Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu

Mục lục Chương Thông tin chung đề tài 1.1 Tên đề tài: Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 1.2 Chủ nhiệm đề tài: 1.3 Đơn vị chủ trì: 1.4 Thời gian thực phê duyệt: Chương Kết thực đề tài 2.1 Kết nghiên cứu 2.2 Hướng nghiên cứu 2.3 Kết đề tài 2.4 Kết ứng dụng 2.5 Tình hình tổ chức thực đề tài Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 3.1 Ví dụ minh họa Tài liệu tham khảo 11 Chương Thông tin chung đề tài 1.1 Tên đề tài: Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu • Mã số đề tài: CS2012-11 • Lĩnh vực: Toán học 1.2 Chủ nhiệm đề tài: ThS Nguyễn Thị Thanh Lan 1.3 Đơn vị chủ trì: Khoa Toán-Ứng Dụng - Trường Đại học Sài Gòn 1.4 Thời gian thực phê duyệt: 12 tháng (03/2012 đến 03/2013) Chương Kết thực đề tài 2.1 Kết nghiên cứu Đề tài nghiên cứu đề cập đến vấn đề quan trọng phương trình vi-tích phân, lĩnh vực có nhiều ứng dụng rộng rãi ngành khoa học như: Vật lí, Cơ học, Sinh học, Một mô hình thú vị, thu hút ý nhiều nhà Toán học phương trình vi-tích phân ứng dụng di truyền học nhà Toán học: V Volterra, E Eder, J G Si, S S Cheng, X P Wang, M Miranda, E Pascali, nghiên cứu nhiều trường hợp khác công cụ thích hợp 2.2 Hướng nghiên cứu Các toán liên quan đến tồn nghiệm, tính nghiệm 2.3 Kết đề tài Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 2.4 Kết ứng dụng Hướng nghiên cứu đề tài toán liên quan đến mô hình toán học ứng dụng di truyền học có định hướng ứng dụng thực tiễn 2.5 Tình hình tổ chức thực đề tài Tác giả thực nhiệm vụ nghiên cứu theo tiến độ đề hoàn thành thời gian qui định Kết đề tài nhận đăng tạp chí quốc tế ISI Các vấn đề nghiên cứu vấn đề thời thuộc hướng nhiều nhà Toán học quan tâm Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu Trong đề tài này, chứng minh tồn nghiệm địa phương toán  ∂ t   u(x, s)ds + ϕ(u(x, t)), t , t ,  u(x, t) = u f u(x, t) + v ∂t t (3.1) ∂ t    v(x, t) = v g v(x, t) + u v(x, s)ds + ψ(v(x, t)), t , t , ∂t t thỏa điều kiện đầu u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x), (3.2) f, g, ϕ, ψ, u0 v0 hàm cho trước thỏa vài điều kiện thích hợp Để nghiên cứu toán (3.1)-(3.2), ta xét toán  t   u f u(x, s)  u(x, t) = u0 (x) +       s   +v u(x, τ )dτ + ϕ(u(x, s)), s , s ds,  s t    v g v(x, s) v(x, t) = v (x) +       s   +u v(x, τ )dτ + ψ(v(x, s)), s , s ds  s (3.3) Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề Nếu toán (3.3) có nghiệm nghiệm nghiệm toán (3.1)-(3.2) Vì ta nghiên cứu toán (3.3) Bây ta định nghĩa dãy hàm thực {un }n≥1 , {vn }n≥1 sau: t u1 (x, t) = u0 (x) + u0 f u0 (x) + v0 u0 (x) + ϕ u0 (x) ds, t v1 (x, t) = v0 (x) + v0 g v0 (x) + u0 v0 (x) + ψ v0 (x) ds, Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu t un+1 (x, t) = u0 (x) + un f un (x, s) s + s un (x, τ )dτ + ϕ un (x, s) , s , s ds, (3.4) t g (x, s) vn+1 (x, t) = v0 (x) + + un s s (x, τ )dτ + ψ (x, s) , s , s ds, với x ∈ R t > Ta thành lập giả thiết sau: (A1 ) u0 v0 hàm bị chặn liên tục Lipschitz R (A2 ) f, g, ϕ, ψ hàm liên tục Lipschitz R Trước hết, ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Giả sử hàm f, g, ϕ, ψ, u0 v0 thỏa giả thiết (A1 ) − (A2 ) Khi đó, với n ≥ tồn dãy hàm liên tục không âm, với số hạng tổng quát ký hiệu Mn (t) Nn (t), thỏa bất đẳng thức