Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 46 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
46
Dung lượng
352,86 KB
Nội dung
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– AN VĂN LONG ĐIỀUKIỆNFRITZJOHNVÀ KARUSH-KUHN-TUCKER CHONGHIỆMHỮUHIỆUCỦABÀITOÁNCÂNBẰNGVECTƠQUADƯỚIVIPHÂNSUYRỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– AN VĂN LONG ĐIỀUKIỆNFRITZJOHNVÀ KARUSH-KUHN-TUCKER CHONGHIỆMHỮUHIỆUCỦABÀITOÁNCÂNBẰNGVECTƠQUADƯỚIVIPHÂNSUYRỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN, 5/2018 Mục lục Bảng ký hiệu i Mở đầu Chương Dướiviphânsuyrộng 1.1 Dướiviphânsuyrộngviphân Clarke, Michel–Penot 1.2 Dướiviphân quy 11 1.3 Quy tắc tính viphânsuyrộng 14 Chương Điềukiệncầnđiềukiện đủ chonghiệmhữuhiệu địa phương 17 2.1 Các khái niệm kết bổ trợ 17 2.2 ĐiềukiệncầnFritzJohnchonghiệmhữuhiệu địa phương 19 2.3 Điềukiệncần Karush–Kuhn–Tucker chonghiệmhữuhiệu địa phương 27 2.4 Điềukiện đủ chonghiệmhữuhiệu yếu 31 Chương Áp dụng 36 3.1 Điềukiện tối ưu chotoán bất đẳng thức biến phânvectơ 36 3.2 Điềukiện tối ưu chotoán tối ưu vectơ 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 i Bảng ký hiệu convM bao lồi tập M clconvM coneM bao lồi đóng tập M nón lồi sinh M X∗ không gian đối ngẫu tô pô khơng gian X T (C, x) N (C, x) nón tiếp tuyến Clarke C x nón pháp tuyến Clarke C x f − (x, d) f + (x, d) đạo hàm Dini f x theo phương d đạo hàm Dini f x theo phương d f (x, d) f ♦ (x, d) đạo hàm suyrộng Clarke f x theo phương d đạo hàm Michel–Penot f x theo phương d ∂f (x) ∂ ♦ f (x) viphân Clarke f x viphân Michel–Penot hàm f x ∂ ∗ f (x) ∂∗ f (x) viphânsuyrộng f x viphânsuyrộng f x (V EP ) toáncânvectơ (CV EP ) (CV V I) tốn cânvectơ có ràng buộc tốn bất đẳng thức biến phânvectơ có ràng buộc (CV OP ) tốn tối ưu vectơ có ràng buộc Mở đầu Lí chọn đề tài Bài tốn cânvectơ bao gồm nhiều lớp toán tối ưu, có tốn bất đẳng thức biến phânvectơtoán tối ưu vectơĐiềukiện tối ưu chonghiệmhữuhiệutoáncânvectơphận quan trọng tối ưu hóa Năm 1999, V Jeyakummar D.T Luc [5] đưa khái niệm viphânsuyrộng đóng khơng lồi (convexificator) cho hàm vơ hướng Dướiviphânsuyrộng tổng quát hóa khái niệm viphân Clarke, Michel - Penot, Mordukhovich, Treiman Dướiviphânsuyrộng công cụ hữuhiệu để thiết lập điềukiện tối ưu Khi dẫn điềukiện tối ưu quaviphân người ta thường phải giả thiết hàm ràng buộc đẳng thức khả vi Fréchet Đ.V Lưu ([6], 2016) thiết lập điềukiệncầnFritz John, điềukiệncần đủ Karush–Kuhn–Tucker chonghiệmhữuhiệu tốn cânvectơ có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập quaviphânsuy rộng, hàm ràng buộc đẳng thức không khả vi Fréchet, mà hàm Lipschitz địa phương Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính vậy, chọn đề tài: "Điều kiệnFritzJohn Karush–Kuhn–Tucker chonghiệmhữuhiệutoáncânvectơquaviphânsuy