TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN NGỌC HUYỀN ĐẠO HÀM PHÂN THỨ CAPUTO VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN NGỌC HUYỀN ĐẠO HÀM PHÂN THỨ CAPUTO VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS HOÀNG THẾ TUẤN HÀ NỘI – 2018 ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ❚ø ❦❤✐ ❜➢t ✤➛✉ ❤å❝ t➟♣ ð ❣✐↔♥❣ ✤÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ✤➳♥ ♥❛②✱ ❡♠ ✤➣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ r➜t sỹ q t ú ù qỵ ổ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧✳ ❊♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ sü tr✐ ➙♥ s➙✉ s➢❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜❛♥ ❧➣♥❤ ✤↕♦ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ♣❤á♥❣ ❳→❝ s✉➜t t❤è♥❣ ❦➯ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ ❡♠ ✤÷đ❝ ❤å❝ t➟♣ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ q✉❛✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❚❙✳ t t ữợ ❝❤♦ ❡♠ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❝❤✉②➯♥ ♠ỉ♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝✉ë❝ sè♥❣ ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➯♠ ♥✐➲♠ t✐♥ ✈➔ q✉②➳t t tr ữớ trữợ r õ t❤➸ ✈➝♥ ❝á♥ ♥❤✐➲✉ s❛✐ sât✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ s➩ ữủ ỵ õ õ ❈ỉ ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤å❝ t❤➯♠ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ❦✐♥❤ ụ ữ tr ỗ t tự t ố ũ ú qỵ ổ ỗ ọ t ổ tr sỹ qỵ t ỡ ♥❣➔② ✵✾ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ s❛✉ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ ❤ä✐✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ sỹ ữợ t t ỏ ①→❝ ①✉➜t t❤è♥❣ ❦➯ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❚❙✳ ❍♦➔♥❣ ❚❤➳ ❚r♦♥❣ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ❡♠ ❝â t❤❛♠ ❦❤↔♦ t q ởt số ữợ ♥❣♦➔✐ ✈➔ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❦❤→❝✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✱ ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤➨♣ ❜➜t ❦➻ ❜➔✐ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤à✉ ❤♦➔♥ t♦➔♥ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✵✾ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ❙✐♥❤ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✶ ✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤ù ✹ ✶✳✶ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù ❘✐❡♠❛♥♥✲▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✶ ✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷✳✷ ✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❈❛♣✉t♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷ ❑❤✐ ♥➔♦ ♠ët ❤➔♠ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù❄ ✶✹ ✷✳✶ P❤→t ❜✐➸✉ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✷✳✷ ▼ët sè ❤➔♠ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✷✳✷✳✶ ✷✳✷✳✷ ❳➨t ❤➔♠ v ∈ H β [0, T ] , < α < β ≤ 1, v (0) = ✶✻ ❳➨t ❤➔♠ tα , α > ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✸ ✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ❈❛♣✉t♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✹ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷✳✹✳✶ ❙ü ❦❤↔ ✈✐ ❝õ❛ J 1−α v0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷✳✹✳✷ ▼ët ✈➔✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù J α u✳ ✷✺ ✷✳✹✳✸ ❙ü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✮✱ ✭✐✐✮✱ ✭✐✐✬✮✱ ✭✐✐✐✮✱ ✭✐✐✐✬✮✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✐✐ ✸✷ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑➳t ❧✉➟♥ ✸✸ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✸✺ ✐✐✐ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✶ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❇❷◆● ❑➑ ❍■➏❯ ❑➼ ❤✐➺✉ ❚➯♥ ❣å✐ R ❚➟♣ sè t❤ü❝ Rn ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ t❤ü❝ n ❝❤✐➲✉ C ❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ |z| ●✐→ trà t✉②➺t ✤è✐✭♠♦❞✉❧❡✮❝õ❛ sè t❤ü❝ ✭♣❤ù❝✮ ③ · ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ♠ët ✈➨❝ tì ❤♦➦❝ ♠❛ tr➟♥ L1 [a, b] ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b] C m [a, b] ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❝➜♣ m tr➯♥ ✤♦↕♥ [a, b] H µ [0, T ] ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❍☎♦❧❞❡r Γ ❍➔♠ ●❛♠♠❛ ✶ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ❱➔♦ ❝✉è✐ t❤➳ ❦➾ ✶✼✱ t❤í✐ ✤✐➸♠ ◆❡✇t♦♥ ✈➔ ▲❡✐❜♥✐③ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝ì sð ❝õ❛ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐✲t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ▲❡✐❜♥✐③ ✤➣ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❦➼ ❤✐➺✉ dn f (x) dxn ✤➸ ❝❤➾ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ ♥ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ sè f ✳ ➷♥❣ ✤➣ t❤æ♥❣ ❜→♦ ✤✐➲✉ ♥➔② tr♦♥❣ ♠ët ❜ù❝ t❤÷ ❣û✐ ❝❤♦ ❞❡ st r ự tữ ỗ dn st ✤➣ ❤ä✐ ❧↕✐ ✧❲❤❛t ❞♦❡s f (x) ♠❡❛♥ ✐❢ n = ự tữ dxn ỗ ữủ ✈✐➳t ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✻✾✺ ♥➔② ❝õ❛ ❞❡ ❧✬❍♦s♣✐t❛❧ ♥❣➔② ♥❛② ✤÷đ❝ t❤ø❛ ♥❤➟♥ ♥❤÷ sü ❦✐➺♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤→♥❤ ❞➜✉ sü ①✉➜t ❤✐➺♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù ✭❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✮✳ ❈❤ú ✧♣❤➙♥ t❤ù✧ ✭❢r❛❝t✐♦♥✮ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ð ✤➙② ❞♦ ②➳✉ tè ❧à❝❤ sû✿ ✤↕♦ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ ♥❣✉②➯♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝â ❝➜♣ ❜➡♥❣ ✱ ❧➔ ♠ët sè ❤ú✉ t✛✱ ♠➦❝ ❞ò s❛✉ ♥➔② ♥❣÷í✐ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝❤➥♥❣ ❝â ♠ët ❧➼ ❞♦ ♥➔♦ ✤➸ ❤↕♥ ❝❤➳ ❝➜♣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ♥ tr♦♥❣ t➟♣ ❝→❝ sè ❤ú✉ t✛✳ ❚r♦♥❣ ❜è♥ t❤➟♣ ❦➾ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❝â ♥❣➔② ❝➔♥❣ ♥❤✐➲✉ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❦➽ s÷ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù ✭♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù✮✳ ◆❣÷í✐ t❛ t❤➜② ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❝õ❛ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥➔② tr♦♥❣ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ❦➽ t❤✉➟t ❦❤→❝ ✷ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ♥❤❛✉ tø ✈➟t ❧➼✱ ❤â❛ ❤å❝✱ ❦➽ t❤✉➟t✱ s✐♥❤ ❤å❝ ✤➳♥ t➔✐ ❝❤➼♥❤✱✳✳✳✈✳✈✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝➙✉ ❤ä✐ ❝ì ❜↔♥ ✧❑❤✐ ♥➔♦ ♠ët ❤➔♠ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù❄✧✱ ✈➝♥ ❝❤÷❛ ❝â ❝➙✉ tr↔ ❧í✐ ✤➛② ✤õ✳ ●➛♥ ✤➙②✱ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ✧❲❤✐❝❤ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧❧② ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❜❧❡❄✧✱ t→❝ ❣✐↔ ●✳❱❛✐♥✐❦❦♦ ❝â ✤÷❛ r❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➸ ❦✐➸♠ tr❛ ❦❤✐ ♥➔♦ ♠ët ❤➔♠ ❧➔ ❦❤↔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤ù❄ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❞ò♥❣ ✤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr õ tr ỗ ữỡ ữỡ ợ t ởt số t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐✲t➼❝❤ ♣❤➙♥ tự ữỡ ợ t ự t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤ù ✭❜❛♦ ỗ t t từ t ❈❛♣✉t♦✮✳ ✸ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t (t + h1 − s)−α − (t − s)−α | ||v0 (t) − v0 (s)|ds → 0, h1 t−h1 t−h1 ✭✷✳✶✵✮ (t + h1 − s)−α − (t − s)−α + α(t − s)−α−1 ||v0 (t) − v0 (s)|ds → | h1 ✭✷✳✶✶✮ ❦❤✐ h1 → 0✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝❤å♥ ♠ët sè ọ > tũ ỵ v0 H0 (0, T ]✱ ❝â ♠ët sè δ > s❛♦ ❝❤♦ |v0 (t) − v0 (s)| ≤ ε(t − s)α , ≤ t − s ≤ δ ✭✷✳✶✷✮ ❉♦ ✤â✱ ✈ỵ✐ < h1 ≤ δ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ t (t + h1 − s)−α − (t − s)−α | ||v0 (t) − v0 (s)|ds h1 t−h1 t (t − s)−α − (t + h1 − s)−α ≤ε (t − s)α ds h1 t−h1 t t−s =ε (1 − ( )α )ds h1 t−h1 t + h1 − s t ds = ε ≤ε h1 t−h1 ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✷✳✶✵✮✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✷✳✶✶✮✱ t❛ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (t + h1 − s)−α − (t − s)−α = −α(t + h − s)−α−1 h1 ✈ỵ✐ h ∈ (0, h1 ) ✈➔ sû ❞ư♥❣ ✭✷✳✶✷✮✱ ✭✷✳✼✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â✿ t−h1 (t + h1 − s)−α − (t − s)−α | + α(t − s)−α−1 ||v0 (t) − v0 (s)|ds h1 ✷✷ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ t−h1 ≤ εα ((t − s)−α−1 − (t + h − s)−α−1 )(t − s)α ds t−h1 ≤ εα ((t − s)−α−1 − (t + h1 − s)−α−1 )(t − s)α ds ≤ c+ α αε, < h1 < δ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭✷✳✾✮ ❝❤♦ V+ (t, h1 ) ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✭✷✳✾✮ ❝❤♦ V− (t, h2 )✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ t−2h2 V− (t, h2 ) + α (t − s)−α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds → 0, h2 → 0 rữợ t t t2h2 V (t, h2 ) + α (t − s)−α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds t−h2 (t − s)−α − (t − h2 − s)−α (v0 (t) − v0 (s))ds = h2 t−2h2 t−2h2 (t − s)−α − (t − h2 − s)−α + + α(t − s)−α−1 )(v0 (t) − v0 (s))ds ( h2 ❑❤✐ h2 → 0✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❞➵ ❞➔♥❣ t❤➜② r➡♥❣ t−h2 | t−2h2 t−2h2 (t − s)−α − (t − h2 − s)−α ||v0 (t) − v0 (s)|ds → 0, h2 (t − s)−α − (t − h2 − s)−α | +α(t−s)−α−1 ||v0 (t)−v0 (s))|ds → h2 ❙û ❞ư♥❣ ✭✷✳✽✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❝❤♦ V− (t, h2 )✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✸✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ v0 ∈ H0α[0, T ], < α < ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✷✸ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ t (t − s)−α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds (J 1v0) (t) tỗ t (J tư ✈ỵ✐ ♠ët t ∈ (0, T ]✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✤↕♦ v0 ) (t) = (v0 (t)t−α + α Γ(1 − α) t (t − s)−α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds) ✭✷✳✶✸✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❤➣② ♣❤➙♥ t sỹ tỗ t (J 1−α v0 )(t)✳ ❱ỵ✐ < h ≤ T − t t❛ ❝â ((J 1−α v0 )(t + h) − (J 1−α v0 )(t))Γ(1 − α) t+h t −α (t + h − s) = (t − s)−α v0 (s)ds v0 (s)ds − 0 t+h t −α (t + h − s) = (t − s)−α (v0 (s) − v0 (t))ds (v0 (s) − v0 (t))ds − 0 + v0 (t) ((t + h)1−α − t1−α ) 1−α t ((t + h − s)−α − (t − s)−α )(v0 (s) − v0 (t))ds = t+h −α (t + h − s) + t (t + h)1−α − t1−α (v0 (s) − v0 (t))ds + v0 (t) (1 − α) d 1−α (t + h)1−α − t1−α Ð ✤➙②✱ → t = t−α ❦❤✐ h → 0✳ ❍ì♥ (1 − α)h − α dt ♥ú❛✱ tø ✭✷✳✶✷✮ t❛ ❝â | h t+h (t + h − s)−α (v0 (t) − v0 (s))ds|→ 0, h → t ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t❤❡♦ ❜ê ✤➲ ✷✳✷ t (t + h − s)−α − (t − s)−α (v0 (s) − v0 (t))ds h ✷✹ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ t (t − s)−α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds, h → = −V+ (t, h) → α ❉♦ ✤â✱ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤↔✐ (J v0 )(t) tỗ t ổ tự ú ởt tữỡ tỹ ợ J v0 (t) t↕✐ t ∈ (0, T ]✿ Γ(1 − α)(J 1−α v0 )(t) − (J 1−α v0 )(t − h) t−h ((t − s)−α − (t − h − s)−α )(v0 (s) − v0 (t))ds = t −α (t − s) + t−h t1−α − (t − h)1−α (v0 (s) − v0 (t))ds + v0 (t) (1 − α) t1−α − (t − h)1−α t (t − s)−α (v0 (t) − v0 (s))ds → ❦❤✐ → t−α , t−h (1 − α)h h h → ✈➔ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✱ ❤↕♥❣ tû ❉♦ t−h (t − h − s)−α − (t − s)−α (v0 (s) − v0 (t))ds = −V− (t, h) h ❤ë✐ tư ❦❤✐ h → ✈➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♥â ❧➔ α t −α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds (t − s) ❉♦ ✤â✱ ✤↕♦ ❤➔♠ (J 1−α v0 ) (t) tỗ t ổ tự ú ❑➳t t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✷✳✹✳✷ ▼ët ✈➔✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù J αu✳ ❙❛✉ ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ J α u, u ∈ C[0, T ]✳ ◆❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔② ✤÷đ❝ ❞ò♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ (i) ⇒ (ii) ✈➔ (i) ⇒ (iii )✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✹✳ ❱ỵ✐ u ∈ C[0, T ], < α < 1✱ ❤➔♠ v = J αu ❝â ❝➜✉ tró❝ v := γ0 tα + v0 , ✷✺ ✭✷✳✶✹✮ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ tr♦♥❣ ✤â γ0 = Γ(αu(0) , v0 = J α (u − u(0)) ∈ H0α [0, T ] + 1) t −α−1 ❍ì♥ ♥ú❛✱ (t − s) (v(t) − v(s))ds =: ω(t) ❤ë✐ tư ✈ỵ✐ t ∈ (0, T ]✱ tù❝ ❧➔ ✭✷✳✶✮ ✈➝♥ ✤ó♥❣✱ ✈➔ ω ∈ C[0, T ] ✈ỵ✐ ω(0) := lim ω(t) = t→0 1 γ0 (Γ(1−α)− )u(0) = (Γ(1−α)Γ(α+1)−1) α Γ(α + 1) α ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ u C[0, T ] õ t ữủ ỗ tø v = J αu ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✮✿ u(0) = Γ(α + 1)γ0 , (t−α v(t) + α u(t) = Γ(1 − α) t (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds), < t ≤ T ✭✷✳✶✺✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇✐➸✉ ❞✐➵♥ u = u(0) + u(u − u(0))✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❣❛② ❧➟♣ u(0) α t + J α (u − u(0))✳ ❉♦ ✤â✱ ✤➸ t❤✉ ✤÷đ❝ tù❝ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ J α u = Γ(α + 1) ✭✷✳✶✹✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❝❤➾ r❛ J α (u − u(0)) ∈ H0α [0, T ]✳ ✣➦t K α u = J α (u − u(0)), u ∈ C[0, T ] ❉➵ t❤➜② K α ∈ L(C[0, T ], H0α [0, T ]) ❚❤ü❝ t➳✱ ✤➸ t❤➜② r➡♥❣ ♥â ✤ó♥❣ K α ∈ L(C[0, T ], H0α )✱ ①➜♣ ①➾ ✈ỵ✐ ♠ët u ∈ C[0, T ] ❜ð✐ un ∈ C [0, T ] ✈➻ ✈➟② un (0) = u(0) ✈➔ un − u c → ❦❤✐ n → ∞✳ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤❡♦ tø♥❣ ♣❤➛♥ t❛ ❝â (t)(t − s)α−1 (un (s) − un (0))ds Γ(α) t = (t − s)α un (s)ds, Γ(α + 1) (K α un )(t) = ✈➔ ❝â t➼♥❤ ✤➳♥ u → t (t − s)α u (s)ds ❧➔ ♠ët ❜❛♦ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ✷✻ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ d t (t − s)α−1 u (s)ds), tø ✤â t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ dt K α un = J α (un − un (0)) ∈ C [0, T ] ⊂ H0α [0, T ]✳ ❉♦ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ C [0, T ] ✭q✉❛♥ s→t