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sè t❤ü❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ X ✈➔ ❤➔♠ ✈❡❝tì F = (F1 , F2 , , Fr )✳ ✣➦t Fx (y) := F (x, y), Fk,x (y) = Fk (x, y), ✈ỵ✐ ♠å✐ k ∈ {1, 2, , r} ✈➔ ①➨t t➟♣ ✻ I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0} , ❣✐↔ sû Fx (x) = 0✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ✭❈❱❊P✮ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ ✈❡❝tì x ∈ K s❛♦ ❝❤♦ / −Q\ {0} (∀y ∈ K) F (x, y) ∈ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❱❡❝tì x ∈ K ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ P tỗ t ởt ỗ tt ✤è✐ U ❝õ❛ ✈ỵ✐ U ⊆ VB t❤ä❛ ♠➣♥ ❝♦♥❡F (x, K) ∩ (−✐♥tQU (B)) = ∅, tr♦♥❣ ✤â✱ Q (B) = y ∗ ∈ Q# : ∃t > t❤ä❛ ♠➣♥ y ∗ , b ≥ t, ∀b ∈ B ✈➔ Q# = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , y > 0, ∀y ∈ Q\ {0}} ; Q∗ = {y ∗ ∈ Y : y ∗ , y ≥ 0, ∀y ∈ Q} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ❱❡❝tì x ∈ K ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❊P✮ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ ♠ët V tỗ t ởt U ❝õ❛ s❛♦ ❝❤♦ ❝♦♥❡F (x, K) ∩ (U − Q) ⊆ V ●✐↔ t❤✐➳t ✷✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ Fx , gi (∀i ∈ I(x)) ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x, hj (∀j ∈ L) ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t t↕✐ x ✈➔ ♥â♥ Q ❝â ❝ì sð ❧➔ B ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳ ✣↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ x t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ υ ∈ X ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ f ♦ (x; υ) = sup lim sup w∈X t↓0 f (x + t(υ + w)) − f (x + tw) t ữợ ♣❤➙♥ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ x ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ∂ M P f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f ♦ (x, υ) ≥ x∗ , υ , ∀υ ∈ X} ◆➳✉ f ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t t↕✐ x ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❋r➨❝❤❡t ∇f (x)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ∂ M P f (x) = {∇f (x)} ❳➨t ❝→❝ t➟♣ s❛✉✿ C(K; x) = v ∈ T (C; x) : gi♦ (x, v) (∀i ∈ I(x)), ∇hj (x), v = (∀j ∈ L) , ✼ µi ∂ M P gi (x) + H(x) = vj ∇hj (x) j=1 i∈I(x) +N (C; x) : µi ≥ (∀i ∈ I(x)), vj ∈ R (∀j ∈ L) ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❊P✮✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤÷❛ ✈➔♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ✭❈◗✮ s❛✉ ✤➙② C(K; x) ⊆ T (K; x) ▼ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❊P✮ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ữ s ỵ sỷ x ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✭❈❱❊P✮❀ Fx (x) = 0❀ H(x) ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ②➳✉✯❀ ❚❤ä❛ ♠➣♥ ●✐↔ t❤✐➳t q õ tỗ t↕✐ µi ≥ (∀i ∈ I(x))✱ v j ∈ R (∀j ∈ L) ✈➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✱ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❞÷ì♥❣ Λ tr➯♥ Y t❤ä❛ ♠➣♥ (α) ♥➳✉ y2 − y1 ∈ Q\ {0} t❤➻ Λ(y1 ) < Λ(y2 ); () tỗ t > s (b) −β0 , ✈ỵ✐ ♠å✐ b ∈ B ✈➔ ∈ ∂ M P (Λ ◦ Fx )(x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x) j∈L i∈I(x) ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ X, Y ❧➔ ổ ỳ ỵ ữủ t ữ s ỵ sỷ X = Rn , Y = Rp ✱ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❊P✮ ✈➔ t❤ä❛ tt ỵ õ tỗ t Q (B), ài (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) s❛♦ ❝❤♦ µi ∂ M P gi (x) + ∈ λ∂J Fx (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); j∈L i∈I(x) ✭✐✐✮ ❤ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ❝ì sð B ❝õ❛ Q ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ λ ∈ ✐♥tQ∗ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ →♥❤ ①↕ Fx ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✳ ✽ ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x ✈ỵ✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝❤➦t Ds Fx (x) õ tỗ t Q (B), µi ≥ (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) s❛♦ ❝❤♦ ∈ [Ds Fx (x)]∗ λ + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); j∈L i∈I(x) ✭✐✐✮ ❤ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ❝ì sð B ❝õ❛ Q ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ λ ∈ ✐♥tQ∗ , ✈ỵ✐ ✐♥tQ∗ ❧➔ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ Q∗ t❤❡♦ tæ♣æ ♠↕♥❤ tr♦♥❣ Y ∗ ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ▼ö❝ ✷✳✶✳✶✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ✭❈❱❊P✮✳ ✷✳✷ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì 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◦ f )(x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); j∈L i∈I(x) ✶✶ ✭✐✐✮ ♥➳✉ f ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x t❤➻ tỗ t Q (B), ài (i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) s❛♦ ❝❤♦ ∈ [Ds f (x)]∗ + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); j∈L i∈I(x) ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ❝ì sð B ❝õ❛ Q ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ λ ∈ ✐♥tQ∗ ✳ ✭✐✐✐✮ ♥➳✉ X = Rn , Y = Rp tt ỵ tọ t tỗ t Q (B), ài (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) s❛♦ ❝❤♦ µi ∂ M P gi (x) + ∈ λ∂J Fx (x) + v j ∇hj (x) + NC (x) j∈L i∈I(x) ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ❝ì sð B ❝õ❛ Q ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ tQ ỵ x K ✈➔ Q ❝â ❝ì sð ❧➔ B ✳ ●✐↔ sỷ tỗ t Q (B), ài (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) t❤ä❛ ♠➣♥ ∈ [T (x)]∗ λ + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x) jL iI(x) ỡ ỳ t C ỗ →♥❤ ①↕ gi (∀i ∈ I(x)) ❧➔ ∂ M P tỹ ỗ t x tr C h1 , , h tü❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ t↕✐ x tr➯♥ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❈❱❱■✮✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳ ❈❤♦ x ∈ K ✳ ●✐↔ sû✱ ❝ì sð B ❝õ❛ Q ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣✱ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ỵ tọ tr õ Q (B) ✤÷đ❝ t❤❛② t❤➳ ❜ð✐ λ ∈ ✐♥tQ∗ ✳ ❑❤✐ ✤â✱ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ✭❈❱❱■✮✳ ▼ët tố ữ ố ợ ỳ ❍❡♥✐❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈❱❖P✮ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✳ ỵ sỷ x K B ởt ỡ s Q ỳ tỗ t Λ ∈ Q (B)✱ µi ≥ (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) s❛♦ ❝❤♦ ∈ ∂ M P (Λ ◦ f )(x) + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x) jL iI(x) ỡ ỳ C ỗ f M P ỗ t↕✐ x tr➯♥ C ❀ ❝→❝ →♥❤ ①↕ gi (∀i I(x)) M P tỹ ỗ t x tr➯♥ C ✈➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ h1 , , h