TÍNH COMPACT và TÍNH LIÊN THÔNG của tập NGHIỆM TRONG bài TOÁN tối ưu PARETO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂMKHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Loan TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO LUẬN VĂN THẠC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Loan

TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG

CỦA TẬP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Loan

TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG

CỦA TẬP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Tạ Duy Phượng

Hà Nội – Năm 2015

Mục lục

Danh mục kí hiệu 3

Lời nói đầu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Giải tích lồi 7

1.1.1 Không gian metric và không gian vectơ 7

1.1.2 Hàm lõm 9

1.1.3 Hàm lõm suy rộng 11

1.1.4 Hàm vectơ lõm và hàm vectơ lõm suy rộng 14

1.2 Tính liên thông của ánh xạ đa trị nửa liên tục 24

1.2.1 Tính liên thông của các tập hợp 24

1.2.2 Ánh xạ đa trị nửa liên tục 27

2 Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán tối ưu Pareto 32 2.1 Tối ưu Pareto 32

2.2 Tính compact và tính liên thông của tập nghiệm trong bài

toán tối ưu Pareto 34

Tài liệu tham khảo 51

Danh mục kí hiệu

R+ nửa đường thẳng thực không âm

Rn không gian Euclide n-chiều

Rn+ tập các vectơ các thành phần không âm của Rn

Rn++ tập các vectơ các thành phần dương của Rn

M 6⊂ N M không là tập con thực sự của N

M ∩ N giao của hai tập M và N

M \ N tập các điểm thuộc M nhưng không thuộc N

M × N tích Descartes của hai tập M và N

λM vị tự tập M theo tỉ số λ ∈ R trong không gian vectơ

infx∈Kf (x) infimum của tập {f (x) : x ∈ K}

supx∈Kf (x) supremum của tập {f (x) : x ∈ K}

Mở đầu

Tối ưu đa mục tiêu là chuyên ngành quan trọng của toán ứng dụng

Về mặt toán học, tối ưu đa mục tiêu là tối ưu với nhiều hàm mục tiêu,thường là độc lập với nhau, thậm chí đối nghịch nhau trên một miền chấpnhận được X ⊆ Rn Hai nhà kinh tế Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ

19 đã đưa ra khái niệm nghiệm hữu hiệu hay điểm Pareto Đây là nhữngkhái niệm nền tảng của tối ưu đa mục tiêu Tuy nhiên phải đến những năm

50 của thế kỷ 20, tối ưu đa mục tiêu mới trở thành một chuyên ngành toánhọc và được phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm qua Những vấn đềchính của tối ưu đa mục tiêu đang được quan tâm nghiên cứu là:

i) Nghiên cứu định tính;

ii) Xây dựng thuật toán xác định tập Pareto;

iii) Tối ưu trên tập Pareto

Cho đến nay, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu tuyến tính gần như hoànchỉnh Một số thuật toán xây dựng tập Pareto và Pareto yếu đã được công

bố Tuy nhiên các thuật toán này mới chỉ hữu hiệu với các bài toán có sốchiều n nhỏ

Bài toán tối ưu đa mục tiêu là mô hình của nhiều bài toán thực tế Thí

dụ trong sản xuất ta cần tìm phương thức đạt chất lượng sản phẩm caonhất, giá thành rẻ nhất, ô nhiễm môi trường thấp nhất, đồng thời đem lạilợi nhuận cao nhất, đầu tư thấp nhất, Đôi khi trong thực tế một phương

án có thể là tốt cho mục tiêu này nhưng lại không tốt cho mục tiêu khác,

từ đó hình thành khái niệm tối ưu Pareto Phương án tối ưu Pareto là

phương án mà không tồn tại phương án nào khác có tất cả các mục tiêukhông kém hơn nhưng có ít nhất một mục tiêu là tốt hơn Các bài toánthực tế thường đòi hỏi tìm không chỉ một hoặc một số, mà toàn bộ cácphương án tối ưu Điều này dẫn đến việc nghiên cứu cấu trúc của toàn bộtập nghiệm, thậm chí cả trong trường hợp khi chưa biết được một phương

