Về sự tồn tại của nghiệm bài toán cân bằng vectơ

L I CAM OAN Tôi xin cam đoan: (i) Lu n v n đ tài li u c a d c hoàn thành v i s h c t p, nghiên c u, s u t m is h ng d n c a PGS.TS V n L u (ii) Lu n v n trình bày k t qu m i v t i u H c viên Vy Thanh H ng L IC M Tr c tiên xin đ d y ch N c g i l i c m n đ n t t c quý Th y Cô gi ng ng trình Cao h c Toán ng d ng khóa – Tr Th ng Long, nh ng ng ng ih c i truy n đ t ki n th c h u ích v ngành Toán ng d ng làm c s cho hoàn thành lu n v n c bi t xin chân thành c m n Th y giáo PGS.TS V nL u– Gi ng viên Tr ng báu t n tình h ng d n su t trình th c hi n luân v n, đ ng th i ng i h c Th ng Long Th y dành nhi u th i gian quý i giúp l nh h i đ c nh ng ki n th c chuyên môn rèn luy n cho tác phong nghiên c u khoa h c Qua đây, c ng xin đ bè thân thi t nh ng ng c bày t lòng bi t n sâu s c t i gia đình, b n i sát cánh bên tôi, t o m i u ki n t t nh t cho tôi, nhi t tình giúp đ , chia s , đ ng viên su t trình h c t p, c ng nh th c hi n hoàn thành luân v n M c dù r t c g ng song luân v n không kh i có nh ng thi u sót, r t mong nh n đ c ý ki n góp ý c a Th y giáo, Cô giáo anh ch h c viên đ luân v n đ c hoàn thi n h n Phú Th , tháng 04 n m 2015 H c viên th c hiên Vy Thanh H ng Thang Long University Libraty M CL C Ch ng S VECT T N T I NGHI M C A BÀI TOÁN CÂN B NG 1.1 Các khái ni m k t qu b tr 1.2 S t n t i nghi m c a toán cân b ng vect v i gi thi t gi đ n u 14 1.3 S t n t i nghi m c a toán cân b ng vect v i gi thi t t a đ n u 19 1.4 Tr Ch ng h p t ng quát h n 23 ng CÁC NGHI M H U HI U VÀ H U HI U HENIG C A BÀI TOÁN CÂN B NG VECT 27 2.1 Các khái ni m đ nh ngh a 27 2.2 Phép vô h ng hóa toán cân b ng vect 30 2.3 S t n t i nghi m 34 2.4 Tính liên thông c a t p nghi m 41 K T LU N 46 TÀI LI U THAM KH O 47 M Bài toán cân b ng vect đ bao g m nhi u toán nh tr U c nhi u tác gi quan tâm nghiên c u Nó ng h p đ c bi t: Bài toán b t đ ng th c bi n phân vect , toán t i u vect , toán m b t đ ng, toán bù vect , toán cân b ng Nash, Ng i ta nghiên c u toán cân b ng vect v s t n t i nghi m, u ki n t i u, tính n đ nh nghi m, thu t toán tìm nghi m,… Nhi u k t qu v s t n t i nghi m c a toán cân b ng nh n đ c Bianchi, Hadjisavvas Schaible (1997) ch ng minh k t qu v s t n t i nghi m h u hi u y u c a toán cân b ng vect v i gi thi t v tính gi đ n u ho c t a đ n u Gong (2001) thi t l p m t s k t qu v s t n t i nghi m h u hi u, nghi m h u hi u Henig c a toán cân b ng vect tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig c a b t đ ng th c bi n phân vect ây đ tài đ c nhi u tác gi n c quan tâm nghiên c u Chính v y ch n đ tài: “V s t n t i nghi m c a toán cân b ng vect ” Lu n v n trình bày k t qu nghiên c u v s t n t i nghi m tính liên thông c a t p nghi m c a toán cân b