TÍNH COMPACT và TÍNH LIÊN THÔNG của tập NGHIỆM hữu HIỆU yếu TRONG bài TOÁN cân BẰNG VECTƠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THU HƯỜNG TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THU HƯỜNG TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời nói đầu Danh mục kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Tôpô giải tích hàm 1.1.1 Không gian vectơ 1.1.2 Không gian tôpô 11 1.1.3 Không gian vectơ tôpô 13 Ánh xạ đa trị 18 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 18 1.2.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 22 Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ 25 2.1 Các định nghĩa bổ đề 25 2.2 Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu 28 Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ suy rộng 38 Mục lục 3.1 Các định nghĩa bổ đề 3.2 Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu 38 yếu 41 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Mục lục Lời nói đầu Bài toán cân vectơ mô hình toán học chứa số lớn toán thực tế, thí dụ: toán tối ưu vectơ, bất đẳng thức biến phân vectơ, toán bù vectơ, toán điểm yên ngựa Trong năm gần đây, nhiều tác giả tìm điều kiện tồn nghiệm toán cân vectơ Mặt khác, nhiều toán quan trọng bất đẳng thức biến phân vectơ toán cân vectơ cần đến nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm Trong số tính chất tập nghiệm, tính compact tính liên thông đóng vai trò quan trọng Bởi tính liên thông đường tập nghiệm cho phép chuyển liên tục từ nghiệm sang nghiệm khác Mục đích luận văn trình bày kết [10] [11] tính compact tính liên thông tập nghiệm Luận văn gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị trình bày số định nghĩa kết sử dụng Chương Chương Đó khái niệm tính chất không gian vectơ, không gian tôpô, không gian vectơ tôpô, Định lý, Mệnh đề tính nửa liên tục ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ trình bày khái niệm toán cân vectơ, phát biểu chứng minh Định lý tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ Lời nói đầu Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ suy rộng trình bày khái niệm toán cân vectơ suy rộng toán liên quan, phát biểu chứng minh Bổ đề, Mệnh đề, Định lý, Hệ tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ suy rộng Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả chân thành cảm ơn thầy Tạ Duy Phượng tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả nhiều trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô cán công nhân viên Viện Toán học quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Hà Nội, ngày 28 tháng 08 năm 2015 Nguyễn Thu Hường Danh mục kí hiệu R đường thẳng thực R+ nửa đường thẳng thực không âm Rn không gian Euclide n-chiều Rn+ tập véc tơ có thành phần không âm Rn x∈M phần tử x thuộc M x∈ /M phần tử x không thuộc M ∅ tập rỗng 2X tập tất tập X M ⊂N M tập N M ∩N giao hai tập M N M \N tập điểm thuộc M không thuộc N M ×N tích Đề-các hai tập M N M +N tổng hai tập M N λM vị tự tập M theo tỉ số λ ∈ R không gian véc tơ ∀x với x ∃x tồn x inf x∈K f (x) infimum tập {f (x) : x ∈ K} intD phần tập D clD bao đóng tập D Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày vắn tắt số khái niệm, tính chất giải tích hàm lý thuyết ánh xạ đa trị Ngoài trình bày số mệnh đề, định lý quan trọng tính nửa liên tục ánh xạ đa trị sử dụng chứng minh chương 1.1 1.1.1 Tôpô giải tích hàm Không gian vectơ Định nghĩa 1.1 ([1], trang 181) Không gian vectơ V định nghĩa trường số thực R tập hợp V không rỗng mà hai phép cộng vectơ phép nhân với số định nghĩa cho tiên đề sau thỏa mãn: Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp: Với u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán: Với v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép cộng vectơ có phần tử trung hòa: Với v ∈ V, có phần tử ∈ V, gọi vectơ không: v + = v; Phép cộng vectơ có phần tử đối: Với v ∈ V, tồn w ∈ V : v + w = 0; Chương Kiến thức chuẩn bị Phép nhân vô hướng có tính chất phân phối với phép cộng vectơ: Với α ∈ R; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; Phép nhân vectơ có tính chất phân phối với phép cộng vô hướng: Với α, β ∈ R; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trường R: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Phần tử đơn vị trường R có tính chất: Với v ∈ V : 1.v = v.1 = v Định nghĩa 1.2 ([1], trang 256) Cho X không gian vectơ Tập D ⊆ X gọi tập lồi, D chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức là, D gọi lồi x, y ∈ D, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ D Định nghĩa 1.3 ([1], trang 262) Cho X không gian vectơ, x1 , x2 , , xk ∈ X số λ1 , λ2 , , λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, , k k k λj = Khi x = j=1 λj xj gọi tổ hợp lồi vectơ j=1 x1 , x2 , , xk ∈ X Định nghĩa 1.4 ([1], trang 262) Giả sử S ⊂ X Bao lồi S, kí hiệu convS tập hợp tổ hợp lồi phần tử S Định nghĩa 1.5 Cho X không gian vectơ Một tập C ⊆ X gọi nón đỉnh λx ∈ C với λ ≥ 0, với x ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Mệnh đề 1.1 Một tập C nón lồi có tính chất sau: (i) λC ⊆ C với λ ≥ 0, (ii) C + C ⊆ C Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu Ngược lại, giả sử x ∈ Sw (K, F ) Khi theo Định nghĩa 3.1 tồn z ∈ T (x) cho F (x, y, z) ∈ / −intC với y ∈ K Suy F (x, K, z) ∩ (−intC) = ∅, hay (F (x, K, z) + C) ∩ (−intC) = ∅ Vì F (x, K, z) + C tập lồi nên theo định lý tách tập lồi tồn f ∈ Z ∗ \ {0} cho inf {f (F (x, y, z) + c) : y ∈ K, c ∈ C} ≥ sup {f (c) : c ∈ −intC} (3.2) Vì C nón nên f (c) ≤ với c ∈ −intC Vậy f (c) ≥ ∀ c ∈ C, tức f ∈ C ∗ Kết kợp với (3.2) ta có f ∈ C ∗ \ {0} f (F (x, y, z)) ≥ với y ∈ K Nghĩa x ∈ Sf (K, F ) Suy