án tối ưu cụ thể nào

Vì cần tối ưu nhiều mục tiêu cùng một lúc, nên hàm mục tiêu của bàitoán là một hàm vectơ Trong thực tế, các mục tiêu thường là các hàmthuộc một lớp hàm nào đó (hàm liên tục, hàm tuyến tính, hàm phân thứctuyến tính, hàm lồi (lõm), hàm tựa lồi (tựa lõm), hàm tựa lồi ngặt (tựalõm ngặt), hàm nửa tựa lồi ngặt (nửa tựa lõm ngặt), )

Trong nghiên cứu định tính một số vấn đề cần được nghiên cứu để làmsáng tỏ cấu trúc của tập nghiệm là:

+) Tính đóng của tập nghiệm;

+) Tính compact của tập nghiệm;

+) Tính liên thông, liên thông đường, liên thông đường gấp khúc của tậpnghiệm;

Mục đích của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu về tínhcompact và tính liên thông của tập nghiệm trong bài toán tối ưu Pareto;Chủ yếu dựa trên tài liệu [14]

Luận văn trình bày tính compact và tính liên thông của tập nghiệmtrong bài toán tối ưu Pareto, trong đó hàm mục tiêu và hàm ràng buộc làtựa lõm Do tính chất tựa lõm của hàm mục tiêu và hàm ràng buộc không

đủ để khẳng định tính chất tôpô của tập nghiệm nên ta cần thêm một vàiđiều kiện để chứng minh tính compact và tính liên thông của tập nghiệmtrong bài toán tối ưu Pareto

Luận văn được chia làm hai chương với nội dung như sau

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi và ánh xạ

đa trị, là các kiến thức chuẩn bị cho Chương 2

Chương 2 trình bày tính compact và tính liên thông của tập nghiệmtrong bài toán tối ưu Pareto và mối quan hệ giữa tính compact và tínhliên thông, dựa theo bài báo [14], có tham khảo thêm một số tài liệu khác.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầyPGS TS Tạ Duy Phượng, cùng với sự nỗ lực của bản thân và sự độngviên của bạn bè

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS TS TạDuy Phượng, tới các thầy cô trong Viện Toán học đã giảng dạy và tạo mọiđiều kiện thuận lợi cho tôi để hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn tất cả bạn bè đặc biệt là các bạn lớp cao học K21Viện Toán học đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thờigian học tập và làm luận văn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình đã luôn quan tâm và động viên trongsuốt quá trình học và làm luận văn

Hà Nội, ngày 20 tháng 08 năm 2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Loan

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của giảitích vô hạn chiều như: các không gian metric, không gian vectơ, các hàmlồi, hàm vectơ lồi, hàm lõm, hàm lõm suy rộng và khái niệm liên thông,ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị, cần thiết cho việc trìnhbày các nội dung của chương sau

1.1 Giải tích lồi

1.1.1 Không gian metric và không gian vectơ

Định nghĩa 1.1 Cho tập X 6= ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vàotập các số thực R được gọi là metric trên X nếu các tiên đề sau thỏa mãn:i) d(x, y) > 0 nếu x 6= y, d(x, y) = 0 nếu x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X

Tập X với metric d trang bị trên X được gọi là không gian metric, kí hiệu

là (X, d) hay thường được viết là X Số d(x, y) được gọi là khoảng cáchgiữa hai phần tử x và y Các phần tử của X được gọi là các điểm.

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian metric, một điểm a ∈ X và

B là tập con của X Khoảng cách từ một điểm a đến tập B được xác địnhbởi:

x, y ∈ X và α ∈ R thì x + y và αx thỏa mãn 8 tiên đề sau:

1) x + y = y + x (tính chất giao hoán của phép cộng vectơ);

2) (x + y) + z = x + (y + z) (tính chất kết hợp của phép cộng vectơ);

3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x + 0 = x, với mọi x ∈ X (tính chấtphép cộng vectơ có phần tử trung hòa);

4) Với mỗi x ∈ X có phần tử −x ∈ X sao cho x + (−x) = 0 (phần tử −x

gọi là phần tử đối của x) (tính chất phép cộng vectơ có phần tử đối);

5) 1 · x = x (tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng);

