Tính liên tục holder của nghiệm và đặt chỉnh holder của bài toán cân bằng

I HC QUC GIA TP H CH MINH TRNG I HC KHOA HC T NHIấN TRN NGC TM ă TNH LIấN TC HOLDER CA NGHIM V ă T CHNH HOLDER CA BI TON CN BNG Ngnh: TON NG DNG Mó s ngnh: 62460112 TểM TT LUN N TIN S TON HC TP H Chớ Minh - Nm 2017 Cụng trỡnh ny c hon thnh ti trng i Hc Khoa hc T Nhiờn Tp H Chớ Minh Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS Lõm Quc Anh GS.TSKH Phan Quc Khỏnh Phn bin 1: TS Nguyn Bỏ Thi Phn bin 2: TS Nguyn ỡnh Tun Phn bin 3: TS Nguyn Hng Quõn Phn bin c lp 1: PGS.TS Nguyn Th Thu Thy Phn bin c lp 2: TS Nguyn ỡnh Tun Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp C s o to ti trng i hc Khoa hc T Nhiờn - HCM vo lỳc ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti th vin: Th vin Tng hp Quc gia Tp.HCM Th vin Trng i hc Khoa hc T Nhiờn - HCM Chng Kin thc chun b 1.1 Tớnh liờn tc ca ỏnh x 1.1.1 Tớnh liờn tc ca ỏnh x a tr Trong phn ny, xột X, Y l cỏc khụng gian tụ pụ Hausdorff v ỏnh x a tr Q:X Y nh ngha 1.1.1 (a) Q c gi l na liờn tc trờn ti x0 nu vi mi lõn cn U ca Q(x0 ) thỡ tn ti mt lõn cn N ca x0 cho Q(N ) U (b) Q c gi l na liờn tc di ti x0 nu vi mi m U ca Y vi Q(x0 ) U = thỡ tn ti mt lõn cn N ca x0 cho x N thỡ Q(x) U = (c) Q c gi l liờn tc ti x0 nu nú va na liờn tc trờn va na liờn tc di ti x0 (d) Q c gi l liờn tc trờn A X nu nú liờn tc ti mi im x A 1.1.2 Tớnh liờn tc Hă older ca ỏnh x Xột X, Y, M l cỏc khụng gian metric, l, > v nh ngha 1.1.2 (i) nh x g : X Y c gi l l.-Hăolder ti x nu tn ti mt lõn cn N ca x cho vi mi x1 , x2 N thỡ d(g(x1 ), g(x2 )) ld (x1 , x2 ) (ii) nh x g : X Y c gi l l.-Hăolder calm ti x nu tn ti mt lõn cn N ca x cho vi mi x N thỡ d(g(x), g( x)) ld (x, x) (iii) nh x g : X ì X ì M Y c gi l l.-Hăolder, -u trờn A X ti M nu tn ti mt lõn cn N ca cho vi mi à1 , à2 N v x, y A, x = y thỡ d(g(x, y, à1 ), g(x, y, à2 )) ld (à1 , à2 )d (x, y) (iv) nh x g : X ì X ì M Y c gi l l.-Hăolder calm, -u trờn A X ti M nu tn ti mt lõn cn N ca cho vi mi N v x, y A, x = y thỡ d(g(x, y, à), g(x, y, )) ld (à, )d (x, y) (v) nh x a tr Q : X Y c gi l l.-Hăolder ti x nu tn ti mt lõn cn N ca x cho vi mi x1 , x2 N thỡ H(Q(x1 ), Q(x2 )) ld (x1 , x2 ) (vi) nh x a tr Q : X Y c gi l l.-Hăolder calm ti x nu tn ti mt lõn cn N ca x cho vi mi x N thỡ H(Q(x), Q( x)) ld (x, x) 1.2 Tớnh n iu v cỏc khỏi nim liờn quan Xột X, Y l cỏc khụng gian metric, A l mt khỏc rng ca X, C l nún li, úng, cú nh, phn khỏc rng Y v l, > nh ngha 1.2.1 Xột hm s g : X ì X R Khi ú, g c gi l (i) n iu trờn A nu vi mi x, y A thỡ g(x, y) + g(y, x) (ii) ta n iu trờn A nu vi mi x, y A v x = y thỡ, [g(x, y) < 0] = [g(y, x) 0] (iii) gi n iu trờn A nu vi mi x, y A v x = y thỡ, [g(x, y) 0] = [g(y, x) 0] (iv) l.-Hăolder n iu mnh trờn A nu vi mi x, y A v x = y thỡ, g(x, y) + g(y, x) + ld (x, y) (v) l.