tü❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ t↕✐ x tr➯♥ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❈❱❖P✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ f ❦❤↔ ✈✐ ❝❤➦t t↕✐ x✱ t õ ỵ s ỵ x ∈ K ✈➔ B ❧➔ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ Q sỷ f t t x tỗ t↕✐ λ ∈ Q (B)✱ µi ≥ (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) s❛♦ ❝❤♦ ∈ [Ds f (x)]∗ λ + µi ∂ M P gi (x) + v j ∇hj (x) + NC (x) jL iI(x) ỡ ỳ C ỗ f ỗ t x tr C →♥❤ ①↕ gi (∀i ∈ I(x)) ❧➔ ∂ M P tỹ ỗ t x tr C h1 , , h tü❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ t↕✐ x tr➯♥ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ✭❈❱❖P✮✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ X, Y ổ ỳ t õ ỵ s ỵ sỷ X = Rn , Y = Rp ✱ x ∈ K ✳ ●✐↔ sû ❝ì sð B ❝õ❛ Q ❧➔ ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ●✐↔ t❤✐➳t ✷✳✶ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣ tỗ t Q (B), ài (∀i ∈ I(x)), v j ∈ R (∀j ∈ J) s❛♦ ❝❤♦ µi ∂ M P gi (x) + ∈ λ∂J f (x) + v j ∇hj (x) + NC (x); jL iI(x) t C ỗ f C 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X ✈➔♦ Rm ✱ Rl ✳ ❑❤✐ ✤â✱ g = (g1 , , gm ), h = (h1 , , hl ) ✈ỵ✐ gi , hj (i ∈ I := {1, , m}, j ∈ L := {1, , l}) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❣✐→ trà t❤ü❝ ♠ð rë♥❣ tr➯♥ X ●✐↔ sû g ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ữỡ t x C S õ ỗ ✤❛ ❞✐➺♥ tr♦♥❣ Rm ✳ ❳➨t t➟♣ ❤ñ♣ M = {x ∈ C : g(x) ∈ S, h(x) = 0} S õ ỗ tr Rm S ữủ t ữợ S = {y ∈ Rm : , y ≥ 0, i = 1, , r} (ai ∈ Rm , i = 1, , r) ✭✸✳✶✮ ✣➦t gi (x) = − , g(x) (i = 1, , r) ❚ø ✭✸✳✶✮✱ t❛ ❝â g(x) ∈ S ⇐⇒ gi (x) ≤ (i = 1, , r) ❉♦ ✈➟②✱ t➟♣ M ❝â ❞↕♥❣ M = {x ∈ C : gi (x) ≤ (i = 1, , r), hj (x) = (j = 1, , l)} ❱ỵ✐ x ∈ M ✱ t❛ ✤➦t I(x) = {i ∈ {1, , r} : gi (x) = 0} ●✐↔ sû L(X, Rp ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ tø X ✈➔♦ Rp , ✈➔ T ❧➔ →♥❤ ①↕ tø X ✈➔♦ L(X, Rp ) sỷ Q õ ỗ õ ♥❤å♥ tr♦♥❣ Rp ✈ỵ✐ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭❲❱❱■✮✿ ❚➻♠ x ∈ M s❛♦ ❝❤♦ T (x)(y − x) ∈ / −✐♥tQ (∀y ∈ M ) ✭✸✳✷✮ ❱❡❝tì x ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❲❱❱■✮ ♥➳✉ ✭✸✳✷✮ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✐♥t Q = Rp++ ✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❲❱❱■✮ ❝â ổ tỗ t y M s T (x)k (y − x) < 0, ✈ỵ✐ ♠å✐ k ∈ J := {1, , p}, tr♦♥❣ ✤â T (x) = (T (x)1 , , T (x)p ), T (x)k : X → R (∀k ∈ J), Rp++ = ✐♥t Rp+ ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ữợ tữ tr f t x ∈ X t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ v ∈ X ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ fd− (x; υ) = lim inf t↓0 t✳÷✳✱ fd+ (x; υ) = lim sup t↓0 ✶✺ f (x + tυ) − f (x) , t f (x + tυ) − f (x) t ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ❍➔♠ f : X R ữủ õ ữợ s rở tr f (x) tữ ữợ ∂∗ f (x)) t↕✐ x ♥➳✉ ∂ ∗ f (x) ⊆ X ∗ ✭t✳÷✳✱ ∂∗ f (x) ⊆ X ∗ ✮ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✯②➳✉ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ υ ∈ X, fd− (x, υ) ≤ x∗ , υ , sup x∗ ∈ ∂ ∗ f (x) (t✳÷✳✱ fd+ (x, υ) ≥ x∗ , υ ) inf x∗ ∈ ∂ ∗ f (x) ❚➟♣ ✤â♥❣ ✯②➳✉ ∂f (x) ⊆ X ∗ ữợ s rở f t x õ ứ ữợ s rở tr ứ ữợ s rở ữợ f t↕✐ x ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✸✳ ✣✐➸♠ x ∈ C ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ■♦❢❢❡ ❝õ❛ h t C tỗ t số K > δ > s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ∩ B(x; δ), dP (x) ≤ K h(x) − h(x) , tr♦♥❣ ✤â P := {x ∈ C : h(x) = h(x)}, dP (x) ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø x ✤➳♥ P, B(x; δ) ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠ x ❜→♥ ❦➼♥❤ δ ✳ ●✐↔ t❤✐➳t ✸✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ h1 , , hl ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x❀ ✈ỵ✐ ♠é✐ j ∈ L✱ ❤➔♠ |hj | ❝❤➼♥❤ q✉② t r t x ữợ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ 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●✐↔ sû x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❲❱❱■✮✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ q õ tỗ t = (1 , , λp ) ∈ Q∗ \ {0}, µi ≥ (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) s❛♦ ❝❤♦ ∈ ❝❧ µi ❝♦♥✈ ∂ ∗ gi (x) + λk T (x)k + k∈J γ j ❝♦♥✈ ∂ ∗ hj (x) + NC (x) j∈L i∈I(x) ❚ø ỵ t s r ữủ ởt t q tr ỵ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳ ✸✳✷✳✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ỳ ỵ sỷ x M tỗ t = (1 , , λp ) ∈ Q∗ \ {0}✱ µi ≥ (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) s❛♦ ❝❤♦ ∈ ❝❧ µi ❝♦♥✈ ∂ ∗ gi (x) + λk T (x)k + k∈J γ j ❝♦♥✈ ∂ ∗ hj (x) + NC (x) ; j∈L i∈I(x) ✭✐✐✮ ♠é✐ ❤➔♠ gi ❧➔ tü❛ ỗ t t x tr M (i I(x)) ♠é✐ ❤➔♠ hj ❧➔ tü❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ t↕✐ x tr M (j L) C ỗ õ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❲❱❱■✮✳ ✶✼ ❈❤÷ì♥❣ ✹ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tố ữ tr q ữợ s rở ợ t tố ữ tỡ ởt trữớ ủ r q trồ ợ t ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì✳ ❈❤÷ì♥❣ ✹ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ▲❯✕tè✐ ÷✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ ❝â r t tr ổ q ữợ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ỵ ố ♠↕♥❤ ❦✐➸✉ ▼♦♥❞✕❲❡✐r ✈➔ ❲♦❧❢❡ ✤÷đ❝ t❤✐➳t ❧➟♣✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ 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∈❝❧ λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) µi conv ∂ ∗ gi (x) + + i∈I(x) γ j conv ∂hj (x) + NC (x) j∈L ✷✵ ✣➸ ❝â t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤ù s ❝õ❛ ♥❤➙♥ tû ▲❛❣r❛♥❣❡ ❦❤→❝ 0✱ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ▼❛♥❣❛s❛r✐❛♥✕❋r♦♠♦✈✐t③ (CQ(s) 2) ỡ ữ s ỗ t s {1, 2}, υ0 ∈ TC (x) ✈➔ > (∀i ∈ I(x)), bk > 0✱ (k ∈ {1, 2}, k = s) s❛♦ ❝❤♦ ✭✐✬✮ ✈➔ ✭✐✐✮ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ✈ỵ✐ ✭✐✬✮ ♥❤÷ s❛✉✳ ✭✐✬✮ ξi , υ0 ≤ −ai (∀ξi ∈ ∂ ∗ gi (x), ∀i ∈ I(x)); χk , υ0 ≤ −bk (∀χk ∈ ∂Fk (x), k ∈ {1, 2}, k = s) ỵ sỷ x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ▲❯✕tè✐ ÷✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✭❈■❖P✮✱ t❤ä❛ ♠➣♥ tt ỵ ❝❤➼♥❤ q✉② (CQ(s) 2) ✭s = 1, 2✮✳ ❑❤✐ ✤â✱ tỗ t s > (s = 1, 2), ài ≥ (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) s❛♦ ❝❤♦ µi conv ∂ ∗ gi (x) ∈ ❝❧ λ1 conv ∂F1 (x) + λ2 conv ∂F2 (x) + i∈I(x) + γ j conv ∂hj (x) + NC (x) j∈L ✹✳✷✳✸ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝❤♦ tố ữ ữỡ ỵ sỷ x ∈ M ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t❤ä❛ ♠➣♥ tỗ t k > (k = 1, 2), µi ≥ (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) s❛♦ ❝❤♦ ∈ ❝❧ λ1 ❝♦♥✈ ∂ ∗ F1 (x) + λ2 ❝♦♥✈ ∂ ∗ F2 (x) + µi ❝♦♥✈ ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j ❝♦♥✈ ∂ ∗ hj (x) + NC (x) ; + jL ởt tr ữợ s rë♥❣ tr➯♥ ∂ ∗ Fk (x) (∀k = 1, 2) ❝❤➼♥❤ q✉② tr➯♥ t↕✐ x❀ ❤➔♠ λF := λ1 F1 + F2 ỗ t t x tr M gi tỹ ỗ t t x tr➯♥ M (∀i ∈ I(x))❀ ❝→❝ ❤➔♠ hj tü❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ t↕✐ x tr➯♥ M (∀j ∈ L); C ỗ õ x tố ữ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈■❖P✮✳ ✹✳✸ ✣è✐ ♥❣➝✉ ✹✳✸✳✶ ✣è✐ ♥❣➝✉ ▼♦♥❞✕❲❡✐r ❇➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❦✐➸✉ ▼♦♥❞✕❲❡✐r ✭❉❈■❖P✶✮ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈■❖P✮ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ✷✶ ♠❛① F (u) = [F1 (u), F2 (u)], ✈ỵ✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ∈ ❝❧ λ1 ❝♦♥✈ ∂ ∗ F1 (u) + λ2 ❝♦♥✈ ∂ ∗ F2 (u) + + j∈L γj i∈I(u) µi ❝♦♥✈ ∂ ∗ gi (u) ❝♦♥✈ ∂ ∗ hj (u) + NC (u) , µi gi (u) ≥ (∀i ∈ I(u)), γj hj (u) = (j ∈ L), u ∈ C, λk > (k = 1, 2), µi ≥ (∀i ∈ I(u)), µr = (r ∈ / I(u)), γj ∈ R (∀j ∈ L) ỵ ố t P ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✭❉❈■❖P✶✮ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s ỵ ố sỷ x (u, , à, ) tữỡ ự ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ✭❈■❖P✮ ✈➔ ✭❉❈■❖P✶✮✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ✭✐✮ ❈→❝ ❤➔♠ F1 , F2 , µi gi (i ∈ I(u)), νj hj (j ∈ L) õ ữợ s rở tr tữỡ ự ❧➔ ∂ ∗ F1 (u), ∂ ∗ F2 (u), ∂ ∗ (µi gi )(u), ∂ ∗ (γj hj )(u) t↕✐ u ✈ỵ✐ ∂ ∗ F1 (u) ❤♦➦❝ ∂ ∗ F2 (u) ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② tr➯♥✳ ✭✐✐✮ ❍➔♠ λ1 F1 + F2 ỗ t t u C ài gi tỹ ỗ t t u ∈ C (∀i ∈ I(u))❀ ❝→❝ ❤➔♠ γj hj tü❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ t✐➺♠ ❝➟♥ t↕✐ u ∈ C (∀j L) C ỗ õ F (x) F (u) t ỵ ố ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈■❖P✮ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✭❉❈■❖P✶✮ ✤÷đ❝ t ữ s ỵ ố ●✐↔ sû x ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ▲❯✕tè✐ ÷✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈■❖P✮ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ỵ õ tỗ t s > 0(s = 1, 2), µi ≥ (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) s❛♦ ❝❤♦ (x, λ, µ, γ) ❧➔ ✤✐➸♠ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❉❈■❖P✶✮ ✈➔ ❣✐→ trà ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈■❖P✮ t↕✐ x ✈➔ ✭❉❈■❖P✶✮ t↕✐ (x, λ, µ, γ) ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ●✐↔ t❤✐➳t ✭✐✐✮ ỵ t (x, , à, ) ♥❣❤✐➺♠ ▲❯✕tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❉❈■❖P✶✮✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✹✳✶✳ ỵ ỵ tữỡ ự rở ỵ ỵ ✹✳✷ ❝õ❛ ❆✳ ❏❛②s✇❛❧ ✈➔ ❝ë♥❣ sü ✭✷✵✶✻✮ ✈➲ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❦✐➸✉ ▼♦♥❞−❲❡✐r✳ ✷✷ ✹✳✸✳✷ ✣è✐ ♥❣➝✉ ❲♦❧❢❡ ❇➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❦✐➸✉ ❲♦❧❢❡ ✭❉❈■❖P✷✮ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❈■❖P✮ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ m ♠❛① {F (u) + γj hj(u) }, ài gi (u) + i=1 j=1 ợ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ∈ ❝❧(λ1 ❝♦♥✈ ∂ ∗ F1 (u) + λ2 ❝♦♥✈ ∂ ∗ F2 (u) + i∈I(u) µi ❝♦♥✈ ∂ ∗ gi (u) + j∈L γj ❝♦♥✈ ∂ ∗ hj (u) + NC (u)), u ∈ C, λk > (k = 1, 2), λ1 + λ2 = 1, µi ≥ (∀i ∈ I(u))❀ µr = (r ∈ / I(u)), γj ∈ R (∀j ∈ L) ỵ ố t 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