Hàm vô hướng phi tuyến và sự tồn tại nghiệm bài toán cân bằng vectơ đối xứng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HẢI VĨNH HÀM VÔ HƯỚNG PHI TUYẾN VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐỐI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HẢI VĨNH HÀM VÔ HƯỚNG PHI TUYẾN VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐỐI XỨNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2021 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Lưu Hải Vĩnh Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Bùi Thế Hùng i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thể thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn Lưu Hải Vĩnh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nón khơng gian tuyến tính 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị 1.4 Tính lồi theo nón ánh xạ đa trị 13 Chương Hàm vô hướng phi tuyến tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng 15 2.1 Bài toán cân vectơ đối xứng 15 2.2 Hàm vô hướng phi tuyến 16 2.3 Sự tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng 18 2.4 Tính lồi tập nghiệm toán cân vectơ đối xứng 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian vectơ Euclide n− chiều Rn+ tập vectơ không âm Rn Rn− tập vectơ không dương Rn 2X tập tất tập X f :X→Y ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa ánh xạ đa trị F gph F đồ thị ánh xạ đa trị F A := B A định nghĩa B ∅ tập rỗng Ac phần bù tập A A⊆B A tập B A⊆B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B A×B tích Descartes hai tập hợp A B ¯ cl A A, bao đóng tơpơ tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A iv co A bao lồi tập hợp A (SV EP )1 toán cân vectơ đối xứng loại (SV EP )2 toán cân vectơ đối xứng loại (SV EP )1 (ξ) toán cân vô hướng đối xứng loại (SV EP )2 (ξ) tốn cân vơ hướng đối xứng loại usc nửa liên tục lsc nửa liên tục ✷ kết thúc chứng minh v Mở đầu Bài toán cân vô hướng E Blum W Oettli [4] nghiên cứu vào năm 1994 Từ toán ta suy tốn khác lý thuyết tối ưu toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, tốn điểm bất động, Sau tốn mở rộng cho ánh xạ vectơ đơn trị đa trị từ tập không rỗng vào khơng gian tuyến tính với thứ tự sinh nón người ta gọi tốn tốn cân vectơ hay cịn gọi toán cân đa mục tiêu Hệ toán cân vectơ họ toán cân vectơ khác giới thiệu vào năm 2000 Ansari cộng [3] Bài toán bao hàm số toán khác toán cân vectơ, toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ, toán điểm bất động, Khi nghiên cứu hệ toán cân người ta thường quan tâm đến vấn đề sau đây: Sự tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm thuật tốn tìm nghiệm Bài tốn cân vectơ đối xứng hệ toán cân vectơ đối xứng M Fakhar J Zafarani quan tâm nghiên cứu (xem [6],) Năm 2018, phương pháp sử dụng hàm vô hướng phi