gi n iu mnh Khi ú bi toỏn (VIP) tn ti v nht nghim Chng minh: - Trc tiờn, gi s c khụng b chn, ta phi chng minh iu kin bc sau: hỡnh cu úng B: (vx G C\B,3y G c nB: ^F(x),y-x^ < o) Tht vy, nu trỏi li, vi mi hỡnh cu úng B r tõm o bỏn kớnh r, 3xr e C\B r tha ^F(x),y-x^ > 0,Vy e CnB r C nh ro > 0, ú vi mi r > ro, 3xr eC\B r , tha ^F(x r ),y - xr^ > vi y e CnB Khi ú, F l p - gi n iu mnh nờn ta cú (F(y),x'-y") + p X -y ro < 0,Vr (2.4) Do c li v ^F^y j,ô-y ^ li trờn c, nờn theo gii tớch li, tn ti x E c tha v(F(y),x-y)ớ0 ú V^F(y",x" - y '' l o hm ca (F(y l ),*-y"} ti x Ly w- e v(F(y),x-y) Theo nh ngha di vi phõn (w*,x-x) + ^F(y),x -y^ 00 mõu thun vi (2.4) >(F(y),x-y")- w x r -x +p x r -y r Cho r ^ 00, X > QO, ta cú Do ú, iu kin bc cn phi tha món, vỡ vy (VIP) cú nghim - Trng hp c b chn, da theo nh lý Brouwer nh trờn, ta cú iu phi chng minh - Bõy gi, chỳng ta chng minh trng hp tớnh nht nghim Gi s VIP cú hai nghim Khi ú, X*, y\ Theo nh lý 2.5 ta cú: (F(x*),y*-x*)>0 V (2.5) (F(y* ),x*-y* )>0 =>( F (/),/-X*)s0 Do F l p - gi >0 (2.6) n iu mnh, suy T (2.5) v (2.6) suy (F(y*),x*-y} = * _ * Vy VIP tn ti v nht nghim Kt lun chng Ni dung ca chng ny h thng li cỏc nh ngha v bi toỏn bt ng thc bin phõn v nghiờn cu ỏp dng ca toỏn t n iu vo bi toỏn bt ng thc bin phõn Ti liờu tham kho A Ti liu Ting Vit [1] Nguyn Vn Hin, Lờ Dng Mu, Nguyn Hu in, Gii tớch li ng dng, NXB i hc Quc gia H Ni, 2015 [2] Nguyn Ph Hy, Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut H Ni, 2005 [3] Hong Ty, Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia, 2003 [4] Nguyn Nng Tõm, Bi ging bt ng thc bin phõn, Trng i hc S phm H Ni 2, 2015 [5] Nguyn ụng Yờn, Gii tớch a tr, NXB Khoa hc t nhiờn v Cụng ngh, 2007 B Ti liu Ting Anh [6] Heinz H Bauschke, Patrick L Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, 2010 [7] Minty G J (1962), Monotone (Nonlinear) Operators in Hilbert Space, Duke Math J 29, pp 341 - 346 [8] Rockafellar R T (1976), Monotone Operators anh the Proximal Point Algroithm, SIAM J Control and Optimization 14, pp 877 - 898 [9] Rockafellar R T (1970), On the Maximality of Sums of Nonlinear Monotone Operators, Trans Amer Math Soc.149, pp 75 - 58 [10] Michael Patriksson, Nonlinear Programming and Variational Inequality Problems, Springer, 2013 [11] Le Dung Muu, Nguyen Van Quy, On existence and Solution Methods for Strongly Presudo monotone Equilibrium Problems, Vietnam journal of Mathematics 43, pp 229-238 III CHNG TRèNH LM VIC Tc gi lun bỏo cỏo kt qu NCKH (ghỡ túm tt) te*c ỳt* hn ia \SJOyf Cỏc ý kỡộn phn bin: - Ngi phn bin ( Ghi túm tt) Li 7"Vi' \t IH&M., /CS&Cớ} Ctớ UiUA4 -lAp Kôu .Êỳ8 c^ .J , ruy - Cu hi cựa Hi ng v tr li ca tỏc gi lun ( ghi rừ h tờn, hc v, hc hm ngtcũi hi v cỏc; cõu tr li cựa tỏc giỏ lun vn) c .n , K t * 'dỳ ớrt [...]... , a e A , b e B , a , p e Rj, n+ m (,c):aeyl,ceCj nh ngha 1.5 Siờu phng trong khụng gian R" l mt tp hp cỏc im c dng: |x e R" aT X = aj, trong ú a e R, a e R" l cỏc vect khỏc 0 v thng c gi l vect phỏp tuyn ca siờu phng Siờu phng chia khụng gian lm hai na khụng gian Vớ du 1.4 1 Trong khụng gian R2, siờu phng l ng thng mt chiu 2 Trong khụng gian R3, siờu phng l chớnh l mt phng hai chiu nh ngha 1.6 Cho... tớnh, cú ngha l: Z) = jxeR" IA x < b } , trong ú A l ma trn cú m hng l cỏc vect a J , j = ỡ , , m v vect bT= (b15b2, ,bm) nh ngha 1.9 Mt tp c trong H c gi l nún nu VA > 0, Vx e c => x E c nh ngha 1.10 Mt nún c c gi l nún li nu c ng thi l mt tp li, tc l: Vx, y G c, VA, , > 0 => Ax + juy G c Mt nún li va l tp li a din thỡ ta núi nú l nún li a din Vớ d 1.5 Trong M", tp jx = xỡ x 2 , , x n : X >... supaTx < a < intaTy xcC ó nh lý 1.5 ( nh lý tỏch 1) c v D l hai tp li, khỏc rng trong H sao cho CnD=0 Khi ú, c mt siờu phang tỏch c v D Cho nh lý 1.6 ( nh lý tỏch 2) Cho c v D l hai tp li úng khỏc rng sao cho CnD = 0 Gi s cú ớt nht mt tp l tp compc Khi ú, hai tp ny cú th tỏch mnh c bi mt siờu phang 1.2.1.2 Hm li nh ngha 1.15 Trong H, cho c l tp li v f \C > R Tp domf c gi l min hu dng ca f khi domf :=x... v T : H ằ 2H l toỏn t n iu cc i Gi s rng tn ti gi tr a > 0 sao cho (x,x*) > 0 vi ||x|| > a,x G domT, X* G T(x) Khi ú, tn ti X G H sao cho O E T( X ) nh lý 1.10 Trong khụng gian Hilbert H cho Tp T2 l cỏc toỏn t n iu cc i t H vo 2H Gi s rng mt trong hai iu kin sau c tha món ỡ dom Tj nintdomT2 ^ 0 ii Tn ti X G cldomTj ncldomT2 sao cho T2 b chn a phng ti X Khi Tj + T2 la toan t n iu cc i Chng minh: Vỡ... phang 1.2.1.2 Hm li nh ngha 1.15 Trong H, cho c l tp li v f \C > R Tp domf c gi l min hu dng ca f khi domf :=x e c|/(x) < +ooj Tp epif := j(x,//) G cX R|/(x) < //j c gi l trờn th ca hm f nh ngha 1.16 Trong H cho c li khỏc rng v /://> R u I+QOj Hm f c gi l: li trờn c nu f(x + (\-X)y)