Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu.. Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 5 3.1.. Kết quả nghi
Trang 1Chương 1 Thông tin chung về đề tài 3 1.1 Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự
tham chiếu 3
1.2 Chủ nhiệm đề tài: 3
1.3 Đơn vị chủ trì: 3
1.4 Thời gian thực hiện đã được phê duyệt: 3
Chương 2 Kết quả thực hiện đề tài 4 2.1 Kết quả nghiên cứu 4
2.2 Hướng nghiên cứu 4
2.3 Kết quả của đề tài 4
2.4 Kết quả ứng dụng 4
2.5 Tình hình tổ chức thực hiện đề tài 4
Chương 3 Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu 5 3.1 Ví dụ minh họa 9
Trang 2Thông tin chung về đề tài
1.1 Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân
đạo hàm riêng tự tham chiếu
• Mã số đề tài: CS2012-11
• Lĩnh vực: Toán học
1.2 Chủ nhiệm đề tài:
ThS Nguyễn Thị Thanh Lan
1.3 Đơn vị chủ trì:
Khoa Toán-Ứng Dụng - Trường Đại học Sài Gòn
1.4 Thời gian thực hiện đã được phê duyệt:
12 tháng (03/2012 đến 03/2013)
3
Trang 3Kết quả thực hiện đề tài
2.1 Kết quả nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu đề cập đến vấn đề quan trọng của phương trình vi-tích phân, một lĩnh vực
có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các ngành khoa học như: Vật lí, Cơ học, Sinh học, Một trong các mô hình thú vị, thu hút sự chú ý của nhiều nhà Toán học là các phương trình vi-tích phân ứng dụng trong di truyền học và đã được các nhà Toán học: V Volterra, E Eder, J G Si, S S Cheng, X P Wang, M Miranda, E Pascali, nghiên cứu trong nhiều trường hợp khác nhau bằng các công cụ thích hợp
2.2 Hướng nghiên cứu
Các bài toán liên quan đến sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm
2.3 Kết quả của đề tài
Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng tự tham chiếu
2.4 Kết quả ứng dụng
Hướng nghiên cứu của đề tài là các bài toán liên quan đến mô hình toán học ứng dụng trong
di truyền học và có định hướng ứng dụng trong thực tiễn
2.5 Tình hình tổ chức thực hiện đề tài
Tác giả đã thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu theo tiến độ đề ra và hoàn thành đúng thời gian qui định Kết quả của đề tài đã được nhận đăng trên tạp chí quốc tế ISI Các vấn đề nghiên cứu đều là những vấn đề thời sự và thuộc hướng mới đang được nhiều nhà Toán học quan tâm
Trang 4Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi-tích phân đạo
hàm riêng tự tham chiếu
Trong đề tài này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của bài toán
∂
∂tu(x, t) = u
fu(x, t)+ v1
t
Z t 0
u(x, s)ds + ϕ(u(x, t)), t, t
,
∂
∂tv(x, t) = v
gv(x, t)+ u1
t
Z t 0
v(x, s)ds + ψ(v(x, t)), t, t
,
(3.1)
thỏa các điều kiện đầu
trong đó f, g, ϕ, ψ, u0 và v0 là các hàm cho trước thỏa một vài điều kiện thích hợp
Để nghiên cứu bài toán (3.1)-(3.2), ta xét bài toán
u(x, t) = u0(x) +
Z t 0
u
fu(x, s) + v
1 s
Z s 0
u(x, τ )dτ + ϕ(u(x, s)), s
, s
ds, v(x, t) = v0(x) +
Z t 0
v
g
v(x, s)
+ u1 s
Z s 0
v(x, τ )dτ + ψ(v(x, s)), s, s
ds
(3.3)
Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề Nếu bài toán (3.3) có nghiệm thì nghiệm đó cũng là nghiệm của bài toán (3.1)-(3.2)
Vì vậy ta sẽ nghiên cứu bài toán (3.3)
Bây giờ ta định nghĩa các dãy hàm thực {un}n≥1, {vn}n≥1 như sau:
u1(x, t) = u0(x) +
Z t 0
u0
fu0(x)+ v0u0(x) + ϕ u0(x)
ds,
v1(x, t) = v0(x) +
Z t 0
v0
gv0(x)+ u0v0(x) + ψ v0(x)
ds,
5