rộng" Mục đích đề tài Luận văn trình bày điềukiệncầnFritz John, điềukiệncần đủ Karush–Kuhn–Tucker chonghiệmhữuhiệutoáncânvectơquaviphânsuyrộng Đ.V Lưu [6] đăng tạp chí J Optim.Theory Appl 171 (2016), 643 - 665 Một số áp dụng chotoán bất đẳng thức biến phânvectơtoán tối ưu vectơ trình bày luận văn Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương " Dướiviphânsuy rộng" trình bày số kiến thức viphânsuyrộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: khái niệm viphânsuyrộng dưới, viphânsuyrộng quy viphânsuyrộng tối thiểu, quy tắc tính viphânsuy rộng, định lý giá trị trung bình Chương "Điều kiệncầnđiềukiện đủ" trình bày điềukiệncầnFritzJohn Karush–Kuhn–Tucker chonghiệmhữuhiệu địa phương quy theo nghĩa Ioffe điềukiện đủ chonghiệmhữuhiệu yếu toáncânvectơ có ràng buộc khơng gian Banach D V Luu [6] Chương "Áp dụng": sử dụng kết trình bày chương 2, chúng tơi trình bày điềukiện tối ưu chotoán bất đẳng thức biến phânvectơ (CVVI) toán tối ưu vectơ (CVOP) Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K10Y, nhà trường phòng chức Trường, khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điềukiệncho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn An Văn Long Chương Dướiviphânsuyrộng Chương trình bày số kiến thức viphânsuyrộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: khái niệm viphânsuyrộng dưới, viphânsuyrộng quy viphânsuyrộng tối thiểu, quy tắc tính viphânsuy rộng, định lý giá trị trung bình Các kiến thức trình bày chương tham khảo [1], [5] 1.1 Dướiviphânsuyrộngviphân Clarke, Michel–Penot Trong phần này, ta trình bày khái niệm viphânsuy rộng, viphânsuyrộng quy cho hàm giá trị thực mở rộng Giả sử X không gian Banach f : X → R hàm giá trị thực mở rộng, R := R ∪ {±∞} Khơng gian đối ngẫu X kí hiệu X ∗ X ∗ trang bị tô pô yếu∗ Bao lồi bao lồi đóng tập A X ∗ kí hiệu tương ứng conv(A) conv(A) Giả sử x ∈ X f hữu hạn Đạo hàm theo phương Dini f x theo phương v định nghĩa tương ứng f − (x, v) := lim inf f (x + tv) − f (x) , t f + (x, v) := lim sup f (x + tv) − f (xt) t t↓0 t↓0 Trong trường hợp f + (x; v) = f − (x; v), giá trị chung chúng ký hiệu f (x; v) gọi đạo hàm Dini f x theo phương v Hàm f gọi khả vi Dini x đạo hàm Dini x tồn theo tất phương Theo [5], hàm f : X −→ R gọi có viphânsuyrộng ∂ ∗ f (x) x ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ với v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ f (x) Hàm f : X −→ R gọi có viphânsuyrộng ∂∗ f (x) x ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu∗ với v ∈ X, f + (x, v) ≥ inf x∗ ∈∂∗ f (x) x∗ , v Hàm f : X −→ R gọi có viphânsuyrộng ∂ ∗ f (x) x đồng thời viphânsuyrộng hàm f x Điều có nghĩa hàm f có viphânsuyrộng ∂ ∗ f (x) đóng yếu∗ với v ∈ X, f − (x, v) ≤ sup x∗ , v , x∗ ∈∂ ∗ f (x) f + (x, v) ≥ inf x∗ ∈∂ ∗ f (x) x∗ , v Chú ý viphânsuyrộng không thiết lồi compắc yếu∗ Điềucho phép ta áp dụng cho lớp rộng tốn với hàm liên tục khơng trơn Ví dụ 1.1 Cho hàm f : R → R xác định bởi: √ x, x ≥ 0, f (x) = √ − −x, x < Hàm f có viphânsuyrộng khơng compắc có dạng [α, ∞) với α ∈ R Hàm f cho có viphânsuyrộng nửa quy (dưới) ∂ ∗ f (x) (tương ứng ∂∗ f (x)) x ∂ ∗ f (x) (tương ứng ∂∗ f (x)) đóng yếu∗ với v ∈ X, f + (x; v) sup ξ∈∂ ∗ f (x) ξ, v tương ứng f − (x; v) inf ξ, v ξ∈∂∗ f (x) Giả sử f : X −→ R hữu hạn điểm x ∈ X Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke–Rockafellar f x theo phương v định nghĩa f x + tv − f x , t v →v f ↑ (x, v) = lim sup inf x →f x t↓0 x →f x có nghĩa x → x f (x ) → f (x) Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke–Rockafellar f x với phương v xác định f (x + tv ) − f (x ) t v →v f ↓ (x, v) = lim inf sup x →f x t↓0 Nếu f liên tục x x →f x định nghĩa viết đơn giản x → x Các viphânsuyrộng f x cho công thức: ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↑ (x, v), ∀v ∈ X , ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↓ (x, v), ∀v ∈ X Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ ∂ ↑ f (x) tập đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng X ∗ với v ∈ X, f ↑ (x, v) = sup x∗ , v x∗ ∈∂ ↑ f (x) Tương tự, f ↓ (x, 0) < ∞ ∂ ↓ f (x) tập đóng yếu∗ , lồi, khác rỗng X ∗ với v ∈ X, f ↓ (x, v) = inf x∗ ∈∂ ↓ f (x) x∗ , v Nếu f Lipschitz địa phương x f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) , f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) , 28 ∂ ∗ gi (x), ∀i ∈ I(x)); χk , v0 −bk (∀χk ∈ ∂ ∗ fk (x), ∀k ∈ J, k = s) Đặt As := k∈J\{s} conv ∂ ∗ fk (x), B := quy (CQ1)trong [3] sau: ∂ ∗ gi (x), Điềukiện i∈I(x) conv A0s ∩ B ∩ TC (x) = ∅, A0s := {v ∈ Rp : ξ, v < ∀ξ ∈ As } Bởi ∂ ∗ fk (x) (k ∈ J) ∂ ∗ gi (x)(i ∈ I(x)) đóng bị chặn, chúng com pắc As B com pắc Dễ thấy (CQ1)trong [3] tương đương với (SMFCQ) trường hợp Chúng ta phát biểu điềukiệncần Karush-Kuhn-Tucker chonghiệmhữuhiệu địa phương (CVEP) Định lí 2.3 Giả sử x nghiệmhữuhiệu địa phương (CVEP); giả thiết Định lý 2.2 điềukiện quy (MFCQ) Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), khơng đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (2.10) ∗ + γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) j∈L Chứng minh Với giả thiết Định lý 2.2, ta suy tồn λk (∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho k∈J λk + i∈I(x) µi = λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L Nếu λk = (∀k ∈ J), (n) I(x)), ηj (n) i∈I(x) µi = Do đó, tồn ξi ∈ cl ∂ ∗ gi (x) (∀i ∈ ∈ conv ∂ ∗ hj (x) (∀j ∈ L) ζ (n) ∈ NC (x) cho (n) = lim µi ξi n→∞ i∈I(x) (n) γ j ηj + ζ (n) + j∈J (2.11) 29 Từ (2.11) suy (n) = lim (n) γ j ηj , v0 + ζ (n) , v0 µi ξi , v0 + n→∞ j∈J