Luận văn thạc sĩ toán định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ NGHĨA ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHAT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LU

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGHĨA

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHAT NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ KIM SƠN

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Kim Sơn, cô đã tận tìnhchỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, phòngSau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập

Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè

đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình,

đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và động viên trong quá trình học tập và nghiêncứu

Hà Nội, tháng 10 năm 20lị Tác giả

Nguyễn Thị Nghĩa

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài

“Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ” đượchoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Kim Sơn và bản thân tác

9

1 1

1 2

15

2 0

20 20

25313

Tập mờMetric Hausdorff

Không gian E r

Tính đo đượcTính khả tíchTính khả vi

CÁC ĐỊNH LÝ TỒN TẠI DUY NHAT NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜGiới thiệu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệmĐịnh lý so sánh

Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện bài toán

Sự tồn tại nghiệm toàn cục

Tài liệu tham khảo

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết tập mờ là lý thuyết toán học hiện đại và trừu tượng Lý thuyết

mờ đang là xu thế trong thời đại mới, là ngôn ngữ chủ đạo quan trọng để conngười đi đến những tri thức nhân tạo Xuất phát từ thực tế con người phải sửdụng ngôn ngữ với số lượng hữu hạn để nhận biết, nhận thức phản ánh thế giới

vô hạn, trong khi đó chúng ta lại thường xuyên đối mặt với những vấn đề chứanhững yếu tố cơ bản không đầy đủ, không chắc chắn, không chính xác Vì vậy

sẽ có một lý thuyết toán học nào đó cho phép mô hình hóa phần thế giới thực

mà con người chỉ có thể mô tả bằng ngôn ngữ tự nhiên hàm chứa những thôngtin không chính xác, không chắc chắn Phát hiện nhu cầu đó năm 1965L.A.Zadeh đã sáng lập ra lý thuyết tập mờ và đặt nền móng cho việc xây dựngmột loạt các lý thuyết quan trọng dựa trên cơ sở lý thuyết tập mờ Lý thuyết tập

mờ và các ứng dụng của nó bắt đầu được phát triển từ những năm 70 của thế

kỷ XX, và tầm quan trọng của lý thuyết mờ trong công nghiệp điều khiển đượctăng mạnh từ năm 1990

Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành phát triển cótầm quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹthuật, kinh tế, vật lý, Chính vì vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân nóichung luôn là nhiệm vụ cần thiết Đặc biệt trong những năm gần đây, đã cónhiều công trình nghiên cứu cả về lý thuyết cũng như ứng dụng của phươngtrình vi phân mờ Trong đó việc nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho

các bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân mờ là cần thiết tạo tiền đề

cơ sở lí thuyết vững chắc cho các bài toán ứng dụng về sau như giải xấp xỉnghiệm số của phương trình vi phân mờ, xây dựng thuật toán tìm nghiệm củaphương trình vi phân mờ Chính vì các lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài

nghiên cứu: “Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương

trình vi phân mờ” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành toán.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiền cứu

Vì lý thuyết mờ nói chung và phương trình vi phân mờ nói riêng còn là lýthuyết mới cần được tìm hiểu, do vậy luận văn tập trung vào việc trình bày lạimột số kiến thức cơ bản của tập mờ và hàm giá trị mờ trước khi đi sâu vàonghiên cứu về phương trình vi phân mờ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết tập mờ, giải tích mờ và phương trình viphân mờ

• Phạm vi nghiên cứu: Các lý thuyết giải tích mờ liên quan đến việc giảiphương trình vi phân mờ và bài toán Cauchy cho phương trình vi phân

mờ cấp 1

4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng kiến thức của giải tích hàm thực, giải tích tập hợp, giải tích hàm

đa trị và lý thuyết không gian metric-topo để xem xét các tính chất giảitích của hàm mờ; tập mờ

• Sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach và các đánh giá trong lý thuyết tậphợp, không gian metric để chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm củaphương trình vi phân mờ.

5 Nội dung và cấu trúc của luận văn

Nội dung chính của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu về lýthuyết tập mờ, giải tích hàm mờ và chứng minh các định lý về sự tồn tại duynhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1 trongcông trình của V Lakshmikantham và R N Mohapatra [13] Luận văn dài 40trang, ngoài phần Lời cảm ơn, Lời cam đoan, mục lục, Mở đầu, Kết luận vàTài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương

• CHƯƠNG 1: Tập mờ và hàm giá trị mờ

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm về tập mờ, đưa ramột số ví dụ về tập mờ và trình bày các tính chất giải tích như: tính đođược, tính khả tích và tính khả vi của hàm giá trị mờ (gọi tắt là hàm mờ).Không gian các tập mờ đặc biệt thường được nghiên cứu trong lý thuyết

phương trình vi tích phân, E n, cũng

được trình bày trong chương này

• CHƯƠNG 2: Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ

Chương này dành cho việc nghiên cứu tính giải được duy nhất của bài toánCauchy cho phương trình vi phân mờ cấp 1 Đầu tiên chúng tôi trình bày sựtồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ với điều kiện