Trang 5un+1(x, t) = u0(x) +
Z t 0
un
f
un(x, s)
+ vn
1 s
Z s 0
un(x, τ )dτ + ϕ un(x, s), s, s
vn+1(x, t) = v0(x) +
Z t 0
vn
gvn(x, s)
+ un1 s
Z s 0
vn(x, τ )dτ + ψ vn(x, s), s, s
ds,
với mọi x ∈ R và t > 0
Ta thành lập các giả thiết sau:
(A1) u0 và v0 là các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz trên R
(A2) f, g, ϕ, ψ là các hàm liên tục Lipschitz trên R
Trước hết, ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 3.1 Giả sử các hàm f, g, ϕ, ψ, u0 và v0 thỏa các giả thiết (A1) − (A2) Khi đó, với mọi n ≥ 1 tồn tại các dãy hàm liên tục và không âm, với các số hạng tổng quát lần lượt ký hiệu là Mn(t) và Nn(t), thỏa các bất đẳng thức sau:
|un+1(x, t) − un+1(y, t)| ≤ Mn+1(t)|x − y|, n ∈ N, x, y ∈ R
|vn+1(x, t) − vn+1(y, t)| ≤ Nn+1(t)|x − y|, n ∈ N, x, y ∈ R
Hơn nữa, tồn tại số dương T1 sao cho các dãy không âm {Mn(t)}n≥1, {Nn(t)}n≥1 bị chặn đều trên khoảng (0, T1]; nghĩa là tồn tại một hằng số G0 > 0 sao cho 0 < Mn(t), Nn(t) < G0 với mỗi t ∈ (0, T1], với mọi n ≥ 1
Chứng minh
Thật vậy, với n = 0 ta có
|u0(x) − u0(y)| ≤ M0|x − y|, |v0(x) − v0(y)| ≤ N0|x − y|, ∀x, y ∈ R,
trong đó M0 > 0, N0 > 0
Với P, Q, $, σ > 0 ta có
|f (α1) − f (α2)| ≤ P |α1− α2|, α1, α2 ∈ R,
|g(β1) − g(β2)| ≤ Q|β1− β2|, β1, β2 ∈ R,
|ϕ(γ1) − ϕ(γ2)| ≤ $|γ1 − γ2|, γ1, γ2 ∈ R,
|ψ(η1) − ψ(η2)| ≤ σ|η1− η2|, η1, η2 ∈ R
(3.5)
Với n = 1 ta có
|u (x, t) − u (y, t)| ≤ M (t)|x − y|,
Trang 6trong đó
M1(t) = M0+ t(M02P + M02N0+ M02N0$),
và
|v1(x, t) − v1(y, t)| ≤ N1(t)|x − y|, trong đó
N1(t) = N0+ t(N02Q + M0N02+ M0N02σ)
Bằng qui nạp ta thu được
trong đó
Mn+1(t) = M0+
Z t 0
Mn2(s)P + Nn(s) 1
2s
d ds
Z s 0
Mn(τ )dτ
2
+ Mn2(s)Nn(s)$
ds, và
trong đó
Nn+1(t) = N0+
Z t 0
Nn2(s)Q + Mn(s) 1
2s
d ds
Z s 0
Nn(τ )dτ
2
+ Mn(s)Nn2(s)σ
ds
Dễ thấy, Mn+1(t) và Nn+1(t) là các hàm không âm và liên tục trên R Bằng cách chọn các hằng số dương K0, H0 và I0 thỏa các điều kiện sau
N0+ K0 ≤ H0, M0+ K0 ≤ I0, G0 = max{H0, I0}, khi đó tồn tại T1 > 0 sao cho
0 ≤ Mn+1(t) ≤ M0+ K0 ≤ G0,
Bổ đề 3.2 Giả sử các hàm u0, v0, f, g, ϕ và ψ thỏa các điều kiện (A1) − (A2) Khi đó, với mọi n ≥ 1 tồn tại các dãy hàm liên tục và không âm, với các số hạng tổng quát lần lượt ký hiệu là An(t) và Bn(t), thỏa
|un+1(x, t) − un(x, t)| ≤ An+1(t), x ∈ R, t ∈ R+,
|vn+1(x, t) − vn(x, t)| ≤ Bn+1(t), x ∈ R, t ∈ R+
Hơn nữa, tồn tại hằng số dương T2 sao cho cả hai dãy {An(t)}n≥1 và {Bn(t)}n≥1 hội tụ đều trên (0, T2]
Chứng minh
Trang 7Từ các giả thiết (A1) − (A2), ta có
|u1(x, t) − u0(x)| ≤ tku0kL∞ := A1(t),
|v1(x, t) − v0(x)| ≤ tkv0kL∞ := B1(t)
Tương tự,
|u2(x, t) − u1(x, t)| ≤
Z t 0
A1(s)1 + M0P + M0N0$+ M0B1(s)
+ M0N01
s
Z s 0
A1(τ )dτ
ds := A2(t),
và
|v2(x, t) − v1(x, t)| ≤
Z t 0
B1(s)1 + N0Q + M0N0σ+ N0A1(s)
+ M0N01
s
Z s 0
B1(τ )dτ
ds := B2(t)
Bằng qui nạp, ta thu được
trong đó
An+1(t) =
Z t 0
An(s)1 + Mn−1(s)P + Mn−1(s)Nn−1(s)$
+ Bn(s)Mn−1(s) + Mn−1(s)Nn−1(s)1
s
Z s 0
An(τ )dτ
ds, và
trong đó
Bn+1(t) =
Z t 0
Bn(s)1 + Nn−1(s)Q + Mn−1(s)Nn−1(s)σ
+ An(s)Nn−1(s) + Mn−1(s)Nn−1(s)1
s
Z s 0
Bn(τ )dτ
ds
Với h ∈ (0,12), ta có thể chọn T2 > 0 sao cho các bất đẳng thức sau đúng với mọi t ∈ (0, T2]
1 + G0P + G0+ G20$ + G20 t ≤ h < 1
2,
1 + G Q + G + G2σ + G2 t ≤ h < 1,
(3.11)
Trang 8Bằng qui nạp, ta cũng chứng minh được
0 ≤ An+1(t), Bn+1(t) ≤ hnkA1k∞+ kB1k∞
, h < 1
2, t ∈ (0, T2].