i∈I(x) i∈I(x) µi Mặt khác, = 1, (MFCQ), ta có (n) (n) γ j ηj , v0 + ζ (n) , v0 µi ξi , v0 + lim n→∞ j∈J i∈I(x) (n) lim (n) µi ξi , v0 + n→∞ γ j ηj , v0 j∈J i∈I(x) − (2.12) µi < 0, i∈I(x) Điều mâu thuẫn với (2.12) Bằng lý luận tương tự với chứng minh Định lý 2.3, với điềukiện quy (SMFCQ), ta có định lý sau Định lí 2.4 Giả sử x nghiệmhữuhiệu địa phương (CVEP); giả thiết Định lý 2.2 điềukiện quy (SMFCQ) (với s ∈ J) Khi đó, (∀k ∈ J, k = s), µi tồn λs > 0, λk cho (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (2.13) ∗ + γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) j∈L Nhận xét 2.6 (a) Nếu (SMFCQ) với s ∈ J, ta suy tồn λk > (∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho (2.13) (s) (s) Thật vậy, theo Định lý 2.4 với s ∈ J, tồn λs > 0, λk (s) (s) (∀k ∈ J, k = s), µi (∀i ∈ I(x)) γj ∈ R (∀j ∈ L) cho (s) (s) µi conv ∂ ∗ gi (x) λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J i∈I(x) (s) γj conv + j∈L ∗ ∂ hj (x) + N (C; x) (2.14) 30 Bởi clA + clB ⊆ cl(A + B), lấy s = 1, , m (2.14) cộng hai vế bao hàm thức nhận ta có 0∈ (s) λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) cl s∈J k∈J (s) µi conv + (s) γj conv ∂ ∗ hj (x) + N (C; x) ∂ ∗ gi (x) + j∈L i∈I(x) λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) ⊆ cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) + + γ j conv ∂ ∗ hj (x) + N (C; x) , j∈L i∈I(x) (s) (s) s∈J,s=k λk > (∀k (s) s∈J γj ∈ R (∀j ∈ L) λk = λs + (∀i ∈ I(x)) γ j = ∈ J), µi = (s) s∈J µi (b) Định lý 2.4 so sánh với Định lý [3], kết Nhận xét 2.6(a) kéo theo Định lý [3].Thật vậy, trường hợp X = Rp , với toán (CVOP) khơng có ràng buộc đẳng thức, nghiệmhữuhiệu địa phương (CVOP) điểm quy theo nghĩa Ioffe Do Nhận xét 2.5, đặt h ≡ (CVOP), (SMFCQ) trở thành (CQ1) [3] (với s ∈ J) Do đó, ta suy kết luận phải chứng minh Trong trường hợp dim X < ∞, điềukiệncần Karush–Kuhn–Tucker chonghiệmhữuhiệu địa phương (CVEP) suy từ Định lý 2.3 sau: Hệ 2.1 Giả sử dim X < ∞ x nghiệmhữuhiệu địa phương (CVEP); giả thiết 2.1, 2.2 điềukiện quy (MFCQ) Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), khơng đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J + µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j ∂hj (x) + NC (x) , j∈L ∂hj (x) viphân Clarke x hj 31 Chứng minh Vì dim X < ∞, với hàm Lipschitz địa phương hj , ánh xạ ∂hj nửa liên tục x (∀j ∈ L) (xem [2]) Áp dụng Định lý 2.3 ta suy tồn λk (∀k ∈ J), không đồng thời khơng, µi R (∀j ∈ L) cho kết luận 2.4 (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ Điềukiện đủ chonghiệmhữuhiệu yếu Giả sử f hàm xác định X có viphânsuyrộng ∂ ∗ f (x) Phù hợp với định nghĩa hàm giả lồi tiệm cận [7], [8] ta đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa 2.1 Hàm f gọi giả lồi tiệm cận x theo C với x ∈ C, Với