Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGHĨA ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ KIM SƠN Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Kim Sơn, cô tận tình bảo, định hướng, chọn đề tài truyền đạt kiến thức để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô khoa Toán, phòng Sau đại học giúp đỡ suốt trình nghiên cứu học tập. Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành tới anh chị, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho trình học tập hoàn thành luận văn. Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân gia đình, luôn quan tâm, khích lệ động viên trình học tập nghiên cứu. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Nghĩa Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân mờ” hoàn thành hướng dẫn TS. Nguyễn Thị Kim Sơn thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa, phát triển kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Nghĩa Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ . . . . . . . . . . . 1.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Tập mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Metric Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Không gian E n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Tính đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6. Tính khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7. Tính khả vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Định lý tồn nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện toán 31 2.5. Sự tồn nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Lý thuyết tập mờ lý thuyết toán học đại trừu tượng. Lý thuyết mờ xu thời đại mới, ngôn ngữ chủ đạo quan trọng để người đến tri thức nhân tạo. Xuất phát từ thực tế người phải sử dụng ngôn ngữ với số lượng hữu hạn để nhận biết, nhận thức phản ánh giới vô hạn, lại thường xuyên đối mặt với vấn đề chứa yếu tố không đầy đủ, không chắn, không xác. Vì có lý thuyết toán học cho phép mô hình hóa phần giới thực mà người mô tả ngôn ngữ tự nhiên hàm chứa thông tin không xác, không chắn. Phát nhu cầu năm 1965 L.A.Zadeh sáng lập lý thuyết tập mờ đặt móng cho việc xây dựng loạt lý thuyết quan trọng dựa sở lý thuyết tập mờ. Lý thuyết tập mờ ứng dụng bắt đầu phát triển từ năm 70 kỷ XX, tầm quan trọng lý thuyết mờ công nghiệp điều khiển tăng mạnh từ năm 1990. . Trong toán học, phương trình vi phân chuyên ngành phát triển có tầm quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh tế, vật lý, Chính việc nghiên cứu phương trình vi phân nói chung nhiệm vụ cần thiết. Đặc biệt năm gần đây, có nhiều công trình nghiên cứu lý thuyết ứng dụng phương trình vi phân mờ. Trong việc nghiên cứu tồn nghiệm cho toán giá trị ban đầu phương trình vi phân mờ cần thiết tạo tiền đề sở lí thuyết vững cho toán ứng dụng sau giải xấp xỉ nghiệm số phương trình vi phân mờ, xây dựng thuật toán tìm nghiệm phương trình vi phân mờ . Chính lí trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân mờ” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành toán. 2. Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Vì lý thuyết mờ nói chung phương trình vi phân mờ nói riêng lý thuyết cần tìm hiểu, luận văn tập trung vào việc trình bày lại số kiến thức tập mờ hàm giá trị mờ trước sâu vào nghiên cứu phương trình vi phân mờ. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết tập mờ, giải tích mờ phương trình vi phân mờ. • Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết giải tích mờ liên quan đến việc giải phương trình vi phân mờ toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1. 4. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng kiến thức giải tích hàm thực, giải tích tập hợp, giải tích hàm đa trị lý thuyết không gian metric-topo để xem xét tính chất giải tích hàm mờ; tập mờ. • Sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach đánh giá lý thuyết tập hợp, không gian metric để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân mờ. 5. Nội dung cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày số kết nghiên cứu lý thuyết tập mờ, giải tích hàm mờ chứng minh định lý tồn nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp công trình V. Lakshmikantham R. N. Mohapatra [13]. Luận văn dài 40 trang, phần Lời cảm ơn, Lời cam đoan, mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương. • CHƯƠNG 1: Tập mờ hàm giá trị mờ Trong chương trình bày khái niệm tập mờ, đưa số ví dụ tập mờ trình bày tính chất giải tích như: tính đo được, tính khả tích tính khả vi hàm giá trị mờ (gọi tắt hàm mờ). Không gian tập mờ đặc biệt thường nghiên cứu lý thuyết phương trình vi tích phân, E n , trình bày chương này. • CHƯƠNG 2: Các định lý tồn nghiệm phương trình vi phân mờ Chương dành cho việc nghiên cứu tính giải toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1. Đầu tiên trình bày tồn nghiệm phương trình vi phân mờ với điều kiện Lipschitz điều kiện bị chặn vế phải. Sau nguyên lý so sánh phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện toán nghiên cứu. Cuối chương kết cho tồn nghiệm toàn cục phương trình vi phân mờ. Chương TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ 1.1. Giới thiệu Trong chương trình bày tập mờ, nêu lên số ví dụ tập mờ . Trong phần 1.2 tìm hiểu tập mờ. Phần 1.3 nhắc lại khái niệm khoảng cách Hausdorff tập Rn . Không gian E n giới thiệu phần 1.4 với ví dụ tính chất quan trọng. Tính đo được, tính khả tích tính khả vi hàm giá trị mờ trình bày tương ứng phần 1.5, 1.6 1.7 1.2. Tập mờ Ý tưởng tập mờ lần đề xuất Lotfi Zadeh vào năm 1965, phương tiện để xử lý vấn đề chứa yếu tố không đầy đủ, không chắn, không xác. Các tập mờ xét với sở tập hợp khác rỗng X. Ý tưởng phần tử x ∈ X gán cho hàm thuộc u(x) lấy giá trị [0, 1], với u(x) = tương ứng với x không thuộc tập mờ, < u(x) < với x thuộc phần tập mờ u(x) = với x thuộc vào tập mờ. Kí hiệu theo Zadeh tập mờ tập khác rỗng {(x, u(x)) : x ∈ X} X × [0, 1] với hàm u : X → [0, 1]. Hàm u thường kí hiệu thay cho tập mờ. Ví dụ: Xét hàm u : X → [0, 1] xác        u(x) = (x − 1)  99     1 định bởi: x ≤ 1, < x < 100, (1.2.1) 