Về sự tồn tại của nghiệm bài toán cân bằng vectơ

Header Page of 133 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: (i) Luận văn hoàn thành với học tập, nghiên cứu, sưu tầm tài liệu hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu (ii) Luận văn trình bày kết tối ưu Học viên Vy Thanh Hương Footer Page of 133 Header Page of 133 LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin gửi lời cảm ơn đến tất quý Thầy Cô giảng dạy chương trình Cao học Toán ứng dụng khóa – Trường Đại học Thăng Long, người truyền đạt kiến thức hữu ích ngành Toán ứng dụng làm sở cho hoàn thành luận văn Đặc biệt xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu – Giảng viên Trường Đại học Thăng Long Thầy dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn suốt trình thực luâ ̣n văn, đồng thời người giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè thân thiết người sát cánh bên tôi, tạo điều kiện tốt cho tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên suốt trình học tập, thực hoàn thành luâ ̣n văn này Mặc dù cố gắng song luâ ̣n văn không khỏi có thiếu sót, mong nhận ý kiến góp ý Thầy giáo, Cô giáo anh chị học viên để luâ ̣n văn hoàn thiện Phú Thọ, tháng 04 năm 2015 Học viên thực hiêṇ Vy Thanh Hương Footer Page of 133 Thang Long University Libraty Header Page of 133 MỤC LỤC Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ 1.2 Sự tồn nghiệm toán cân vectơ với giả thiết giả đơn điệu 14 1.3 Sự tồn nghiệm toán cân vectơ với giả thiết tựa đơn điệu 19 1.4 Trường hợp tổng quát 23 Chương CÁC NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ HỮU HIỆU HENIG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 27 2.1 Các khái niệm định nghĩa 27 2.2 Phép vô hướng hóa toán cân vectơ 30 2.3 Sự tồn nghiệm 34 2.4 Tính liên thông tập nghiệm 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Footer Page of 133 Header Page of 133 MỞ ĐẦU Bài toán cân vectơ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Nó bao gồm nhiều toán trường hợp đặc biệt: Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán tối ưu vectơ, toán điểm bất động, toán bù vectơ, toán cân Nash, Người ta nghiên cứu toán cân vectơ tồn nghiệm, điều kiện tối ưu, tính ổn định nghiệm, thuật toán tìm nghiệm,… Nhiều kết tồn nghiệm toán cân nhận Bianchi, Hadjisavvas Schaible (1997) chứng minh kết tồn nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ với giả thiết tính giả đơn điệu tựa đơn điệu Gong (2001) thiết lập số kết tồn nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu Henig toán cân vectơ tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu Henig bất đẳng thức biến phân vectơ Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính chọn đề tài: “Về tồn nghiệm toán cân vectơ” Luận văn trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm tính liên thông tập nghiệm toán cân vectơ Bianchi, Hadjisavvas, Schaible (1997) Gong (2001) Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Sự tồn nghiệm toán cân vectơ Trình bày kết M Bianchi, N Hadjisavvas Schaible [3] tồn nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ với song hàm giả đơn điệu tựa đơn điệu