-Hăolder gi n iu mnh trờn A nu vi mi x, y A v x = y thỡ, [g(x, y) 0] = [g(y, x) + ld (x, y) 0] nh ngha 1.2.2 nh x g : X ì X Y c gi l C-n iu trờn A nu vi mi x, y A thỡ g(x, y) + g(y, x) C 1.3 Tớnh li v cỏc khỏi nim liờn quan Xột X, Y l cỏc khụng gian metric tuyn tớnh, = A X, C l mt nún li, úng, cú nh v phn khỏc rng Y v m, h, > nh ngha 1.3.1 Hm s g : X R c gi l li trờn A nu vi mi x1 , x2 A v t [0, 1] thỡ, g(tx1 + (1 t)x2 ) tg(x1 ) + (1 t)g(x2 ), (1.1) v g c gi l lừm nu (1.1) c thay bi, g(tx1 + (1 t)x2 ) tg(x1 ) + (1 t)g(x2 ) nh ngha 1.3.2 Hm s g : X R c gi l affine trờn A nu vi mi x1 , x2 A v t [0, 1] thỡ g(tx1 + (1 t)x2 ) = tg(x1 ) + (1 t)g(x2 ) nh ngha 1.3.3 Xột ỏnh x g : X Y cú giỏ tr vộc t Khi ú (i) g c gi l C-li trờn A nu vi mi x1 , x2 A v t [0, 1] thỡ, tg(x1 ) + (1 t)g(x2 ) g(tx1 + (1 t)x2 ) + C, (1.2) (ii) g c gi l C-ta li trờn A ( õy A khụng nht thit li) nu vi mi x1 , x2 A v t [0, 1] thỡ tn ti x3 A cho tg(x1 ) + (1 t)g(x2 ) g(x3 ) + C nh x g c gi l C-lừm (C-ta lừm) trờn A nu g l C-li (C-ta li) trờn A nh ngha 1.3.4 nh x a tr Q : X Y c gi l li trờn li A nu vi mi x1 , x2 A v t [0, 1] thỡ, Q(tx1 + (1 t)x2 ) tQ(x1 ) + (1 t)Q(x2 ), v Q c gi l lừm nu (1.3) c thay bi, Q(tx1 + (1 t)x2 ) tQ(x1 ) + (1 t)Q(x2 ) (1.3) nh ngha 1.3.5 Hm s g : X R c gi l m-li mnh trờn A nu vi mi x1 , x2 A v t (0, 1) thỡ, g((1 t)x1 + tx2 ) (1 t)g(x1 ) + tg(x2 ) mt(1 t)d (x1 , x2 ) nh ngha 1.3.6 Xột hm s g : X R Khi ú, (i) g c gi l h.-li mnh trờn A nu vi mi x1 , x2 A v t (0, 1) thỡ, g((1 t)x1 + tx2 ) (1 t)g(x1 ) + tg(x2 ) ht(1 t)d (x1 , x2 ) (ii) g c gi l h.-ging li mnh trờn A ( õy A khụng nht thit phi li) nu vi mi x1 , x2 A v t (0, 1) thỡ tn ti z A cho g(z) (1 t)g(x1 ) + tg(x2 ) ht(1 t)d (x1 , x2 ) Hm s g c gi l h.-lừm mnh (ging lừm mnh) trờn A nu g l h.-li mnh (ging li mnh) trờn A 1.4 Bi toỏn cõn bng Cho X l khụng gian tụ pụ, A l mt khỏc rng ca X v f : A ì A R l hm giỏ tr thc Bi toỏn cõn bng vụ hng, c phỏt biu nh sau: (EP) Tỡm x A cho vi mi y A thỡ f ( x, y) Bi toỏn i ngu ca (EP) nh sau: (DEP) Tỡm x A cho vi mi y A thỡ f (y, x) Chng Tớnh liờn tc Hă older ca nghim bi toỏn cõn bng vụ hng Trong chng ny, ta thit lp iu kin cho tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh x nghim chớnh xỏc ca bi toỏn cõn bng vụ hng bng cỏc gi thit v tớnh li mnh Sau ú, ta thit lp iu kin cho tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh x nghim xp x ca bi toỏn ny bng cỏc gi thit v tớnh li (lừm) Gi s rng cỏc nghim luụn khỏc rng lõn cn ca im ang xột 2.1 Tớnh liờn tc Hă older ca nghim chớnh xỏc Xột X l mt khụng gian metric tuyn tớnh, , M l cỏc khụng gian metric v A X l khỏc rng Xột K : A l ỏnh x a tr cú giỏ tr li khỏc rng v f : A ì A ì M R l hm giỏ tr thc Vi mi (, à) ì M , ta xột bi toỏn cõn bng ph thuc tham s v bi toỏn i ngu ca nú nh sau: (EP) Tỡm x K() cho vi mi y K() thỡ f ( x, y, à) (DEP) Tỡm x K() cho vi mi y K() thỡ f (y, x, à) Ký hiu hai nghim ca (EP) v (DEP) ln lt l S(, à) v S d (, à) nh lý 2.1.1 Xột (EP), gi s cỏc iu kin sau õy c tha món: (i) K l l.-Hăolder liờn tc trờn mt lõn cn N ca ; (ii) tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi x K(N ) v U thỡ f (x, ã, à) l h. -li mnh v m.1-Hă older trờn conv(K(N )); (iii) vi mi U thỡ f (ã, ã, à) n iu trờn K(N ) ì K(N ); (iv) f l n. -Hăolder trờn U , -u trờn K(N ) vi < Khi ú, trờn N ì U , S l n tr v vi mi (1 , à1 ), (2 , à2 ) N ì U thỡ, (S(1 , à1 ), S(2 , à2 )) 4ml h d (1 , ) + n h d (à1 , à2 ) nh lý 2.1.2 Gi s rng cỏc gi thit (i), (iv) v (iii) ging nh nh lý 2.1.1 vi f c thay th bi f v iu chnh gi thit (ii) nh sau: (iid ) tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi x K(N ) v U , f (ã, x, à) l h. -lừm mnh v m.1-Hăolder liờn tc trờn conv(K(N )) Khi ú, ta cú kt lun tng t nh ca nh lý 2.1.1 cho S d nh lý 2.1.3 Vi K() K , gi s cỏc