6) α (βx) = (αβ) x (α, β là những số bất kỳ) (tính chất phép nhân vôhướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô hướng);

7) (α + β) x = αx + βx (tính chất phép nhân vectơ phân phối với phépcộng vô hướng);

8) α(x + y) = αx + αy (tính chất phép nhân vô hướng phân phối vớiphép cộng vectơ)

1.1.2 Hàm lõm

Với mọi a, b ∈ Rm ta kí hiệu đoạn thẳng [a, b] và khoảng (a, b) như sau:

[a, b] = {x|x ∈Rn, x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} ;(a, b) = {x|x ∈ Rm, x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ (0, 1)}

Định nghĩa 1.5 Giả sử X là một tập khác trống nào đó trong không gianEuclide hữu hạn chiều Rm Tập X được gọi là lồi nếu X chứa mọi đoạnthẳng nối hai điểm của nó, tức là λx1 + (1 − λ)x2 ∈ X với mọi cặp điểm

x1, x2 của X và mọi số thực λ ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.6 Giả sử X là một tập khác trống trong Rm Tập X đượcgọi là mở trong Rm nếu với mọi x ∈ X tồn tại một hình cầu mở tâm x vớibán kính dương nằm trọn trong X

Định nghĩa 1.7 Cho X là một tập khác trống, lồi trong không gianEuclide hữu hạn chiều Rm Hàm số f: X → R được gọi là lõm trong X

nếu với mỗi cặp điểm x1, x2 của X và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≥ λf (x1) + (1 − λ)f (x2)

Định nghĩa 1.8 Hàm f: X → R được gọi là lồi trong X nếu −f lõmtrong X, tức là f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) với mỗi cặpđiểm x1, x2 của X và mọi số thực λ ∈ [0, 1]

Trong một số bài toán, ví dụ như khi nghiên cứu bài toán tối ưu, hàm lõm(lồi) chưa đủ để chứng minh tính duy nhất nghiệm Vì vậy người ta phảixét một lớp hàm hẹp hơn lớp hàm lõm, đó là lớp hàm lõm ngặt

Định nghĩa 1.9 Hàm f: X → R được gọi là lõm ngặt trên X nếu

f (λx1 + (1 − λ)x2) > λf (x1) + (1 − λ)f (x2) với mọi x1, x2 ∈ X, x1 6= x2

và λ ∈ (0, 1)

Cho f là một hàm xác định trên X Ta xét bài toán tìm cực đại củahàm f trên X, tức là tìm x ∈ X¯ sao cho f (¯x) ≥ f (x) với mọi x ∈ X.Định nghĩa 1.10 Điểm x ∈ X¯ được gọi là điểm cực đại địa phương củahàm f nếu tồn tại một hình cầu mở Bε(¯ tâm x¯, bán kính ε > 0 sao cho

Giả sử D là miền xác định của hàm f Do x¯ là điểm cực đại địa phươngcủa f nên tìm được ε > 0 sao cho f (¯x) ≥ f (x) với mọi x ∈ D thỏa mãn

kx − ¯xk < ε Nếu x¯ không là điểm cực đại toàn cục của f trên D thì tìmđược x0 ∈ D sao cho f (x0) > f (¯x) hay f (x0) − f (¯x) > 0

(vì f (x0) − f (¯x) > 0 và λ > 0) Suy ra f (xλ) > f (¯x) (trái với giả thiết x¯

là điểm cực đại địa phương) Vậy nếu x¯ là điểm cực đại địa phương của f

thì x¯ phải là điểm cực đại toàn cục

Tính chất 1.1.2 Nếu x ∈ X¯ là điểm cực đại của hàm lõm ngặt f trêntập lồi X thì nó là điểm cực đại duy nhất

Định nghĩa 1.11 Hàm f xác định trên một tập lồi X ⊂ Rm được gọi

là tựa lõm (quasi-concave) trên X, nếu với mỗi cặp điểm x1, x2 của X vàmọi số thực λ ∈ [0, 1] thì f (λx1 + (1 − λ)x2) ≥ min {f (x1), f (x2)}

Hàm f được gọi là tựa lồi nếu −f là tựa lõm, tức là

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ max {f (x1), f (x2)}

Nhận xét 1.1 Hàm đơn điệu f: R→ R vừa tựa lõm, vừa tựa lồi.