với điều kiện Footer Page of 133 Thang Long University Libraty Header Page of 133 Chương Các nghiệm hữu hiệu hữu hiệu Henig toán cân vectơ Trình bày khái niệm nghiệm hữu hiệu Henig toán cân vectơ, kết vô hướng hóa toán cân vectơ, kết tồn nghiệm hữu hiệu tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu Henig tập nghiệm hữu hiệu yếu bất đẳng thức biến phân Hartman – Stampacchia vectơ Các kết trình bày chương X Gong [7] Footer Page of 133 Header Page of 133 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chương trình bày kết tồn nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ với song hàm giả đơn điệu tựa đơn điệu điều kiện Các kết trình bày chương M Bianchi, N Hadjisavvas Schaible [3] 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ Cho X không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y không gian vectơ lồi địa phương thực Xét nón C nhọn, đóng, lồi Y, int C   Khi đó, C sinh thứ tự vectơ Y, xác định bởi: x  y y – x  C Do int C   , ta có thứ tự yếu Y, xác định x ≮ y y – x  int C, x ≰ y y – x  C, x < y y – x  C Chú ý y  kéo theo y ≮ Hơn nữa, x  0, y   x  y  x  0, y   x  y  , Footer Page of 133 Thang Long University Libraty Header Page of 133 C  int C  int C Nếu C nón lồi đóng Y không gian lồi địa phương thực tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục khác   C * ,   C*   Y * :  (y)  0,  y  C Hơn  C  (y)  ( C*) ; y int C  (y)  (  C * / 0) Giả sử K  X tập không rỗng, đóng, lồi, xét song hàm F: K  K  Y cho F(x, x)  với x  K Chúng ta trình bày kết tồn nghiệm toán cân vectơ (kí hiệu VEP) sau: Tìm x* K cho F(x*, y) ≮ 0, với mọi, y  K , hay tương đương F(x*, y)  -int C Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (kí hiệu VVI) trường hợp đặc biệt toán (VEP) với F(x, y) = A( x), y  x , Footer Page of 133 Header Page of 133 A ánh xạ từ K vào L(X, Y), không gian tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Các toán (VEP) (VVI) tổng quát hóa toán tương ứng trường hợp vô hướng (Y = R), ta ký hiệu toán vô hướng (EP) (VI) Bổ đề 1.1.1 Giả sử a, b  Y, với a < b < Khi đó, tập hợp cận a b không rỗng giao với (-int C) Chứng minh Ta phải tồn c < cho a  c, b  c Ta cần chọn c =  b, với  > gần với □ Bổ đề 1.1.2 Giả sử a, b  Y, với a < b ≱ Khi đó, tập hợp cận a b không rỗng giao với Y∖C Chứng minh Ta phải tồn c ≱ cho a  c, b  c Vì int C  0, tồn d  int C cho d – b  C Với t  [0, 1], ta đặt dt = td + (1 - t)b Vì C đóng lồi nên tồn t0  (0, 1) cho dt  C, với t  [ t0 , 1], dt  C, với t  [0, t0 ) Nói riêng, ta có dt   a Như vậy, dt  a  int C Bởi vậy, với t1 < t0 đủ gần t0 , ta có Footer Page of 133 Thang Long University Libraty Header Page of 133 dt  a  int C Đặt c = dt Khi đó, c  C c ≱ Hơn nữa, có □ c  a, c  b  t1(d -b)  Bây giờ, cho K  X tập khác rỗng, đóng, lồi Xét song hàm F: K x K  Y Song hàm F gọi tựa đơn điệu với x, y  K, F(x, y) >  F(y, x)  Song hàm F gọi giả đơn điệu với x, y  K F(x, y) ≮  F(y, x) ≯ 0, tương đương, F(x, y) >  F(y, x) < Cuối cùng, song hàm F gọi giả đơn điệu chặt với x  y , x, y  K, F(x, y) ≮  F(y, x) < Rõ ràng, tính giả đơn điệu kéo theo tính tựa đơn điệu tính giả đơn điệu chặt kéo theo tính