ng vect c a Bianchi, Hadjisavvas, Schaible (1997) Gong (2001) Lu n v n bao g m ph n m đ u, hai ch ng, k t lu n danh m c tài li u tham kh o Ch ng S t n t i nghi m c a toán cân b ng vect Trình bày k t qu c a M Bianchi, N Hadjisavvas Schaible [3] v s t n t i nghi m h u hi u y u c a toán cân b ng vect v i song hàm gi đ n u ho c t a đ n u v i m t u ki n b c Thang Long University Libraty Ch ng Các nghi m h u hi u h u hi u Henig c a toán cân b ng vect Trình bày khái ni m nghi m h u hi u Henig c a toán cân b ng vect , k t qu v vô h ng hóa toán cân b ng vect , k t qu v t n t i nghi m h u hi u tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig t p nghi m h u hi u y u c a b t đ ng th c bi n phân Hartman – Stampacchia vect Các k t qu trình bày ch ng c a X Gong [7] Ch S ng T N T I NGHI M C A BÀI TOÁN CÂN B NG VECT Ch ng trình bày k t qu v s t n t i nghi m h u hi u y u c a toán cân b ng vect v i song hàm gi đ n u ho c t a đ n u u ki n b c Các k t qu trình bày ch ng c a M Bianchi, N Hadjisavvas Schaible [3] 1.1 Các khái ni m vƠ k t qu b tr Cho X m t không gian vect tôpô Hausdorff th c, Y m t không gian vect l i đ a ph ng th c Xét nón C nh n, đóng, l i Y, int C   Khi đó, C sinh m t th t vect Y, xác đ nh b i: x  y n u ch n u y – x  C Do int C   , ta c ng có m t th t y u Y, đ x y n u ch n u y – x  int C, x y n u ch n u y – x  C, c xác đ nh b i x < y n u ch n u y – x  C Chú ý r ng y  kéo theo y H n n a, x  0, y   x  y  x  0, y   x  y  , Thang Long University Libraty b i C  int C  int C N u C nón l i đóng Y không gian l i đ a ph ng th c t n t i phi m hàm n tính liên t c khác   C * ,   C*   Y* :  (y)  0,  y  C H nn a  C ch  (y)  ( C*) ; yint C ch  (y)  (  C * / 0) Gi s K  X m t t p không r ng, đóng, l i, xét song hàm F: K  K  Y cho F(x, x)  v i m i x  K Chúng ta s trình bày k t qu v s t n t i nghi m c a toán cân b ng vect (kí hi u VEP) nh sau: Tìm x* K cho 0, v i m i, y  K , F(x*, y) hay t ng đ ng F(x*, y)  -int C Bài toán b t đ ng th c bi n phân vect (kí hi u VVI) m t tr đ c bi t c a toán (VEP) v i F(x, y) = A( x), y x , ng h p A m t ánh x t K vào L(X, Y), không gian c a t t c toán t n tính liên t c t X vào Y Các toán (VEP) (VVI) t ng quát hóa toán t ng ng tr toán vô h ng l n l ng h p vô h ng (Y = R), ta ký hi u t (EP) (VI) B đ 1.1.1 Gi s a, b  Y, v i a < b < Khi đó, t p h p c n c a a b không r ng giao v i (-int C) Ch ng minh Ta ph i ch t n t i c < cho a  c, b  c Ta ch c n ch n c =  b, v i  > g n v i B đ 1.1.2 Gi s a, b  Y, v i a < b Khi đó, t p h p c n c a a b không r ng giao v i Y C Ch ng minh Ta ph i ch r ng t n t i c cho a  c, b  c Vì int C  0, t n t i d  int C cho d – b  C V i t  [0, 1], ta đ t dt = td + (1 - t)b Vì C đóng l i nên t n t i t0  (0, 1) cho dt  C, v i m i t  [ t0 , 