tuyến, tác giả A P Farajzadeh, R Wangkeeree, J Kerdkaew [5] xây dựng số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm tốn Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống kết cơng trình [5] tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương luận văn trình bày số kiến thức giải tích đa trị nón khơng gian tuyến tính, ánh xạ đa trị tính chất ánh xạ đa trị Chương trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng Hơn nữa, chương trình bày điều kiện đủ cho tính lồi tập nghiệm toán cân vectơ đối xứng Một số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết trình bày Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở nón khơng gian tuyến tính, ánh xạ đa trị số tính chất ánh xạ đa trị Một số kiến thức sở kết chương chúng tơi trích từ tài liệu [1], [2] 1.1 Nón khơng gian tuyến tính Trong phần này, ta nhắc lại khái niệm khơng gian vectơ tơpơ, nón khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian vectơ trường K (i) Một tôpô τ X gọi tương thích với cấu trúc đại số X phép toán cộng nhân vô hướng ánh xạ liên tục (ii) Một khơng gian tơpơ tuyến tính hay khơng gian vectơ tôpô trường K cặp (X, τ ), X khơng gian vectơ trường K τ tơpơ tương thích với cấu trúc đại số X Định nghĩa 1.1.2 Cho Y khơng gian tuyến tính C tập khơng rỗng Y Ta nói C nón có đỉnh gốc Y tc ∈ C, với c ∈ C t ≥ Nếu C nón có đỉnh gốc C + x0 nón có đỉnh x0 Vì luận án chúng tơi quan tâm đến nón có đỉnh gốc để tránh nhầm lẫn ta gọi nón thay cho nón có đỉnh gốc Định nghĩa 1.1.3 Cho C nón khơng gian tuyến tính Y Ta nói (i) C nón lồi C tập lồi Ta giả thiết (i) Định lý 2.3.2 không thỏa mãn Thật vậy, cách chọn x = y = 0, ta có F (x, y, x) ∩ C = F (0, 0, 0) ∩ R+ = (− , 0) ∩ R+ = ∅ G(x, y, y) ∩ P = G(0, 0, 0) ∩ R+ = (− , 0) ∩ R+ = ∅ Điều chứng tỏ giả thiết (i) Định lý 2.3.2 không thỏa mãn Bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy giả thiết lại Định lý 2.3.2 thỏa mãn Mặt khác, với (x, y) ∈ A × B, tồn (u, v) = (0, 0) ∈ A × B cho F (x, y, u) = F (x, y, 0) = (− , 0) ⊆ − int R+ = − int C G(x, y, v) = F (x, y, 0) = (− , 0) ⊆ − int R+ = − int P Điều chứng tỏ S1 = ∅ Vậy tốn (SV EP )1 khơng có nghiệm Ví dụ giả thiết (ii) Định lý 2.3.2 khơng thể bỏ Ví dụ 2.3.5 Giả sử X = Y = Z = R, A = B = [0, 1], C = P = R+ ánh xạ đa trị F : A × B × A → 2Y G : A × B × B → 2Z xác định F (x, y, u) = { 21 }, u = x, (−u − 1, u − 1], trường hợp lại, G(x, y, v) = { 12 }, v = y, (−v − 1, v − 1], trường hợp lại Dễ thấy giả thiết (i), (iii) (iv) Định lý 2.3.2 thỏa mãn Ta kiểm tra giả thiết (ii) Định lý 2.3.2 Bằng cách chọn x = y = t = 12 , u1 = u2 = 0, ta có 1 F (x, y, u1 ) = F ( , , 1) = (−2, 1], 2 1 F (x, y, u2 ) = F ( , , 0) = (−1, 0] 2 1 1 F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) = F ( , , ) = 2 2 Do F (x, y, u1 ) ⊆ F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) + C 23 F (x, y, u2 ) ⊆ F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) + C Điều chứng tỏ giả thiết (ii) Định lý 2.3.2 không thỏa mãn Hơn nữa, với (x, y) ∈ A × B, tồn (u, v) = (0, 0) ∈ A × B cho F (x, y, u) = (−2, −1] ⊆ − int R+ = − int C G(x, y, v) = (−2, −1] ⊆ − int R+ = − int P Điều chứng tỏ S1 = ∅ Ví dụ giả thiết (iii) Định lý 2.3.2 khơng thể bỏ Ví dụ 2.3.6 Giả sử X = Y = Z = R, A = B = [−1, 1], C = P = R+ ánh xạ đa trị F : A × B × A → 2Y G : A × B × B → 2Z xác định F (x, y, u) = {x − u}, x ≤ 0, [− 21 , u2 ), trường hợp lại, G(x, y, v) = {y − v}, y ≤ 0, [− 12 , v2 ), trường hợp lại Dễ thấy giả thiết (i), (ii) (iv) Định lý 2.3.2 thỏa mãn Ta kiểm tra giả thiết (iii) Định lý 2.3.2 Bằng cách chọn x = y = 0, u = 1, ta có F (x , y , u) = {−1} Giả sử z ∈ F (x , y , u) Khi (− 23 , − 21 ) lân cận z Hơn nữa, với lân cận V (x , y ) ta có 3 1 (− , − ) ∩ V = (− , − ) ∩ [− , ) = ∅ 2 2 2 Điều chứng tỏ F (., , u) khơng lsc A × B Vậy giả thiết (iii) Định lý 2.3.2 không thỏa mãn Ta S1 = ∅ Nếu x ≤ F (x, y, u) = {x − u} ⊆ − int R+ = − int C với u ∈ (0, 1] Nếu x > u F (x, y, u) = [− , ) ⊆ − int R+ = − int C với u ∈ [−1, 0) 2 Điều chứng tỏ S1 = ∅ 24 Ví dụ giả thiết (iv) Định lý 2.3.2 khơng thể bỏ Ví dụ 2.3.7 Giả sử X = Y = Z = R, A = B = [0, 1], C = P = R+ ánh xạ đa trị F : A × B × A → 2Y G : A × B × B → 2Z xác định F (x, y, u) = (−xu − x, xu), x = y = 0, [−1, xu), trường hợp lại, G(x, y, v) = (−yv − x, yv), x = y = 0, [−1, yv), trường hợp lại Dễ thấy giả thiết (i), (ii) (iii) Định lý 2.3.2 thỏa mãn Ta kiểm tra giả thiết (iv) Định lý 2.3.2 Với tập không rỗng, compact D1 ×D2 ⊆ A×B, ta chọn (x, y) = (1, 1) ∈ (A × B)\(D1 × D2 ) Khi với (x , y ) ∈ D1 × D2 , ta có F (x, y, x ) = (−x − 1, x ) ⊆ − int R+ = − int C G(x, y, y ) = (−y − 1, y ) ⊆ − int R+ = − int P Điều chứng tỏ giả thiết (iv) Định lý 2.3.2 không thỏa mãn Mặt khác, với (x, y) ∈ A × B, tồn (u, v) = (0, 0) ∈ A × B cho F (x, y, u) = (−x, 0) ⊆ − int C, x = y = 0, [−1, 0) ⊆ − int C, trường hợp lại, G(x, y, v) = (−y, 0) ⊆ − int P, x = y = 0, [−1, 0) ⊆ − int P, trường hợp lại Điều chứng tỏ S1 = ∅ Bổ đề 2.3.8 Với q ∈ − int C q ∈ − int P , ta ln có S2 = S2 (ξ) Chứng minh Giả sử (x , y ) ∈ S2 Khi F (x , y , u) ∩ (− int C) = ∅ với u ∈ A G(x , y , v) ∩ (− int P ) = ∅ với v ∈ B 25 Theo Bổ đề 2.2.2, với (u, v) ∈ A × B, ta có z ∈ − int C w ∈ − int P, với (z, w) ∈ F (x , y , u) × G(x , y , v) Từ với (u, v) ∈ A × B, ξq (z) ∈ R+ ξq (w) ∈ R+ , với (z, w) ∈ F (x , y , u) × G(x , y , v) Bởi định nghĩa ξq ξq , ta ξq (F (x, y, u)) ⊆ R+ với u ∈ A ξq (G(x, y, v)) ⊆ R+ với v ∈ B Điều chứng tỏ (x , y ) ∈ S2 (ξ) Vậy S2 ⊆ S2 (ξ) Ngược lại, với (x , y ) ∈ S2 (ξ), theo Bổ đề 2.2.2, ta (x , y ) ∈ S2 Do S2 (ξ) ⊆ S2 Vậy S2 = S2 (ξ) Định nghĩa 2.3.9 Cho T : D → 2Y ánh xạ đa trị Ta nói T C- tựa lồi suy rộng D với x1 , x2 ∈ D t ∈ [0, 1] T (x1 ) ∩ T (tx1 + (1 − t)x2 ) + C = ∅ T (x2 ) ∩ T (tx1 + (1 − t)x2 ) + C = ∅ Định lý 2.3.10 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với (x, y) ∈ A × B, F (x, y, x) ⊆ C G(x, y, y) ⊆ P ; (ii) Với (x, y) ∈ A×B, F (x, y, ) C- tựa lồi suy rộng A G(x, y, ) P - tựa lồi suy rộng B; (iii) Với (x, y, u) ∈ A × B × A thỏa mãn F (x, y, u) ∩ (− int C) = ∅, ta ln có z ∈ F (x, y, u) =⇒ z − C ⊆ − int C (x, y, v) ∈ A × B × B với G(x, y, u) ∩ (− int P ) = ∅, ta ln có w ∈ G(x, y, v) =⇒ w − P ⊆ − int P ; 26 (iv) Với (u, v) ∈ A × B, F (., , u) G(., , v) ánh xạ lsc A × B; (v) Tồn tập khơng rỗng, lồi, compact D1 ⊆ A D2 ⊆ B cho với (x, y) ∈ (A × B)\(D1 × D2 ), tồn x ∈ D1 thỏa mãn F (x, y, x ) ∩ − int C = ∅ tồn y ∈ D2 thỏa mãn G(x, y, y ) ∩ − int P = ∅ Khi tập nghiệm S2 tốn (SV EP )2 không rỗng Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị Q1 : A × B → 2A Q2 : A × B → 2B cơng thức Q1 (x, y) := {u ∈ A : ξq (F (x, y, u)) ⊆ R+ } Q2 (x, y) := {v ∈ B : ξq (G(x, y, v)) ⊆ R+ } Ta chứng minh Q1 (x, y) lồi với (x, y) ∈ A × B Thật vậy, giả sử Q1 (x, y) khơng lồi Khi tồn t1 , t2 ∈ [0, 1] với t1 + t2 = u1 , u2 ∈ Q1 (x, y) cho t1 u1 + t2 u2 ∈ Q1 (x, y) Từ suy ξq (F (x, y, u)) ⊆ R+ Bởi giả thiết (ii), ta có F (x, y, u1 ) ∩ (F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) + C) = ∅ F (x, y, u2 ) ∩ (F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) + C) = ∅ Điều kéo theo tồn z ∈ F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) cho z = z1 − c với z1 ∈ F (x, y, u1 ), c ∈ C z = z2 − c với z2 ∈ F (x, y, u2 ), c ∈ C Bởi giả thiết (iii), ξq (z) = ξq (z1 − c) < ξq (z) = ξq (z2 − c ) < 27 Điều mâu thuẫn với t1 u1 + t2 u2 ∈ Q1 (x, y) Vậy Q1 (x, y) tập lồi với (x, y) ∈ A × B Chứng minh tương tự, ta có Q2 (x, y) tập lồi với (x, y) ∈ A × B Tiếp theo, ta khẳng định (ii) Bổ đề 2.2.7 thỏa mãn Thật vậy, ta x ∈ / P1 (x, y) y ∈ / P2 (x, y) với (x, y) ∈ A × B Lấy (x, y) ∈ A × B cố định Với (z, w) ∈ F (x, y, x) × G(x, y, y), giả thiết (ii) ta suy z ∈ C w ∈ P Điều kéo theo z ∈ − int C w ∈ − int P Bởi Bổ đề 2.2.2, ta thu ξq (z) ∈ R+ ξq (w) ∈ R+ , với (z, w) ∈ F (x, y, x) × G(x, y, y) Điều chứng tỏ ξq (F (x, y, x)) ⊆ R+ ξq (G(x, y, y)) ⊆ R+ Bởi định nghĩa P1 P2 , ta có x∈ / P1 (x, y) y ∈ / P2 (x, y) với (x, y) ∈ A × B Ta chứng minh khẳng định (iii) Bổ đề 2.2.7 thỏa mãn Với Q−1 (u) (x, y) ∈ A × B, lấy dãy {(xi , yi )} ⊆ c cho (xi , yi ) → (x0 , y0 ) Bởi giả thiết (iv), với z0 ∈ F (x0 , y0 , u), tồn zi ∈ F (xi , yi , u) cho zi → z0 Sử dụng tính liên tục hàm ξq ta có ξq (z0 ) ∈ R+ Từ suy c −1 ξq (F (x0 , y0 , u)) ⊆ R+ Điều kéo theo (x0 , y0 ) ∈ Q−1 (u) Do Q1 (u) mở A Chứng minh tương tự, ta có Q−1 (v) mở B Cuối cùng, ta