giả đơn điệu trường hợp vô hướng Điều ngược lại không Một hàm f : K  Y gọi nửa liên tục với  Y , tập hợp Footer Page of 133 Header Page 10 of 133 L( )  {x  K: f (x) ≯  }, đóng K Một hàm f : K  Y gọi nửa liên tục với  Y , tập hợp U ( )  {x  K: f (x) ≮  } đóng K Chú ý hàm liên tục vừa hàm nửa liên tục vừa nửa liên tục dưới, L( )  {x  K : f (x) -   int C} = f 1[(  int C )c ] L( )  {x  K : f (x) -   (int C )} = f 1[(  int C )c ] Một hàm f : K  Y gọi hemi - liên tục với x, y  K , hàm  (t )  f ( x  t ( y  x)) , xác định với t [0, 1] , nửa liên tục nửa liên tục Ta tính nửa liên tục tương đương với tính C – liên tục Nhắc lại: hàm f : K  Y C - liên tục x* K với lân cận V f (x*) Y, tồn lân cận U x* X cho f ( x) V  C, x U  K Hơn nữa, f C - liên tục K C - liên tục x  K Bổ đề 1.1.3 Hàm f : K  Y nửa liên tục C liên tục Footer Page 10 of 133 10 Thang Long University Libraty Header Page 35 of 133 Định nghĩa 2.3.1 Giả sử A tập hợp không rỗng X, T: A  L (X, Y) toán tử (i) T gọi đơn điệu A (Tx - Ty, x - y)  0, với x, y  A (ii) Cho f  C*\{0} T gọi f - đơn điệu A f ((Tx, x - y)) + f ((Ty, y - x))  0, với x, y  A Rõ ràng là, T đơn điệu A với f  C*\{0}, T f - đơn điệu A Định nghĩa 2.3.2 Cho T: A  L(X, Y) T gọi v - hemi liên tục nếu, với x, y  A cố định, ánh xạ H(t) := (T(ty +(l - t) x), y - x), t  [0, 1] liên tục Cho f  C*\{0} T gọi f – hemi liên tục với x, y  A cố định, hàm h(t) := f((T(ty + (1- t) x), y - x)), t  [0, 1] nửa liên tục Dễ thấy rằng, T v – hemi liên tục A với f  C*\{0}, T f – hemi liên tục A Định nghĩa 2.3.3 Ánh xạ q: A  Y gọi C – nửa liên tục (hoặc ) x0  A với lân cận V q( x0 ) Y, tồn lân cận U( x0 ) x0 X cho q(x)  V + C, với x  U( x0 )  A, Footer Page 35 of 133 35 Header Page 36 of 133 [q(x)  V - C, với x  U( x0 )  A] Ta nói q C – nửa liên tục (C - nửa liên tục trên) A C – nửa liên tục (C - nửa liên tục trên) x  A Cho f  C*\{0} Ánh xạ q gọi f – nửa liên tục A hàm f q : A  R nửa liên tục A Nhận xét 2.3.1 Nếu q C – nửa liên tục x0  A -q C nửa liên tục x0 Ta thấy rằng, q1, q2 C – nửa liên tục A q1  q2 C – nửa liên tục A Nếu f  C*\{0} q C – nửa liên tục A hàm f q : A  R nửa liên tục A [3] Cho A  X tập hợp lồi X Ánh xạ q: A  Y gọi C - lồi A với x1, x2  A, t  [0, 1], ta có q(t x1 + (1- t) x2)  tq( x1 ) + (1- t) q( x2 ) Bổ đề 2.3.1 (Fan) Trong không gian vectơ tôpô Hausdorff, cho A tập lồi, A0 tập không rỗng A Với x  A0 , gọi E(x) tập đóng A cho bao lồi tập hữu hạn { x1, , x n } A0 nằm n E( xi ) i1 Nếu tồn điểm x0  A0 cho E( x0 ) compắc {E(x): x  A0 }   Footer Page 36 of 133 36 Thang Long University Libraty Header Page 37 of 133 Nhận xét 2.3.2 Ánh xạ đa trị E: A  2A gọi KKM – ánh xạ co { x1, , xn }  n E( xi ), với tập hợp hữu hạn { x1, , xn } i1 A, co (D) kí hiệu bao lồi tập hợp D Định lý 2.3.1 Giả sử A tập lồi, không rỗng, compắc yếu X, f  C  Giả sử T: A  L(X, Y) f –hemi liên tục A, q: A  Y f nửa liên tục yếu A [X trang bị tôpô yếu (X, X*)], q C – lồi Hơn nữa, giả sử T f - đơn điệu A Khi đó, V f (A, F)   , V(A, F)   , F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) - q(x), x, y  A Chứng minh Ta cần ra, tồn x  A, nghiệm toán bất đẳng thức biến phân