100 ≤ x. Khi u(x) cho ví dụ tập mờ gồm số gần 100 tập số thực. Hiển nhiên có nhiều lựa chọn hợp lý khác tập mức hàm thuộc. Độ phụ thuộc cho tập cổ điển hay gọi tập rõ A X không thuộc thuộc hoàn toàn. Như từ tập rõ A X xác định tập mờ X cho hàm đặc trưng χA : X → [0, 1] với χA =   0 x ∈ / A,  1 x ∈ A. (1.2.2) Tập mức [u]α tập mờ u X định nghĩa [u]α = {x ∈ X : u(x) ≥ α} với α ∈ (0, 1]. (1.2.3) Giá [u]0 u bao đóng hợp tất tập mức tôpô X [u]0 = [u]α . (1.2.4) α∈(0,1] Xét hàm u : X → [0, 1] tập mờ không gian sở khác rỗng X kí hiệu F(X) tất tập mờ . Ta ký hiệu uc phần bù u ∈ F(X), u ∨ v hợp u ∧ v giao u, v ∈ F(X) định tính chất metric d ta có t t f (s, u(s))ds, v0 + m(t) = d[u0 + t0 f (s, v(s))ds] t0 t ≤ d[u0 + t f (s, u(s))ds, u0 + t0 f (s, v(s))ds] t0 t + d[u0 + t f (s, v(s))ds, v0 + t0 t0 t = d[ f (s, v(s))ds] t f (s, u(s))ds, t0 f (s, v(s))ds] + d[u0 , v0 ]. t0 Bây sử dụng tính chất tích phân điều kiện (2.3.1), ta thấy t m(t) ≤ m(t0 ) + d[f (s, u(s), f (s, v(s))]ds t0 t ≤ m(t0 ) + g(s, d[u(s), v(s)]ds t0 t = m(t0 ) + g(s, m(s))ds, t ∈ J. t0 Áp dụng Định lý 1.9.2 đưa Lakshmikantham and Leela [12] ta có kết luận m(t) ≤ r(t, t0 , w), t ∈ J. Điều chứng minh Định lý 2.3.1. Nhận xét 2.3.1. Nếu ta sử dụng giả thiết bất đẳng thức vi phân thay bất đẳng thức tích phân, ta bỏ qua đặc tính đơn điệu g(t, w) 26 giả sử Định lý 2.3.1. Điều chứng minh nguyên lý so sánh tiếp theo. Định lý 2.3.2. Cho giả thiết Định lý 2.3.1 trừ tính chất không giảm g(t, w) w. Khi kết luận (2.3.3) đúng. Chứng minh. Cho h > sai phân-Hu(t + h) − u(t), v(t + h) − v(t) tồn tại, với t ∈ I ta có m(t + h) − m(t) = d[u(t + h), v(t + h)] − d[u(t), v(t)]. Sử dụng bất đẳng thức cho d ta có d[u(t + h), v(t + h)] ≤ d[u(t + h), u(t) + hf (t, u(t))] + d[u(t) + hf (t, u(t)), v(t + h)] d[u(t) + hf (t, u(t)), v(t + h)] ≤ d[v(t) + hf (t, v(t)), v(t + h)] + d[u(t) + hf (t, u(t)), v(t) + hf (t, v(t))]. Ta thấy d[u(t) + hf (t, u(t)), v(t) + hf (t, v(t))] ≤ d[u(t) + hf (t, u(t)), u(t) + hf (t, v(t))] + d[u(t) + hf (t, v(t)), v(t) + hf (t, v(t))] = d[hf (t, u(t)), hf (t, v(t))]. 27 Do ta suy (m(t + h) − m(t)) ≤ d[u(t + h), u(t) + hf (t, u(t))] h h + d[u(t) + hf (t, v(t)), v(t + h)] h + d[hf (t, u(t)), hf (t, v(t))]. h Do tính chất d thực tế u(t), v(t) nghiệm (2.3.1), ta tìm thấy D+ m(t) = lim sup [m(t + h) − m(t)] h→0 h u(t + h) − u(t) ≤ lim sup d[ , f (t, u(t))] h h→0 v(t + h) − v(t) + lim sup d[f (t, v(t)), ] h h→0 + d[f (t, u(t)), f (t, v(t))] ta sử dụng thực tế d[u(t + h), u(t) + hf (t, u(t))] = d[u(t) + z(t), u(t) + hf (t, u(t))] = d[z(t) + u(t), u(t) + hf (t, u(t))] = d[z(t), hf (t, u(t))] = d[u(t + h) − u(t), hf (t, u(t))] với z(t) sai phân −H u(t + h) u(t). Lý luận tương tự biểu thức khác. Điều có nghĩa D+ m(t) ≤ g(t, d[u(t), v(t)]) = g(t, m(t)), t ∈ J. Do suy kết luận (2.3.3) từ Định lý 1.4.1 Lakshmikantham and Leela [12]. 