Sw (K, F ) ⊆ Sf (K, F ) f ∈C ∗ \{0} Vậy Sw (K, F ) = Sf (K, F ) Bổ đề chứng minh f ∈C ∗ \{0} 3.2 Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu Trong phần này, ta nghiên cứu tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ suy rộng cách sử dụng kết vô hướng hóa Đầu tiên ta có tồn tập nghiệm toán (GV EP ) Mệnh đề 3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với x ∈ K, F (x, x, ) = 0; (ii) Với x ∈ K, z ∈ T (x), F (x, , z) C−lồi K; 41 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu (iii) F giả đơn điệu T ; (iv) Với y ∈ K, t ∈ D, F (., y, t) C−nửa liên tục C−lõm K; (v) F f −hemi liên tục T ; (vi) Với x, y ∈ K, F , F (x, y, ) C−nửa liên tục C−lõm D; (vii) Tồn tập E khác rỗng compact lồi K y0 ∈ E cho với x ∈ K\E t ∈ T (x) bao hàm thức sau thỏa mãn F (x, y0 , t) ∈ −intC (viii) Với x ∈ K, T (x) tập khác rỗng compact lồi Khi đó, với f ∈ C ∗ \ {0}, Sf (F, K) tập khác rỗng lồi E Chứng minh Giả sử f ∈ C ∗ \ {0} Định nghĩa hai ánh xạ đa trị A, B : K ⇒ K sau: A (y) = {x ∈ K : (∃ z ∈ T (x)) (f (F (x, y, z)) ≥ 0)} B (y) = {x ∈ K : (∀t ∈ T (y)) (f (F (x, y, t)) ≥ 0)} Với y ∈ K, từ điều kiện (i) ta có y ∈ A (y) Tức A (y) = ∅ với y ∈ K Chứng minh mệnh đề chia làm phần (I) Ta chứng minh A : K ⇒ K ánh xạ KKM Thật vậy, giả sử phản chứng tồn tập hữu hạn {y1 , y2 , yn } n K λi ≥ 0, i ∈ {1, 2, , n} với n i=1 n λi yi ∈ / λi = mà x = i=1 A (yi ) i=1 Khi x ∈ / A (y), i ∈ {1, 2, , n} Suy với z ∈ T (x) f (F (x, yi , z)) < 0, i ∈ {1, 2, , n} (3.3) Vì F (x, , z) C− lồi K nên ta có n n λi F (x, yi , z) ∈ F i=1 x, λi yi , z i=1 42 + C = F (x, x, z) + C = C Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu Vì vậy, với f ∈ C ∗ \ {0} ta có n f λi F (x, yi , z) ≥ i=1 Mâu thuẫn với điều kiện (3.3) Vậy, A ánh xạ KKM (II) Tiếp theo ta chứng minh A (y) = y∈K B (y) y∈K Vì F giả đơn điệu T nên ta có A (y) ⊂ B (y) với y ∈ K Suy A (y) ⊂ B (y) Bây ta chứng minh B (y) ⊂ A (y) y∈K y∈K Lấy x ∈ y∈K y∈K B (y) Khi đó, với y ∈ K, x ∈ B (y) Theo định nghĩa y∈K B (y) với y ∈ K, y ∈ T (y) ta có f (F (x, y, t)) ≥ Đặt xε := x+ε (y − x) ε ∈ (0, 1) Khi đó, xε ∈ K với tε ∈ T (xε ) ta có f (F (x, xε , tε )) ≥ Vì F (x, , z) C− lồi K nên ta có εf (F (x, y, tε )) + (1 − ε) f (F (x, xε , tε )) = f (F (x, εy + (1 − ε) xε , tε )) + f (c) ≥ f (F (x, εy + (1 − ε) xε , tε )) ≥ ⇒ εf (F (x, y, tε )) + (1 − ε) f (F (x, xε , tε )) ≥ Kết hợp với (i) ta có f (F (x, y, tε )) ≥ Từ điều kiện (vi) lấy giới hạn ε ↓ ta có f (F (x, y, z)) ≥ với z ∈ T (x) Nghĩa x ∈ A (y) Vì y tùy ý nên ta có x ∈ A (y), tức y∈K A (y) ⊃ y∈K B (y) y∈K 43 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu A (y) = Vậy y∈K B (y) y∈K (III) Tiếp theo chứng minh Sf (K, F ) = ∅ Chúng ta với y ∈ K, A (y) đóng Vì A (y) = B (y) nên ta cần chứng minh y ∈ K, B (y) y∈K y∈K đóng Thật vậy, với y ∈ K cố định, cho {xα } ⊂ B (y) mà xα → x0 Theo giả thiết K đóng nên x0 ∈ K Vì {xα } ⊂ B (y) nên ta có f (F (xα , y, t)) ≥ với t ∈ T (y) Theo giả thiết C− nửa liên tục F theo biến thứ nhất, f (F (x0 , y, t)) ≥ lim sup f (F (xα , y, t)) ≥ với t ∈ T (y) , α tức x0 ∈ B (y) Vậy, với y ∈ K, B (y) đóng, suy A (y) đóng Từ điều kiện (vii), ta có A (y0 ) đóng A (y0 ) ⊂ A Vì E compact nên A (y0 ) compact Từ Bổ đề 1.2 ta có A (y) = ∅ Vì y∈K vậy, tồn x ∈ A (y) Suy với y ∈ K tồn z ∈ T (z) y∈K cho f (F (x, y, z)) ≥ Do đó, inf max f (F (x, y, z)) ≥ y∈K z∈T (x) Từ điều kiện (vi), (viii) Bổ đề 1.1 ta có max inf f (F (x, y, z)) ≥ z∈T (x) y∈K Suy tồn z ∈ T (z) cho f (F (x, y, z)) ≥ với y ∈ K Do x ∈ Sf (K, F ) Điều A (y) ⊂ Sf (K, F ) Nhận y∈K xét Sf (K, F ) ⊂ A (y) Vì vậy, Sf (K, F ) = y∈K A (y) Dễ dàng y∈K thấy Sf (K, F ) ⊂ E 44 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu (IV ) Cuối ta chứng minh Sf (K, F ) tập lồi Vì Sf (K, F ) = A (y) = B (y) nên ta cần chứng minh với y∈K y∈K y ∈ K, B (y) tập lồi Thật vậy, với y ∈ K cố định, giả sử x1 , x2 ∈ B (y) λ ∈ [0, 1] Khi λx1 + (1 − λ) x2 ∈ K với t ∈ B (y) ta có f (F (x1 , y, t)) ≥ 0, f (F (x2 , y, t)) ≥ Từ tính chất C− lõm F theo biến thứ nhất, ta có λF (x1 , y, t) + (1 − λ) F (x2 , y, t) = F (λx1 + (1 − λ) x2 , y, t) − c λf (F (x1 , y, t)) + (1 − λ) f (F (x2 , y, t)) = f (F (λx1 + (1 − λ) x2 , y, t)) − f (c) Suy f (F (λx1 + (1 − λ) x2 , y, t)) ≥ λf (F (x1 , y, t))+(1 − λ) f (F (x2 , y, t)) ≥ Suy λx1 + (1 − λ) x2 ∈ B (y) Vì vậy, với y ∈ K, B (y) tập lồi Sf (K, F ) tập lồi Vậy Mệnh đề chứng minh Bây nghiên cứu tính liên thông tập nghiệm toán (GV EP ) Định lý 3.1 Giả sử điều kiện (i) - (vii) Mệnh đề 3.1 Nếu W = {F (x, y, z) : x, y ∈ K, z ∈ D} tập bị chặn K Sw (K, F ) tập liên thông K Chứng minh Định nghĩa ánh xạ đa trị H : C ∗ \ {0} ⇒ E theo công thức: H (f ) = Sf (K, F ) với f ∈ C ∗ \ {0} Từ Mệnh đề 3.1, với f ∈ C ∗ \ {0}, Sf (K, F ) ⊂ E tập khác rỗng lồi Suy với f ∈ C ∗ \ {0}, H (f ) tập liên thông Dễ dàng C ∗ \ {0} lồi tập liên thông 45 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu Bây H (f ) nửa liên tục trên C ∗ \ {0} Vì E compact nên từ Bổ đề 1.3 ta cần chứng minh H ánh xạ đóng Giả sử {(fα , xα ) : α ∈ I} lưới cho {(fα , xα ) : α ∈ I} ⊂ gph (H) = {(f, x) ∈ C ∗ \ {0} × E : x ∈ H (f )} (fα , xα ) → (f, x) ∈ C ∗ \ {0} × E, fα → f tức {fα } hội tụ tới f tôpô mạnh β (Z ∗ , Z) Z ∗ Từ xα ∈ H (fα ) , α ∈ I, ta có tồn zα ∈ T (xα ) thỏa mãn fα (F (xα , yα , zα )) ≥ với y ∈ K Từ điều kiện (iii) ta có fα (F (xα , y, t)) ≥ với y ∈ K, t ∈ T (y) (3.4) Nhận xét W = {F (x, y, z) : x, y ∈ K, z ∈ D} tập bị chặn Z, định nghĩa PW (z ∗ ) := sup {|z ∗ (s)| : s ∈ W } , z∗ ∈ Z ∗ Dễ nhận thấy PW nửa chuẩn Z ∗ Với ε > tùy ý U = {z ∗ ∈ Z ∗ : PW (z ∗ ) < ε} lân cận β (Z ∗ , Z) Vì fα → f nên tồn α0 ∈ I cho fα − f ∈ U với α ≥ α0 Suy PW (fα − f ) := sup {|(fα − f ) (s)| : s ∈ W } < ε với α ≥ α0 Vì vậy, với y ∈ K ta có |(fα − f ) (F (xα , y, t))| = |fα (F (xα , y, t)) − f (F (xα , y, t))| < ε Điều suy lim [fα (F (xα , y, t)) − f (F (xα , y, t))] = 46 (3.5) Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu Từ tính chất C− nửa liên tục F biến thứ nhất, f (F (x, y, t)) ≥ lim sup f (F (xα , y, t)) với y ∈ K, t ∈ T (y) (3.6) Từ (3.4), (3.5) (3.6) ta có ≤ lim sup fα (F (xα , y, t)) = lim sup [fα (F (xα , y, t)) − f (F (xα , y, t)) + f (F (xα , y, t))] ≤ lim sup [fα (F (xα , y, t)) − f (F (xα , y, t))] + lim sup f (F (xα , y, t)) ≤ f (F (x, y, t)) Từ chứng minh Mệnh đề 3.1 ta có tồn z ∈ T (x) cho f (F (x, y, t)) ≥ với y ∈ K Suy x ∈ Sf (K, F ) = H (f ) Suy H ánh xạ đóng H nửa liên tục trên C ∗ \ {0} Từ Bổ đề Warburton ta có Sf (K, F ) f ∈C ∗ \{0} tập liên thông Hơn nữa, với x ∈ K z ∈ T (x), F (x, , z) C− lồi K, F (x, K, z) + C tập lồi Từ Bổ đề 3.1 ta có Sw (K, F ) = Sf (K, F ) f ∈C ∗ \{0} tập liên thông K Định lý chứng minh Ví dụ 3.1 Cho X = Y = R, Z = R2 , C = R2+ K = D = [0, 1] Khi C ∗ = R2+ Cho T (x) = [0, x] F (x, y, z) = z y − x2 + y − x2 , z y − x2 + y − x2 với x, y ∈ K z ∈ T (x) 47 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu Ta kiểm tra giả thiết Định lý 3.1 (i) Với x ∈ K F (x, x, z) = z x2 − x2 + x2 − x2 , z x2 − x2 + x2 − x2 = (0, 0) = (ii) F (x, y, z) = (z + 1) y − (z + 1) x2 , (z + 1) y − (z + 1) x2 Ta thấy f (u) = u2 hàm lồi R Thật vậy, với u1 , u2 ∈ R, λ ∈ [0, 1] ta có f (λu1 + (1 − λ) u2 ) ≤ λf (u1 ) + (1 − λ) f (u2 ) ⇔ (λu1 + (1 − λ) u2 )2 ≤ λu21 + (1 − λ) u22 ⇔ λu21 + (1 − λ) u22 + 2λ (1 − λ) u1 u2 ≤ λu21 + (1 − λ) u22 ⇔ λ (1 − λ) u21 − 2λ (1 − λ) u1 u2 + λ (1 − λ) u22 ≥ ⇔ u21 − 2u1 u2 + u22 ≥ ⇔ (u1 − u2 )2 ≥ 0(luôn đúng) Với y = (y1 , y2 ) ∈ K, λ ∈ [0, 1] ta có F (x, λy1 + (1 − λ) y2 , z)   2 (z + 1) (λy1 + (1 − λ) y2 ) − (z + 1) x ,  = 2 (z + 1) (λy1 + (1 − λ) y2 ) − (z + 1) x   2 (z + 1) λy1 + (1 − λ) y2 − (z + 1) x ,  ≤ 2 (z + 1) λy1 + (1 − λ) y2 − (z + 1) x   2 λ (z + 1) y1 + (1 − λ) (z + 1) y2 − (z + 1) x ,  = 2 λ (z + 1) y1 + (1 − λ) (z + 1) y2 − (z + 1) x = λ (z + 1) y12 − (z + 1) x2 , (z + 1) y12 − (z + 1) x2 + (1 − λ) (z + 1) y22 − (z + 1) x2 , (z + 1) y22 − (z + 1) x2 = λF (x, y1 , z) + (1 − λ) F (x, y2 , z) Vậy F (x, , z) C− lồi K (iii) F giả đơn điệu T 48 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu (iv) F (x, y, t) = − (t + 1) x2 + (t + 1) y , − (t + 1) x2 + (t + 1) y Vì F (x, y, t) hàm bậc hai nên C− nửa liên tục Ta thấy f (u) = −u2 hàm lõm R Thật vậy, với u1 , u2 ∈ R, λ ∈ [0, 1] ta có f (λu1 + (1 − λ) u2 ) ≥ λf (u1 ) + (1 − λ) f (u2 ) ⇔ −(λu1 + (1 − λ) u2 )2 ≥ −λu21 − (1 − λ) u22 ⇔ −λ2 u21 − (1 − λ)2 u22 − 2λ (1 − λ) u1 u2 ≥ −λu21 − (1 − λ) u22 ⇔ λ (1 − λ) u21 − 2λ (1 − λ) u1 u2 + λ (1 − λ) u22 ≥ ⇔ (u1 − u2 )2 ≥ 0(luôn