vô hướng f(F(x, y)) = f((Tx, y - x)) + f(q(y)) - f(q(x)) ≥ 0, với y  A Trước hết, xác định ánh xạ đa trị E, G: A  2A E(y) = {x  A: f((Tx, x - y)) + f(q(x)) ≤ f(q(y))}, G(y) = {x  A: f((Ty, y - x)) + f(q(y)) ≥ f(q(x))} Khi đó, cách chứng minh tương tự Định lý 2.4 [10], có E KKM – ánh xạ A {E(y): y  A} = {G(y): y  A}   Vì {E(y): y  A}   nên Footer Page 37 of 133 37 Header Page 38 of 133 □ V f (A, F)   Định nghĩa 2.3.4 Song hàm F: A  A  Y gọi lõm - convexlike, với t  [0, 1], điều kiện sau thỏa mãn: (i) Cho x1, x2  A, tồn x3  A với F( x3 , y)  tF( x1 , y) + (1 - t) F( x2 , y), với y  A; (ii) Cho y1, y2  A, tồn y3  A với F(x, y3 )  tF(x, y1 ) + (1 - t) F(x, y2 ), với x  A Định lý 2.3.2 Cho A tập hợp không rỗng, compắc yếu X, f  C  Giả sử F: A  A  Y lõm - convexlike với y cố định, y  A, hàm x  f(F(x, y)) nửa liên tục yếu A Hơn nữa, giả sử F(x, x)  0, với x  A V(A, F)   Chứng minh Xác định ánh xạ đa trị G: A  2A G(y) = {x  A: f(F(x, y))  0}, với y  A Theo giả thiết, y  G(y), với y  A Giả sử { x :   I} lưới G(y) cho { x } hội tụ yếu đến x0 Rõ ràng, ta có x0  A Vì { x }  G(y), nên ta có f(F( x , y))  0, với   I Footer Page 38 of 133 38 Thang Long University Libraty Header Page 39 of 133 Từ giả thiết, ta có G(y) tập hợp đóng yếu A Ta phải chứng minh { G(y): y  A}   Do A compắc yếu, ta cần n i 1 G(yi )   , với y1, , yn A Nếu điều không đúng, tồn tập hợp B = { y1, , yn }  A với n i 1 G(yi )   Vì vậy, với x  A, tồn yi  B cho x  G( yi ) Điều có nghĩa f(F(x, yi )) < Bởi vậy, tồn i  cho f(F(x, yi )) < -  i Vì x  f(F(x, y)) nửa liên tục yếu A, ta chọn  > cho với x  A, tồn y j  B cho f(F(x, y j )) +  < (2.5) Định nghĩa g: A  Rn g(x) = ( f(F(x, y1 )) -  , - f(F(x, y2 )) -  , , - f(F(x, yn )) -  ), x  A Footer Page 39 of 133 39 Header Page 40 of 133 Từ (2.5), ta có: - g(x)  int Rn+, với x  A (2.6) Do f  C  , F(x, y) lõm - convexlike, ta có, với t  [0, 1], x1, x2  A , tồn x3  A g( x3 )  tg( x1 ) + (1 - t) g( x2 ) Theo Định lý 2.11 [8], g(A) + Rn+ tập lồi Từ (2.6) ta có  g(A) + int Rn+ Theo định lý tách tập lồi, ta tìm t1, t2 , , tn  , với in1 ti  cho n   ti (( f ( F ( x, yi )))   ) , với x  A, t 1 tức là, n  ti f ( F ( x, yi ))   , với x  A t 1 (2.7) Theo giả thiết, tồn y  A cho n F ( x, y)   ti f (F ( x, yi )) , với x  A t 1 Vì f  C  , ta có n f (F ( x, y))   ti f ( F ( x, yi )) , với x  A t 1 Footer Page 40 of 133 (2.8) 40 Thang Long University Libraty Header Page 41 of 133 Từ (2.7) - (2.8), ta suy f(F(x, y))    , với x  A Với x = y, ta có f(F(y, y))  -  Mặt khác, từ giả thiết  F(y, y) , ta phải có  f(F(y, y)) Điều dẫn đến mâu thuẫn Do đó, {G(y): y  A}   Ta suy tồn x  {G(y): y  A} Điều có nghĩa là:  f(F(x, y)) , với y  A Bởi vậy, □ x  V f (A, F)  V(A, F) 2.4 Tính liên thông tập nghiệm Bây giờ, nghiên cứu tính liên thông tập hợp nghiệm hữu hiệu Henig tập hợp nghiệm hữu hiệu yếu bất đẳng thức biến phân Hartman- Stampacchia giá trị vectơ Footer Page 41 of 133 41 Header Page 42 of 133 Định lý 2.4.1 Cho A tập hợp lồi, không rỗng, compắc yếu X Giả sử T: A L (X, Y) v - hemi liên tục đơn điệu A, q: A Y C – nửa liên tục yếu A [X trang bị tôpô  (X, X*)], q C – lồi Hơn