28 Kết so sánh cung cấp đánh giá theo giả thiết yếu hơn. Định lý 2.3.3. Giả sử f ∈ C[J × E n , E n ] lim sup [d(u + hf (t, u), v + hf (t, v)] − d[u, v] h→0 h ≤ g(t, d[u, v]), t ∈ J, u, v ∈ E n với g ∈ C[J × R+ , R]. Nghiệm cực đại r(t, t0 , w0 ) (2.3.2) tồn J. Khi kết luận Định lý 2.3.1 đúng. Chứng minh. Thực Định lý 2.3.2, ta thấy m(t + h) − m(t) = d[u(t + h), v(t + h)] − d[u(t), v(t)] ≤ d[u(t + h), u(t) + hf (t, u(t))] + d[v(t) + hf (t, v(t)), v(t + h)] + d[hf (t, u(t)), hf (t, v(t))] − d[u(t), v(t)] D+ m(t) = lim sup [m(t + h) − m(t)] h→0 h ≤ lim sup [d[u(t) + hf (t, u(t), v(t) + hf (t, v(t))]] h→0 h u(t + h) − u(t) − d[u(t), v(t)] + lim sup d[ , f (t, u(t))] h h→0 v(t + h) − v(t) + lim sup d[f (t, v(t)), ] h h→0 ≤ g(t, d[u(t), v(t)]) = g(t, m(t)), 29 t ∈ I. Kết luận từ Định lý 1.4.1 Lakshmikantham and Leela [12], chứng minh hoàn thành. Chúng ta mong muốn Định lý 2.3.2, g(t, w) không cần không giảm nên đánh giá (2.3.3) tốt đánh giá Định lý 2.3.1 2.3.2. Từ trường hợp đặc biệt Định lý 2.3.1, 2.3.2 2.3.3 ta có hệ quan trọng sau. Hệ 2.3.1. Giả sử f ∈ C[J × E n , E n ] hai a) d[f (t, u), ˆ0] ≤ g(t, d[u, ˆ0]) b) lim sup [d[u + hf (t, u), ˆ0] − d[u, ˆ0]]] ≤ g(t, d[u, ˆ0]) h→0+ h với g ∈ C[J × R+ , R]. Khi đó, d[u0 , ˆ0] ≤ w0 , ta có d[u(t), ˆ0] ≤ r(t, t0 , w0 ), t ∈ J, với r(t, t0 , w0 ) nghiệm cực đại (2.3.2) J. Hệ 2.3.2. Hàm số g(t, w) = λ(t)w, λ(t) > liên tục thỏa mãn Định lý 2.3.1 để t m(t) ≤ m(t0 ) + λ(s)m(s)ds, t ∈ J. t0 Khi bất đẳng thức Gronwall có nghĩa t m(t) ≤ m(t0 ) exp[ λ(s)ds], t ∈ J. t0 Trong cho thấy (2.3.3) rút gọn t d[u(t), v(t)] ≤ d[u0 , v0 ] exp[ t0 30 λ(s)ds], t ∈ J. Hệ 2.3.3. Trong Định lý 2.3.3, hàm g(t, w) = λ(t)w, λ(t) hàm số giống Hệ 2.3.2, chấp nhận ta có kết t d[u(t), v(t)] ≤ d[u0 , v0 ] exp[− λ(s)ds], t ∈ J. t0 Nếu λ(t) = λ > 0, thấy d[u(t), v(t)] ≤ d[u0 , v0 ]e−λ(t−t0 ) , t ∈ J. Nếu J = [t0 , ∞], ta thấy lim d[u(t), v(t)] = 0, cho thấy ưu điểm t→∞ Định lý 2.3.3. 2.4. Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện toán Định lý 2.4.1. Giả sử rằng: a) f ∈ C[R0 , E n ] với R0 = [J × B(u0 , b)], B(u0 , b) = [u ∈ E n : d[u, u0 ] ≤ b] d[f (t, u), ˆ0] ≤ M0 R0 ; b) g ∈ C[J × [0, 2b], R+ ], ≤ g(t, w) ≤ M1 J × C0 [0, 2b], g(t, 0) = 0, g(t, w) hàm không giảm w với t ∈ J w(t) ≡ nghiệm (2.3.2) J; c) d[f (t, u), f (t, v)] ≤ g(t, d[u, v]) R0 . Khi phép xấp xỉ liên tiếp định nghĩa t un+1 (t) = u0 + f (s, un (s))ds, n = 0, 1, 2, . . . (2.4.1) t0 b ], M = max(M0 , M1 ) hàm liên M tục hội tụ tới nghiệm u(t) (2.2.1) [t0 , t0 + η]. tồn [t0 , t0 + η] với η = min[a, 31 Chứng minh. Ta có t d[un+1 (t), u0 ] = d[u0 + f (s, un (s))ds, u0 ] t0 t t f (s, un (s))ds, ˆ0] ≤ = d[ t0 d[f (s, un (s)), ˆ0]ds t0 ≤ M0 (t − t0 ) ≤ M0 a ≤ b. Do phép xấp xỉ liên tiếp {un (t)} xác định rõ [t0 , t0 + η]. Tiếp theo ta định nghĩa phép xấp xỉ liên tiếp (2.3.2) sau w0 (t) = M (t − t0 ), t g(s, wn (s))ds, t0 ≤ t ≤ t0 + η, wn+1 (t) = n = 0, 1, 2, . . . . (2.4.2) t0 Chứng minh quy nạp dễ thấy {wn (t)} xác định rõ ≤ wn+1 (t) ≤ wn (t), t ∈ [t0 , t0 + η]. (2.4.3) Vì |wn (t)| ≤ g(t, wn−1 (t)) ≤ M1 ta kết luận từ Định lý Arzela- Ascoli tính đơn điệu dãy {wn (t)}, mà lim wn (t) = w(t) [t0 , t0 + η]. Nó cho thấy w(t) n→∞ thỏa mãn (2.3.2) nên theo điều kiện (b) w(t) ≥ 0, t0 ≤ t ≤ t0 + η. Ta thấy t d[f (s, u0 , ˆ0)])ds ≤ M0 (t − t0 ) = w0 (t). d[u1 (t), u0 ] ≤ t0 32 Giả sử d[uk (t), uk−1 (t)] ≤ wk−1 (t), [t0 , t0 + η] với k cho trước. Vì t d[uk+1 (t), uk (t)] ≤ d[f (s, uk (s), f (s, uk−1 (s))]ds t0 sử dụng điều kiện (c) tính đơn điệu g(t, w) w ta có: t d[uk+1 (t), uk (t)] ≤ g(s, d[uk (s), uk−1 (s)])ds t0 t ≤ g(s, wk−1 (s))ds = wk (t). t0 Do phép quy nạp ta dự đoán d[un+1 (t), un (t)] ≤ wn (t), t0 ≤ t ≤ t0 + η (2.4.4) với n. Để cho v(t) = d[un+1 (t), un (t)], t ∈ [t0 , t0 + η] chứng minh Định lý 2.3.2 với t ∈ [t0 , t0 + η] có D+ v(t) ≤ g(t, d[un (t), un−1 (t)]) ≤ g(t, wn−1 (t)). Cho n ≤ m, ta có d[un (t), um (t)] = d[f (t, un−1 (t)), f (t, um−1 (t))] ≤ d[f (t, un (t)), f (t, un−1 (t))] + d[f (t, un−1 (t)), f (t, um−1 (t))] + d[f (t, um (t)), f (t, um−1 (t))] ≤ g(t, wn−1 (t)) + g(t, wm−1 (t)) + g(t, d[un (t), um (t)]). 33 Đặt v(t) = d[un (t), um (t)], chứng minh Định lý 2.3.2 cho thấy D+ v(t) ≤ d[un (t), um (t)] ≤ g(t, v(t)) + 2g(t, wm−1 (t)), t ∈ I. Theo tính chất tính đơn điệu g(t, w) w wm−1 ≤ wn−1 n ≤ m wn (t) dãy giảm. Định lý so sánh 1.4.1 Lakahmikantham and Leela [12] cho ta v(t) ≤ rn (t), t∈I với rn (t) nghiệm cực đại rn = g(t, rn ) + 2g(t, w( m − 1)(t)), rn (t0 ) = (2.4.5) với n. Vì n → ∞, 2g(t, w( m − 1)(t)) → [t0 , t0 + η], theo Bổ đề 1.3.1 Lakshmikantham and Leela [12], có rn (t) → [t0 , t0 + η]. Điều có nghĩa từ (2.4.5) định nghĩa v(t) mà un (t) hội tụ tới u(t) dễ thấy u(t) nghiệm (2.2.1). Tính nhất, cho u0 (t) nghiệm khác (2.2.1). Ta đặt m(t) = d[u(t), u0 (t)] ý m(t0 ) = 0, ta có D+ m(t) ≤ g(t, m(t)), t ∈ J m(t) ≤ r(t, t0 , 0), t ∈ J theo Định lý 2.3.2. Do giả thiết r(t, t0 , 0) ≡ ta u(t) = u0 , t ∈ J, chứng minh xong tính nhất. Trong phần ta xem xét phụ thuộc liên tục nghiệm (2.2.1) giá trị ban đầu. Định lý 2.4.2. Giả sử giả thiết Định lý 2.4.1 đúng. Cũng thêm nghiệm w(t, t0 , w0 ) (2.3.2) qua điểm (t0 , w0 ) liên tục với (t0 , w0 ). Thì nghiệm u(t, t0 , u0 ) (2.2.1) liên tục tương đối (t0 , u0 ). 34 Chúng ta cần kết sau trước chứng minh Định lý 2.4.2. Bổ đề 2.4.1. Cho f ∈ C[J × E n , E n ] G(t, r) = max d[f (t, u), ˆ0]. d[u,u0 ]≤r Giả sử r∗ (t, t0 , 0) nghiệm cực đại w = G(t, w), w(t0 ) = J. Cho u(t, t0 , u0 ) nghiệm (2.2.1). d[u(t, t0 , u0 ), u0 ] ≤ r∗ (t, t0 , 0), t ∈ J. Chứng minh. Kí hiệu m(t) = d[u(t, t0 , u0 )] với t ∈ J. Theo Hệ 2.3.1 ta thấy D+ m(t) ≤ d[u (t, t0 , u0 ), ˆ0] = d[f (t, u(t, t0 , u0 )), ˆ0] max d[f (t, u), ˆ0] = G(t, m(t)). Điều có nghĩa theo Định lý d[u,u0 ] 1.4.1 Lakshmikantham and Leela [12] có m(t) = d[u(t, t0 , u0 ), u0 ] ≤ r∗ (t, t0 , 0), t ∈ J. Chứng minh xong bổ đề. Chứng minh Định lý 2.4.2. Cho u(t) = u(t, t0 , u0 ), v(t) = v(t, t0 , v0 ) hai nghiệm (2.2.1). Định nghĩa m(t) = d[u(t), v(t)], từ Định lý 2.3.2 ta dự đoán d[u(t), v(t)] ≤ r(t, t0 , d[u0 , v0 ]), t ∈ J. Vì lim r(t, t0 , d[u0 , v0 ]) = v(t) = v(t, t0 , 0) u0 →v0 35 J theo giả thiết v(t, t0 , 0) ≡ 0, ta có lim u(t, t0 , u0 ) nên u0 →v0 tính liên tục tương đối u(t, t0 , u0 ) u0 chứng minh. Để chứng minh tính liên tục tương đối t0 , cho u(t) = u(t, t0 , u0 ), v(t) = v(t, τ0 , v0 ) hai nghiệm (2.2.1) τ0 ≥ t0 . Đặt m(t) = d[u(t), v(t)] ý m(τ0 ) = d[u(τ0 , t0 )], từ Bổ đề 2.3.1 ta có m(τ0 ) ≤ r∗ (τ0 , t0 , 0). Do theo Định lý 2.3.2 ta đến m(t) ≤ r˜(t), t ≥ τ0 . Ở r˜(t) = r˜(t, τ0 , r∗ (τ0 , t0 , 0)) nghiệm cực đại (2.3.2) (τ0 , r∗ (τ0 , t0 , 0)). Vì r∗ (t0 , t0 , 0) = 0, ta có lim r˜(t, τ0 , r∗ (τ0 , t0 , 0)) = r˜(t, τ0 , 0) τ0 →t0 J. Theo giả thiết r˜(t, τ0 , 0) = suy tính liên tục tương đối u(t, t0 , u0 ) t0 , hoàn thành chứng minh Định lý 2.4.2. Chúng ta ý g(t, w) = Lw, L > thỏa mãn Định lý 2.4.1 2.4.2. 2.5. Sự tồn nghiệm toàn cục Chúng ta xét phương trình vi phân mờ u = f (t, u), u(t0 ) = u0 (2.5.1) f ∈ C[R+ × E n , E n ]. Trong phần này, nghiên cứu tồn nghiệm với t ≥ t0 . Giả sử tồn địa phương, ta chứng minh kết tồn toàn diện. 36 Định lý 2.5.1. Giả sử f ∈ C[R+ × E n , E n ] d[f (t, u), ˆ0] ≤ g(t, d[u, ˆ0]), (t, u) ∈ R+ × E n × R+ ], g(t, w) không giảm w với t ∈ R+ g ∈ C[R+ nghiệm cực đại r(t, τ0 , w0 ) (2.3.2) tồn [t0 , ∞). Giả sử thêm f đủ trơn để đảm bảo tồn địa phương nghiệm phương trình (2.2.1) với (t0 , u0 ) ∈ R+ × E n . Khi khoảng lớn tồn nghiệm u(t, t0 , u0 ) (2.5.1) cho d[u0 , ˆ0] ≤ w0 [t0 , ∞). Chứng minh. Cho u(t) = u(t, t0 , u0 ) nghiệm (2.5.1) với d[u0 , ˆ0] ≤ w0 , tồn [t0 , β), t0 < β < ∞ giá trị β không tăng. Định nghĩa m(t) = d[u(t), ˆ0]. Theo Hệ 2.3.1 có m(t) ≤ r(t, t0 , d[u, ˆ0]), t0 < β < ∞. Với t1 , t2 cho t0 < t1 < β ta có t1 d[u(t1 ), u(t2 )] = d[u0 + t2 f (s, u(s))ds, u0 + t0 t0 t2 f (s, u(s))ds, ˆ0] = d[ t1 t2 d[f (s, u(s)), ˆ0]ds = t1 t2 g(s, d[u(s), ˆ0])ds. ≤ f (s, u(s))ds] t1 37 (2.5.2) Theo biểu thức (2.5.2) tính chất không giảm g(t, w) cho thấy t2 d[u(t1 ), u(t2 )] ≤ g(s, r(s, t0 , w0 ))ds (2.5.3) t1 = r(t2 , t0 , w0 ) − r(t2 , t0 , w0 ). Vì lim− r(t, t0 , w0 ) tồn hữu hạn theo giả thiết, lấy giới hạn t→β t1 , t2 → β − sử dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, từ 2.5.3 mà lim− u(t, t0 , u0 ) t→β tồn tại. Sau định nghĩa u(β, t0 , w0 ) = lim− u(t, t0 , u0 ) xét t→β toán giá trị ban đầu. u = f (t, u), u(β) = u(β, t0 , u0 ). Giả sử tồn địa phương ta thấy u(t, t0 , u0 ) liên tục vượt β, mâu thuẫn với giả thiết không vượt β. Do nghiệm u(t, t0 , u0 ) 2.5.1 thỏa mãn d[u0 , ˆ0] ≤ w0 tồn [t0 , ∞) định lý chứng minh. 38 Kết luận Luận văn trình bày lý thuyết tập mờ, phép toán hàm giá trị mờ tồn nghiệm phương trình vi phân mờ. Các kết luận văn là: • Trình bày kiến thức sở tập mờ hàm giá trị mờ. Đây vấn đề nghiên cứu, luận văn tập trung trình bày số lý thuyết tập mờ, ví dụ số tính chất định tính hàm giá trị mờ trước nghiên cứu phương trình vi phân mờ. • Chứng minh tính giải cho phương trình vi phân mờ cấp 1. Chúng chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân mờ với vế phải Lipschitz bị chặn. Các nguyên lý so sánh phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện toán thiết lập. Hơn nữa, tồn nghiệm toàn cục toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ chứng minh. Đây khởi đầu tốt cho loạt nghiên cứu sau cho lý thuyết ổn định phương trình vi phân mờ. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Nghĩa 39 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. [B] Tiếng Anh [3] J.J Buckley and Feuring (2000), Fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems 110, No. 1, pp 43-54. [4] N. Bobyle, A posibilistic argument for irreversibility(1990),Fuzzy Sets and Systems 34, 73 - 80. [5] C. Castaing.and M. Valadier, (1977), Conver Analysis and Measurable Mutifunction, Springer - Verlag, Berlin. [6] Debreu (1967), Integration of correspondences, California Fress, Berkeley, CA. [7] P. Diamond and P. Kloeden, (1994), Metric Spaces of Fuzzy Sets, World Scientific, Singapore. [8] N. D. Phu, T. T Tung (2006), Existence of solutions of fuzzy control diferential equations, J. Science and Technology Development, 9(2) 5- 10. 40 [9] V. Novak (1989), Fuzzy sets and their applications, Translated from the Czech. Adam Hilger, Ltd, Bristol. [10] M.L. Puri and D.A. Ralescu, (1986), Fuzzy random variables, JMAA144 [11] H.K. Royden (1968), Real Analysis, Macmillan, London. [12] V. Lakshmikantham and S. Leela (1996), Differential and Integral Inequalities, Vol. I, Academic Press, New York [13] V. Lakshmikantham and R.N. Mohapatra (2003), Theory of Fuzzy Differential equations and Inclusions, Taylor & Francis Publishers, London. [14] L.A.Zadeh (1965), Fuzzy sets, Inf. Control 8, pp 338 - 353. 41 [...]... phương trình vi phân mờ Đầu tiên phần 2.2 chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ với điều kiện Lipschitz và điều kiện bị chặn vế phải Sau đó các nguyên lý so sánh và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện bài toán được trình bày trong phần 2.3 và 2.4 Cuối cùng phần 2.5 là kết quả cho sự tồn tại của nghiệm toàn cục của phương trình vi phân mờ 2.2 Định lý tồn. .. khả vi trên T và d δ(x, Fα (t)) = δ(x, DFα (t)) dt Vì DFα (t) là compact và lồi nên nó có thể được biểu diễn như giao của tất cả nửa không gian đóng chứa nó DFα = Hx x∈S với Hx = {z ∈ Rn : x.z ≤ δ(x, DFα (t))} khi đó DFα (t) bằng đạo hàm của tập ánh xạ giá trị Fα 19 Chương 2 CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ 2.1 Giới thiệu Chương này dành cho lý thuyết định tính của phương. .. mãn các giả thiết của Định lý 2.2.1 do đó bài toán giá trị ban đầu u = A(t)u + B(t), u(t0 ) = u0 có nghiệm duy nhất trên J Kết quả sự tồn tại địa phương tương tự như định lý của Peano là không có giá trị đối với phương trình vi phân mờ, vì (E n , d) là một không gian metric, không là compact địa phương, do vậy tính liên tục của f trong (2.2.1) là không đủ để đảm bảo sự tồn tại địa phương như trong hữu... 2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân mờ u = f (t, u), u(t0 ) = u0 , t0 ≥ 0, (2.2.1) ở đây f ∈ C[J × E n , E n ], J = [t0 , t0 + a], a > 0 Định nghĩa 2.2.1 Ánh xạ u : J → E n gọi là một nghiệm của bài toán 20 (2.2.1) nếu nó liên tục và thỏa mãn phương trình tích phân t u(t) = u0 + f (s, u(s))ds, t ∈ J (2.2.2) t0 Áp dụng của nguyên lý ánh xạ co, chúng... điểm này là nghiệm của phương trình (2.2.1) Hoàn thành chứng minh 24 2.3 Định lý so sánh Sử dụng các tính chất của d[u, v] và tích phân được liệt kê ở trên được gọi lý thuyết vi phân và bất đẳng thức tích phân, chúng ta sẽ xây dựng nguyên lý so sánh sau đây Định lý 2.3.1 Giả sử f ∈ C[J × E n , E n ] và t ∈ J, u, v ∈ E n , d[f (t, u), f (t, v)] ≤ g(t, d[u, v]) (2.3.1) với g ∈ C[J × R+ , R+ ] và g(t, w)... u, T v] ≤ H[u, v] 2 Nguyên lý ánh xạ co đảm bảo sự tồn tại duy nhất điểm cố định u∗ của T, điều này cho thấy u∗ (t) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.2.1) trên J Định lý được chứng minh Ví dụ 2.2.1 Cho A, B : J → E 1 là liên tục Định nghĩa f : J ×E 1 → E 1 là f (t, u) = A(t)u + B(t) với phép nhân trong E 1 được cho bởi nguyên lý mở rộng Zadeh Nếu [A(t)]α = [aα (t), aα (t)] và [x]α = [xα , xα ] thì 1... µn → t và do đó lim dH (t[A]α , µn [A]α ) = 0 n→∞ t suy ra f ∈ t[A]α nên F ⊂ tA 0 1.7 Tính khả vi Ta nhắc lại định nghĩa sai phân Hukahara 15 Cho x, y ∈ E n Nếu tồn tại một phần tử z ∈ E n sao cho x = y + z thì ta gọi z là sai phân Hukahara của x và y, kí hiệu x − y Định nghĩa sau đây do Puri and Ralescu được đưa ra trong [10] Định nghĩa 1.7.1 Ánh xạ F : T → E n là khả vi tại t0 ∈ T nếu tồn tại F... thay vì bất đẳng thức tích phân, ta có thể bỏ qua đặc tính đơn điệu của g(t, w) 26 được giả sử trong Định lý 2.3.1 Điều này được chứng minh trong các nguyên lý so sánh tiếp theo Định lý 2.3.2 Cho các giả thiết của Định lý 2.3.1 trừ tính chất không giảm của g(t, w) trong w Khi đó kết luận (2.3.3) là đúng Chứng minh Cho h > 0 sai phân- Hu(t + h) − u(t), v(t + h) − v(t) tồn tại, và với t ∈ I ta có m(t +... của d được Lakshmikantham and Mohapatra đưa ra trong [13] Định lý 1.7.3 Nếu F, G : T → E n là khả vi và λ ∈ R thì (F + G) (t) = F (t) + G (t) và (λF ) (t) = λF (t) Định lý 1.7.4 Nếu F : T → E n là liên tục thì với mọi t ∈ T tích phân t G(t) = F là khả vi và G (t) = F (t) a Chứng minh Chú ý rằng theo Hệ quả 1.6.1 F là khả tích Với h > 0, theo Định lý 1.6.1 ta có t+h G(t + h) − G(t) = F t Cho tùy ý và. .. (t0 − h) và lim+ h→0 h h tồn tại và bằng F (t0 ) Giới hạn này được thực hiện trong không gian metric (E n , d) Tại các điểm cuối của T ta chỉ xét các đạo hàm 1 phía Nhận xét 1.7.1 Từ định nghĩa suy ra rằng nếu F khả vi thì ánh xạ đa trị Fα là khả vi Hukahara với mọi α ∈ [0, 1] và DFα (t) = [F (t)]α (1.7.1) với DFα là kí hiệu đạo hàm Hukahara của Fα Điều ngược lại không đúng, vì sự tồn tại sai phân Hukahara . CHƯƠNG 2: Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ Chương này dành cho vi c nghiên cứu tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1. Đầu. trình nghiên cứu cả về lý 1 thuyết cũng như ứng dụng của phương trình vi phân mờ. Trong đó vi c nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho các bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân. phương trình vi phân mờ. • Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết giải tích mờ liên quan đến vi c giải phương trình vi phân mờ và bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1. 2 4. Phương pháp