Chứng minh Giả sử f: R→ R là hàm đơn điệu Lấyλ ∈ [0, 1] và x1 < x2.Khi ấy x1 ≤ xλ ≤ x2 Nếu f là hàm giảm thì min {f (x1), f (x2)} =

f (x2) ≤ f (xλ) ≤ f (x1) = max {f (x1), f (x2)} Với f là hàm tăng suy

ra min {f (x1), f (x2)} = f (x1) ≤ f (xλ) ≤ f (x2) = max {f (x1), f (x2)}

Vậy min {f (x1), f (x2)} ≤ f (xλ) ≤ max {f (x1), f (x2)} hay hàm đơn điệu

f vừa tựa lõm, vừa tựa lồi

Định nghĩa 1.12 Hàm f xác định trên một tập lồi X ⊂ Rm được gọi làtựa lõm ngặt (strictly quasi-concave) trên X nếu với mỗi cặp điểm x1, x2

của X và x1 6= x2, λ ∈ (0, 1) thì f (λx1+ (1 − λ)x2) > min {f (x1), f (x2)}

Nhận xét 1.2 (Tính lõm kéo theo tính tựa lõm) Hàm lõm là hàm tựalõm Hàm lõm ngặt là hàm tựa lõm ngặt.

Chứng minh Giả sử f: X → R là hàm lõm Lấy bất kì x1, x2 ∈ X, khôngmất tính tổng quát ta xem f (x1) ≥ f (x2)

Từ định nghĩa hàm lõm, đặtxλ := λx1+(1−λ)x2 thìf (xλ) ≥ λf (x1)+(1−λ)f (x2), với mọi λ ∈ [0, 1] hayf (xλ) ≥ f (x2) + λ(f (x1) − f (x2)) ≥ f (x2),với mọi λ ∈ [0, 1] (vì λ ≥ 0 và f (x1) ≥ f (x2)) Suy ra f (xλ) ≥ f (x2) =

min{f (x1), f (x2)} hay f (xλ) ≥ min {f (x1), f (x2)}, với mọi λ ∈ [0, 1].Chứng tỏ hàm lõm f là tựa lõm

Tương tự, ta thay dấu ≥ bởi dấu > thì ta cũng chứng minh hàm lõm ngặt

f là tựa lõm ngặt

Định nghĩa 1.13 Hàm f: X ⊂ Rm → R được gọi là tựa lõm nửa ngặt

(semi-strictly quasi-concave) trên X nếu f là tựa lõm và với mọi x1, x2

của X, f (x1) 6= f (x2) và λ ∈ (0, 1) thì

f (λx1 + (1 − λ)x2) > min {f (x1), f (x2)}

Nhận xét 1.3 1) Hàm tựa lõm ngặt là tựa lõm nửa ngặt nhưng ngược lạikhông đúng

2) Hàm tựa lõm nửa ngặt là tựa lõm nhưng ngược lại không đúng

Chứng minh 1) Giả sử f: X → R là tựa lõm ngặt Khi ấy f (xλ) =

f (λx1 + (1 − λ)x2) > min {f (x1), f (x2)}, với mọi x1, x2 ∈ X và x1 6= x2

với mọi λ ∈ (0, 1) Suy ra f (xλ) ≥ min {f (x1), f (x2)} Chứng tỏ f là tựalõm trên X

Hơn nữa, nếu f (x1) 6= f (x2) thì x1 6= x2 Suy ra f (xλ) = f (λx1 + (1 −λ)x2) > min {f (x1), f (x2)} với mọi λ ∈ (0, 1) Vậy f là tựa lõm nửa ngặt.Ngược lại không đúng được chỉ ra ở ví dụ sau:

Với 0 ≤ x1 < 1 ≤ x2 ≤ 2 thì f (x1) = x1 < 1 = f (x2).