đúng) Với x = (x1 , x2 ) ∈ K, λ ∈ [0, 1] ta có F (λx1 + (1 − λ) x2 , y, t)   2 − (t + 1) (λx1 + (1 − λ) x2 ) + (t + 1) y ,  = − (t + 1) (λx1 + (1 − λ) x2 ) + (t + 1) y   2 − (t + 1) λx1 + (1 − λ) x2 + (t + 1) y ,  ≥ 2 − (t + 1) λx1 + (1 − λ) x2 + (t + 1) y   2 −λ (t + 1) x1 − (1 − λ) (t + 1) x2 + (t + 1) y ,  = −λ (t + 1) x21 − (1 − λ) (t + 1) x22 + (t + 1) y   2 2 λ − (t + 1) x1 + (t + 1) y + (1 − λ) − (t + 1) x2 + (t + 1) y ,  = 2 2 λ − (t + 1) x1 + (t + 1) y + (1 − λ) − (t + 1) x2 + (t + 1) y = λ − (t + 1) x21 + (t + 1) y , − (t + 1) x21 + (t + 1) y + (1 − λ) − (t + 1) x22 + (t + 1) y , − (t + 1) x22 + (t + 1) y = λF (x1 , y, t) + (1 − λ) F (x2 , y, t) Vậy F (., y, t) hàm lõm K (v) F f −hemi liên tục T 49 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu (vi) F (x, y, z) = y − x2 z + y − x2 , y − x2 z + y − x2 Vì f (u) = u hàm tuyến tính nên f (u) hàm lõm R C− liên tục Với z = (z1 , z2 ) ∈ K, λ ∈ [0, 1] ta có F (x, y, λz1 + (1 − λ) z2 )   2 2 y − x (λz1 + (1 − λ) z2 ) + y − x ,  = 2 2 y − x (λz1 + (1 − λ) z2 ) + y − x   2 2 2 λ y − x z1 + (1 − λ) y − x z2 + y − x ,  = λ y − x2 z1 + (1 − λ) y − x2 z2 + y − x2 =λ y − x2 z1 + y − x2 , y − x2 z1 + y − x2 + (1 − λ) y − x2 z2 + y − x2 , y − x2 z2 + y − x2 = λF (x, y, z1 ) + (1 − λ) F (x, y, z2 ) Vậy F (x, y, ) hàm lõm K (vii) Lấy E = 12 , ⊂ K = [0, 1] , K\E = [0, 1] \ với x ∈ 0, 12 tức ≤ x < 21 ta có 2, = 0, 12 , y0 = F (x, y0 , t) = t y0 − x2 + y0 − x2 , t y0 − x2 + y0 − x2 = y0 − x2 (t + 1) , y0 − x2 (t + 1) Vì ≤ x < 12 , t ∈ [0, x] nên t + > 0, y0 − x2 < Suy y0 − x2 (t + 1) < 0, hay F (x, y0 , t) ∈ −intC Vậy giả thiết Định lý 3.1 thỏa mãn Theo Định lý 3.1, ta có Sw (K, F ) tập liên thông K Từ Định lý 3.1 ta có hệ sau Hệ 3.1 Giả sử ϕ : K × K → Z ψ : K → Z hai ánh xạ giá trị vectơ Đặt F (x, y, z) = ϕ (x, y) + ψ (y) − ψ (x) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 50 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu (i) ψ C−nửa liên tục C−lồi K; (ii) Với x ∈ K, ϕ (x, x) = 0, ϕ giả đơn điệu ψ, tức với x, y ∈ K, f ∈ C ∗ \ {0}, f (ψ (y)) + f (ϕ (x, y)) ≥ f (ψ (x)) ⇒ f (ψ (y)) − f (ϕ (x, y)) ≥ f (ψ (x)) (iii) Với y ∈ K, ϕ (., y) C−nửa liên tục C−lõm K; (iv) Với x ∈ K, ϕ (x, ) C−lồi K; (v) ψ (K) W = {ϕ (x, y) : x, y ∈ K} tập bị chặn Z; (vi) Tồn tập khác rỗng lồi compact K y0 ∈ E cho với x ∈ K\E thỏa mãn ϕ (x, y) + ψ (y) − ψ (x) ∈ −intC Khi đó, Sw (K, F ) tập liên thông Nhận xét 3.1 Điều kiện Hệ 3.1 khác với Định lý 4.5 [7] điểm sau: (i) Tính đơn điệu ϕ thay tính giả đơn điệu ϕ (ii) ϕ (., y) C−lõm K (iii) Đòi hỏi tồn tập khác rỗng lồi compact K y0 ∈ E cho với x ∈ K\E thỏa mãn ϕ (x, y) + ψ (y) − ψ (x) ∈ −intC Hệ 3.2 Giả sử X = Y , K = D L (X, Z) không gian tất ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Z Giả sử T : K → Z q : K → Z hai ánh xạ giá trị vectơ Đặt F (x, y, T (x)) = T (x) , y − x + q (y) − q (x) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) T f −hemi liên tục K, tức với x, y ∈ K ánh xạ G (t) = f ( T (ty + (1 − t) x) , y − x ) , t ∈ [0, 1] nửa liên tục 0+ ; 51 Chương Tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu (ii) T giả đơn điệu q, tức với x, y ∈ K, f ∈ C ∗ \ {0}, f ( T (x) , y − x ) + f (q (y)) − f (q (x)) ≥ ⇒ f ( T (y) , y − x ) + f (q (y)) − f (q (x)) ≥ 0; (iii) q C− nửa liên tục C− lồi K; (iv) q (K) tập bị chặn Z; (v) Tồn tập E khác rỗng lồi compact K y0 ∈ E cho với x ∈ K\E thỏa mãn T (x) , y − x + q (y) − q (x) ∈ −intC Khi đó, Sw (K, F ) tập liên thông Nhận xét 3.2 Hệ 3.2 mạnh Định lý 4.2 [6] hai điểm sau: (i) Không đòi hỏi tính compact K; (ii) Tính đơn điệu T thay tính giả liên tục T Kết luận Chương Nội dung Chương Trình bày khái niệm toán cân vectơ suy rộng toán liên quan Phát biểu chứng minh (theo [9]) bổ đề, định lý, mệnh đề, hệ tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ suy rộng Cụ thể là, Mệnh đề 3.1, tính compact Bổ đề 3.1, Định lý 3.1, Hệ 3.1, Hệ 3.2 tính liên thông tập nghiệm 52 Kết luận Dựa hai báo [10], [11] kiến thức ánh xạ đa trị, luận văn trình bày số kết tính compact tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ, cách sử dụng phương pháp vô hướng hóa 53 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [3] M Bianchi, N Hadjisavvas, S Chaibles (1997), "Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions", J Optim Theory App, 92, 527 − 542 [4] Y H Cheng (2001), "On the connectedness of the solution set for the weak vector variational inequality", J Math Anal Appl, 260, − [5] K Fan (1961), "A generalization of Tychonoff’s fixed point theorem", Math Ann, 142, 305 − 310 [6] X H Gong (2001), "Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems", J Optim Theory Appl, 108 (1), 139−154 [7] X H Gong (2007), "Connectedness of the solution sets and scalarization for vector equilibrium problems", J Optim Theory Appl, 133 (2), 151 − 161 [8] X H Gong - J C Yao (2008), "Connectedness of the set of efficient solution for generalized systems", J Optim Theory Appl, 138, 189 − 196 [9] Aubin, J P Ekeland, I (1984), "Applied Nonlinear Analysis", John Wiley, New York 54 Tài liệu tham khảo [10] Q Y Liu, X J Long, N Jing (2012), "Connectedness of the sets of weak efficient solutions for generalized vector equilibrium problems", Math Slovaca, 62 (1), 123 − 136 [11] X.J Long, J W Peng (2011), "Connectedness and compactnes of weak efficient solutions for vector equilibrium problems", Bull Korean Math Soc, 48 (6), 1225 − 1233 [12] D T Luc (1989),Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematics Systems, Vol 319, Springer-Verlag, New York [13] Peck, J E L Dumage, A L (1957), "Game on a compact set", Canad J Math, 48, 450 − 458 55