iu kin sau õy c nghim ỳng: (i) tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi x K v U , f (x, ã, à) l h. -ging li mnh trờn K ; (ii) vi mi U thỡ f (ã, ã, à) n iu trờn K ì K ; (iii) f l n. -Hăolder trờn U , -u trờn K vi < Khi ú, vi mi U , (EP) cú nghim nht x(à) v vi mi à1 , à2 U , (S(à1 ), S(à2 )) n h d (à1 , à2 ) nh lý 2.1.4 Vi K() K , gi s rng cỏc gi thit (ii) v (iii) ca nh lý 2.1.3 c gi li vi f c thay bi f v iu chnh gi thit (i) nh sau: (id ) tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi x K v U , f (ã, x, à) l h. -ging lừm mnh trờn K Khi ú, trờn U , ỏnh x nghim ca (DEP) l n tr v tha iu kin Hă older tng t nh nh lý 2.1.3 2.2 Tớnh liờn tc Hă older ca nghim xp x Xột X, Y, Z l cỏc khụng gian nh chun, A X l khỏc rng v Y, M Z l cỏc li, khỏc rng Xột K : A l ỏnh x a tr cú giỏ tr li, b chn v khỏc rng v f : A ì A ì M R Vi mi (, à) ì M , ta xột bi toỏn cõn bng ph thuc tham s sau õy: (EP) Tỡm x K() cho vi mi y K() thỡ f ( x, y, à) Ký hiu S(, , à) l nghim xp x ca (EP) nh lý 2.2.1 Xột (EP), gi s rng cỏc iu kiu sau õy c tha món: (i) K l l.-Hăolder ti , tc l tn ti mt lõn cn N ca cho vi mi , N , K(1 ) K(2 ) + lB(0, ||1 || ); (ii) tn ti mt lõn cn U ca à0 cho vi mi y K(N ) v U , f (ã, y, à) l lừm trờn K(N ); (iii) vi mi x, y K(N ), f (x, y, ã) l h. -Hă older trờn U ; (iv) vi mi U v x K(N ), f (x, ã, à) l q. -Hă older trờn K(N ) Khi ú, vi mi > 0, S liờn tc Hă older trờn [ , +) ì N ì U : H(S(1 , , à1 ), S(2 , , à2 )) k1 |1 | + k2 ||à1 à2 || + k3 ||1 || , vi k1 , k2 , k3 l cỏc s dng v ph thuc vo , l, , h, , q, H qu 2.2.1 Gi s cỏc iu kin sau õy c nghim ỳng: (i) K l l-Lipschitz ti , tc l, tn ti mt lõn cõn N ca cho vi mi , N , K(1 ) K(2 ) + lB(0, ||1 ||); (ii) tn ti mt lõn cn U ca à0 cho vi mi (, à) N ì U v y K(N ) thỡ f (ã, y, à) lừm K(N ); (iii) vi mi x, y K(N ), f (x, y, ã) l h-Lipschitz trờn U ; (iv) vi mi U v x K(N ), f (x, ã, à) l q -Lipschitz trờn K(N ) Khi ú, vi mi > 0, S liờn tc Lipschitz trờn [ , +) ì N ì U : H(S(1 , , à1 ), S(2 , , à2 )) k1 |1 | + k2 à1 à2 + k3 , vi k1 , k2 , k3 l cỏc s dng v ph thuc vo , l, h v q H qu 2.2.2 Vi K() K l mt li v b chn ca A, gi s cỏc iu kin sau õy c tha món: (i) tn ti mt lõn cn U ca à0 cho vi mi U v y K thỡ f (ã, y, à) lừm K ; (ii) vi mi x, y K thỡ f (x, y, ã) l h. -Hă older trờn U Khi ú, vi mi > 0, S liờn tc Hă older trờn [ , +) ì U : H(S(1 , à1 ), S(2 , à2 )) k1 |1 | + k2 ||à1 à2 || , vi k1 , k2 > v ph thuc vo , h v H qu 2.2.3 Vi K() K l mt li v b chn ca A, gi s cỏc iu kin sau õy c tha món: (i) tn ti mt lõn cn U ca à0 cho vi mi U v y K thỡ f (ã, y, à) lừm trờn K ; (ii) vi mi x, y K , f (x, y, ã) l h-Lipschitz liờn tc trờn U Khi ú, vi mi > 0, S liờn tc Lipschitz trờn [ , +) ì U : H(S(1 , à1 ), S(2 , à2 )) k1 |1 | + k2 ||à1 à2 ||, vi k1 , k2 > v ph thuc vo v h (iii) vi mi U thỡ f (ã, ã, à) n iu trờn K(N ) ì K(N ); (iv) f l C -n. -Hăolder i vi e trờn U , -u trờn K(N ) vi < Khi ú, trờn N ì U , ỏnh x nghim ca (SVEP) l n tr v tha iu kin Hăolder sau õy: vi mi (1 , à1 ), (2 , à2 ) N ì U thỡ, ((1 , à1 ), (2 , à2 )) 4ml h n d (1 , ) + h d (à1 , à2 ) Chuyn sang bi toỏn (DSVEP), ta cng cú kt qu sau nh lý 3.1.2 Gi s rng cỏc gi thit (i), (iv) v (iii) ging nh nh lý 3.1.1 vi f c thay th bi f v iu chnh gi thit (ii) nh sau: (iid ) tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi x K(N ) v U , f (ã, x, à) l h. -lừm mnh v C -m.1-Hăolder i vi e trờn conv(K(N )) Khi ú, ta cú kt lun tng t nh nh lý 3.1.1 cho ỏnh nghim d ca bi toỏn (DSVEP) Trong trng hp K() K (K l khỏc rng) thỡ gi thit li mnh (ii) ca nh lý 3.1.1 cú th gim nh thnh tớnh ging li mnh nh lý 3.1.3 Vi K() K , gi s cỏc iu kin sau õy c nghim ỳng (i) tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi x K v U , f (x, ã, à) l h. -ging li mnh i vi e trờn K ; (ii) vi mi U thỡ f (ã, ã, à) n iu trờn K ì K ; (iii) f l C -n. -Hăolder i vi e trờn U , -u trờn K vi < Khi ú, vi mi U , (SVEP) cú nghim nht x(à) tha iu kin Hă older trờn U : vi mi à1 , à2 U , ((à1 ), (à2 )) n h d (à1 , à2 ) Ta cú kt qu tng t cho bi toỏn i ngu 11 nh lý 3.1.4 Vi K() K , gi s rng cỏc gi thit (ii) v (iii) ca nh lý 3.1.3 c gi li vi f c thay bi f v iu chnh gi thit (i) nh sau: (id ) tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi x K v U , f (ã, x, à) l h. -ging lừm mnh i vi e trờn K Khi ú, trờn U , ỏnh x nghim ca (DSVEP) l n tr v tha iu kin Hă older tng t nh nh lý 3.1.3 3.2 Nghiờn cu tớnh liờn tc Hă older ca ỏnh x nghim xp x bi toỏn cõn bng vộc t yu bng phng phỏp vụ hng húa Xột X, , M l cỏc khụng gian nh chun, A X l khỏc rng Xột Y l khụng gian nh chun tuyn tớnh v Y l khụng gian i ngu ca nú, C Y l mt nún li, úng, cú nh v intC = nh x a tr K : A cú giỏ tr li, úng, khỏc rng v f : A ì A ì M Y l mt hm cú giỏ tr vộc t Vi mi (, à) ì M , ta xột bi toỏn cõn bng vộc t yu nh sau: (WEP): Tỡm x K() cho vi mi y K() thỡ f ( x, y, à) / intC Vi mi (, à) ì M , v e intC , ta kớ hiu (, , à) = {x K() : f (x, y, à) + e / intC, y K()} Xột C = { Y : (y) 0, y C} l nún i ngu ca C Vi mi e intC cho trc thỡ Be = { C : (e) = 1} l mt c s comapact yu ca C Vi mi Be , ta ký hiu (, , à) = {x K() : (f (x, y, à)) + 0, y K()}, l -nghim hu hiu ca (WEP) B 3.2.1 Nu vi mi x K() v M , f (x, ã, à) l C -ta li trờn K() thỡ (, , à) = (, , à) Be 12 nh lý 3.2.1 Xột (WEP), gi s rng vi mi Be , -nghim hu hiu tn ti mt lõn cn ca im ang xột (0 , à0 ) ì M Gi s thờm rng cỏc iu kin sau c nghim ỳng (i) K l l.-Hăolder ti , tc l tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi , U , K(1 ) K(2 ) + l B(0, 1); (ii) tn ti mt lõn cn V ca à0 cho vi mi y K(U ) v V thỡ f (ã, y, à) l C -lừm trờn K(U ); (iii) vi mi x, y K(U ) thỡ f (x, y, ã) l h. -Hă older trờn V ; (iv) vi V v x K(U ) thỡ f (x, ã, à) l q. -Hă older trờn K(U ) ca , N (0 ) ca Khi ú, vi mi > v Be thỡ tn ti cỏc lõn cn N () v N(à0 ) ca à0 cho (ã, ã, ã) liờn tc Hă older trờn [ , +) ì N(0 ) ì N(à0 ), tc l, H( (1 , , à1 ), (2 , , à2 )) k1 |1 | + k2 ||à1 à2 || + k3 ||1 || , (i , i , ài ) [ vi N (), , +) ì N(0 ) ì N(à0 ), i = 1, v k1 , k2 , k3 l cỏc s dng ph thuc vo , l, , h, , nh lý 3.2.2 Xột (WEP), gi s rng vi mi Be thỡ -nghim hu hiu tn ti mt lõn cn ca im ang xột (0 , à0 ) ì M Gi s thờm rng (i) K l l.