kiểm tra điều kiện (iv) Bổ đề 2.2.7 thỏa mãn Theo giả thiết, tồn tập không rỗng, lồi, compact D1 ⊆ A D2 ⊆ B cho với (x, y) ∈ (A × B)\(D1 × D2 ), tồn x ∈ D1 thỏa mãn F (x, y, x ) ⊆ − int C tồn y ∈ D2 thỏa mãn G(x, y, y ) ⊆ − int P Điều kéo theo, với (z, w) ∈ F (x, y, x ) × G(x, y, y ), ta có ξq (z) ∈ R+ ξq (w) ∈ R+ Bởi định nghĩa P1 , P2 , ta suy x ∈ P1 (x, y) y ∈ P2 (x, y) Chứng tỏ điều kiện (iv) Bổ đề 2.2.7 thỏa mãn Áp dụng Bổ đề 2.2.7, tồn (¯ x, y¯) ∈ A × B cho P1 (¯ x, y¯) = ∅ P2 (¯ x, y¯) = ∅ 28 Khi với (u, v) ∈ A × B, tồn (z, w) ∈ F (¯ x, y¯, u) × G(¯ x, y¯, v) cho ξq (z) ∈ R+ ξq (w) ∈ R+ Do (¯ x, y¯) ∈ S1 (ξ) Bởi Bổ đề 2.3.1, ta suy (¯ x, y¯) ∈ S1 Định lý chứng minh Ví dụ 2.3.11 Đặt X = Y = Z = R, A = B = [0; 1] C = P = R+ Xét ánh xạ đa trị F : A × B × A → 2Y G : A × B × B → 2Z xác định F (x, y, u) = (u, u + 1), nếu, u ≤ x, [−u, 1), trường hợp lại, G(x, y, v) = (v, v + 1), v ≤ y, [−v, 1), trường hợp lại Trước tiên, ta chứng minh F không C- tựa lồi Thật vậy, cách chọn 1 x = , u1 = 1, u2 = t1 = t2 = , ta có 2 F (x, y, u2 ) = (0, 1) , +∞ , + R+ 2 = F (x, y, t1 u2 + t2 u2 ) + C = F (x, y, u1 ) = [−1, 1) , +∞ = F (x, y, t1 u2 + t2 u2 ) + C Do F khơng C− tựa lồi Ta kiểm tra tất giả thiết Định lý 2.3.10 thỏa mãn Dễ thấy điều kiện (i) Định lý 2.3.10 thỏa mãn Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện (ii) Với (x, y) ∈ A × B; u1 , u2 ∈ A t1 , t2 ∈ [0, 1] với t1 + t2 = Giả sử u1 ≤ u2 Xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu u1 ≤ u2 ≤ x t1 u1 + t2 u2 ≤ u2 ≤ x F (x, y, u2 ) ∩ F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) + C = (u2 , u2 + 1) ∩ (t1 u1 + t2 u2 , +∞) = ∅ Trường hợp 2: Nếu u1 ≤ x < u2 ta có t1 u1 + t2 u2 > x t1 u1 + t2 u2 ≤ x Khi F (x, y, u2 ) ∩ F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) + C 29 = (−u2 , 1) ∩ (−t1 u1 − t2 u2 , +∞) = ∅ F (x, y, u2 ) ∩ F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) + C = (−u2 , 1) ∩ (t1 u1 + t2 u2 , +∞) = ∅ Trường hợp 3: Nếu x < u1 ≤ u2 t1 u1 + t2 u2 > x F (x, y, u2 ) ∩ F (x, y, t1 u1 + t2 u2 ) + C = (−u2 , 1) ∩ (−t1 u1 − t2 u2 , +∞) = ∅ Vậy F C− tựa lồi suy rộng.Chứng minh tương tự, G C− tựa lồi suy rộng Tiếp theo, ta kiểm tra giả thiết (iii) Với u ∈ A ta có F (x, y, u)∩− int C = ∅ u > x Giả sử z ∈ F (x, y, u) Khi z ∈ [−u, 1) ⊆ [−1, 1) Từ suy z − C ⊆ − int C Tương tự, ta G thỏa mãn điều kiện Vậy giả thiết (iii) thỏa mãn Tiếp theo ta kiểm tra giả thiết (iv) Định lý 2.3.10 Với (x , y ) ∈ A × B z ∈ F (x , y , u), ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu u ≤ x z ∈ (x , x + 1) Gọi U lân cận tùy ý z Khi với (x, y) thuộc lân cận (u, x ] × B (x , y ), ta có (x , x + 1) ⊆ F (x, y, u) với x ∈ (u, x ] Do F (x, y, u) ∩ U = ∅ với (x, y) ∈ (u, x ] × B Trường hợp 2: Nếu u > x x ∈ [−u, 1) Gọi U lân cận