dãy x∗n ∈ conv ∂ ∗ f (x), lim x∗n , x − x n→∞ =⇒ f (x) f (x) Định nghĩa 2.2 Hàm f gọi tựa lồi tiệm cận x theo C với x ∈ C, f (x) f (x) =⇒ Với dãy x∗n ∈ conv ∂ ∗ f (x), lim x∗n , x − x n→∞ Hàm f gọi tựa lõm tiệm cận x theo C −f tựa lồi tiệm cận x theo C Định nghĩa 2.3 Hàm f gọi tựa tuyến tính tiệm cận x theo C f tựa lồi tiệm cận tựa lõm tiệm cận x theo C Sau đây, ta đưa điềukiện đủ chonghiệmhữuhiệu yếu (CVEP) Định lí 2.5 Giả sử x ∈ M1 ; giả thiết 2.1 2.2 đúng; Fx (x) = Giả sử tồn λk (∀k ∈ J), không đồng thời không, µi (∀i ∈ I(x)), τj (∀ j ∈ L), j∈L τ j = r > cho hàm Mr (x) định 32 (2.4) giả lồi tiệm cận x theo M1 λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) τ j conv ∂ ∗ (| hj (x) |) + ∂dC (x) +r (2.15) j∈L Khi đó, x nghiệmhữuhiệu yếu (CVEP) Chứng minh Bởi λk I(x)), ta có (∀k ∈ J) không đồng thời không µi k∈J λk + i∈I(x) µi = Do đó, từ (2.15) suy ∂ ∗ gi (x) ∂ ∗ Fk,x (x) ∈ cl conv (∀i ∈ k∈J i∈I(x) ∂ ∗ (| hj (x) |) + r∂dC (x) + rconv j∈L ∂ ∗ Fk,x (x) = clconv k∈J ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) ∂ ∗ (| hj (x) |) + ∂dC (x) +r j∈L Vì C lồi nên hàm dC lồi Do đó, dC quy theo nghĩa Clarke x Vì vậy, ∂dC (x) viphânsuyrộng quy dC x Do đó, tập sau viphânsuyrộng Mr x: ∂ ∗ gi (x) + r ∂ ∗ Fk,x (x) k∈J ∂ ∗ (| hj (x) |) + ∂dC (x) j∈L i∈I(x) Do đó, ∈ clconv ∂ ∗ Mr (x) Từ suy tồn dãy {x∗n } ⊆ conv ∂ ∗ Mr (x) cho lim x∗n = n→∞ Vì vậy, với x ∈ C, lim x∗n , x − x = n→∞ (2.16) 33 Do tính giả lồi tiệm cận Mr x, (2.16) kéo theo Mr (x) Mr (x) (∀x ∈ M ) Sử dụng Mệnh đề 1.1(ii), ta suy x cực tiểu toán (Ps ) với s ∈ J Do đó, x cực tiểu yếu tốn (MP) Vì Fx (x) = 0, x nghiệmhữuhiệu yếu (CVEP) Dưới đây, ta trình bày điềukiện đủ khác chonghiệmhữuhiệu yếu Định lí 2.6 Giả sử x ∈ M1 ; Fx (x) = (∀k ∈ J), khơng đồng thời khơng, µi (i) Tồn λk (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) (2.17) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L (ii) Tất viphânsuyrộng ∂ ∗ Fk,x (x) (k ∈ J)(có thể trừ một) quy x; hàm λFx (.) := i∈J λk Fk,x (.) giả lồi tiệm cận x theo M1 ; hàm gi tựa lồi tiệm cận x theo M1 (∀i ∈ I(x)); hàm hj tựa tuyến tính tiệm cận x theo M1 (∀j ∈ L); C lồi Khi đó, x nghiệmhữuhiệu yếu (CVEP) Chứng minh (n) (n) Từ (2.17) suy tồn χk ∈ conv ∂ ∗ Fk,x (x), ξi (n) ηj ∈ conv ∂ ∗ hj (x), ζ (n) ∈ NC (x) cho (n) = lim n→∞ (n) λk χ k + k∈J µi ξi ∈ conv ∂ ∗ gi (x), (n) γ j ηj + ζ (n) + j∈L i∈I(x) Do đó, với x ∈ M1 , (n) n→∞ (n) λk χk , x − x + lim k∈J i∈I(x) (n) γ j ηj , x + j∈L µi ξi , x − x −x + ζ (n) (2.18) ,x − x = 34 Bây giờ, với x ∈ M1 , gi (x) = gi (x) (∀i ∈ I(x)) Do tính tựa lồi tiệm cận gi x, ta suy với x ∈ M1 , (n) lim ξi , x − x n→∞ (2.19) Do hj (x) = = hj (x) (∀x ∈ M1 ) tính tựa tuyến tính tiệm cận hj (∀j ∈ L), ta có với x ∈ M1 , (n) lim ηj , x − x = (2.20) n→∞ Vì C