-Hăolder ti , tc l, tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi , U , K(1 ) K(2 ) + l B(0, 1); (ii) tn ti mt lõn cn V ca à0 cho vi mi y K(U ) v V thỡ f (ã, y, à) l C -lừm trờn K(U ); (iii) vi mi x, y K(U ) thỡ f (x, y, ã) l h. -Hă older trờn V ; (iv) vi mi V v x K(U ) thỡ f (x, ã, à) l C -li v q. -Hă older trờn K(U ) 13 Khi ú, vi mi > thỡ tn ti cỏc lõn cn m N (0 ) ca v N (à0 ) ca à0 cho (ã, ã, ã) liờn tc Hăolder trờn [ , +) ì N (0 ) ì N (à0 ), tc l, H((1 , , à1 ), (2 , , à2 )) k1 |1 | + k2 ||à1 à2 || + k3 ||1 || , vi (i , i , ài ) [ , +) ì N (0 ) ì N (à0 ), i = 1, v k1 , k2 , k3 l cỏc s dng v ph thuc vo , l, , h, , 3.3 Tớnh liờn tc Hă older ca ỏnh x nghim xp x bi toỏn cõn bng vộc t Xột X, , M l cỏc khụng gian nh chun, A X l mt khỏc rng Cho Y l mt khụng gian nh chun tuyn tớnh c trang b mt nún th t li, úng, cú nh v phn khỏc rng C Xột ỏnh x a tr K : A cú giỏ tr khỏc rng v b chn v f : A ì A ì M Y l hm giỏ tr vộc t Vi mi (, à) ì M , ta xột hai bi toỏn cõn bng vộc t ph thuc tham s yu v mnh sau õy: Tỡm x K() cho vi mi y K() thỡ f ( x, y, à) / intC (WVEP) (SVEP) 3.3.1 Tỡm x K() cho vi mi y K() thỡ f ( x, y, à) C Tớnh li, lừm gim nh ca hm vộc t Ta ký hiu [a, b] = {x Y | x (b C) (a + C)} v = [, 0] Y l mt cho trc nh ngha 3.3.1 Mt ỏnh x f : X Y c gi l C -lừm tng quỏt trờn li A X nu, vi mi x1 , x2 A, t [0, 1], v f (x2 ) C thỡ, f (tx1 + (1 t)x2 ) tf (x1 ) + C Mnh 3.3.1 Nu f l C -lừm trờn li A thỡ f l C -lừm tng quỏt trờn A 14 nh ngha 3.3.2 Mt ỏnh x f : X Y c gi l -lừm loi trờn li A X nu vi mi x1 , x2 A, t [0, 1] v z thỡ [f (x1 ) z + C, f (x2 ) C] [f (tx1 + (1 t)x2 ) tz + C], (3.1) v f c gi l -lừm loi trờn li A nu (3.1) c thay bi [f (x1 ) / z intC, f (x2 ) C] [f (tx1 + (1 t)x2 ) / tz intC] Mnh 3.3.2 Nu f l C -lừm tng quỏt trờn li A thỡ f va l -lừm loi va l -lừm loi 3.3.2 Tớnh liờn tc Hă older ca ỏnh x nghim xp x Vi e intC v > cho trc, ta ký hiu = [ e, 0] Vi mi (, , à) (0, ) ì ì M , ta ký hiu cỏc nghim xp x ca (WVEP) v (SVEP) l w (, , à) v s (, , à) nh ngha 3.3.3 Mt ỏnh x f : X Y c gi l l.-Hăolder i vi e intC ti x0 X , nu tn ti mt lõn cn V ca x0 cho vi mi x1 , x2 V thỡ f (x1 ) f (x2 ) + l x1 x2 [e, e] nh lý 3.3.1 Xột bi toỏn (WVEP) v gi s rng cỏc iu kin sau c tha món: (i) K l l.-Hăolder ti , tc l tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi , U thỡ, K(1 ) K(2 ) + l B(0, 1); (ii) tn ti mt lõn cn V ca à0 cho vi mi (y, à) K(U ) ì V thỡ f (ã, y, à) l -lừm loi trờn K(U ); (iii) vi mi x, y K(U ) thỡ f (x, y, ã) l h. -Hă older i vi e trờn V ; (iv) vi mi V v x K(U ) thỡ f (x, ã, à) l q. -Hă older i vi e trờn K(U ) 15 Khi ú, vi mi (0, ) thỡ w l liờn tc Hă older trờn ( , ) ì U ì V nh lý 3.3.2 Xột bi toỏn (SVEP) v gi s rng cỏc iu kin sau c tha món: (i) K l l.-Hăolder ti , tc l tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi , U thỡ K(1 ) K(2 ) + l B(0, 1); (ii) tn ti mt lõn cn V ca à0 cho vi mi (y, à) K(U ) ì V thỡ f (ã, y, à) l -lừm loi trờn K(U ); (iii) vi mi x, y K(U ) thỡ f (x, y, ã) l h. -Hă older i vi e in V ; (iv) vi mi V v x K(U ) thỡ f (x, ã, à) l q. -Hă older i vi e trờn K(U ) Khi ú, vi mi (0, ) thỡ s l liờn tc Hă older trờn ( , ) ì U ì V Nu Y = R, C = R+ v e = 1, (WEP) v (SEP) trựng v quy v bi toỏn cõn bng vụ hng ó xột Chng Trong trng hp c bit ny, ta cú kt qu sau H qu 3.3.1 Xột bi toỏn (EP) v gi s cỏc iu kin sau c tha (i) K l l.