1], dt  C, v i m i t  [0, t0 ) Nói riêng, ta có dt   a Nh v y, dt  a  int C B i v y, v i t1 < t0 đ g n t0 , ta có Thang Long University Libraty dt  a  int C t c = dt Khi đó, c  C c H n n a, có c  a , c  b  t1(d -b)  Bây gi , cho K  X t p khác r ng, đóng, l i Xét song hàm F: K x K  Y Song hàm F đ c g i t a đ n u n u v i m i x, y  K, F(x, y) >  F(y, x)  Song hàm F đ F(x, y) ho c t ng đ c g i gi đ n u n u v i m i x, y  K  F(y, x) 0, ng, F(x, y) >  F(y, x) < Cu i cùng, song hàm F đ c g i gi đ n u ch t n u v i m i x  y , x, y  K, F(x, y)  F(y, x) < Rõ ràng, tính gi đ n u kéo theo tính t a đ n u tính gi đ n u ch t kéo theo tính gi đ n u tr ng h p vô h ng i u ng c l i không M t hàm f : K  Y đ c g i n a liên t c d t ph p i n u v i m i  Y , L( )  {x K: f (x)  }, đóng K M t hàm f : K  Y đ c g i n a liên t c n u v i m i  Y , t p h p U ( )  {x K: f (x)  } đóng K Chú ý r ng m t hàm liên t c v a hàm n a liên t c v a n a liên t c d i, b i L( )  {x  K: f (x) -   int C} = f 1[(  int C )c ] L( )  {x  K: f (x) -   (int C )} = f 1[(  int C )c ] M t hàm f : K  Y đ c g i hemi - liên t c n u v i m i x, y  K , hàm  (t )  f ( x  t ( y  x)) , xác đ nh v i m i t [0, 1] , n a liên t c n a liên t c d Ta ch r ng tính n a liên t c d i t ng đ i ng v i tính C – liên t c Nh c l i: m t hàm f : K  Y C - liên t c t i x* K n u v i b t k lân c n V c a f (x*) Y, t n t i m t lân c n U c a x* X cho f ( x) V  C, xU  K H n n a, f C - liên t c K n u C - liên t c t i m i x  K B đ 1.1.3 Hàm f : K  Y n a liên t c d i ch C - liên t c 10 Thang Long University Libraty nh ngh a 2.3.1 Gi s A m t t p h p không r ng c a X, T: A  L (X, Y) m t toán t Tđ (i) c g i đ n u A n u (Tx - Ty, x - y)  0, v i m i x, y  A (ii) Cho f  C*\{0} T đ c g i f - đ n u A n u f ((Tx, x - y)) + f ((Ty, y - x))  0, v i m i x, y  A Rõ ràng là, n u T đ n u A v i b t k f  C*\{0}, T f - đ n u A nh ngh a 2.3.2 Cho T: A  L(X, Y) T đ c g i v - hemi liên t c n u, v i m i x, y  A c đ nh, ánh x H(t) := (T(ty + (l - t) x), y - x), t  [0, 1] liên t c t i Cho f  C*\{0} T đ c g i f – hemi liên t c n u v i m i x, y  A c đ nh, hàm h(t) := f((T(ty + (1- t) x), y - x)), t  [0, 1] n a liên t c d i t i D th y r ng, n u T v – hemi liên t c A v i b t k f  C*\{0}, T f – hemi liên t c A nh ngh a 2.3.3 Ánh x q: A  Y đ c g i C – n a liên t c d i (ho c ) t i x0  A n u v i b t k lân c n V c a q( x0 ) Y, t n t i lân c n U( x0 ) c a x0 X cho q(x)  V + C, v i m i x  U( x0 )  A, 35 [q(x)  V - C, v i m i x  U( x0 )  A] Ta nói q C – n a liên t c d C – n a liên t c d i (C - n a liên t c trên) A n u i (C - n a liên t c trên) t i m i x  A Cho f  C*\{0} Ánh x q đ hàm f q : A R n a liên t c d c g i f – n a liên t c d i A n u i A Nh n xét 2.3.1 N u q C – n a liên t c d i t i x0  A -q C - n a liên t c t i x0 Ta có th th y r ng, n u q1, q2 C – n a liên t c d i A q1  q2 C – n a liên t c d q C – n a liên t c d i A N u f  C*\{0} n u i A hàm f q : A R n a liên t c d i A [3] Cho A  X m t t p h p l i c a X Ánh x q: A  Y đ c g i C - l i A n u v i m i x1, x2  A, t  [0, 1], ta có q(t x1 + (1- t) x2)  tq( x1 ) + (1- t) q( x2 ) B đ 2.3.1 (Fan) Trong m t không gian vect tôpô Hausdorff, cho A m t t p l i, A0 m t t p không r ng c a A V i m i x  A0 , g i E(x) m t t p đóng c a A cho bao l i c a m i t p h u h n { x1, , x n } c a A0 n m n E( xi ) i1 N u t n t i m t m x0  A0 cho E( x0 ) comp c {E(x): x  A0 }   36 Thang Long University Libraty Nh n xét 2.3.2 Ánh x đa tr E: A  2A đ x n u co { x1, , xn }  n c g i m t KKM – ánh E( xi ), v i b t k t p h p h u h n { x1, , xn } i1 c a A, co (D) kí hi u bao l i c a t p h p D nh lỦ 2.3.1 Gi s A m t t p l i, không r ng, comp c y u c a X, f  C  Gi s T: A  L(X, Y) f –hemi liên t c A, q: A  Y f n a liên t c d i y u A [X đ c trang b tôpô y u (X, X*)], q C – l i H n n a, gi s T f - đ n u A Khi đó, Vf (A, F)   , V(A, F)   , F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) - q(x), x, y  A Ch ng minh Ta c n ch ra, t n t i x  A, m t nghi m c a toán b t đ ng th c bi n phân vô h ng f(F(x, y)) = f((Tx, y - x)) + f(q(y)) - f(q(x)) ≥ 0, v i m i y  A Tr c h t, xác đ nh ánh x đa tr E, G: A  2A b i E(y) = {x  A: f((Tx, x - y)) + f(q(x)) ≤ f(q(y))}, G(y) = {x  A: f((Ty, y - x)) + f(q(y)) ≥ f(q(x))} Khi đó, b ng cách ch ng minh t ng t nh lý 2.4 [10], có E m t KKM – ánh x A {E(y): y  A} = {G(y): y  A}   Vì {E(y): y  A}   nên 37 Vf (A, F)   nh ngh a 2.3.4 Song hàm F: A  A  Y đ c g i lõm - convexlike, n u v i t  [0, 1], u ki n sau th a mãn: (i) Cho x1, x2  A, t n t i x3  A v i F( x3 , y)  tF( x1 , y) + (1 - t) F( x2 , y), v i m i y  A; (ii) Cho y1, y2  A, t n t i y3  A v i F(x, y3 )  tF(x, y1 ) + (1 - t) F(x, y2 ), v i m i x  A nh lỦ 2.3.2 Cho A m t t p h p không r ng, comp c y u c a X, f  C  Gi s F: A  A  Y lõm - convexlike v i m i y c đ nh, y  A, hàm x  f(F(x, y)) n a liên t c y u A H n n a, gi s F(x, x)  0, v i m i x  A V(A, F)   Ch ng minh Xác đ nh ánh x đa tr G: A  2A b i G(y) = {x  A: f(F(x, y))  0}, v i m i y  A Theo gi thi t, y  G(y), v i m i y  A Gi s { x :   I} m t l i G(y) cho { x } h i t y u đ n x0 Rõ ràng, ta có x0  A Vì { x }  G(y), nên ta có f(F( x , y))  0, v i m i   I 38 Thang Long University Libraty T gi thi t, ta có G(y) m t t p h p đóng y u c a A Ta ph i ch ng minh r ng { G(y): y  A}   Do A comp c y u, ta ch c n ch r ng n i 1 G(yi )   , v i b t k y1, , yn A N u u không đúng, t n t i t p h p B = { y1, , yn }  A v i n i 1 G(yi )   Vì v y, v i b t k x  A, t n t i yi  B cho x  G( yi ) i u có ngh a f(F(x, yi )) < B i v y, t n t i