Lipschitz và điều kiện bị chặn của vế phải Sau đó các nguyên lý so sánh và

sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện của bài toán trên cũngđược nghiên cứu Cuối chương là một kết quả cho sự tồn tại của nghiệm toàncục của phương trình vi phân mờ

Chương 1 TẬP MỜ VÀ HÀM GIÁ TRỊ MỜ

1.1 Giới thiệu

Trong chương này chúng tôi trình bày về tập mờ, nêu lên một số ví dụ củatập mờ Trong đó về phần 1.2 chúng ta sẽ tìm hiểu về tập mờ Phần 1.3 nhắclại khái niệm về khoảng cách Hausdorff giữa các tập con của Mn Không gian

E n được giới thiệu trong phần 1.4 với các ví dụ và tính chất quan trọng Tính

đo được, tính khả tích và tính khả vi của hàm giá trị mờ được trình bày tươngứng trong các phần 1.5, 1.6 và 1.7

1.2 Tập mờ

Ý tưởng về một tập mờ lần đầu tiên được đề xuất bởi Lotfi Zadeh vàonăm 1965, nó như một phương tiện để xử lý những vấn đề chứa yếu tố cơ bảnkhông đầy đủ, không chắc chắn, không chính xác

Các tập mờ được xét với cơ sở tập hợp khác rỗng X Ý tưởng cơ bản là mỗi phần tử X e X được gán cho một hàm thuộc u(x) lấy giá trị trong [0,1], với

u(x) = 0 tương ứng với X không thuộc tập mờ, 0 < u(x) < 1 với X thuộc một phần tập mờ và u(x) = 1 với X thuộc cả vào tập mờ Kí hiệu theo Zadeh một

tập mờ là một tập con khác rỗng {(ж,и(ж)) : X £ X} của X X [0,1] với hàm и :

X [о, о, 1] Hàm и này thường được kí hiệu

Khi đó lí (ж) cho ví dụ về tập mờ gồm các số gần 100 trên tập số thực.

Hiển nhiên có nhiều lựa chọn hợp lý khác của tập mức của hàm thuộc Độ

phụ thuộc cho một tập cổ điển hay còn gọi là tập rõ A của X là không thuộc hoặc thuộc hoàn toàn Như vậy từ tập rõ Ả của X có thể xác định được một tập

mờ trên X được cho bởi hàm đặc trưng X A '■ X —»■ [0,1] với

ae(о, 0,l]

Xét hàm и : X —> [о, о, 1] là một tập mờ của không gian cơ sở khác rỗng X và

kí hiệu J-{X) là tất cả các tập mờ Ta ký hiệu u c là phần bù của и G J-’(X), и

V г> là hợp và и л V là giao của и, V G F{x) và được định

nghĩa tương ứng như sau: (1.2.5)

với y e Y ở đây / 1 (y) = {{x l ,x 2 ) e Xl X x2 : f ( xux2) = y} có thể

rỗng hoặc chứa một hay nhiều điểm

Đặc biệt, một tập mờ u e T{X) được gọi là tậpmờ chuẩn tắc nếu

tồn tại ít nhất một điểm x ữ E X mà u(xo) = 1.

Cho Ả và B là hai tập con khác rỗng của Mn và cho A Ẽ I.Ta địnhnghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau

A + B — -[ữ -|- b ữ ẽ A, b ẽ B}

và

\A — {Àữ ữ G

Ví dụ 1.2.1 Cho A = [0,1] sao cho (—1)A = [—1,0] do đó

Л + (-1)Л = [0,1] +[-1,0] = [-1,1]

Từ Ví dụ 1.1.1 ta thấy rằng khi cộng thêm (—1) không thiết lập phép

toán trừ tự nhiên Thay vào đó ta có định nghĩa về hiệu Hukuhara A — B của hai tập khác rỗng A và в như sau

Định nghĩa 1.2.1 (Hiệu Hukuhara)

Ta nói А — В = С nếu tồn tại с Ф 0 thỏa mãn

Cho X là một điểm trong Mn và A là một tập con khác rỗng của

Khoảng cách d(x, Ä) từ X tới A được định nghĩa

trong đó 11.11 là chuẩn thông thường trên Mn

Do đó d(x, Ä) = d(x, Ã) > 0 và d(x, A) = 0 khi và chỉ khi X ẽ Ã là

bao đóng của A trong

Ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con khác rỗng A và В

Kí hiệu /C£ bao gồm tất cả các tập con lồi, compact khác rỗng của Mn và

JC n bao gồm tất cả các tập con compact khác rỗng của Mn Khi đó từLakshmikantham and R.N Mohapatra [13 ]ta có

2) [u]° là tập con bị chặn của Mn;

3) [u] a là tập compact của Rn với mọi a £ I;

[u] a = о, [г?]“ = [0,2(1 — a)] với - < а < 1.