-Hăolder liờn tc ti , tc l tn ti mt lõn cn U ca cho vi mi , U thỡ K(1 ) K(2 ) + l B(0, 1); (ii) tn ti mt lõn cn V ca à0 cho vi mi (y, à) K(U ) ì V thỡ f (ã, y, à) l -lừm trờn K(U ); (iii) vi mi x, y K(U ) thỡ f (x, y, ã) l h. -Hă older liờn tc trờn V ; (iv) vi mi V v x K(U ) thỡ f (x, ã, à) l q. -Hă older liờn tc trờn K(U ) Khi ú, ỏnh x nghim xp x ca bi toỏn (EP) l liờn tc Hă older trờn ( , ) ì U ìV 16 Chng Tớnh t chnh Hă older ca bi toỏn cõn bng Trong chng ny, ta trỡnh by tớnh t chnh Hăolder ca bi toỏn vụ hng v m rng cho bi toỏn ta cõn bng vộc t Ta gi s rng nghim ca cỏc bi toỏn luụn khỏc rng lõn cn ca im ang xột 4.1 Tớnh t chnh Hă older ca bi toỏn cõn bng vụ hng Xột X, , M l cỏc khụng gian metric nh x a tr K : X cú giỏ tr khỏc rng v f : X ì X ì M R l hm giỏ tr thc Vi mi (, à) ì M , ta xột bi toỏn cõn bng ph thuc tham s sau õy: (EP) Tỡm x K() cho vi mi y K() thỡ f ( x, y, à) Vi v (, à) ì M , ta ký hiu nghim xp x ca bi toỏn (EP) l S(, , à) nh ngha 4.1.1 Bi toỏn (EP) c gi l t chnh Hăolder ti im (, ) nu hai iu kin sau õy c tha món: (i) S(0, , ) l n phn t; (ii) ỏnh x nghim xp x S liờn tc Hăolder calm ti (0, , ) 17 Vi h > 0, v im ang xột (, ) ì M , tn ti mt lõn cn ca , V ( , U () à) ca cho vi mi V ( à) v x = y trờn K U () (M) hd (x, y) d(f (x, y, ), R+ ) + d(f (y, x, ), R+ ) nh lý 4.1.1 Gi s cỏc iu kin sau c tha món: ca v V ( (i) tn ti cỏc lõn cn U () à) ca cho vi mi x, y thỡ f (x, y, ã) l n1 -Hăolder calm ti K(U ()) ; v V ( (ii) vi mi x K(U ()) à) thỡ f (x, ã, à) l n2 -Hăolder trờn ; K(U ()) ; (iii) f (ã, ã, ) tha iu kin (M) trờn K(U ()) trờn U () (iv) K l l.-Hăolder calm ti Khi ú, bi toỏn (EP) t chnh Hă older ti (, ) 4.2 Tớnh t chnh Hă older ca bi toỏn ta cõn bng vộc t Xột X, , M l cỏc khụng gian metric v Y l mt khụng gian nh chun Cho = A X v C Y l mt nún li, úng, cú nh vi phn khỏc rng Xột f : A ì A ì M Y v K : A ì A cú giỏ tr khỏc rng Xột hai bi toỏn ta cõn bng yu v mnh sau õy: (WQEP) Tỡm x K( x, ) cho vi mi y K( x, ) thỡ f ( x, y, à) intC (SQEP) Tỡm x K( x, ) cho vi mi y K( x, ) thỡ f ( x, y, à) C nh ngha 4.2.1 im x K( x, ) c gi l -nghim ng vi e intC ca (WQEP) ((SQEP)) nu vi mi y K( x, ), f ( x, y, à) + e intC 18 (f ( x, y, à) + e C) Ký hiu hai -nghim ng vi e ca (WQEP) v (SQEP) tng ng w l SQ (, , à) v SQs (, , à) nh ngha 4.2.2 Bi toỏn (WQEP)/hoc (SQEP) c gi l t chnh Hăolder ng vi e ti im (, ) nu hai iu kin sau õy c tha món: w (i) SQ (0, , )/hoc SQs (0, , ) l n phn t ; w s (ii) SQ /hoc SQ liờn tc Hăolder calm ti (0, , ) Xột hai gi thit: (W) Vi h > 0, v im ang xột (, ) ì M , tn ti cỏc lõn ca , V ( , cn U () à) ca cho V ( à) v x = y trờn E U () hd (x, y) d(f (x, y, ), Y \ intC) + d(f (y, x, ), Y \ intC) (4.1) Nu (4.1) c thay th bi hd (x, y) d(f (x, y, ), C)+d(f (y, x, ), C), thỡ ta cú gi thit th hai, ký hiu l (S) thay cho (W) nh lý 4.2.1 Gi s cỏc iu kin sau õy c tha món: ca v V ( (i) tn ti cỏc lõn cn U () à) ca cho f l n1 v V ( Hăolder calm ti v, vi mi x E(U ()) à), f (x, ã, à) l n2 -Hăolder trờn E(U ()); (ii) gi thit (S) c tha món; v x E(U ()) , K(ã, ) l l1 -Hăolder liờn tc (iii) vi mi U () v K(x, ã) l l2 -Hăolder calm ti ; trờn E(U ()) (iv) = v h > 2n2 l12 Khi ú, bi toỏn (SQEP) t chnh Hă older ng vi e ti (, ) nh lý 4.2.2 Gi s rng cỏc gi thit (i), (iii) v (iv) ging nh nh lý 4.2.1 v gi thit (S) c thay bng gi thit (W) Khi ú, bi toỏn (WVEP) t chnh Hăolder ti im (, ) 19 4.3 p dng 4.3.1 Bi toỏn bt ng thc ta bin phõn Cho X, Y, , M l cỏc khụng gian nh chun, X l khụng gian i ngu ca X Cho A X l mt khỏc rng v C Y l mt nún li, úng, cú nh vi phn khỏc rng Xột T : A ì M X v K : A ì A cú giỏ tr khỏc rng Vi mi (, à) ì M , ta xột cỏc bi toỏn bt ng thc ta bin phõn vộc t mnh v yu sau õy: (SQVI): Tỡm x K( x, ) cho