i  cho f(F(x, yi )) < -  i Vì x  f(F(x, y)) n a liên t c y u A, ta có th ch n  > cho v i b t k x  A, t n t i y j  B cho f(F(x, y j )) +  < (2.5) nh ngh a g: A Rn b i g(x) = ( f(F(x, y1 )) -  , - f(F(x, y2 )) -  , , - f(F(x, yn )) -  ), x  A 39 T (2.5), ta có: - g(x)  int Rn+, v i b t k x  A (2.6) Do f  C  , F(x, y) lõm - convexlike, ta có, v i t  [0, 1], x1, x2  A, t n t i x3  A g( x3 )  tg( x1 ) + (1 - t) g( x2 ) nh lý 2.11 [8], g(A) + Rn+ m t t p l i T (2.6) ta có Theo  g(A) + int Rn+ Theo đ nh lý tách t p l i, ta có th tìm đ c t1, t2 , , tn  , v i in1 ti  cho n   ti (( f ( F ( x, yi )))   ) , v i m i x  A, t 1 t c là, n  ti f ( F ( x, yi ))   , v i m i x  A t 1 (2.7) Theo gi thi t, t n t i y  A cho n F ( x, y)   ti f (F ( x, yi )) , v i m i x  A t 1 Vì f  C  , ta có n f (F ( x, y))   ti f ( F ( x, yi )) , v i m i x  A t 1 (2.8) 40 Thang Long University Libraty T (2.7) - (2.8), ta suy f(F(x, y))    , v i m i x  A V i x = y, ta có f(F(y, y))  -  M t khác, t gi thi t  F(y, y) , ta ph i có  f(F(y, y)) i u d n đ n m t mâu thu n Do đó, {G(y): y  A}   Ta suy t n t i x  {G(y): y  A} i u có ngh a là:  f(F(x, y)) , v i m i y  A B i v y, x  Vf (A, F)  V(A, F) 2.4 Tính liên thông c a t p nghi m Bây gi , nghiên c u tính liên thông c a t p h p nghi m h u hi u Henig t p h p nghi m h u hi u y u c a b t đ ng th c bi n phân Hartman- Stampacchia giá tr vect 41 nh lỦ 2.4.1 Cho A m t t p h p l i, không r ng, comp c y u c a X Gi s T: A L (X, Y) v - hemi liên t c đ n u A, q: A Y C – n a liên t c d i y u A [X đ c trang b tôpô  (X, X*)], q C – l i H n n a, q(A) t p b ch n c a Y C    Khi đó, {Vf (A, F): f  C  } t p liên thông theo  (X, X*), F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) q(x), v i b t k x, y  A Ch ng minh Xác đ nh ánh x đa tr H: C   2A b i H(f) = Vf (A, F), f  C  Do C  m t t p l i, nên C  m t t p h p liên thông Theo nh lý 2.3.1, H(f)   , v i m i f  C  Ta ch r ng H(f) m t t p h p l i v i m i f  C  L y x1, x2  H(f) Khi đó, v i i = 1, 2, f(F( xi , y)) = f((T xi , y - xi ) + q(y) - q( xi ))  0, v i m i y  A Xác đ nh ánh x đa tr E, G: A  2A b i E(y) = {x  A: f((Tx, x - y)) + f(q(x))  f(q(y))}, G(y) = {x  A: f((Ty, y - x)) + f(q(y))  f(q(x))} Vì x1, x2  Vf (A, F) nên ta có x1, x2   E ( y) : y  A Ta có 42 Thang Long University Libraty {E(y): y  A} = {G(y): y  A} Nh v y, v i i =1, 2, ta có f((Ty, y - xi )) + f(q(y))  f(q( xi ), v i m i y  A V i b t k t  [0, 1], tính C – l i c a q f  C  nên ta có f((Ty: y - (t x1 + (1- t) x2 )) + f(q(y))  f(q(t x1 + (1- t) x2 )), v i m i y  A; có ngh a, t x1 + (1 - t) x2  {G(y): y  A} = {E(y): y  A} Nh v y, t x1 + (1 - t) x2  H(f), H(f) m t t p h p l i, m t t p liên thông Chúng ta ch r ng H(f) n a liên t c trên C  Vì A comp c y u nên ta ch c n