t❤➜② r➡♥❣ un (0) − u(0) = ✱ K α un − K α u = J α (un − u)✱ ✈➔ K α un − K α u Hα = J α (un − u) Hα ≤ Jα L(C,H α ) un − u C → ❑❤✐ H0α [0, T ] ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ H α [0, T ]✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❦➳t ❧✉➟♥ r➡♥❣ ❝↔ K α un ✈➔ K α u ũ ỗ tớ tở H0 [0, T ] ❉♦ ✤â✱ K α ∈ L(C[0, T ], H0α [0, T ]) ú ỵ r tợ lim t v(t) = γ0 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ t→0 ✤à♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds, v = J α u✱ ❦❤â ❦❤➠♥ ỡ rữợ t ú t ợ t t tỷ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❆ ✈➔ Aθ ❜ð✐ θt (t−s)−α−1 ((J α u)(t)−(J α u)(s))ds, < t ≤ T, < θ < 1, (Aθ u)(t) := t (t − s)−α−1 ((J α u)(t) − (J α (u)(s))ds, < t ≤ T (Au)(t) := ❈❤♦ u ∈ C[0, T ]✱ t❛ ❝â Aθ u ∈ C (0, T ] ỵ r t s (1 )t ữợ t t tỷ ỗ u C[0, T ] ợ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t −α−1 ((J α u)(t) − (J α u)(s))ds (t − s) ❤ë✐ tö ợ < t T ữợ ú tæ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ Aθ , A ∈ L(C[0, T ]) ✈➔ Aθ u − Au C → ✈ỵ✐ u ∈ C[0, T ] ❜➜t ❦➻ ❦❤✐ θ ↑ ✳ ❳➙② ❞ü♥❣ ✭✷✳✶✮ ✈ỵ✐ v = J α u✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❤➣② ❜✐➳♥ ✤ê✐ θt θt −α−1 (t − s) (Aθ u)(t) = (t − s)−α−1 (J α u)(s)ds α ds(J u) − 0 ✷✼ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ t = (((1−θ)−α −1)t−α αΓ(α) θt α−1 (t−σ) (t−s)−α−1 u(σ)dσds) u(σ)dσ−α 0 ❚r♦♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝✉è✐ ❝ò♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤❛② ✤ê✐ t❤ù tü ❧➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ tỵ✐ θt s −α−1 (s − σ)α−1 u(σ)dσds (t − s) 0 θt θt (t − s)−α−1 (s − σ)α−1 ds u(σ)dσ = σ s−σ , s − σ = (t − σ)x, t − s = t−σ (t − σ)(1 − x), ds = (t − σ)dx✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❚❤❛② ❜✐➳♥ s = (t − σ)x + σ ✭❦❤✐ ✤â x = θt (t − s)−α−1 (s − σ)α−1 ds = σ t−σ θt − σ t − σ xα−1 (1 − x)−α−1 dx ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ α ξ x)−α−1 dx = ξ α (1 − ξ)−α , < ξ < 1✳ ❉♦ ✤â θt − x t − σ xα−1 dx = α θt − σ t−σ α θt − σ 1− t−σ = (1 − θ)−α t−α (θt − σ)α ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ tỵ✐ θt s −α−1 (s − σ)α−1 u(σ)dσ (t − s) α 0 θt −α −α = (1 − σ) t ✷✽ (θt − σ)α u(σ)dσ, t−σ −α xα−1 (1 − ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✈➔ θt (1 − θ)−α −α (Aθ u)(t) = t Γ(α + 1) t−α − Γ(α + 1) (1 − θ)−α −α + t Γ(α + 1) α−1 (t − σ) t (θt − σ)α 1− (t − σ)α u(σ)dσ (t − σ)α−1 u(σ)dσ t (t − σ)α−1 u(σ)dσ θt ❙❛✉ ✤â t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ σ = tx✱ (1 − θ)−α (Aθ u)(t) = Γ(α + 1) − Γ(α + 1) (1 − θ)−α + Γ(α + 1) θ (1 − x)α−1 − ( θ−x α ) u(tx)dx 1−x (1 − x)α−1 u(tx)dx (1 − x)α−1 u(tx)dx ✭✷✳✶✻✮ θ ❚ø ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠ët θ ∈ (0, 1) ❝è ✤à♥❤ (Aθ u)(0) := lim(Aθ u)(t) t→0 (1 − θ)−α = Γ(α + 1) θ (1 − x)α−1 (1 − ( θ−x α ) )dxu(0); 1−x ✭✷✳✶✼✮ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ✭✷✳✶✻✮ ❦➨♦ t❤❡♦✿ Γ(α + 1) (1 − θ)−α Γ(α + 1) 1 , Γ(α + 1)α 1 (1 − x)α−1 dx = Γ(α + 1)α (1 − x)α−1 dx = ❱➻ ✈➟②✱ ✈ỵ✐ u ∈ C[0, T ], θ ∈ (0, 1)✱ t❛ ❝â Aθ u ∈ C[0, T ]✳ ❚➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ ❝õ❛ Aθ ∈ L(C[0, T ]), < θ < s✉② r❛ tø ✭✷✳✶✻✮✳ ❙ü ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ ω = Au tr♦♥❣ [0, T ] ✤÷đ❝ s✉② r❛ tø sü ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ✷✾ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ωθ = Aθ u✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ tỵ✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds ✈ỵ✐ v = J α u✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✺✮✳ ❚❤❡♦ ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ ✭✶✳✹✮✱ t❛ ❝â u = (J α )−1 v = γ0 D0α tα + D0α v0 = γ0 Γ(α + 1) + (J 1−α v0 ) ✳ ❱➻ v0 ∈ H0α [0, T ]✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t (t − s)−α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds, < t ≤ T ✱ ❤ë✐ tö✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✸ s✉② r❛ t➼♥❤ ❦❤↔ ✈✐ ❝õ❛ J 1−α v0 ✱ ✈➔ t❤❡♦ ✭✷✳✶✸✮ t❛ ❝â t u(t) = γ0 Γ(α+1)+ v0 (t)t−α + α Γ(1 − α) = γ0 Γ(α + 1) + v(t)t−α + α Γ(1 − α) γ0 1+α − Γ(1 − α) (t − s)−α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds t (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds t (t − s)−α−1 (tα − sα )ds ❉♦ ✤â ✭✷✳✶✺✮ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ð✐ ✈➻ t (t − s)−α−1 (tα − sα )ds = Γ(1 − α)Γ(α + 1) − α ❈❤ù♥❣ t t ữợ ✤➙② s➩ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ (ii ) ⇒ (i)✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✺✳ ◆➳✉ v ∈ C[0, T ] t❤ä❛ ♠➣♥ (ii )✱ ✈➔ t (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds = α t v(t) + α t❤➻ v(t) = ✈ỵ✐ < t ≤ T ✳ ✸✵ ✭✷✳✶✽✮ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇ð✐ ✈➻ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t −α−1 (v(t) − v(s))ds (t − s) ❤ë✐ tư✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✽✮ ❦➨♦ t❤❡♦✱ ✈ỵ✐ t ∈ (0, T ] ❜➜t ❦➻✱ θt −α t (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds → 0, θ → v(t) + α ❑➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✷✮✱ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ❤ë✐ tư ▲❡❜❡s❣✉❡✱ ✈ỵ✐ t ∈ (0, T ] ❜➜t ❦➻✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â θt t t −α (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds dt → 0, θ → 1, v(t) + α 0 ❤♦➦❝ t −α (1 − θ) θt t t −α (t − s)−α−1 v(s)dsdt → 0, θ → v(t)dt − α 0 ❚r♦♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝✉è✐ ❝ò♥❣✱ ✤ê✐ t❤ù tü t➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❞➝♥ tỵ✐ t θt θt −α−1 (t − s) α v(s)dsdt = 0 t α s (t − s)−α−1 dtv(s)ds θ t α −α = θ (1 − θ) θt s −α (t − s)−α v(s)ds v(s)ds − 0 − θα t −α θt s v(s)ds + (t − s)−α v(s)ds → 0✱ ❤♦➦❝✱ ❜ð✐ ✈➻ ❉♦ ✤â α (1 − θ) − θα θt = ✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â (t −s)−α v(s)ds → 0✱ ❦❤✐ θ → 1✳ lim α θ→1 (1 − θ) t ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ r➡♥❣ (t − s)−α v(s)ds = ✈ỵ✐ < t ≤ T ✱ ❞➝♥ tỵ✐ v(s) = 0, ∀s ∈ [0, T ] ✸✶ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ✷✳✹✳✸ ❙ü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✮✱ ✭✐✐✮✱ ✭✐✐✬✮✱ ✭✐✐✐✮✱ ✭✐✐✐✬✮✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ (i) ⇒ (ii) ⇒ (ii ) ⇒ (i), (i) ⇒ (iii ) ⇒ (i) ✈➔ (iii) ⇒ (iii )✳ (i) ⇒ (ii)✳ ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥➔② ✤÷đ❝ s✉② r❛ tø ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✹✳ (ii) ⇒ (ii )✳ ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥➔② ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳ (ii ) ⇒ (i)✳ ❈❤♦ v ∈ C[0, T ] t❤ä❛ ♠➣♥ (ii )✱ tù❝ ❧➔ vα (t) = t−α v(t) ❝â ♠ët t❤→❝ tr✐➸♥ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ t = 0✱ ω ∈ C[0, T ] ✈ỵ✐ ω(t) := t (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds✱ ✈➔ |ωθ (t)| ≤ W (t), < t < T ✱ ✈ỵ✐ ωθ (t) := θt (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds✱ tr♦♥❣ ✤â W ∈ L1 (0, T )✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ v ∈ J α C[0, T ]✳ ❍➔♠ u(t) := t t−α v(t) + α Γ(1 − α) (t − s)−α−1 (v(t) − v(s))ds ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ [0, T ]✳ ❑➼ ❤✐➺✉ v˜ := J α (u)✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✹ t❛ ❝â ❣✐ỵ✐ ỳ := lim t v(t) tỗ t ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✮ ✤÷đ❝ t→0 t❤ä❛ ♠➣♥ ❝❤♦ v˜✳ ❉♦ ✤â ω ˜ θ (t) = θt −α−1 (˜ v (t) − v˜(s))ds (t − s) ❦❤↔ t➼❝❤✳ ❚ø ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✺✮ ❞➝♥ tỵ✐ u(t) = t−α v˜(t) + α Γ(1 − α) t (t − s)−α−1 v˜(t) − v˜(s))ds ❚ø ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ u(t) ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t −α t (t−s)−α−1 [(v(t) − v˜(t)) − (v(s) − v˜(s))] ds ≡ (v(t)− v˜(t))+α ❇ð✐ ✈➻ θt −α−1 [(v(t) (t − s) − v˜(t)) − (v(s) − v˜(ts))] ds ❦❤↔ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â v(t) − v˜(t) ≡ ❞♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✺✳ ❱➻ ✈➟② v = v˜ = J α u ∈ J α C[0, T ]✳ ✸✷ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ (i) ⇒ (iii )✿ ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥➔② ✤÷đ❝ s✉② r❛ tø ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✹✳ (iii ) ⇒ (i)✿ ●✐↔ sû (iii ) : v ∈ C[0, T ] ❝â ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ v = γ0 tα + v0 , < α < 1, tr♦♥❣ ✤â γ0 = const, v0 ∈ H0α [0, T ], v0 (0) = 0, ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t (t − s)−α−1 (v0 (t) − v0 (s))ds := ω0 (t) ❤ë✐ tư ✈ỵ✐ t ∈ (0, T ] ❜➜t ❦➻ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❤➔♠ ω0 ∈ C[0, T ] ✈ỵ✐ ω0 (0) = 0✳ ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ v0 ∈ J α C[0, T ]✳ ❚❤❡♦ ✭✶✳✹✮ ✈ỵ✐ m = 0, α ∈ (0, 1)✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ J 1−α v0 ∈ C01 [0, T ]✳ ❙ü ❜❛♦ ❤➔♠ ♥➔② ✈➝♥ t❤ü❝ sü ✤ó♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✸✱ J 1−α v0 ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ✈➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✸✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ (J 1−α v0 ) (t), t ∈ (0, T ] ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ (iii ) ❞➝♥ tỵ✐ r➡♥❣ ❝↔ ❤❛✐ ❤↕♥❣ tû ð ❜➯♥ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✷✳✶✸✮ t❤✉ë❝ ✈➲ C[0, T ]✱ ✈➻ ✈➟② lim t−α v0 (t) = ✈ỵ✐ v0 ∈ H0α [0, T ] ✈➔ v0 (0) = 0✳ ❱➻ ✈➟②✱ J 1−α t→0 v0 ∈ C [0, T ]✳ ❘ã r➔♥❣ (J 1−α v0 )(0) = 0✱ ❞♦ ✤â J 1−α v0 ∈ C01 [0, T ]✳ (iii) ⇔ (iii )✳ ◗✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ♠ët ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ✭✷✳✺✮✳ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ v ∈ J α C[0, T ] ✤÷đ❝ t❤✐➳t ❧➟♣ tr♦♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✹ ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥➔② ❦➳t t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳ ✸✸ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚r♦♥❣ ❜➔✐ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ♥➔②✱ ❞ü❛ tr➯♥ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❡♠ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ✈✐✲t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳ ✷✳●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ t tự ỗ t t ♥❣✉②➯♥ t❤õ② ✈➔ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❈❛♣✉t♦✮✳ ✣↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù t sỹ tỗ t ữỡ tr ♣❤➙♥ ♣❤➙♥ t❤ù✳ ❙❛✉ q✉→ tr➻♥❤ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❡♠ ✤➣ ❤✐➸✉ ❤ì♥ ✈➲ ❚r➯♥ ✤➙② ❧➔ t♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✈➲ ✤➲ t➔✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù✱ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤✳ ▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❝è ❣➢♥❣ ❤➳t ♠➻♥❤ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♠ët ❝→❝❤ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ♥❤➜t✱ ♥❤÷♥❣ ❞♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝â ❤↕♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ♥➢♠ ❜➢t ❦✐➳♥ t❤ù❝✱ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❡♠ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ❝â ♥❤✐➲✉ s❛✐ sât✳ ❊♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü tổ ụ ữ sỹ õ õ qỵ ❈æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❜➔✐ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❡♠ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ✸✹ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚❤❡ ❆♥❛❧②s✐s ♦❢ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✳ ❆♥ ❆♣♣❧✐✲❝❛t✐♦♥✲❖r✐❡♥t❡❞ ❊①♣♦s✐t✐♦♥ ❯s✐♥❣ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❖♣❡r❛t♦rs ♦❢ ❈❛♣✉t♦ ❚②♣❡✳ ▲❡❝t✳ ◆♦t❡s ▼❛t❤✳ ✷✵✵✹✳ ❇❡r❧✐♥✿ ❙♣r✐♥❣❡r ✷✵✶✵✳ ❬✶❪ ❉✐❡t❤❡❧♠✱ ❑✳✱ ❬✷❪ ❑✐❧❜❛s✱ ❆✳ ❆✳✱ ❙r✐✈❛st❛✈❛✱ ❍✳ ▼✳ ❛♥❞ ❚r✉❥✐❧❧♦✿ ❏✳ ❏✳✱ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✳ ❆♠st❡r❞❛♠✿ ❊❧✲ s❡✈✐❡r ✷✵✵✻✳ ❬✸❪ ▲˝ ❛tt✱ ❑✳✱ P❡❞❛s✱ ❆✳ ❛♥❞ ❱❛✐♥✐❦❦♦✱ ●✳✱ ❆ s♠♦♦t❤ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ s✐♥✲ ❣✉❧❛r ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❩✳ ❆♥❛❧✳ ❆♥✇❡♥❞✳ ✸✹✭✷✵✵✺✮✱ ✶✷✼✲✶✹✻✳ ❬✹❪ ▲✉❝❤❦♦✱ ❨✉✳ ❛♥❞ ●♦r❡♥❢❧♦✱ ❘✳✱ ❆♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r s♦❧✈✲ ✐♥❣ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❝❛♣✉t♦ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳ ▼❛t❤✳ ❱✐❡t♥❛♠✳ ✷✹✭✶✾✾✾✮✱ ✷✵✼✲✷✸✸✳ ❬✺❪ P♦❞❧✉❜♥②✱ ■✳✱ ❆❝t❛ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ▼❛t❤✳ ❙❝✐✳ ❊♥❣r❣✳ ✶✾✽✳ ❙❛♥ ❉✐❡❣♦ ✭❈❆✮✿ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss ✶✾✾✾✳ ❬✻❪ ❘✉❞✐♥✱ ❲✳✱✭✶✾✾✶✮✳ ❋✉♥t✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s✳ ▼❝●r❛✇✲❍✐❧❧ ❙❝✐❡♥❝❡✴ ❊♥✲ ❣✐♥❡❡r✐♥❣✴▼❛t❤✳ ■❙❇◆ ✾✼✽✲✵✲✵✼✲✵✺✹✷✸✻✲✺✳ ✸✺ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ❍✉②➲♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ■♥✲ t❡❣r❛❧s ❛♥❞ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡s✿ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ●♦r❞♦♥ ❛♥❞ ❬✼❪ ❙❛♠❦♦✱ ❙✳●✳✱ ❆✳❆✳✱ ❑✐❧❜❛s ❛♥❞ ❖✳■✳✱ ▼❛r✐t❝❤❡✈✳ ❇r❡❛❝❤ ❙❝✐❡♥❝❡ P✉❜❧✐s❤❡rs✱ ❙✇✐③❡r❧❛♥❞✱ ✶✾✾✸✳ ❬✽❪ ❱❛✐♥✐❦❦♦✱ ●✳✱ ✿✧❲❤✐❝❤ ❢✉♥t✐♦♥s ❛r❡ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧❧② ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❜❧❡❄✧ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ✐ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✷✵✶✻✱ ✸✺✱ ♣♣✳ ✹✻✺✕✹✽✼✳ ❬✾❪ ❱❛✐♥✐❦❦♦✱ ●✳✱ ❋✐rst ❦✐♥❞ ❝♦r❞✐❛❧ ❱♦❧t❡rr❛ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✷✳ ◆✉✲ ♠❡r✳ ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✳ ❖♣t✐♠✳ ✸✺ ✭✷✵✶✹✮✱ ✶✻✵✼✲✶✻✸✼✳ ˝ ✸✻ ... HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN NGỌC HUYỀN ĐẠO HÀM PHÂN THỨ CAPUTO VÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người