Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ

Lời cam đoanTôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đềtài “Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ” được hoàn thành dưới sự hướng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ KIM SƠN

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Kim Sơn,

cô đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức

để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trongtrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoaToán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

và học tập

Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong giađình, đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và động viên trong quá trình họctập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Nghĩa

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đềtài “Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

vi phân mờ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS NguyễnThị Kim Sơn và bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, pháttriển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Nghĩa

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ 5

1.1 Giới thiệu 5

1.2 Tập mờ 5

1.3 Metric Hausdorff 8

1.4 Không gian En 9

1.5 Tính đo được 11

1.6 Tính khả tích 12

1.7 Tính khả vi 15

Chương 2 CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ 20

2.1 Giới thiệu 20

2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 20

2.3 Định lý so sánh 25

2.4 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện bài toán 31 2.5 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 36

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 39

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết tập mờ là lý thuyết toán học hiện đại và trừu tượng Lýthuyết mờ đang là xu thế trong thời đại mới, là ngôn ngữ chủ đạo quantrọng để con người đi đến những tri thức nhân tạo Xuất phát từ thực

tế con người phải sử dụng ngôn ngữ với số lượng hữu hạn để nhận biết,nhận thức phản ánh thế giới vô hạn, trong khi đó chúng ta lại thườngxuyên đối mặt với những vấn đề chứa những yếu tố cơ bản không đầy

đủ, không chắc chắn, không chính xác Vì vậy sẽ có một lý thuyết toánhọc nào đó cho phép mô hình hóa phần thế giới thực mà con người chỉ

có thể mô tả bằng ngôn ngữ tự nhiên hàm chứa những thông tin khôngchính xác, không chắc chắn Phát hiện nhu cầu đó năm 1965 L.A.Zadeh

đã sáng lập ra lý thuyết tập mờ và đặt nền móng cho việc xây dựngmột loạt các lý thuyết quan trọng dựa trên cơ sở lý thuyết tập mờ Lýthuyết tập mờ và các ứng dụng của nó bắt đầu được phát triển từ nhữngnăm 70 của thế kỷ XX, và tầm quan trọng của lý thuyết mờ trong côngnghiệp điều khiển được tăng mạnh từ năm 1990

Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành pháttriển có tầm quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnhvực khoa học kỹ thuật, kinh tế, vật lý, Chính vì vậy việc nghiên cứuphương trình vi phân nói chung luôn là nhiệm vụ cần thiết Đặc biệttrong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu cả về lý

thuyết cũng như ứng dụng của phương trình vi phân mờ Trong đó việcnghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho các bài toán giá trị banđầu của phương trình vi phân mờ là cần thiết tạo tiền đề cơ sở lí thuyếtvững chắc cho các bài toán ứng dụng về sau như giải xấp xỉ nghiệm

số của phương trình vi phân mờ, xây dựng thuật toán tìm nghiệm củaphương trình vi phân mờ Chính vì các lí do trên, chúng tôi lựa chọn đềtài nghiên cứu: “Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm củaphương trình vi phân mờ” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngànhtoán

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Vì lý thuyết mờ nói chung và phương trình vi phân mờ nói riêng còn

là lý thuyết mới cần được tìm hiểu, do vậy luận văn tập trung vào việctrình bày lại một số kiến thức cơ bản của tập mờ và hàm giá trị mờtrước khi đi sâu vào nghiên cứu về phương trình vi phân mờ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết tập mờ, giải tích mờ và phươngtrình vi phân mờ

• Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết giải tích mờ liên quan đến việcgiải phương trình vi phân mờ và bài toán Cauchy cho phương trình

vi phân mờ cấp 1

4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng kiến thức của giải tích hàm thực, giải tích tập hợp, giảitích hàm đa trị và lý thuyết không gian metric-topo để xem xét cáctính chất giải tích của hàm mờ; tập mờ

• Sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach và các đánh giá trong lý thuyếttập hợp, không gian metric để chứng minh tồn tại duy nhất nghiệmcủa phương trình vi phân mờ

5 Nội dung và cấu trúc của luận văn

Nội dung chính của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu

về lý thuyết tập mờ, giải tích hàm mờ và chứng minh các định lý về sựtồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân

mờ cấp 1 trong công trình của V Lakshmikantham và R N Mohapatra[13] Luận văn dài 40 trang, ngoài phần Lời cảm ơn, Lời cam đoan, mụclục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia thànhhai chương

• CHƯƠNG 1: Tập mờ và hàm giá trị mờ

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về tập mờ,đưa ra một số ví dụ về tập mờ và trình bày các tính chất giải tíchnhư: tính đo được, tính khả tích và tính khả vi của hàm giá trị mờ(gọi tắt là hàm mờ) Không gian các tập mờ đặc biệt thường đượcnghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi tích phân, En, cũng

được trình bày trong chương này.

• CHƯƠNG 2: Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình

vi phân mờ

Chương này dành cho việc nghiên cứu tính giải được duy nhất củabài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1 Đầu tiênchúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phươngtrình vi phân mờ với điều kiện Lipschitz và điều kiện bị chặn của

vế phải Sau đó các nguyên lý so sánh và sự phụ thuộc liên tục củanghiệm vào các dữ kiện của bài toán trên cũng được nghiên cứu.Cuối chương là một kết quả cho sự tồn tại của nghiệm toàn cục củaphương trình vi phân mờ

Chương 1 TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ

1.1 Giới thiệu

Trong chương này chúng tôi trình bày về tập mờ, nêu lên một số ví

dụ của tập mờ Trong đó về phần 1.2 chúng ta sẽ tìm hiểu về tập mờ.Phần 1.3 nhắc lại khái niệm về khoảng cách Hausdorff giữa các tập concủa Rn Không gian En được giới thiệu trong phần 1.4 với các ví dụ vàtính chất quan trọng Tính đo được, tính khả tích và tính khả vi củahàm giá trị mờ được trình bày tương ứng trong các phần 1.5, 1.6 và 1.7

1.2 Tập mờ

Ý tưởng về một tập mờ lần đầu tiên được đề xuất bởi Lotfi Zadehvào năm 1965, nó như một phương tiện để xử lý những vấn đề chứa yếu

tố cơ bản không đầy đủ, không chắc chắn, không chính xác

Các tập mờ được xét với cơ sở tập hợp khác rỗng X Ý tưởng cơ bản làmỗi phần tử x ∈ X được gán cho một hàm thuộc u(x) lấy giá trị trong[0, 1], với u(x) = 0 tương ứng với x không thuộc tập mờ, 0 < u(x) < 1 với

x thuộc một phần tập mờ và u(x) = 1 với x thuộc cả vào tập mờ Kí hiệutheo Zadeh một tập mờ là một tập con khác rỗng {(x, u(x)) : x ∈ X}của X × [0, 1] với hàm u : X → [0, 1] Hàm u này thường được kí hiệu

Tập mức [u]α của tập mờ u trên X được định nghĩa là

[u]α = {x ∈ X : u(x) ≥ α} với α ∈ (0, 1] (1.2.3)Giá [u]0 của u là bao đóng của hợp tất cả các tập mức trong tôpô củaX

[u]0 = [

α∈(0,1]

Xét hàm u : X → [0, 1] là một tập mờ của không gian cơ sở khác rỗng

X và kí hiệu F (X) là tất cả các tập mờ Ta ký hiệu uc là phần bù của

u ∈ F (X), u ∨ v là hợp và u ∧ v là giao của u, v ∈ F (X) và được định

nghĩa tương ứng như sau:

u ∨ v(x) = u(x) ∨ v(x) := max{u(x), v(x)} (1.2.6)

u ∧ v(x) = u(x) ∧ v(x) := min{u(x), v(x)} (1.2.7)với mỗi x ∈ X Rõ ràng uc, u ∨ v, u ∧ v ∈ F (X)