ch r ng H đóng (xem [1]) Cho ( fn , xn )  graph (H) = {(f, x)  C   A: x  H(f)}, ( fn , xn )  ( f0 , x0 )  C   A Vì xn  H ( fn )  Vf ( A, F ) , n 43 nên ta có fn ((Txn , xn  y))  fn (q( xn ))  fn (q( y)) , v i m i y  A Do tính đ n u c a T fn  C  , ta nh n đ c fn ((Ty, y  xn ))  fn (q( y))  fn (q( xn )) , v i m i y  A (2.9) Cho y m b t k A Do Ty  L(X, Y), ta có {(Ty, y - xn )} h i t y u đ n (Ty, y - x0 ), { xn } h i t y u đ n x0 H n n a, fn  f0  0, ta có fn ((Ty, y- xn ))  f0 (Ty, y- x0 )) fn (q( y))  f0 (q( y)) Ta có lim fn (q( xn ))  f0 (q( x0 )) n L y gi i h n d i hai v c a (2.9), ta có f0 ((Ty, y- x0 ))  f0 (q( y))  f0 (q( x0 )) (2.10) Rõ ràng (2.10) v i m i y  A Do đó, f0 ((Ty, y  x0 ))  f0 (q( y))  f0 (q( x0 )) , v i b t k y  A Do T v – hemi liên t c, q C - l i f0  C  nên b ng cách ch ng minh t ng t nh lý 2.4 [10], ta có f0 ((Tx0 , x0  y))  f0 (q( x0 ))  f0 (q( y)) , v i m i y  A, là, 44 Thang Long University Libraty f0[(Tx0 , y- x0 )  q(y)  q( x0 )] = f0 ( F ( x0 , y))  , v i m i y  A i u có ngh a là, x0 Vf ( A, F )  H ( f0 ) B i v y, H(f) đóng n a liên t c trên C  Theo nh lý 3.1 [11], ta có {H(f): f  C  } = {Vf (A, F): f  C  } m t t p h p liên thông theo (X, X*) nh lỦ 2.4.2 Gi s gi thi t c a nh lý 2.4.1 th a mãn Khi đó, VH (A, F) t p liên thông H n n a, n u int C   Vw (A, F) m t t p h p liên thông theo (X, X*) Ch ng minh Theo gi thi t, ta có F(x, A) + C m t t p h p l i v i m i x  A Theo B đ 2.2.2, ta có VH(A, F) = {Vf(A, F): f  C } D th y r ng C m t t p h p l i Vf (A, F) m t t p h p l i Xác đ nh ánh x đa tr H: C  2A b i H(f) = Vf(A, F), f  C T ch ng minh c a đó, theo nh lý 2.4.1, ta có H(f) n a liên t c trên C Do nh lý 3.1 [11], VH(A, F) m t t p liên thông theo (X, X*) N u int C   , t B đ 2.2.1, ta có 45 Vw (A, F) = {Vf (A, F): f  C*\{0}} Chúng ta có th th y Vw(A, F) m t t p liên thông theo (X, X*), có th thay th f  C  b i f  C*\{0} ch ng minh nh lý 2.4.1 K T LU N Lu n v n trình bày k t qu v s t n t i nghi m tính liên thông c a t p nghi m c a toán cân b ng vect , bao g m: - Các k t qu v t n t i nghi m h u hi u y u c a toán cân b ng vect c a Bianchi – Hadjisavvas – Schaible [3]; - Các k t qu v vô h ng hóa toán cân b ng vect s t n t i nghi m h u hi u c a Gong [7]; - Các k t qu v tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig t p nghi m h u hi u y u c a b t đ ng th c bi n phân Hartman – Stampacchia c a Gong [7] S t n t i nghi m c u trúc t p nghi m c a toán cân b ng vect đ tài đ c nhi u tác gi quan tâm nghiên c u phát tri n 46 Thang Long University Libraty TÀI LI U THAM KH O [1] Aubin, J P., and Ekeland, I (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley, New York, NY [2] Bianchi, M., and Schaible, S (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 