Vì vậy

{ 0 với 0 < a < - '2 2(1 — cc) với - < a < 1.

Thì sup{ệ(a) : a € 1} — 1, nhưng điều này là không đạt được.

Từ các tính chất của metric Hausdorff được liệt kê trong các Mệnh đề 1.3.1 và 1.3.2 ta có

d(cu,cv) = \c\d(u,v)', d(u + w,v + w) = d(u, v)\

d ( u + w , V + w 1 ) < d ( u , V) + d ( w , W 1 ) ;

với c > 0 và u, V, w, w' G E n

Kết quả sau được chứng minh trong [7]; [4]

Định lý 1.4.1 (E n ,d) là một không gian metric đầy đủ.

F a (t) = [F a (t)] a

là đo được (Lebesgue).

Bổ đề 1.5.1 Nếu F : T —»■ E n là ỉiên tục đối với metric dnghĩa là

với mọi t 0 G T ; e > 0; và tồn tại ô > 0 sao cho 11 — t 0 \ < ô thì d(F(t), F(ío)) < e í/ỉì raó /à đo được

Chứng minh Cho € tùy ý, € > 0 và t o G T Từ tính liên tục nên tồn tại

ỏ > 0 sao cho

d(F(t), F(t 0 )) < e khi \t — t 0 \ < ỗ.

Nhưng theo định nghĩa của d ta có d H (F a (t), F a (tữ)) < 6 với mọi \t—t 0 \ < ỏ,

mà F a là liên tục đối với metric Hausdorff Do đó F~ l (U) là mở và đo được,

Nếu F là ánh xạ từ T vào E1 thì F a (t) là đoạn compact, F a (t) =

Ịi a (t)] Với Àa và ịẲ a là đo được

1.6 Tính khả tích

Ánh xạ F : T —> E n được gọi là bị chặn khả tích nếu tồn tại một hàm

khả tích h sao cho Ị|a^|Ị < h(t) với mọi X € F 0 (t).

Định nghĩa 1.6.1 Cho F : T E n Tích phân của FtrênT được kí

Nhận xét 1.6.1 Nếu F : T —»■ E 1 ỉà khả tích thì x a và ịi a ỉà đo được

f F thu được bằng cách tính tích phân a-level curves (đường cong mức-a), đó là

Chứng minh Theo Bổ đề 1.5.1 thì F là đo được Vì F Q liên tục, F ữ (t) €

/C£ với mọi t £ T và T là compact, thì ỊJ F 0 (t) là compact.

[a, c\ và g 2 là hàm chọn đo được của F a trong [c, 6] Thì / được xác định

qAt) nếu t € \a, cl f(t) =:

g 2 (t) nếu t € [c, 6]

1^11 < M với mọi X G F ữ (t) và t G T Nhưng điều này có nghĩa là

Hệ quả đã được chứng minh

Các tính chất sau được chứng minh chi tiết trong

Lakshmikantham and R.N Mohapatra [13]

Rõ ràng tA С / F Ngược lại, cho а e [о, о, 1] và lấy bất kì J / e / F a , 0

khi đó Ị f có thể được biểu diễn như là một giới hạn của tổng

i—1

với {(r, [íj_i, íj]) : г = 1,2, ,n} là các phân hoạch của [0,í) với độ đo ịi n Vì Ĩ{tì) g [A] a với i = 1, 2 , , n và [Л]а là hội tụ nên suy ra Sn £ HnịA] 0 1 với

mọi n Tiến qua giới hạn thì ịi n —¥ t và do đó

lim d H (t[A] a ,ịi n [A] a ) = 0

n—>00

suy ra / / ẽ t[A] a nên Ị F с tA.

0

1.7 Tính khả vi

Ta nhắc lại định nghĩa sai phân Hukahara

Cho x,y € E n Nếu tồn tại một phần tử z ẽ E n sao cho X = y + z thì

ta gọi z là sai phân Hukahara của X và y, kí hiệu X — y Định nghĩa sau

đây do Puri and Ralescu được đưa ra trong [10]

Định nghĩa 1.7.1 Ánh xạ F : T —¥ E n là khả vi tại t ữ €E T nếu tồn

tại F'(t0) e E n sao cho các giới hạn sau

Nhận xét 1.7.1 Từ định nghĩa suy ra rằng nếu F khả vi thì ánh xạ đa trị

F a là khả vi Hukahara với mọi a G [0,1] và

với DF a là kí hiệu đạo hàm Hukahara của F a

Điều ngược lại không đúng, vì sự tồn tại sai phân Hukahara [x] a — [y] a , a G [0,1], không bao hàm sự tồn tại của sai phân Hukahara X —