Nguyên lý mở rộng Zadeh xác định một ánh xạ rõ f : X1 × X2 → Y,với X1, X2, Y là các tập khác rỗng, được mở rộng cho ánh xạ trên tậpmờ

Ví dụ 1.2.1 Cho A = [0, 1] sao cho (−1)A = [−1, 0] do đó

A + (−1)A = [0, 1] + [−1, 0] = [−1, 1]

Từ Ví dụ 1.1.1 ta thấy rằng khi cộng thêm (−1) không thiết lập phéptoán trừ tự nhiên Thay vào đó ta có định nghĩa về hiệu Hukuhara A − Bcủa hai tập khác rỗng A và B như sau

Định nghĩa 1.2.1 (Hiệu Hukuhara)

Ta nói A − B = C nếu tồn tại C 6= ∅ thỏa mãn

Ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác rỗng A

Kí hiệu KnC bao gồm tất cả các tập con lồi, compact khác rỗng của

Rn và Kn bao gồm tất cả các tập con compact khác rỗng của Rn Khi

đó từ Lakshmikantham and R.N Mohapatra [13 ]ta có

2) [u]0 là tập con bị chặn của Rn;

3) [u]α là tập compact của Rn với mọi α ∈ I;

với α ∈ I

Trên En ta xét hàm d như sau

d(u, v) = sup{dH([u]α, [v]α) : α ∈ I} (1.4.3)với u, v ∈ En Rõ ràng từ tính chất của dH ta có d là một metric trên

En

Ví dụ 1.4.1 Cho u, v ∈ E1 được định nghĩa trên tập mức bởi

[u]α = [v]α = [0, 1] với 0 ≤ α ≤ 1

2và

[u]α = 0, [v]α = [0, 2(1 − α)] với 1

2 < α ≤ 1.

2 < α ≤ 1.

Thì sup{φ(α) : α ∈ I} = 1, nhưng điều này là không đạt được

Từ các tính chất của metric Hausdorff được liệt kê trong các Mệnh

Kết quả sau được chứng minh trong [7]; [4]

Định lý 1.4.1 (En, d) là một không gian metric đầy đủ

Bổ đề 1.5.1 Nếu F : T → En là liên tục đối với metric d nghĩa làvới mọi t0 ∈ T ;  > 0, và tồn tại δ > 0 sao cho |t − t0| < δ thìd(F (t), F (t0)) <  thì nó là đo được

Chứng minh Cho  tùy ý,  > 0 và t0 ∈ T Từ tính liên tục nên tồn tại

δ > 0 sao cho

d(F (t), F (t0)) <  khi |t − t0| < δ

Nhưng theo định nghĩa của d ta có dH(Fα(t), Fα(t0)) <  với mọi |t−t0| <

δ, mà Fα là liên tục đối với metric Hausdorff Do đó Fα−1(U ) là mở và

đo được, với mỗi U mở trong KnC

Nếu F là ánh xạ từ T vào E1 thì Fα(t) là đoạn compact, Fα(t) =[λα(t), µα(t)] Với λα và µα là đo được

T

f (t)dt|f : T → Rn là hàm chọn đo được của Fα}

với 0 < α ≤ 1 Một ánh xạ đo được và bị chặn khả tích F : T → Enđược gọi là khả tích trên T nếu R

T

F (t)dt ∈ En

Nhận xét 1.6.1 Nếu F : T → E1 là khả tích thì λα và µα là đođược R F thu được bằng cách tính tích phân α-level curves (đường congmức-α), đó là

là hàm chọn đo được của Fα trong T và

Chứng minh Cho s, t ∈ T và giả sử rằng s > t Thì theo Định lý 1.6.1

F0(t) là compact (xem Hệ quả 1.6.1) thì tồn tại M > 0 sao cho

||x|| ≤ M với mọi x ∈ F0(t) và t ∈ T Nhưng điều này có nghĩa là

d(G(s), G(t)) ≤ M (s − t)