Vậy min {f (x1), f (x2)} = min {x1, 1} = x1 < f (xλ) với mọi λ ∈ (0, 1)

Vậy f (x) là tựa lõm nửa ngặt trên X

Nhưng f không là tựa lõm ngặt trên X Lấy x1 = 1 6= x2 = 2 và λ = 12

thì f (1) = 1 = f (2) và xλ = λx1 + (1 − λ)x2 = 12 · 1 + 1

2 · 2 = 3

2 Mà

f 32
= 1 = min {f (1), f (2)} Vậy f không là tựa lõm ngặt

2) Giả sử hàm f là tựa lõm nửa ngặt Theo định nghĩa tựa lõm nửangặt thì hàm f là tựa lõm

Ngược lại không đúng được chỉ ra ở ví dụ sau đây:

Vậy hàm f không là tựa lõm nửa ngặt trên X = [−2, 2]

1.1.4 Hàm vectơ lõm và hàm vectơ lõm suy rộng

Định nghĩa 1.14 Một tập D ⊆Rm được gọi là nón nếu λ ≥ 0 và x ∈ D

thì λx ∈ D

Giả sử Rm là không gian Euclide hữu hạn chiều

Ta đưa vào các kí hiệu sau:

Rm+ = {x = (x1, x2, , xm) ∈Rm : xi ≥ 0, i = 1, , m} ;

ai ≤ bi (tương ứng ai < bi) với mọi i = 1, 2, , m Như vậy,

Mệnh đề 1.1 Một tập D là nón lồi khi và chỉ khi có các tính chất sau:

Ngược lại, giả sử có (i) và (ii) Ta phải chứng minh D là nón lồi Từ (i)

suy ra D là một nón Giả sử x, y ∈ D và λ ∈ [0, 1], từ (i) suy ra λx ∈ D

và (1 − λ)y ∈ D.Theo(ii)ta có λx + (1 − λ)y ∈ D Vậy D là nón lồi

Giả sử X là một tập lồi khác trống trong Rm và fi: X →Rn, i = 1, , n

Định nghĩa 1.16 Hàm f = (f1, f2, , fn)T: X → Rn, i = 1, , n đượcgọi là lõm (concave) trên X nếu mọi hàm fi là lõm trên X, tức là nếu vớimỗi cặp điểm x1, x2 của X, mọi số thực λ ∈ [0, 1] thì

fi(λx1 + (1 − λ)x2) ≥ λfi(x1) + (1 − λ)fi(x2),

với mọi i = 1, , n

Định nghĩa 1.17 Hàm f = (f1, f2, , fn)T: X → Rn, i = 1, , n đượcgọi là tựa lõm (quasi-concave) trên X nếu mọi hàm fi là tựa lõm trên X,tức là với mỗi cặp điểm x1, x2 của X và λ ∈ (0, 1) thì

fi(λx1 + (1 − λ)x2) ≥ min {fi(x1), fi(x2)} ,

với mọi i = 1, , n

Định nghĩa 1.18 Hàm f = (f1, f2, , fn)T: X → Rn, i = 1, , n đượcgọi là tựa lõm ngặt (strictly quasi-concave) trên X nếu mọi hàm fi là tựa

lõm ngặt trên X, tức là với mỗi cặp điểm x1, x2 ∈ X và x1 6= x2, λ ∈ (0, 1)

thì fi(λx1 + (1 − λ)x2) > min {fi(x1), fi(x2)} , với mọi i = 1, , n

Định nghĩa 1.19 Hàm f = (f1, f2, , fn): X → Rn được gọi là tựalõm nửa ngặt (semi-strictly quasi-concave) trên X nếu mọi hàm fi là tựalõm nửa ngặt trên X, tức là {fi}ni=1 là tựa lõm và với mọi x1, x2 ∈ X,

và Kunping trong [11] về hàm F-tựa lõm ngặt, đã thể hiện rõ hơn mốiquan hệ tổng thể giữa các hàm thành phần của hàm vectơ

Định nghĩa 1.20 Hàm f = (f1, f2, , fn)T: X → Rn được gọi là Flõm (concave) trên X nếu với mỗi cặp x1, x2 ∈ X, tồn tại một chỉ số