lồi, x − x ∈ TC (x) (∀x ∈ C) Vì vậy, với x ∈ C, lim ζ (n) , x − x n→∞ (2.21) Bởi tất viphânsuyrộng (có thể trừ một) ∂ ∗ Fk,x (x) (k ∈ J) quy trên, theo Quy tắc 2.4 [5], k∈J λk ∂ ∗ Fk,x (x) viphânsuyrộng hàm k∈J λk Fk,x (.) x Kết hợp (2.18)–(2.21) ta suy với x ∈ M1 , (n) λk χk , x − x lim n→∞ k∈J Do tính giả lồi tiệm cận λFx (.) at x, ta khẳng định với x ∈ M1 , λFx (x) λFx (x) = Do đó, x cực tiểu hàm λFx (.) tập M1 , nghiệmhữuhiệu yếu (CVEP) Chứng minh tương tự Định lý 2.6 ta nhận điềukiện đủ khác cho (CVEP) Định lí 2.7 Giả sử x ∈ M1 ; Fx (x) = (i) Tồn λs > 0, λk 0(∀k ∈ J, k = s), µi 0(∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ Fk,x (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L 35 (ii) Hàm Fs,x (.) giả lồi tiệm cận x theo M1 ; hàm Fk,x (.) gi tựa lồi tiệm cận x theo M1 (∀k ∈ J, k = s; ∀i ∈ I(x)); hàm hj tựa tuyến tính tiệm cận x theo M1 (∀j ∈ L); C lồi Khi đó, x nghiệmhữuhiệu yếu (CVEP) Nhận xét 2.7 Định lý 2.7 kéo theo Định lý [3] (trường hợp nghiệmhữuhiệu yếu) tính ∂ ∗ -giả lồi tính ∂ ∗ -tựa lồi tương ứng kéo theo tính giả lồi tiệm cận tính tựa lồi tiệm cận 36 Chương Áp dụng Trong chương này, sử dụng kết trình bày chương trước ta trình bày điềukiện tối ưu cho tốn bất đẳng thức biến phânvectơ (CVVI) toán tối ưu vectơ (CVOP) Các kết trình bày chương D V Luu [6] 3.1 Điềukiện tối ưu chotoán bất đẳng thức biến phânvectơ Để trình bày điềukiện tối ưu chonghiệmhữuhiệu địa phương (CVVI) ta đưa vào giả thiết sau Giả thiết 3.1 Các hàm h1 , , h Lipschitz địa phương x; hj có viphânsuyrộng ∂ ∗ hj (x) x gần x (∀j ∈ L); với j ∈ L, ánh xạ viphânsuyrộng ∂ ∗ hj nửa liên tục x; hàm gi (i ∈ I(x)) liên tục C lồi Giả thiết 3.2 Các hàm gi có viphânsuyrộng ∂ ∗ gi (x) (i ∈ I(x)) x; hàm | hj | (j ∈ L) quy theo nghĩa Clarke x Một điềukiệncần tối ưu FritzJohncho (CVVI) phát biểu sau Định lí 3.1 37 Giả sử x nghiệmhữuhiệu địa phương (CVVI); x điểm quy theo Ioffe h theo C Hơn nữa, giả sử Giả thiết 3.1 3.2 thỏa mãn Khi đó, tồn λk 0(∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R cho k∈J λk + i∈I(x) µi ∈cl = µi conv ∂ ∗ gi (x) λk T (x)k + k∈J i∈I(x) (3.1) ∗ γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) + j∈L Chứng minh Vì ánh xạ T (x)(.) tuyến tính liên tục khả vi chặt Lipschit địa phương Do đó, hàm T (x)k (.) có viphânsuyrộng x {T (x)k } (∀k ∈ J) Đặt F (x, y) = T (x)(y − x), ta có Fx (x) = Do đó, với Giả thiết 3.1, 3.2, giả thiết Định lý 2.2 thỏa mãn chotoán (CVVI) Áp dụng Định lý 2.2 chotoán (CVVI) ta suy ra tồn λk (∀k ∈ J), µi (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R cho (3.1) k∈J λk + i∈I(x) µi = Sau đây, ta trình bày điềukiệncần Karush-Kuhn-Tucker chonghiệmhữuhiệu tốn (CVVI) Định lí 3.2 Giả sử x nghiệmhữuhiệu địa phương (CVVI); giả thiết Định lý 3.1 điềukiện quy (MFCQ) Khi đó, tồn λk cho 0(∀k ∈ J) không đồng thời 0, µi ∈cl µi conv ∂ ∗ gi (x) + λk T (x)k + k∈J (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) j∈L (3.2) + NC (x) Chứng minh: Bằng lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.3 sử dụng Định lý 3.1 ta nhận điềukiệncần Karush–Kuhn–Tucker (3.2) cho (CVVI) ✷ 38 Từ Định lý 2.6 ta nhận điềukiện đủ chonghiệmhữuhiệu yếu toán (CVVI) sau Định lí 3.3 Cho x ∈ M1 Giả sử (∀k ∈ J) không đồng thời không, µi (i) Tồn λk (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho ∈cl µi conv ∂ ∗ gi (x) λk T (x)k + k∈J i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L (ii) Mỗi hàm gi tựa lồi tiệm cận x theo M1 (∀i ∈ I(x)); hàm hj tựa tuyến tính tiệm cận x theo M1 (∀j ∈ L); C lồi Khi đó, x nghiệmhữuhiệu yếu (CVVI) Chứng minh Vì ánh xạ T (x)(.) tuyến tính liên tục khả vi chặt Lipschitz địa phương Do đó, hàm T (x)k (.) có viphânsuyrộng quy x {T (x)k }(∀k ∈ J) Rõ ràng hàm λT (x)(.) := i∈J λk T (x)k (.) giả lồi tiệm cận x theo M1 Như vậy, giả thiết Định lý 2.6 thỏa mãn Áp dụng định lí 2.6 cho (CVVI) ta suy kết luận phải chứng minh 3.2 Điềukiện tối ưu chotoán tối ưu vectơ Để trình bày điềukiện tối ưu cho cực tiểu Pareto địa phương x (CVOP), ta đưa vào giả thiết sau Giả thiết 3.3 Hàm fs (với s ∈ J) hàm h1 , , h Lipschitz địa phương x; hj có viphânsuyrộng ∂ ∗ hj (x) x gần x (∀j ∈ L); với j ∈ L, ánh xạ viphânsuyrộng ∂ ∗ hj nửa liên tục x;fk (k ∈ J, k = s) gi (i ∈ I(x)) liên tục; C lồi Giả thiết 3.4 39 Các hàm fk gi có viphânsuyrộng tương ứng ∂ ∗ fk (x) (k ∈ J, k = s) ∂ ∗ gi (x) (i ∈ I(x)) at x; hàm | Fj | (j ∈ L) quy theo nghĩa Clarke x Với giả thiết 3.3 3.4, ta nhận điềukiệncần tối ưu FritzJohncho (CVOP) sau Định lí 3.4 Cho x cực tiểu Pareto địa phương (CVOP) Giả sử x điểm quy theo nghĩa Ioffe h theo C Hơn nữa, giả sử giả thiết 3.3 3.4 thỏa mãn Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), µi I(x)), γj ∈ R cho k∈J λk + i∈I(x) µi = λk conv ∂ ∗ fk (x) + ∈cl k∈J (∀i ∈ µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L Chứng minh Với giả thiết 3.3, 3.4, giả thiết Định lý 2.2 thỏa mãn chotoán (CVOP) với F (x, y) = f (y) − f (x) Áp dụng Định lý 2.2 chotoán (CVOP) ta nhận điều phải chứng minh Với điềukiện (MFCQ) ta trình bày điệukiện Karush-Kuhn-Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương tốn (CVOP) Định lí 3.5 Giả sử x cực tiểu Pareto địa phương (CVOP); giả thiết định lý 3.4 điềukiện quy ràng buộc (MFCQ) Khi đó, tồn λk (∀k ∈ J), khơng đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ fk (x) + ∈cl k∈J γ j conv ∂ hj (x) + NC (x) j∈L Chứng minh i∈I(x) ∗ + µi conv ∂ ∗ gi (x) (3.3) 40 Ta thấy giả thiết Định lý 3.4 thỏa mãn Với lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.3 cách sử dụng Định lý 3.4, suy kết thỏa mãn