90, pp 31-43 [3] Bianchi, M., Hadjisavvas, N., and Schaible, S (1997), Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 92, pp 527–542 [4] Borwein, J M., and Zhuang, D (1993), Superefficiency in vector optimization, Transactions of the American Mathematical Society, vol 338, pp 105 –122 [5] Chen, G Y (1992), Existence of solutions for a vector variational inequality: An extension of the Hartman – Stampacchia theorem, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 74, pp 445 – 456 [6] F a n , K (1961), A Generalization of Tychonoff's fixed - point theorem, Mathematische Annalen, vol 142, pp 305 – 310 47 [7] Gong, X H (2001), Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J Optim Theory Appl., vol 108, 139 – 154 [8] Jahn, J (1986), Mathematical Vector Optimization in Partially – Ordered Linear Spaces, Peter Lang, Frankfurt am Main, Germany [9] Jeyakumar, V., Oettli, W., and Natividad, M (1993), A Solvability theorem for a class of quasiconvex mappings with applications to Optimization, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 179, pp 537 – 546 [10] Lassonde, M (1983), On the use of KKM multifunctions in fixed – point theory and related topics, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 97, pp 151 – 201 [11] Warburton, A R (1983), Quasiconcave vector maximization: connectedness of the sets of Pareto – optimal and weak Pareto – optimal Alternatives, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 40, pp 537–557 48 Thang Long University Libraty 49 [...]... lí 1.2.1 ng 2 CÁC NGHI M H U HI U VÀ H U HI U HENIG C A BÀI TOÁN CÂN B NG VECT Ch ng 2 trình bày các k t qu c a X Gong [7] v nghi m h u hi u Henig c a bài toán cân b ng vect , các k t qu v vô h ng hóa bài toán cân b ng vect , các đ nh lý v t n t i nghi m h u hi u và tính liên thông c a t p nghi m h u hi u Henig và t p nghi m h u hi u c a bài toán b t đ ng th c bi n phân Hartman – Stampacchia vect ... c a (VEP) Nh n xét 2.1.1 Khái ni m nghi m h u hi u Henig c a t i u vect đ c đ a vào trong [4] Cho f  C*\{0} Chúng ta xét bài toán cân b ng (vô h Tìm x  A sao cho f (F(x, y))  0, v i m i y  A 29 ng) sau: (2.1) nh ngh a 2.1.4 Gi s f  C*\{0} N u x  A là m t nghi m c a bài toán cân b ng (2.1), thì ta nói r ng x là m t nghi m f - h u hi u c a (VEP) Kí hi u Vf (A, F) là t p t t c nghi m f - h u hi u... c a tính gi đ n đi u ch t, ta th y h qu sau đúng H qu 1.2.2 Gi s r ng F th a mãn các gi thi t c a ho c nh lí 1.2.1 nh lí 1.2.2 và cho F là gi đ n đi u ch t Khi đó, nghi m c a bài toán là duy nh t 19 1.3 S t n t i nghi m c a bƠi toán cơn b ng vect v i gi thi t t a đ n đi u Nh c l i: Ph n trong đ i s c a t p K   trong không gian X là t p   Ai ( K)  x K : x X,    0: x   x K,   0,  ... nh