sau: |un+1 (x, t) − un+1 (y, t)| ≤ Mn+1 (t)|x − y|, n ∈ N, x, y ∈ R |vn+1 (x, t) − vn+1 (y, t)| ≤ Nn+1 (t)|x − y|, n ∈ N, x, y ∈ R Hơn nữa, tồn số dương T1 cho dãy không âm {Mn (t)}n≥1 , {Nn (t)}n≥1 bị chặn khoảng (0, T1 ]; nghĩa tồn số G0 > cho < Mn (t), Nn (t) < G0 với t ∈ (0, T1 ], với n ≥ Chứng minh Thật vậy, với n = ta có |u0 (x) − u0 (y)| ≤ M0 |x − y|, |v0 (x) − v0 (y)| ≤ N0 |x − y|, ∀x, y ∈ R, M0 > 0, N0 > Với P, Q, , σ > ta có  |f (α1 ) − f (α2 )| ≤ P |α1 − α2 |, α1 , α2 ∈ R,    |g(β ) − g(β )| ≤ Q|β − β |, β , β ∈ R, 2 |ϕ(γ1 ) − ϕ(γ2 )| ≤ |γ1 − γ2 |, γ1 , γ2 ∈ R,    |ψ(η1 ) − ψ(η2 )| ≤ σ|η1 − η2 |, η1 , η2 ∈ R Với n = ta có |u1 (x, t) − u1 (y, t)| ≤ M1 (t)|x − y|, (3.5) Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu M1 (t) = M0 + t(M02 P + M02 N0 + M02 N0 ), |v1 (x, t) − v1 (y, t)| ≤ N1 (t)|x − y|, N1 (t) = N0 + t(N02 Q + M0 N02 + M0 N02 σ) Bằng qui nạp ta thu |un+1 (x, t) − un+1 (y, t)| ≤ Mn+1 (t)|x − y|, (3.6) t Mn2 (s)P Mn+1 (t) = M0 + s d + Nn (s) 2s ds + Mn2 (s)Nn (s) Mn (τ )dτ ds, |vn+1 (x, t) − vn+1 (y, t)| ≤ Nn+1 (t)|x − y|, (3.7) t Nn2 (s)Q Nn+1 (t) = N0 + d + Mn (s) 2s ds s Nn (τ )dτ + Mn (s)Nn2 (s)σ ds Dễ thấy, Mn+1 (t) Nn+1 (t) hàm không âm liên tục R Bằng cách chọn số dương K0 , H0 I0 thỏa điều kiện sau N0 + K0 ≤ H0 , M0 + K0 ≤ I0 , G0 = max{H0 , I0 }, tồn T1 > cho ≤ Mn+1 (t) ≤ M0 + K0 ≤ G0 , ≤ Nn+1 (t) ≤ N0 + K0 ≤ G0 , (3.8) với t ∈ (0, T1 ], T1 > Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.2 Giả sử hàm u0 , v0 , f, g, ϕ ψ thỏa điều kiện (A1 ) − (A2 ) Khi đó, với n ≥ tồn dãy hàm liên tục không âm, với số hạng tổng quát ký hiệu An (t) Bn (t), thỏa |un+1 (x, t) − un (x, t)| ≤ An+1 (t), x ∈ R, t ∈ R+ , |vn+1 (x, t) − (x, t)| ≤ Bn+1 (t), x ∈ R, t ∈ R+ Hơn nữa, tồn số dương T2 cho hai dãy {An (t)}n≥1 {Bn (t)}n≥1 hội tụ (0, T2 ] Chứng minh Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu Từ giả thiết (A1 ) − (A2 ), ta có |u1 (x, t) − u0 (x)| ≤ t u0 L∞ |v1 (x, t) − v0 (x)| ≤ t v0 L∞ := A1 (t), := B1 (t) Tương tự, t |u2 (x, t) − u1 (x, t)| ≤ A1 (s) + M0 P + M0 N0 + M0 B1 (s) + M0 N0 s s A1 (τ )dτ ds := A2 (t), t |v2 (x, t) − v1 (x, t)| ≤ B1 (s) + N0 Q + M0 N0 σ + N0 A1 (s) + M0 N0 s s B1 (τ )dτ ds := B2 (t) Bằng qui nạp, ta thu |un+1 (x, t) − un (x, t)| ≤ An+1 (t), (3.9) t An+1 (t) = An (s) + Mn−1 (s)P + Mn−1 (s)Nn−1 (s) + Bn (s)Mn−1 (s) + Mn−1 (s)Nn−1 (s) s s An (τ )dτ ds, |vn+1 (x, t) − (x, t)| ≤ Bn+1 (t), (3.10) t Bn+1 (t) = Bn (s) + Nn−1 (s)Q + Mn−1 (s)Nn−1 (s)σ + An (s)Nn−1 (s) + Mn−1 (s)Nn−1 (s) s s Bn (τ )dτ ds Với h ∈ (0, 21 ), ta chọn T2 > cho bất đẳng thức sau với t ∈ (0, T2 ] + G20 t ≤ h < , 1 + G0 Q + G0 + G20 σ + G20 t ≤ h < , + G0 P + G0 + G20 (3.11) Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu Bằng qui nạp, ta chứng minh ≤ An+1 (t), Bn+1 (t) ≤ hn A1 ∞ + B1 ∞ , h < , t ∈ (0, T2 ] Khi đó, dãy An (.) Bn (.) hội tụ (0, T2 ] Bổ đề chứng minh Chú ý Ta dễ dàng chứng minh |un+1 (x, t)| ≤ et u0 ∞, |vn+1 (x, t)| ≤ et v0 ∞ Nếu chọn T cho < T ≤ min{T1 , T2 } dãy hàm {un (x, t)}, {vn (x, t)} bị chặn theo t với x ∈ R Mặt khác, ta chứng minh hàm un (x, t), (x, t) liên tục Lipschitz theo biến x ∈ R t ∈ (0, T ] Ta có định lí sau Định lí Giả sử hàm f, g, ϕ, ψ, u0 v0 thỏa giả thiết (A1 ) − (A2 ) Khi đó, tồn giá trị dương T cho (3.3) có nghiệm R × (0, T ], ký hiệu u∞ , v∞ Hơn nữa, hàm liên tục Lipschitz bị chặn theo biến x ∈ R t ∈ (0, T ] Chứng minh Ta chọn T = min{T1 , T2 } Sử dụng bổ đề 3.1 3.2, giới hạn u∞ (x, t), v∞ (x, t), dãy hàm {un (x, t)}n≥1 , {vn (x, t)}n≥1 bị chặn R × (0, T∗ ], liên tục Lipschitz theo biến thỏa toán (3.3) Bây giờ, ta giả sử (u , v ) nghiệm khác toán (3.3) R × (0, T∗ ] với kiện cho trước Khi đó, ta chứng minh |u (x, t) − u∞ (x, t)| ≤ h max{ u − u∞ |v (x, t) − v∞ (x, t)| ≤ h max{ u − u∞ v − v∞ L∞ , v − v∞ L∞ , L∞ }, L∞ }, (3.12) với t ∈ (0, T0 ], x ∈ R Cuối cùng, ta max{ u − u∞ L∞ , v − v∞ L∞ } ≤ h max{ u − u∞ L∞ , v − v∞ L∞ } (3.13) Từ (3.13) tính nghiệm giải Định lí chứng minh xong 3.1 Ví dụ minh họa Chúng ta xét toán giá trị đầu cho hệ phương trình vi tích phân (3.1)-(3.2) với kiện sau u0 (x) = − |x| |x| ≤ 1, u0 (x) = |x| > v0 (x) = với x ∈ R, Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu10 f (u) = u, g(v) = v, ϕ(u) = ψ(v) = Khi đó, ta thu kết u (x, t) = u0 (x), v (x, t) = et (3.14) Thực tế, ta chọn u0 (x) hàm không âm liên tục Lipschitz; v0 (x) hàm ngược lại ta thu kết tương tự Tài liệu tham khảo [1] V Volterra: Opere Matematiche: Memorie e note, Vol V, 1926-1940, Accad Naz Lincei Roma (1962) [2] E Eder: The functional-differential equation x (t) = x(x(t)), J Differ Equ 54, 390–400 (1984) [3] J G Si, S S Cheng: Analytic solutions of a functional-differential equation with state dependent argument, Taiwanese J Math 4, 471–480 (1997) [4] X P Wang, J G Si: Smooth solutions of a nonhomogeneous iterative functional differential equation with variable coefficients, J Math Anal Appl 226, 377–392 (1998) [5] X Wang, J G Si, S S Cheng: Analytic solutions of a functional differential equation with state derivative dependent delay, Aequationes Math 1, 75–86 (1999) [6] M Miranda, E Pascali: On a class of differential equations with self-reference, Rend Mat., serie VII, 25, Roma 155-164 (2005) [7] M Miranda, E Pascali: On a type of evolution of self-referred and hereditary phenomena, Aequationes Math 71, 253–268 (2006) [8] E Pascali: Existence of solutions to a self-referred and hereditary system of differential equations, Electron J Diff Eqns Vol 2006 No 07, pp 1–7 (2006) [9] N M Tuan, N.T.T Lan: On solutions of a system of hereditary and self-referred partialdifferential equations, Numer Algorithms 55, no 1, 101-Ờ113 (2010) [10] P K Anh, N T T Lan, N M Tuan: Solutions to systems of partial differential equations with weighted self-reference and heredity Electron J Diff Eqns Vol 2012(2012), No 117, pp 1-14 ISSN: 1072-6691 11 ... hợp 2.2 Hướng nghiên cứu Các toán liên quan đến tồn nghiệm, tính nghiệm 2.3 Kết đề tài Sự tồn nghiệm phương trình vi- tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 2.4 Kết ứng dụng Hướng nghiên cứu đề tài... hướng nhiều nhà Toán học quan tâm Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi- tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu Trong đề tài này, chứng minh tồn nghiệm địa phương toán  ∂ t   u(x, s)ds + ϕ(u(x,... ∈ R, t ∈ R+ Hơn nữa, tồn số dương T2 cho hai dãy {An (t)}n≥1 {Bn (t)}n≥1 hội tụ (0, T2 ] Chứng minh Chương Sự tồn nghiệm phương trình vi- tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu Từ giả thiết (A1