tùy ý z Khi với (x, y) thuộc lân cận [x , 1] × B (x , y ), ta có z ∈ [−u, 1) = F (x, y, u) Do F (x, y, u) ∩ U = ∅ với (x, y) ∈ [x , 1] × B Vậy F (., , u) lsc A × B Tương tự ta G(., , v) lsc A × B Cuối cùng, ta kiểm tra điều kiện (v) Định lý 2.3.10 Bằng cách chọn 1 D1 = , ⊆ A D2 = , ⊆ B Khi với (x, y) ∈ (A × B) \ (D1 × D2 ), 2 tồn x = ∈ D1 y = ∈ D2 cho F (x, y, x ) ∩ − int C = [−1, ∞) ∩ − int R+ = [−1, 0) = ∅ 30 Do tất giả thiết Định lý 2.3.10 thỏa mãn Hơn nữa, kiểm tra trực tiếp, ta có (1, 1) ∈ S2 2.4 Tính lồi tập nghiệm tốn cân vectơ đối xứng Những định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ 20, kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912, nguyên lý ánh xạ co Banach năm 1922 Năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz chứng minh kết quan trọng mà ngày gọi "Bổ đề KKM" Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề KKM cổ điển sang khơng gian tơpơ tuyến tính với ánh xạ đa trị kết thu ngày ta gọi "Bổ đề Fan-KKM" Trước tiên ta nhắc lại khái niệm ánh xạ KKM Định nghĩa 2.4.1 Giả sử D tập không rỗng X Ánh xạ đa trị F : D → 2X gọi ánh xạ KKM với tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } D, ta ln có n co{x1 , x2 , , xn } ⊆ F (xi ) i=1 Định lý 2.4.2 (Bổ đề Fan-KKM, xem [12]) Giả sử D tập không rỗng khơng gian tơpơ tuyến tính X F : D → 2X ánh xạ KKM với giá trị đóng Khi với tập hữu hạn A ⊆ D, ta ln có F (x) = ∅ x∈A Chứng minh Ta chứng minh định lý phản chứng Giả sử tồn tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } ⊆ D cho ∩ni=1 F (xi ) = ∅ Đặt L = span{x1 , x2 , , xn } d khoảng cách L tương thích với tơpơ cảm sinh từ X Ta kí hiệu ∆ = co{x1 , x2 , , xn } G(xi ) = F (xi ) ∩ L với i = 1, 2, , n Với x ∈ ∆, đặt αi (x) = d(x, G(xi )) Vì ∩ni=1 F (xi ) = ∅ nên ∩ni=1 G(xi ) = ∅ Do với x ∈ ∆, tồn i cho x ∈ G(xi ) Vì G(xi ) đóng nên αi (x) > Ta đặt µi (x) = αi (x) , n α (x) j j=1 31 x ∈ ∆ Khi hàm µi liên tục ≤ µi (x) ≤ 1, n j=1 µj (x) = với x ∈ ∆ Xét ánh xạ T : ∆ → ∆ xác định n Tx = µi (x)xi j=1 Rõ ràng T liên tục ∆ tập lồi compact không gian hữu hạn chiều L Sử dụng Định lý điểm bất động Brouwer, tồn x¯ ∈ ∆ cho T (¯ x) = x¯ Đặt I(¯ x) := {i ∈ {1, 2, , n} : µi (¯ x) > 0} Vì µi (¯ x) = nên i∈I(¯ x) I(¯ x) = ∅ Mặt khác ta lại có n x¯ = T (¯ x) = µi (¯ x)xi µi (¯ x)xi = i=1 i∈I(¯ x) Từ suy x¯ ∈ co{xi : i ∈ I(¯ x)} ⊆ ∪i∈I(¯x) F (xi ) Vì µi (¯ x) > với i ∈ I(¯ x), nên ta có x¯ ∈ G(xi ) Vì x¯ ∈ L nên x¯ ∈ F (xi ) với i ∈ I(¯ x) Chứng tỏ x¯ ∈ ∪i∈I(¯x) F (xi ) Điều mâu thuẫn với x¯ ∈ ∪i∈I(¯x) F (xi ) Vậy định lý chứng minh Nhận xét 2.4.3 Trong Định lý 2.4.2 tồn x0 ∈ D cho F (x0 ) tập compact X F (x) = ∅ x∈D Định lý 2.4.