vi mi y K( x, ) thỡ T ( x, à), y x C (WQVI): Tỡm x K( x, ) cho vi mi y K( x, ) thỡ T ( x, à), y x / intC Vi v e intC , ta ký hiu cỏc -nghim ng vi e ca (SQVI) v (WQVI) ln lt l S1s (, , à) v S1w (, , à) Nu ta t f (x, y, à) = T (x, à), y x thỡ (SQVI) v (WQVI) tng ng tr thnh trng hp c bit ca (SQEP) v (WQEP) nh ngha 4.3.1 Bi toỏn (SQVI)/ hoc (WQVI) c gi l t chnh Hăolder ng vi e ti im (, ) nu hai iu kin sau õy c tha món: ) l n phn t )/ hoc S1w (0, , (i) S1s (0, , (ii) S1s / hoc S1w liờn tc Hăolder calm ti (0, , ) H qu 4.3.1 Gi s cỏc iu kin sau c tha món: ca v V ( (a) tn ti cỏc lõn cn U () à) ca cho vi mi V ( x E(U ()), à) thỡ T (x, ã) l n3 -Hăolder calm ti , v , T (ã, à) b chn, tc l tn ti cỏc s v M cho x E(U ()) E(U ()), x v T (x, à) M; 20 : x = y thỡ (b) vi mi x, y E(U ()) h1 d1 (x, y) d(T (x, ), y x , C) + d(T (y, ), x y , C); v x E(U ()) , K(ã, ) l l3 -Hăolder trờn (c) vi mi U () v K(x, ã) l l4 -Hăolder calm ti ; E(U ()) (d) = v h1 > 2Ml3 Khi ú, bi toỏn (SQVI) t chnh Hă older ng vi e ti (, ) H qu 4.3.2 Gi s cỏc gi thit (a), (c), (d) H qu 4.3.1 c tha v iu kin gi thit (b) c thay bi : x = y thỡ (b): vi mi x, y E(U ()) h1 d1 (x, y) d(T (x, ), y x , Y \intC) + d(T (y, ), x y , Y \intC) Khi ú, bi toỏn (WQVI) t chnh Hă older ng vi e ti (, ) Trong trng hp Y = R, C = R+ v e = thỡ cỏc bi toỏn (SQVI) v (WQVI) trựng v tr thnh bi toỏn bt ng thc ta bin phõn vụ hng sau õy: (QVI): Tỡm x K( x, ) cho vi mi y K( x, ) thỡ T ( x, à), y x h1 d1 (x, y) d(T (x, ), y x , R+ ) + d(T (y, ), x y , R+ ) Lỳc ny, ta cú h qu sau õy H qu 4.3.3 Gi s cỏc iu kin (a), (c) v (d) H qu 4.3.1 c nghim ỳng v gi thit thờm rng: : x = y thỡ (b): vi mi x, y E(U ()) h1 d1 (x, y) d(T (x, ), y x , R+ ) + d(T (y, ), x y , R+ ); Khi ú, bi toỏn (QVI) t chnh Hă older ti (, ) 21 4.3.2 Bi toỏn mng giao thụng Kớ hiu N l hp cỏc nỳt, L l nhng liờn kt v W = (W1 , , Wl ) l hp nhng cp u - cui Gi s rng Wj , j = 1, , l c ni vi bi mt Pj cỏc hnh trỡnh v Pj cha rj , rj hnh trỡnh t F = (F1 , , Fm ) l dũng vộc t ng dn, vi m = r1 + + rl Gi s kh nng rng buc l F A := {F Rm : s Fs s , s = 1, , m}, vi s v s l nhng s thc cho trc Gi s thờm rng chi phớ giao thụng trờn ng Fs , s = 1, , m, ph thuc vo tt c vộc t dũng F , l Ts (F ) Khi ú vộc t chi phớ ng i l T (F ) = (T1 (F ), , Tm (F )) Mt vộc t dũng ng dn H c gi l vộc t dũng cõn bng nu Wj , p Pj v s Pj thỡ [Tp (H) < Ts (H)] = [Hs = s hoc Hp = p ] Bõy gi ta gi s rng biu thc giao thụng b nhiu bi tham s khụng gian metric Gi s thờm rng nhu cu giao thụng gj ca cp im u - cui Wj ph thuc vo v vộc t dũng cõn bng l H Kớ hiu g = (g1 , , gl ) v js = 1, s Pj , 0, s / Pj = {js }, j = 1, , l; s = 1, , m Khi ú nhng vộc t dũng ng dn m gp nhu cu giao thụng c gi l nhng vộc t dũng ng dn chp nhn c v hỡnh thc ca rng buc l K(H, ) = {F A | F = g(H, )}, c gi l mt ma trn ti cp u - cui Gi s thờm rng chi phớ ng i cng b nhiu tc l nú ph thuc vo tham s ca khụng gian metric 22 M : Ts (F, à), s = 1, , m Chỳ ý rng "kiu ng i" m chỳng ta s dng õy khụng cn s phỏt sinh ca chi phớ i li B 4.3.1 Vộc t dũng ng dn H K(H, ) l vộc t dũng cõn bng v ch nú l nghim ca bi toỏn bt ng thc ta bin phõn sau: (TNP) Tỡm H K(H, ) cho F K(H, ) thỡ T (H, à), F H B 4.3.2 (a) Nu vi mi , g(ã, ) l L1 -Hă older ti x thỡ thỡ tn ti s l1 cho K(ã, ) l l1 -Hă older ti x thỡ tn ti s (b) Nu vi mi