-i0 ∈ {1, 2, , n} sao cho với mọi λ ∈ [0, 1] thì

Nhận xét 1.4 Hàm lõm là hàm F-tựa lõm Tuy nhiên khái niệm hàm

F-lõm là yếu hơn, vì với mỗi cặp x1, x2 ∈ X cụ thể chỉ cần tồn tại một chỉ

số i0 ∈ {1, 2, , n} sao cho với mọi λ ∈ [0, 1] để bất đẳng thức fi0(λx1 +(1 − λ)x2) ≥ λfi0(x1) + (1 − λ)fi0(x2) được thỏa mãn với mọi λ ∈ [0, 1]

Hàm f là tựa lõm trên X = [−2, 2], cả hai hàm f1(x) và f2(x) đều không

là tựa lõm ngặt Nhưng nó là F-tựa lõm ngặt trên [−2, 2]

Hình 1.4a

Hình 1.4b

Chứng minh +) Dễ thấy f1 là hàm đơn điệu giảm trên [−2, 2] nên f1 làtựa lõm (theo Nhận xét 1.1) Nhưng f1 không là tựa lõm ngặt Thật vậy,lấy x1 = −2 6= x2 = 0 và λ = 12 thì f1(−2) = 0, f1(0) = 0 và xλ =

f2(1) = 0 = min {f2(0), f2(2)} Vậy f2 không là tựa lõm ngặt

+) Nhưng f = (f1, f2) là F- tựa lõm ngặt trên [−2, 2] Thật vậy:

Vớix1 < x2 < 0, tồn tại i0 = 2 sao cho với mọi λ ∈ [0, 1]và ∀xλ ∈ (x1, x2)

Vậy f là F- tựa lõm ngặt trên [−2, 2]

Với mỗi x1, x2 Kí hiệu I (x1, x2) = {i ∈ {1, 2, , n} : fi(x1) 6= fi(x2)}

Định nghĩa 1.23 Hàm f = (f1, f2, , fn)T: X → Rn được gọi là F- tựalõm nửa ngặt (semi-strictly quasi-concave) trên X nếu nó là F- tựa lõm

và với mọi x1, x2 ∈ X, nếu tập I (x1, x2) 6= ∅, tồn tại ít nhất một chỉ số

i0 ∈ I (x1, x2) và với mọi λ ∈ (0, 1) thì

fi0(λx1 + (1 − λ)x2) > min{fi0(x1), fi0(x2)}

Nhận xét 1.5 Các ví dụ sau đây chỉ ra rằng lớp hàm F- tựa lõm nửangặt thật sự rộng hơn lớp hàm tựa lõm nửa ngặt

Ví dụ 1.1.6 Giả sử X = [−2, 2] ⊂ R, f = (f1, f2): X → R2 được xácđịnh như sau:f1(x) =

Trường hợp 3a: Vớix1 ≤ xλ ≤ 0thìf2(xλ) ≥ f2(x1) ≥ min {f2(x1), f2(x2)} ,

được thể hiện dưới hình vẽ sau:

Hình 3a

Trường hợp 3b: Với0 < xλ ≤ x2 thìf2(xλ) ≥ f2(x2) = min {f2(x1), f2(x2)} ,

được thể hiện dưới hình vẽ sau:

Hình 3b

Trường hợp 4: Với x1 ≤ 0 ≤ x2 và f2(x1) ≤ f2(x2) và xλ có hai trườnghợp sau:

Trường hợp 4a: Vớix1 ≤ xλ ≤ 0thìf2(xλ) ≥ f2(x1) = min {f2(x1), f2(x2)} ,

được thể hiện dưới hình vẽ sau:

Hình 4a

Trường hợp 4b: Với0 < xλ ≤ x2 thìf2(xλ) ≥ f2(x2) ≥ min {f2(x1), f2(x2)} ,

được thể hiện dưới hình vẽ sau:

Hình 4b

Chứng tỏ f2 là tựa lõm trên [−2, 2]

Với f2(x1) 6= f2(x2) Ta phải chứng minh f2(xλ) > min {f2(x1), f2(x2)}

(i) Giả sử f2(x1) < f2(x2) Có hai khả năng như sau:

Vậy f2 là tựa lõm nửa ngặt trên [−2, 2].