Hệ quả đã được chứng minh

Các tính chất sau được chứng minh chi tiết trong Lakshmikanthamand R.N Mohapatra [13]

với {(τ, [ti−1, ti]) : i = 1, 2, , n} là các phân hoạch của [0, t) với độ

đo µn Vì f (τi) ∈ [A]α với i = 1, 2, , n và [A]α là hội tụ nên suy ra

Sn ∈ µn[A]α với mọi n Tiến qua giới hạn thì µn → t và do đó

lim

n→∞dH(t[A]α, µn[A]α) = 0suy ra R f ∈ t[A]α nên

Cho x, y ∈ En Nếu tồn tại một phần tử z ∈ En sao cho x = y + zthì ta gọi z là sai phân Hukahara của x và y, kí hiệu x − y Định nghĩasau đây do Puri and Ralescu được đưa ra trong [10].

Định nghĩa 1.7.1 Ánh xạ F : T → En là khả vi tại t0 ∈ T nếu tồn tại

F0(t0) ∈ En sao cho các giới hạn sau

Giới hạn này được thực hiện trong không gian metric (En, d) Tại cácđiểm cuối của T ta chỉ xét các đạo hàm 1 phía

Nhận xét 1.7.1 Từ định nghĩa suy ra rằng nếu F khả vi thì ánh xạ

đa trị Fα là khả vi Hukahara với mọi α ∈ [0, 1] và

DFα(t) = [F0(t)]α (1.7.1)với DFα là kí hiệu đạo hàm Hukahara của Fα

Điều ngược lại không đúng, vì sự tồn tại sai phân Hukahara [x]α −[y]α, α ∈ [0, 1], không bao hàm sự tồn tại của sai phân Hukahara x − y.Định lý 1.7.1 Cho F : T → E1 là khả vi Kí hiệu Fα(t) = [fα(t), gα(t)], α ∈[0, 1] Khi đó ta có fα(t) và gα(t) khả vi và [F0(t)]α = [fα0(t), gα0(t)]

Chứng minh Có

[F (t + h) − F (t)]α = [fα(t + h) − fα(t), gα(t + h) − gα(t)]

Tương tự với [F (t) − F (t − h)]α Chia biểu thức trên cho h và lấy giớihạn cho ta kết luận

Định lý 1.7.2 Nếu F : T → En là khả vi thì nó liên tục theo metric d.Chứng minh Cho t, t + h ∈ T với h > 0 Nên theo tính chất của d vàbất đẳng thức tam giác ta có

d(F (t + h), F (t)) = d(F (t + h) − F (t), ˆ0)

≤ hd((F (t + h) − F (t))/h, F0(t)) + hd(F0(t), ˆ0)với h là vô cùng bé để sai phân Hukahara F (th) − F (t) tồn tại Do Fkhả vi và vế phải tiến tới 0 khi h → 0+ do đó F là liên tục phải Tínhliên tục trái được chứng minh tương tự

Các kết quả sau đây được suy ra từ các tính chất của d được mikantham and Mohapatra đưa ra trong [13]

Định lý 1.7.5 Cho F : T → En là khả vi và giả sử rằng đạo hàm F0

là khả tích trên T Khi đó với mỗi s ∈ T, ta có

với DFα là sai phân Hukahara của Fα

Mà giá của phiếm hàm δ(·, K) : Rn → R của K ∈ Kn

C được địnhnghĩa là

δ(a, K) = sup{a.k : k ∈ K}

với a.k là kí hiệu tích vô hướng thông thường của a và k Nếu K1, K2 ∈

Theo tính khả vi của Fαvà phương trình (1.7.3) và (1.7.4) ta có δ(x, Fα(t))

là khả vi phải và đạo hàm phải bằng δ(x, DFα(t)), với x là một phần tửtùy ý trên hình cầu đơn vị S trong Rn Lập luận tương tự cho h < 0 ta