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với (x, y) ∈ A × B, F (x, y, x) ⊆ C G(x, y, y) ⊆ P ; (ii) Với (x, y) ∈ A × B, F (x, y, ) C- lồi A G(x, y, ) P - lồi B; (iii) Với (u, v) ∈ A × B, F (., , u) G(., , v) ánh xạ lsc A × B; (iv) Tồn tập khơng rỗng, lồi, compact D1 × D2 ⊆ A × B tập compact M1 × M2 ⊆ A × B cho với (x, y) ∈ (A × B)\(M1 × M2 ), tồn (x , y ) ∈ D1 × D2 thỏa mãn F (x, y, x ) ∩ − int C = ∅ G(x, y, y ) ∩ − int P = ∅ 32 Khi tập nghiệm S2 (ξ) tốn (SSEP )2 (ξ) không rỗng compact Hơn nữa, tập nghiệm S2 toán (SV EP )2 lồi Chứng minh Lấy q ∈ − int C q ∈ − int P Ta định nghĩa ánh xạ đa trị T : A × B → 2B cơng thức T (z, w) := {(x, y) ∈ A × B : ξq (F (x, y, z)) ⊆ R+ ξq (G(x, y, w)) ⊆ R+ } Khi S2 (ξ) = ∩(z,w)∈A×B T (z, w) Ta chứng minh T ánh xạ KKM Giả sử ngược lại, tồn tập hữu hạn {(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn )} A × B (z, w) ∈ A × B cho (z, w) ∈ co{(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), , (xn , yn )}\ ∪ni=1 T (xi , yi ) Từ suy tồn α1 , α2 , , αn ∈ R+ cho n n αi = (z, w) = i=1 αi (xi , yi ) i=1 Do vậy, với i ∈ {1, 2, , n}, ta có ξq (F (x, y, z)) ⊆ R+ ξq (G(x, y, w)) ⊆ R+ (2.1) Bởi giả thiết (ii) tính lồi theo nón F G, tồn j ∈ {1, 2, , n} cho F (z, w, xj ) ⊆ F (z, w, z) + C G(z, w, yj ) ⊆ G(z, w, w) + P Từ suy ξq (F (z, w, xj )) ⊆ ξq (F (z, w, z)) + ξq (C) ⊆ R+ ξq (G(z, w, yj )) ⊆ ξq (G(z, w, w)) + ξq (C) ⊆ R+ Điều mâu thuẫn với (2.1) Vậy T ánh xạ KKM Tiếp theo ta chứng minh T ánh xạ có giá trị đóng Thật vậy, với (z, w) ∈ A × B dãy 33 {(xi , yi )} ⊆ T (z, w) cho (xi , yi ) → (x0 , y0 ) Từ (xi , yi ) ∈ T (z, w) với i ∈ N∗ , nên ta có ξq (F (xi , yi , z)) ⊆ R+ ξq (G(xi , yi , w)) ⊆ R+ với i Lấy (h1 , h2 ) ∈ ξq (F (z1 , w2 , z)) × ξq (G(z1 , w2 , w)) Khi tồn (z2 , w3 ) ∈ F (z1 , w2 , z) × G(z1 , w2 , w) cho (h1 , h2 ) = (ξq (z2 ), ξq (w3 )) Bởi điều kiện (iii), tồn (ti , si ) ∈ F (zi , wi , z) × G(zi , wi , w) cho (ti , si ) → (z2 , w3 ) Vì (ti , si ) ∈ F (zi , wi , z) × G(zi , wi , w) với i nên ξq (ti ) ≥ ξq (si ) ≥ với i Bởi tính liên tục ξq ξq nên ta có h1 ≥ h2 ≥ Vì (h1 , h2 ) ∈ ξq (F (z1 , w1 , z)) × ξq (G(z1 , w2 , w)) tùy ý nên ξq (F (z1 , w2 , z)) ⊆ R+ ξq (G(z1 , w2 , w)) ⊆ R+ Từ suy (z1 , w2 ) ∈ T (z, w) T (z, w) đóng với (z, w) ∈ A × B Vậy tất điều kiện Định lý 2.4.2 thỏa mãn Theo Định lý 2.4.2 ta có S2 (ξ) = ∅ Hơn nữa, điều kiện (iv) nên ta có S2 (ξ) ⊆ M1 × M2 Từ suy S2 (ξ) tập khơng rỗng, compact B Theo Bổ đề 2.3.8, S2 khơng rỗng compact Cuối cùng, tính C- lồi F (x, y, ) A P - lồi G(x, y, ) B nên ta suy T (z, w) lồi với (z, w) ∈ A × B Do tập S2 (ξ) lồi Theo Bổ đề 2.3.8, tập S2 lồi 34 Kết luận Trong luận văn này, trình bày số kết sau: Trình bày số kiến thức nón khơng gian tuyến tính, ánh xạ đa trị tính liên tục, tính lồi theo nón ánh xạ đa trị Trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng (Định lý 2.3.2 Định lý 2.3.10) Trình bày điều kiện đủ cho tính lồi