Hàmf không là tựa lõm nửa ngặt dof1 không là tựa lõm nửa ngặt Nhưnghàm f = (f1, f2) là F- tựa lõm nửa ngặt vì tồn tại i0 = 2 mà f2 là tựalõm nửa ngặt

1.2 Tính liên thông của ánh xạ đa trị nửa liên tục

1.2.1 Tính liên thông của các tập hợp

Định nghĩa 1.24 Tập A ⊂Rm được gọi là tách được nếu tồn tại hai tập

mở A1, A2 sao cho A1 ∪ A2 = A và A¯1 ∩ A2 = A1 ∩ ¯A2 = ∅,

trong đó các A¯1 và A¯2 lần lượt là bao đóng của A1, A2.

Nếu A ⊂Rm không tách được thì A được gọi là tập liên thông

Tính chất 1.2.1 (xem [12]) Nếu A ⊂ Rm là liên thông và A ⊂ B ⊆ ¯A

Ai là tập liên thông

Tính chất 1.2.3 (xem [12]) Nếu với mọi i = 1, 2, , {Ai ⊆ Ai+1} và Ai

là liên thông thì ∪ {Ai|i = 1, 2, } là liên thông

Nhận xét 1.6 (xem [13]) A ⊂ R là tập liên thông nếu và chỉ nếu A

là một khoảng, tức là với a, b ∈ A thì A là một trong bốn khoảng sau

[a, b] , (a, b] , [a, b) , (a, b)

Ví dụ 1.2.1 Khoảng [0, 1] là liên thông

Chứng minh Ta giả sử [0, 1] không liên thông, tức là tồn tại hai tập mởrời nhau, khác rỗng là U1, U2 trong [0, 1] sao cho U1 ∪ U2 = [0, 1] Do

U1 = [0, 1] \U2 và U2 mở nên U1 đóng trong khoảng [0, 1] Đặt a = sup

U1 phải nằm trong U1 hay a ∈ U1 Thật vậy, do a = sup U1 nên với

εn = n1 trong đó n đủ lớn thì tồn tại uεn : a − εn < uεn ≤ a Suy ra

lim

n→∞uεn = a Như vậy, a là giới hạn của dãy {uεn} ⊂ U1 mà U1 đóngnên a ∈ U1 Ta khẳng định rằng a = 1 Nếu a 6= 1 thì ta tìm mộtkhoảng (a − ε, a + ε) ⊂ U1 nên a + 12ε ∈ U1 Nhưng lý luận hoàn toàntương tự ta cũng chỉ ra rằng 1 ∈ U2 vô lý vì U1 ∩ ¯U2 = U1 ∩ U2 = ∅ và

¯

U1 ∩ U2 = U1 ∩ U2 = ∅ Vậy khoảng [0, 1] là liên thông

Định nghĩa 1.25 Tập X được gọi là liên thông đường nếu mọi cặp x, y

thuộc X, tồn tại hàm liên tục p: [0, 1] → X nối hai điểm x và y, tức là

p(0) = x, p(1) = y

Nhận xét 1.7 Tập lồi là liên thông đường Ngược lại không đúng

Chứng minh Giả sử p: [0, 1] → X liên tục và X lồi Ta phải chứng minh

X là liên thông đường Thật vậy, lấy λ ∈ [0, 1] Đặt p(λ) = λy + (1 − λ)x

với x, y ∈ X VìX lồi nên λy + (1 − λ)x ∈ X suy ra p(λ) ∈ X Với λ = 0,

p(0) = x Với λ = 1, p(1) = y Vậy theo định nghĩa liên thông đường thì

X là liên thông đường

Ngược lại không đúng được thể hiện ở ví dụ sau:

Ví dụ 1.2.2 X =  x, x2
, x ∈ [−1, 1] ⊂ R ⊂ R2 là liên thông đườngnhưng không lồi

Tập X chính là một phần của đồ thị của hàm y = x2 với x ∈ [−1, 1], tức

X là một phần của đường cong Parabol Do đó X là liên thông đường.Chứng minh tập X không lồi Thật vậy, lấy hai điểm x1 = (−1, 1) ∈ X

và x2 = (1, 1) ∈ X, chọn λ = 12 Ta có 12x1 + 12x2 = 12 · (−1 + 1, 1 + 1) =(0, 1) /∈ X Vậy X không là tập lồi