có kết luận rằng với mọi x ∈ S, δ(x, Fα(t) khả vi trên T và

Chương 2 CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN MỜ

2.1 Giới thiệu

Chương này dành cho lý thuyết định tính của phương trình vi phân

mờ Đầu tiên phần 2.2 chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệmcủa phương trình vi phân mờ với điều kiện Lipschitz và điều kiện bị chặn

vế phải Sau đó các nguyên lý so sánh và sự phụ thuộc liên tục của nghiệmvào các dữ kiện bài toán được trình bày trong phần 2.3 và 2.4 Cuối cùngphần 2.5 là kết quả cho sự tồn tại của nghiệm toàn cục của phương trình

vi phân mờ

2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân mờ

u0 = f (t, u), u(t0) = u0, t0 ≥ 0, (2.2.1)

ở đây f ∈ C[J × En, En], J = [t0, t0 + a], a > 0

Định nghĩa 2.2.1 Ánh xạ u : J → En gọi là một nghiệm của bài toán

(2.2.1) nếu nó liên tục và thỏa mãn phương trình tích phân

Định lý 2.2.1 Giả sử rằng f ∈ C[J × En, En] và thỏa mãn điều kiệnLipschitz

d[f (t, u), f (t, v)] ≤ kd[u, v] (2.2.3)với t ∈ J, u, v ∈ En Khi đó bài toán (2.2.1) có một nghiệm duy nhấttrên J

Chứng minh Cho C[J, En] kí hiệu tập tất cả các hàm số liên tục từ Jtới En Định nghĩa metric có trọng có trong C[J, En] như sau

H(u, v) = sup

J

d[u(t), v(t)]e−λtvới u, v ∈ C[J, En] và λ > 0 Vì (En, d) là không gian metric đầy, tacũng có không gian (C[J, En], H) cũng đầy

Với u, v ∈ C[J, En], ta định nghĩa T u trên C[J, En] bằng mối quan hệ

chất của tích phân trong Định lý 1.6.2 ta có

Nguyên lý ánh xạ co đảm bảo sự tồn tại duy nhất điểm cố định u∗ của

T, điều này cho thấy u∗(t) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.2.1) trênJ

Định lý được chứng minh

Ví dụ 2.2.1 Cho A, B : J → E1 là liên tục Định nghĩa f : J ×E1 → E1

là f (t, u) = A(t)u + B(t) với phép nhân trong E1 được cho bởi nguyên

lý mở rộng Zadeh Nếu [A(t)]α = [aα1(t), aα2(t)] và [x]α = [xα1, xα2] thì

[A(t)u]α = [min(aα1(t)xα1, aα2(t)xα1, aα1(t)xα2, aα2(t)xα2),

max(aα1(t)xα1, aα2(t)xα1, aα1(t)xα2, aα2(t)xα2)]

có nghiệm duy nhất trên J.

Kết quả sự tồn tại địa phương tương tự như định lý của Peano làkhông có giá trị đối với phương trình vi phân mờ, vì (En, d) là mộtkhông gian metric, không là compact địa phương, do vậy tính liên tụccủa f trong (2.2.1) là không đủ để đảm bảo sự tồn tại địa phương nhưtrong hữu hạn chiều Hơn nữa, nếu f là liên tục và bị chặn, chúng ta

có thể chứng minh kết quả tồn tại Sau đây thật vậy ta tiếp tục xét bàitoán (2.2.1) Chúng ta sẽ sử dụng không gian metric C[J, En] nhưng vớimetric không trọng

Định lý 2.2.2 Giả sử rằng f ∈ C[J × En, En] và

d[f (t, u), ˆ0] ≤ M, t ∈ J, u ∈ En

ở đây ˆ0 ∈ En được định nghĩa là ˆ0(x) = 1 nếu x = 0 và ˆ0(x) = 0 nếu

x 6= 0 Khi đó bài toán (2.2.1) có một nghiệm u(t) trên J