Khi đó, các dãy An(.) và Bn(.) hội tụ đều trên (0, T2] Bổ đề được chứng minh Chú ý Ta dễ dàng chứng minh được
|un+1(x, t)| ≤ etku0k∞, |vn+1(x, t)| ≤ etkv0k∞
Nếu chúng ta chọn T sao cho 0 < T ≤ min{T1, T2} thì các dãy hàm {un(x, t)}, {vn(x, t)} bị chặn đều theo t với mọi x ∈ R Mặt khác, ta cũng chứng minh được các hàm un(x, t), vn(x, t) liên tục Lipschitz lần lượt theo từng biến x ∈ R và t ∈ (0, T ]
Ta có định lí sau
Định lí Giả sử các hàm f, g, ϕ, ψ, u0 và v0 thỏa các giả thiết (A1) − (A2) Khi đó, tồn tại một giá trị dương T? sao cho (3.3) có nghiệm duy nhất trên R × (0, T?], ký hiệu là u∞, v∞ Hơn nữa, các hàm này cũng liên tục Lipschitz và bị chặn lần lượt theo từng biến x ∈ R và
t ∈ (0, T?]
Chứng minh
Ta chọn T? = min{T1, T2} Sử dụng các bổ đề 3.1 và 3.2, các giới hạn u∞(x, t), v∞(x, t), của các dãy hàm {un(x, t)}n≥1, {vn(x, t)}n≥1 bị chặn trên R × (0, T∗], liên tục Lipschitz lần lượt theo từng biến và thỏa bài toán (3.3)
Bây giờ, ta giả sử (u?, v?) là một nghiệm khác của bài toán (3.3) trên R × (0, T∗] với các
dữ kiện cho trước như trên Khi đó, ta chứng minh được
|u?(x, t) − u∞(x, t)| ≤ h max{ku?− u∞kL∞, kv? − v∞kL∞},
|v?(x, t) − v∞(x, t)| ≤ h max{ku?− u∞kL ∞, kv? − v∞kL ∞}, (3.12)
với mọi t ∈ (0, T0], x ∈ R
Cuối cùng, ta được
max{ku?− u∞kL∞, kv?− v∞kL∞} ≤ h max{ku?− u∞kL∞, kv?− v∞kL∞} (3.13)
Từ (3.13) tính duy nhất nghiệm được giải quyết Định lí được chứng minh xong
3.1 Ví dụ minh họa
Chúng ta xét bài toán giá trị đầu cho hệ phương trình vi tích phân (3.1)-(3.2) với dữ kiện sau
u0(x) = 1 − |x| nếu |x| ≤ 1, và u0(x) = 0 nếu |x| > 1
v0(x) = 1 với mọi x ∈ R,
Trang 9f (u) = u, g(v) = v, ϕ(u) = ψ(v) = 0
Khi đó, ta thu được kết quả
Thực tế, ta có thể chọn u0(x) là hàm không âm và liên tục Lipschitz; v0(x) là hàm hằng và ngược lại thì ta cũng thu được kết quả tương tự
Trang 10[1] V Volterra: Opere Matematiche: Memorie e note, Vol V, 1926-1940, Accad Naz Lincei Roma (1962)
[2] E Eder: The functional-differential equation x0(t) = x(x(t)), J Differ Equ 54, 390–400 (1984)
[3] J G Si, S S Cheng: Analytic solutions of a functional-differential equation with state dependent argument, Taiwanese J Math 4, 471–480 (1997)
[4] X P Wang, J G Si: Smooth solutions of a nonhomogeneous iterative functional differ-ential equation with variable coefficients, J Math Anal Appl 226, 377–392 (1998) [5] X Wang, J G Si, S S Cheng: Analytic solutions of a functional differential equation with state derivative dependent delay, Aequationes Math 1, 75–86 (1999)
[6] M Miranda, E Pascali: On a class of differential equations with self-reference, Rend Mat., serie VII, 25, Roma 155-164 (2005)
[7] M Miranda, E Pascali: On a type of evolution of self-referred and hereditary phenomena, Aequationes Math 71, 253–268 (2006)
[8] E Pascali: Existence of solutions to a self-referred and hereditary system of differential equations, Electron J Diff Eqns Vol 2006 No 07, pp 1–7 (2006)
[9] N M Tuan, N.T.T Lan: On solutions of a system of hereditary and self-referred partial-differential equations, Numer Algorithms 55, no 1, 101-Ờ113 (2010)
[10] P K Anh, N T T Lan, N M Tuan: Solutions to systems of partial differential equations with weighted self-reference and heredity Electron J Diff Eqns Vol 2012(2012), No
117, pp 1-14 ISSN: 1072-6691
11