nữa, q(A) tập bị chặn Y C    Khi đó, {V f (A, F): f  C  } tập liên thông theo  (X, X*), F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) q(x), với x, y  A Chứng minh Xác định ánh xạ đa trị H: C   2A H(f) = V f (A, F), f  C  Do C  tập lồi, nên C  tập hợp liên thông Theo Định lý 2.3.1, H(f)   , với f  C  Ta H(f) tập hợp lồi với f  C  Lấy x1, x2  H(f) Khi đó, với i = 1, 2, f(F( xi , y)) = f((T xi , y - xi ) + q(y) - q( xi ))  0, với y  A Xác định ánh xạ đa trị E, G: A  2A E(y) = {x  A: f((Tx, x - y)) + f(q(x))  f(q(y))}, G(y) = {x  A: f((Ty, y - x)) + f(q(y))  f(q(x))} Vì x1, x2  V f (A, F) nên ta có x1, x2   E ( y ) : y  A Ta có Footer Page 42 of 133 42 Thang Long University Libraty Header Page 43 of 133 {E(y): y  A} = {G(y): y  A} Như vậy, với i =1, 2, ta có f((Ty, y - xi )) + f(q(y))  f(q( xi ), với y  A Với t  [0, 1], tính C – lồi q f  C  nên ta có f((Ty: y - (t x1 + (1- t) x2 )) + f(q(y))  f(q(t x1 + (1- t) x2 )), với y  A; có nghĩa, t x1 + (1 - t) x2  {G(y): y  A} = {E(y): y  A} Như vậy, t x1 + (1 - t) x2  H(f), H(f) tập hợp lồi, tập liên thông Chúng ta H(f) nửa liên tục trên C  Vì A compắc yếu nên ta cần H đóng (xem [1]) Cho ( f n , xn )  graph (H) = {(f, x)  C   A : x  H(f)}, ( f n , xn )  ( f0 , x0 )  C   A Vì xn  H ( f n )  V f ( A, F ) , n Footer Page 43 of 133 43 Header Page 44 of 133 nên ta có f n ((Txn , xn  y))  f n (q( xn ))  f n (q( y)) , với y  A Do tính đơn điệu T f n  C  , ta nhận f n ((Ty, y  xn ))  f n (q( y))  f n (q( xn )) , với y  A (2.9) Cho y điểm A Do Ty  L(X, Y), ta có {(Ty, y - xn )} hội tụ yếu đến (Ty, y - x0 ), { xn } hội tụ yếu đến x0 Hơn nữa, f n  f  0, ta có f n ((Ty, y - xn ))  f (Ty, y - x0 )) f n (q( y))  f (q( y)) Ta có lim f n (q( xn ))  f (q( x0 )) n Lấy giới hạn hai vế (2.9), ta có f ((Ty, y - x0 ))  f (q( y))  f (q( x0 )) (2.10) Rõ ràng (2.10) với y  A Do đó, f ((Ty, y  x0 ))  f (q( y))  f (q( x0 )) , với y  A Do T v – hemi liên tục, q C - lồi f  C  nên cách chứng minh tương tự Định lý 2.4 [10], ta có f ((Tx0 , x0  y))  f (q( x0 ))  f (q( y)) , với y  A, là, Footer Page 44 of 133 44 Thang Long University Libraty Header Page 45 of 133 f 0[(Tx0 , y - x0 )  q(y)  q( x0 )] = f ( F ( x0 , y))  , với y  A Điều có nghĩa là, x0 V f ( A, F )  H ( f ) Bởi vậy, H(f) đóng nửa liên tục trên C  Theo Định lý 3.1 [11], ta có {H(f): f  C  } = {Vf (A, F): f  C  } tập hợp liên thông theo (X, X*) □ Định lý 2.4.2 Giả sử giả thiết Định lý 2.4.1 thỏa mãn Khi đó, VH (A, F) tập liên thông Hơn nữa, int C   Vw (A, F) tập hợp liên thông theo (X, X*) Chứng minh Theo giả thiết, ta có F(x, A) + C tập hợp lồi với x  A Theo Bổ đề 2.2.2, ta có VH(A, F) = {Vf(A, F): f  C } Dễ thấy C tập hợp lồi Vf (A, F) tập hợp lồi Xác định ánh xạ đa trị H: C  2A H(f) = Vf(A, F), f  C Từ chứng minh Định lý 2.4.1, ta có H(f) nửa liên tục trên C Do đó, theo Định lý 3.1 [11], VH(A, F) tập liên thông theo (X, X*) Nếu int C   , từ Bổ đề 2.2.1, ta có Footer Page 45 of 133 45 Header Page 46 of 133 Vw (A, F) = {Vf (A, F): f  C*\{0}} Chúng ta thấy Vw(A, F) tập liên thông theo (X, X*), thay f  C  f  C*\{0} chứng minh Định lý 2.4.1 □ KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết tồn nghiệm tính liên thông tập nghiệm toán cân vectơ, bao gồm: - Các kết tồn nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ Bianchi – Hadjisavvas – Schaible [3]; - Các kết vô hướng hóa toán cân vectơ tồn nghiệm hữu hiệu Gong [7]; - Các kết tính liên thông tập nghiệm hữu hiệu Henig tập nghiệm hữu hiệu yếu bất đẳng thức biến phân Hartman – Stampacchia Gong [7] Sự tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm toán cân vectơ đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển Footer Page 46 of 133 46 Thang Long University Libraty Header Page 47 of 133 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aubin, J P., and Ekeland, I (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley, New York, NY [2] Bianchi, M., and Schaible, S (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 90, pp 31-43 [3] Bianchi, M., Hadjisavvas, N., and Schaible, S (1997), Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 92, pp 527–542 [4] Borwein, J M., and Zhuang, D (1993), Superefficiency in vector optimization, Transactions of the American Mathematical Society, vol 338, pp 105 –122 [5] Chen, G Y (1992), Existence of solutions for a vector variational inequality: An extension of the Hartman – Stampacchia theorem, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 74, pp 445 – 456 [6] F a n , K (1961), A Generalization of Tychonoff's fixed - point theorem, Mathematische Annalen, vol 142, pp 305 – 310 Footer Page 47 of 133 47 Header Page 48 of 133 [7] Gong, X H (2001), Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J Optim Theory Appl., vol 108, 139 – 154 [8] Jahn, J (1986), Mathematical Vector Optimization in Partially – Ordered Linear Spaces, Peter Lang, Frankfurt am Main, Germany [9] Jeyakumar, V., Oettli, W., and Natividad, M (1993), A Solvability theorem for a class of quasiconvex mappings with applications to Optimization, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 179, pp 537 – 546 [10] Lassonde, M (1983), On the use of KKM multifunctions in fixed – point theory and related topics, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 97, pp 151 – 201 [11] Warburton, A R (1983), Quasiconcave vector m aximization: connectedness of the sets of Pareto – optimal and weak Pareto – optimal Alternatives, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 40, pp 537–557 Footer Page 48 of 133 48 Thang Long University Libraty Header Page 49 of 133 49 Footer Page 49 of 133 ... Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ 1.1 Các khái niệm kết bổ trợ 1.2 Sự tồn nghiệm toán cân vectơ với giả thiết giả đơn điệu 14 1.3 Sự tồn nghiệm. .. Stampacchia vectơ Các kết trình bày chương X Gong [7] Footer Page of 133 Header Page of 133 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chương trình bày kết tồn nghiệm hữu hiệu yếu toán cân vectơ. .. Chương CÁC NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ HỮU HIỆU HENIG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chương trình bày kết X Gong [7] nghiệm hữu hiệu Henig toán cân vectơ, kết vô hướng hóa toán cân vectơ, định lý tồn nghiệm