yêu cầu Một điềukiện tối ưu đủ chotoán tối ưu vectơ (CVOP) phát biểu sau Định lí 3.6 Cho x ∈ M1 Giả sử (i) Tồn λk (∀k ∈ J) không đồng thời khơng, µi (∀i ∈ I(x)), γ j ∈ R (∀j ∈ L) cho λk conv ∂ ∗ fk (x) + ∈cl k∈J µi conv ∂ ∗ gi (x) i∈I(x) γ j conv ∂ ∗ hj (x) + NC (x) + j∈L (ii) Tất viphânsuyrộng (có thể trừ một) ∂ ∗ fk (x) (k ∈ J) quy x; hàm λf := i∈J λk fk giả lồi tiệm cận x theo M1 ; hàm gi tựa lồi tiệm cận x theo M1 (∀i ∈ I(x)); hàm hj tựa tuyến tính tiệm cận x theo M1 (∀j ∈ L); C lồi Khi x cực tiểu yếu (CVOP) Chứng minh Áp dụng Định lý 2.6 cho F (x, y) = f (y) − f (x) ta nhận điềucần phải chứng minh ✷ 41 Kết luận Luận văn trình bày điềukiệncầnFritz John, điềukiệncần đủ Karush–Kuhn–Tucker chonghiệmhữuhiệutoáncânvectơquaviphânsuyrộng Đ.V Lưu ([6], 2016) Nội dung luận văn bao gồm: - Một số kiến thức viphânsuyrộng không compắc cho hàm giá trị thực mở rộng - Các điềukiệncầnFritzJohn Karush–Kuhn–Tucker chonghiệmhữuhiệu địa phương quy theo nghĩa Ioffe điềukiện đủ chonghiệmhữuhiệu yếu tốn cânvectơ có ràng buộc không gian Banach D V Luu [6] - Các điềukiện đủ chonghiệmhữuhiệu yếu với số giả thiết tính lồi suyrộng - Các điềukiện tối ưu chonghiệmhữuhiệutoán bất đẳng thức biến phânvectơ (CVVI) toán tối ưu vectơ (CVOP) Điềukiệncần đủ chonghiệmhữuhiệutoáncânvectơ không trơn đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [2] F.H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley Interscience, New York [3] M Golestani, S Nobakhtian (2012)," Convexificators and strong Kuhn–Tucker conditions", Comp Math Appl 64, 550–557 [4] A.D Ioffe (1979), "Necessary and sufficient conditions for a local minimum 1: A reduction theorem and first order conditions", SIAM J Control and Optimization 17, 245-250 [5] V Jeyakumar, D.T Luc (1999), "Nonsmooth Calculus, minimality and monotonicity of convexificators", J Optim Theory Appl 101, 599 - 621 [6] D.V Luu (2016), "Optimality problems via convexificators and applications", J Optim Theory Appl 171, 643 - 665 [7] D.V Luu (2014), "Necessary and sufficient conditions for efficiency via convexificators", J Optim Theory Appl 160, 510-526 [8] X.Q Yang (2005), "Continuous generalized convex functions and their characterizations", Optimization 54, 495-506 ... VĂN LONG ĐIỀU KIỆN FRITZ JOHN VÀ KARUSH- KUHN- TUCKER CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Chương Dưới vi phân suy rộng Chương trình bày số kiến thức vi phân suy rộng không compact cho hàm giá trị thực mở rộng, bao gồm: khái niệm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng. .. ) vi phân suy rộng h x0 Chú ý với vi phân suy rộng ta có kết tương tự 17 Chương Điều kiện cần điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu địa phương Chương trình bày điều kiện cần Fritz John Karush Kuhn