x A, g(x, ã) l L2 -Hă older calm ti l2 cho K(x, ã) l l2 -Hăolder calm ti nh ngha 4.3.2 Bi toỏn (TNP) c gi l t chnh Hăolder ti im (, ) nu hai iu kin sau õy c tha món: (i) Tp nghim ca (TNP) l n phn t (ii) nh x nghim ca (TNP) liờn tc Hăolder calm ti (0, , ) H qu 4.3.4 Gi s cỏc iu kin (a), (b) v (d) H qu 4.3.3 c tha v gi thit (c) c thay th bi gi thit: v H E(U ()) , g(ã, ) l L5 -Hăolder trờn (c): vi mi U () v g(x, ã) l L6 -Hăolder calm ti E(U ()) Khi ú, bi toỏn (TNP) t chnh Hăolder ti (, ) 23 Kt lun Lun ỏn nghiờn cu cỏc quan trng v mang tớnh thi s cho c toỏn hc lý thuyt ln toỏn hc ng dng 1) V tớnh n nh nghim: Lun ỏn ó tỡm cỏc gi thit mi v tớnh li, ta li, li mnh, thay th cỏc iu kin cú liờn quan n tớnh n iu mnh hoc gi n iu mnh cỏc bi bỏo ó cú nghiờn cu tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh x nghim ca bi toỏn cõn bng cú tham s Lun ỏn ó thit lp c cỏc iu kin cho tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh x nghim ca bi toỏn cõn bng cú tham s v cỏc dng m rng ca nú trng nghim ca bi toỏn khụng nht S dng phng phỏp vụ hng húa nghiờn cu tớnh liờn tc Hăolder ca ỏnh x nghim ca bi toỏn cõn bng vộc t yu ng thi, lun ỏn cng xut cỏc gi thit v tớnh li gim nh nghiờn cu cho bi vộc t mnh 2) V tớnh t chnh: Lun ỏn ó gii thiu khỏi nim t chnh Hăolder cho bi toỏn ta cõn bng vộc t, v sau ú nghiờn cu cỏc iu kin cỏc bi toỏn ny t chnh Hăolder ti im ang xột Tớnh t chnh Hăolder l ch mi v nhn c nhiu s quan tõm ca cỏc nh toỏn hc 24 Danh mc cụng trỡnh Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of approximate solutions to parametric equilibrium problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 75, 2293-2303 (2012) Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N., Van, D.T.M: On Hăolder calmness and Hăolder well-posedness of vector quasiequilibrium problems Vietnam Journal of Mathematics 41, (2013) Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of solution maps of parametric primal and dual Ky Fan inequalities TOP 23, 151-167 (2015) Anh, L.Q., Tam, T.N.: Sensitivity analysis for parametric vector equilibrium problems, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, accepted (2016) Anh, L.Q., Kien, N.T., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of approximate solutions maps to vector equilibrium problems Turkish Journal of Mathematics, DOI: 10.3906/mat-1507-9 Anh, L.Q., Duoc, P.T., Tam, T.N.: On Hăolder continuity of solution maps to parametric vector equilibrium problems Optimization, submmited Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, T.N.: Continuity of approximate solution maps to primal and dual vector equilibrium problems Optimization Letters, submitted ... cân Trong chương này, ta trình bày tính đặt chỉnh H¨older toán vô hướng mở rộng cho toán tựa cân véc tơ Ta giả sử tập nghiệm toán khác rỗng lân cận điểm xét 4.1 Tính đặt chỉnh H¨ older toán cân. .. cho tính liên tục H¨older ánh xạ nghiệm toán cân có tham số dạng mở rộng trường nghiệm toán không − Sử dụng phương pháp vô hướng hóa để nghiên cứu tính liên tục H¨older ánh xạ nghiệm toán cân. .. x¯) ≤ Chương Tính liên tục H¨ older nghiệm toán cân vô hướng Trong chương này, ta thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục H¨older ánh xạ nghiệm xác toán cân vô hướng giả thiết tính lồi mạnh