n) Do đó phép xấp xỉ liên tiếp {u n(t)} được xác định rõ trên [t0,t 0+ rị\.
2.5. Sự tồn tại nghiệm toàn cục
cm) Chúng ta xét phương trình vi phân mờ
cn) u ' = /(í,u),u(t0) = lio
co) ở đây / e Ơ[M+ X En, En]. Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm với t > t0. Giả sử sự tồn tại địa phương, ta sẽ chứng minh kết quả tồn tại toàn diện.
Chúng ta 2.4.
2.4. v
cp) Định lý 2.5.1. Giả sử f € Ơ[M+ X En,En] và
cq) d[f(t, u), 0] < g(t, dịu, ô]), {t, u) e R+ X En ở đây g €E C[R2+ X M+],
g(t, w) là không giảm trong w với mỗi t € M+ và
cr) nghiệm cực đại r(t,Tữ,w0) của (2.3.2) tồn tại trên [í0,oo). Giả sử thêm
rằng f đủ trơn để đảm bảo sự tồn tại địa phương của nghiệm trong phương trình (2.2.1) với bất kì (t0ìuữ) e M+ X En. Khi đó khoảng lớn nhất của sự tồn tại nghiệm u(t,tQ,uữ) bất kì của (2.5.1) sao cho d[ií0,Ô] < Wq là ụ0,oo).
cs) Chứng minh. Cho u(t) = u(t,t0,uữ) là nghiệm bất kỳ của (2.5.1) với d[wo,Ô] <
wữ, tồn tại trên [tữ,Ị3),tữ < Ị3 < oo và giá trị của Ị3 không tăng.
ct) Định nghĩa m(t) = d[u(t),0].Theo Hệ quả
cu) 2.3.1
cv) ĩĩiịt) < r(t,t0,d[u,ồ\), t0 < Ị3 < o o.
cw) Với ti,Ì2 bất kì sao cho tữ < ti < Ị3 ta có
cx) í 1 Í2 d[u(tị),u(t2)] = d[u0 + Ị f(s,u(s))ds,u0 + Ị f(s,u(s))ds] cy) t o 10 cz) Í2 da) = d[Ị f(s,u(s))ds,ố] db) tl dc) = J d[f{s,u{s))ìÔ]ds dd) íl de) Í2 < I g(s,d[u(s),Ô])ds. df) ^1 c (2.5.
dg) Theo biểu thức (2.5.2) và tính chất không giảm của g(t, w) cho thấy
dh) (2.5.3)
di) = r(t2,t0,w0) - r(t2,t0,w0).
dj) Vì lim r(t,tữ,w0) tồn tại và hữu hạn theo giả thiết, lấy giới hạn khi
dk) t-*ạ-
dl) ti,h /3 và sử dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, từ 2.5.3 mà lim u(t, t0, uữ)
dm) t—y
Ị3~
dn) tồn tại. Sau đó chúng tôi định nghĩa w(/3, t0, wữ) = lim u(t, í0, w0) và xét
do) t->p-
dp) bài toán về giá trị ban đầu.
dq) u ' = f ( t , u ) , u ( P ) = u ( P, t o , u 0 ) .
dr) Giả sử tồn tại địa phương ta thấy u(t, tữ, uữ) vẫn có thể liên tục vượt quá /3, mâu thuẫn với giả thiết không được vượt quá Ị3. Do đó mọi nghiệm
ds)u(t,tữ,uữ) của 2.5.1 thỏa mãn d[iío,Ô] < wữ tồn tại trên [to500) và định lý được
chứng minh. □
£2
d[w(íi),u(í2)] < Ị g{s,r(s,t 0 ,w 0 ))di
dt) Kết luận
du) Luận văn trình bày các lý thuyết của tập mờ, các phép toán của hàm giá trị mờ và sự tồn tại duy nhất của nghiệm của phương trình vi phân mờ. Các kết quả chính của luận văn là:
• Trình bày các kiến thức cơ sở về tập mờ và hàm giá trị mờ. Đây là vấn đề mới được nghiên cứu, do vậy luận văn đã tập trung trình bày một số lý thuyết của tập mờ, các ví dụ và một số tính chất định tính của hàm giá trị mờ trước khi nghiên cứu phương trình vi phân mờ.
• Chứng minh tính giải được duy nhất cho phương trình vi phân mờ cấp 1. Chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân mờ với vế phải Lipschitz và bị chặn. Các nguyên lý so sánh và sự phụ thuộc liên tục các nghiệm vào các dữ kiện của bài toán đã được thiết lập. Hơn nữa, sự tồn tại của nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cũng đã được chứng minh. Đây là sự khởi đầu tốt cho một loạt các nghiên cứu về sau cho lý thuyết ổn định của phương trình vi phân mờ.
dv) Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả
dw) Nguyễn Thị Nghĩa
dx) Tài liêu tham khảo
[1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[B] Tiếng Anh
[3] J.J Buckley and Feuring (2000), Fuzzy differential equations, Fuzzy
Sets and Systems 110, No. 1, pp 43-54.
[4] N. Bobyle, A posibilistic argument for irreversibility(1990),Fuzzy Sets and
Systems 3Ậ, 73 - 80.
[5] c. Castaing.and M. Valadier, (1977), Conver Analysis and Measurable
Mutifunction, Springer - Verlag, Berlin.
[6]Debreu (1967), Integration of correspondences, California Fress, Berkeley, CA.
[7] P. Diamond and p. Kloeden, (1994), Metric Spaces of Fuzzy Sets, World Scientific, Singapore.
[8] N. D. Phu, T. T Tung (2006), Existence of solutions of fuzzy control