tập nghiệm toán cân vectơ đối xứng (Định lý 2.4.4) Trình bày số ví dụ số minh họa cho kết 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề lý thuyết tối ưu vectơ đa trị", Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Đơng n (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh [3] Ansari Q H., Schaible S., Yao J C (2000), "The system of vector equilibrium problems and its applications", Optim Theory Appl, 107, 547- 557 [4] Blum E., and Oettli W.(1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, 1-23 [5] Farajzadeh A P., Wangkeeree R., Kerdkaew J.(2019), "On the Existence of Solutions of Symmetric Vector Equilibrium Problems via Nonlinear Scalarization", Bull Iran Math Soc., 45, 35-58 [6] Fakhar M., Zafarani J.(2008), "Generalized symmetric vector quasiequilibrium problems", J Optim Theory Appl, 136, 397–409 [7] Chen C R.(2013), "Holder continuity of the unique solution to parametric vector quasiequilibrium problems via nonlinear scalarization", Positivity, 17, 133- 150 [8] Chen G Y., Yang X Q., Yu H.(2005), "A nonlinear scalarization function and generalized quasi-vector equilibrium problem", J Glob Optim., 32, 451- 466 36 [9] Ding X P., Yao J C., Lin L J.(2004), "Solutions of system of generalized vector quasiequilibrium problems in locally G-convex uniform spaces", J Math Anal Appl., 298, 389- 410 [10] Fakhar M., Zafarani J.(2008), "Generalized symmetric vector quasiequilibrium problems", J Optim Theory Appl., 136, 397- 409 [11] Giannessi F (1980), "Theorem of the alternative, quadratic programs, and complementarity problems In: Cottle, R.W., Giannessi, F., Lions, J.L (eds.) Variational Inequalities and Complementarity Problems", Wiley, New York, 151- 186 [12] Fan K.(1961), "A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theorem", Mathematische Annalen, 142, 305-310 [13] Tan N X.(1985), "Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex Hausdorff spaces", Mathematische Nachrichten, 122, 231–245 [14] Deguire P., Tan K K., Yuan G X Z.(1999), "The study of maximal elements, fixed point for LS-majorized mappings and the quasi-variational inequalities in product spaces", Nonlinear Anal., 37, 933–951 37 ... Chương Hàm vô hướng phi tuyến tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng 15 2.1 Bài toán cân vectơ đối xứng 15 2.2 Hàm vô hướng phi tuyến. .. Chương Hàm vô hướng phi tuyến tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng Trong chương này, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân vectơ đối xứng phương pháp sử dụng hàm vơ hướng phi tuyến. .. lồi tập hợp A (SV EP )1 toán cân vectơ đối xứng loại (SV EP )2 toán cân vectơ đối xứng loại (SV EP )1 (ξ) toán cân vô hướng đối xứng loại (SV EP )2 (ξ) tốn cân vơ hướng đối xứng loại usc nửa liên