Luận văn: Tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ đơn điệu doc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn •R n + = {(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n : x i ≥ 0, i = 1, , n} •x, y x y •x x •intA A •clA A •∂A A • ¯ B(x 0 , ) x 0  •B(x 0 , ) x 0  •G : X ⇒ Y G : X ⇒ 2 Y X, Y •A ∈ R r×n r ×n A T A •x ∈ R n x T x •N ∆ (x) ∆ x •0 + ∆ ∆ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ∆ ⊂ R n F : ∆ → R n ¯x ∈ ∆ F (¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆, Sol( ) ¯x ∈ ∆ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ¯x ∈ ∆ F (¯x), y − ¯x /∈ −R + \ {0}, ∀y ∈ ∆. ¯x ∈ Sol( ) 0 ∈ F (¯x) + N ∆ (¯x) N ∆ (¯x) ∆ ¯x N ∆ (¯x) =  {z ∈ R n : z, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ ∆} ¯x ∈ ∆ ∅ ¯x /∈ ∆ ¯x ∈ ∆ ε > 0 F (¯x), y − ¯x ≥ 0, ∀y ∈ ∆ ∩ ¯ B(¯x, ε). ¯x ∈ Sol( ) ε > 0 y ∈ ∆ t =∈ (0, 1) z t := ¯x + t(y − ¯x) ∆ ∩ ¯ B(¯x, ε) 0 ≤ F (¯x), z t − ¯x = tF (¯x), y − ¯x F (¯x), y − ¯x ≥ 0 y ∈ ∆ ¯x ∈ Sol( ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ∆ ⊂ R n F : ∆ → R n ∆ ∆ ⊂ R n F : ∆ → R n x 0 ∈ ∆ F (y) − F (x 0 ), y − x 0  y − x 0  → +∞ y → +∞, y ∈ ∆, γ > 0 ρ > 0 F (y) − F (x 0 ), y − x 0  y − x 0  ≥ γ y ∈ ∆ y > ρ. ∆ x 0 ∈ ∆ x 0 ∈ ∆ ∆ x 0 ∈ ∆ α > 0 F (y) − F (x 0 ), y − x 0  ≥ αy − x 0  2 , ∀y ∈ ∆ α > 0 F (y) − F (x), y − x ≥ αy −x 2 , ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... (1.36) trong đó (0+ )+ = { Rn : T v 0 v 0+ } thì với mọi q Rn , bài toán Ví dụ 1.2.15 Giả sử M và AVI có nghiệm như trong Thí dụ 1.2.11 Dễ dàng kiểm tra rằng điều kiện của Định lí 1.2.14 được thoả mãn Do đó với mọi q = (q1 , q2 ) R2 , bài toán AVI có nghiệm 1.2.3 Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine Chuẩn của một ma trận M Rnìn được tính bởi công thức. .. hiệu là AVI, (trong đó Tập nghiệm Sol( ) AVI của bài toán AVI là tập M Rnìn q Rn tất , cả x thoả ) mãn (1.27) Định nghĩa 1.2.2 Bài toán tìm x sao cho ( M1 x + q1 , x x , , Mm x + qm , x x ) Rm \{0}, x / + được gọi là (1.28) bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine (affine vector variational inequality problem), viết gọn là AVVI Tập nghiệm Sol( ) AVVI của bài toán AVVI là tập tất cả... tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine Mục này trình bày một số định lý cơ bản về tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine Một số điều kiện đơn điệu được đặt lên ánh xạ tuyến M 0+ = {v Rn : Av 0} tính xác định bởi ma trận và nón lùi xa và mối quan hệ giữa vectơ q với tập hạn chế sẽ được sử dụng để chứng minh các định lý này Định nghĩa 1.2.7 Ta nói rằng M Rnìn là đơn điệu. .. mãn: i) X là liên thông ii) Với mọi xX tập G(x) là khác rỗng và liên thông iii) G là nửa liên tục trên trên thì G(X) = X G(x) là liên thông xX Định nghĩa 1.1.30 Giả sử M Rm , N Rl g:N Rn giá trị véc tơ f : Rn ì M Rn là các tập khác rỗng là hàm là hàm đa trị với tập giá trị là lồi, đóng Bài toán tìm điểm x g() sao cho: f (, ), y x 0, y g(), x được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc... ) là một tập lồi, đóng (có thể rỗng) Nhận xét 1.1.10 Nếu F : Rn là ánh xạ liên tục, đơn điệu mạnh (strongly monotone) thì bài toán VI có duy nhất nghiệm Thật vậy, vì F là đơn điệu mạnh nên thoả mãn điều kiện bức, do đó theo Định lí 1.1.5 thì bài toán VI có nghiệm Hơn nữa, F là đơn điệu mạnh thì F là đơn điệu chặt, nên theo i) của Mệnh đề 1.1.9 thì bài toán VI không thể có nhiều hơn một nghiệm 10... Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn x Bài toán tìm sao cho ( M1 x + q1 , x x , , Mm x + qm , x x ) intRm , x / + (1.29) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ affine yếu (weakly affine vector variational inequality problem), viết gọn là AVVI Tập nghiệm )w Sol( AVVI w của bài toán AVVI w là tập tất cả x thoả mãn (1.29) Định nghĩa 1.2.4 Với mọi x , bài toán tìm m m i qi , x x 0, x... tại gốc và có phần trong khác rỗng nếu không nói gì thêm Ta gọi C := {(i )m Rm : , c 0, c C} i=1 C là nón đối ngẫu của Định nghĩa 1.1.11 Bài toán tìm điểm x sao cho: ( F1 (), y x , , Fm (), y x ) C\{0}, y , x x / được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân véc tơ (1.11) (vector variational inequality problem), viết gọn là VVI Tập nghiệm Sol( VVI ) của bài toán VVI là tập tất cả các x thoả... 1.1.4 Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến Mặt khác vì và (1.18) ta có sao cho Điều này chứng Mâu thuẫn phân véc tơ Trong phần này chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu Sol( ) Sol( Sol( )w VVI thì và VVI VVI )w F là strongly monotone thì là các tập liên thông đường Nếu F là monotone là tập liên thông đối với tôpô yếu Ta vẫn sử dụng các kí hiệu trong mục 3 Định nghĩa 1.1.25 Giả sử... đơn điệu 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân affine Trong mục này ta sử các kí hiệu sau: m m = { = (1 , , m ) R : i 0, i = 1}; i=1 m 0 = { = (1 , , m ) Rm : i > 0, i = 1}; i=1 = {x Rn : Ax b, A Rrìn , b Rr } Chúng ta luôn giả thiết rằng = ; M1 , , Mm Rnìn ; q1 , , qm Rn Định nghĩa 1.2.1 Bài toán tìm x sao cho M x + q, x x 0, x (1.27) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân. .. bài toán tìm m m i qi , x x 0, x i Mi x + i=1 được gọi là bài sao cho toán (1.30) i=1 bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc (parametric affine variational inequality problem), viết gọn là AVI Tập nghiệm Sol( ) AVI của bài toán AVI là tập tất cả x tham số thoả mãn (1.30) Định lý 1.2.5 (Xem [8] trang 92) x Rn là nghiệm của bài toán Rm sao cho AVI nếu và chỉ nếu tồn tại = (1 , , r ) M