n, l i, đóng, C\{0}  int C (B), và C (B)  cone (B +  ’U ) 28 Thang Long University Libraty Bây gi , gi s A là m t t p h p con không r ng c a X, và F: A A Y là m t song hàm Chúng ta s xét bài toán cân b ng vect (VEP) nh sau: Tìm x  A sao cho F(x, y)  - K, v i m i y  A, trong đó K  {0} là m t nón l i trong Y nh ngh a 2.1.1 Gi s int C   M t vect x  A, th a mãn F(x, y)  -int C, v i m i... H ( x, yt )  tH ( x, y) Do đó, G ( yt , y)  (1  t ) H ( x, y) 0 Khi đó t (II), ta suy ra G ( x, y)  H ( x, y) 0, t c là, x yK  ( y) nh lí 1.4.1 N u các gi thi t (I) – (VIII) th a mãn thì bài toán cân b ng vect trong tr ng h p (1.2), có m t nghi m 26 Thang Long University Libraty Ch ng minh Vì G là H – gi đ n đi u, ta có  ( y)   *( y), y K Do các gi thi t n a liên t c (IV), (VI) và s... F th a mãn các gi thi t sau: (A1) F( , y) là hemi – liên t c v i y  K ; (A2) F(x, y) là gi đ n đi u; (A3) F(x, ) là n a liên t c d i và t a l i hi n v i x  K N u đi u ki n b c (C) th a mãn thì bài toán (VEP) có m t nghi m H qu 1.2.1 Gi s r ng F th a mãn các gi thi t c a ho c nh lí 1.2.1 nh lí 1.2.2 Khi đó t p nghi m là khác r ng và comp c 18 Thang Long University Libraty Ch ng minh Do yK  (... và  ( F ( x, y ')) kéo theo  ( F ( x, yt ))   ( F ( x, y ')) , 23 0 v im i yt  ty  (1 t ) y '; t  (0,1) 1.4 Tr ng h p t ng quát h n Trong ph n này, chúng ta ch ng minh s t n t i nghi m c a bài toán (VEP) trong tr ng h p F(x, y) = G (x, y) + H (x, y), (1.2 ) v i G : K  K  Y, H : K  K  Y N u H = 0 thì các k t qu nh n đ quy v tr ng h p c a cs nh lí 1.2.2 Trong ph n ti p theo, chúng ta c... f (zt) < f (y) Ta g i (xem [5]) m t ánh x  : K  2K là m t KKM – ánh x n u v i n m i yi  K, i  1, , n; và m i y   i yi , i  0,  i  1 , ta có y   ( yi ) i 1 1.2 S t n t i nghi m c a bƠi toán cơn b ng vect v i gi thi t gi đ n đi u Xét t p h p  ( y)   x  K : F ( x, y) 0}, y  K T gi thi t F ( x, x)  0 ta có y  ( y) B đ 1.2.1 Gi s W ( x)   y  K : F ( x, y)  0 là t p l i v... u c a (VEP) M nh đ 2.1.1 N u int C   thì V(A, F)  Vw (A, F) và { Vf (A, F): f  C* {0}}  Vw (A, F) N u C    thì {Vf (A, F): f  C  }  V(A, F) và VH (A, F)  V(A, F) 2.2 Phép vô h ng hóa bƠi toán cơn b ng vect t F(x, A) = {F(x, y): y  A}, x  A B đ 2.2.1 Gi s r ng int C   và F(x, A) + C là m t t p l i v i m i x  A Khi đó, Vw (A, F ) =  { Vf (A, F ): f  C*\{0}} Ch ng minh T M nh đ 2.1.1,... các ánh x tuy n tính b ch n t X vào Y Kí hi u (h, x) là giá tr c a h  L(X, Y) t i x 34 Thang Long University Libraty nh ngh a 2.3.1 Gi s A là m t t p h p con không r ng c a X, T: A  L (X, Y) là m t toán t Tđ (i) c g i là đ n đi u trên A n u (Tx - Ty, x - y)  0, v i m i x, y  A (ii) Cho f  C*\{0} T đ c g i là f - đ n đi u trên A n u f ((Tx, x - y)) + f ((Ty, y - x))  0, v i m i x, y  A Rõ ràng