Chứng minh Cho t,t + h e T với h > 0 Nên theo tính chất của d và bất

đẳng thức tam giác ta có

d(F(t + h), F(t)) = d(F(t + h)~ F(t), ô)

< hd{{F(t + h)~ F(t))/h, F'{t)) + hd{F'{t), ô) với h là vô cùng bé để sai phân Hukahara F(th) — F(t) tồn tại Do F khả vi

và vế phải tiến tới 0 khi h —> 0+ do đó F là liên tục phải Tính liên tục trái

Các kết quả sau đây được suy ra từ các tính chất của d được Laksh-

mikantham and Mohapatra đưa ra trong [13]

Định lý 1.7.5 Cho F : T —»• E n là khả vi và giả sử rằng đạo hàm F'

là khả tích trên T Khi đó với mỗi s £ T, ta có

í với môi S&T, ta có

với DF a là sai phân Hukahara của F a

Mà giá của phiếm hàm Ỗ(-,K) : Mn —> M của K e /C£ được định nghĩa là

ố(a, K) = sup{a.fc : k G K}

với a.k là kí hiệu tích vô hướng thông thường của a và k Nếu Ki,K 2 € /C£ thìtheo Định lý 11-18 trong Castaing and Valadier [5] có phương trình

d{K u K 2 ) = sup |<5(a, K T ) - ỗ{a, K 2 )\ (1.7.3)

mọi X G s, ô(x, F a (t) khả vi trên T và

h

2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân mờ

u ' = u ( t 0 ) = u 0 , t 0 > 0, (2.2.1)

ở đây / e C[J X E n , En], J = [t 0 , t 0 + a], a > 0.

Định nghĩa 2.2.1 Ánh xạ u : J —>• E n gọi là một nghiệm của bài toán

Áp dụng của nguyên lý ánh xạ co, chúng ta sẽ thấy rằng nếu f(t, ù)

thỏa mãn điều kiện Lipschitz, thì bài toán (2.2.1) có nghiệm duy nhất trên J.Điều đó được trình bày cụ thể trong định lý sau

Định lý 2.2.1 Giả sử rằng f G cự X E n ,E n ] và thỏa mãn điều kiện Lipschitz

trên J.

Chứng minh Cho C[J, E n ] kí hiệu tập tất cả các hàm số liên tục từ J tới

E n Định nghĩa metric có trọng có trong C[J, E n ] như sau

H(u,v) = sup d[u(t),v(t)]e

J

với u,v G C[J, E n ] và A > 0 Vì (E n ,d) là không gian metric đầy, ta cũng có

không gian (C[J, E n ], H) cũng đầy.

Với u, V G C[J, E n ], ta định nghĩa Tu trên C[J, E n ] bằng mối quan hệ

chất của tích phân trong Định lý 1.6.2 ta có

< J d[f{s,u{s)),f{s, to

Ví dụ 2.2.1 Cho A,B : J —)■ E 1 là liên tục Định nghĩa f : JxE 1 —»■

E 1 là f(t,u) = A(t)u + B(t) với phép nhăn trong E1 được cho bởi

nguyên lý mở rộng Zadeh Nếu [A(t)]a = [a“(í), a>2 (í)] và [ж]а = [ж“, а?

2] thì

[ A ( t ) u ] a = [min(a“ ( t ) Xị , a % ( t ) X ị , a“( t ) x %, ữg {t ) x 2 ), max(a“(i)z“,

Hàm số |a“Ị, \a%Ị là bị chặn trên J bởi một hằng số không phụ thuộc với

O i

Sau phép tính đơn giản cho thấy f(t,u) thỏa mãn các giả thiết của

Định lý |2.2.l| do đó bài toán giá trị ban đầu

u' — A(t)u + B(t), u(tữ) = u 0

có nghiệm duy nhất trên J

Kết quả sự tồn tại địa phương tương tự như định lý của Peano là không có

giá trị đối với phương trình vi phân mờ, vì (E n ,d) là một không gian metric,

không là compact địa phương, do vậy tính liên tục của / trong (2.2.1) là không

đủ để đảm bảo sự tồn tại địa phương như trong hữu hạn chiều Hơn nữa, nếu /

là liên tục và bị chặn, chúng ta có thể chứng minh kết quả tồn tại Sau đây thậtvậy ta tiếp tục xét bài toán (2.2.1) Chúng ta sẽ sử dụng không gian metric

C[J, En] nhưng với metric không trọng

H[u, v\ = sup d[u(t), v(t)], u, V € C[J, En]