Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỒ VŨ CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh- Năm 2016 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TpHCM Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đình Phư PGS.TS Lê Sĩ Đồng Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Phản biện 2: TS Trần Minh Thuyết Phản biện 3: TS Nguyễn Tiến Dũng Phản biện độc lập 1: TS Trần Minh Thuyết Phản biện độc lập 2: TS Trần Thanh Tùng Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp Đại học Khoa học Tự nhiên TpHCM vào lúc ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Tổng quan vấn đề Phương trình vi phân mờ (Fuzzy differential equation) nghiên cứu Kaleva [20] dựa vào khái niệm đạo hàm Hukuhara Kaleva thiết lập khái niệm bản, chứng minh tồn nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ điều kiện Lipschitz, đặt móng cho nghiên cứu sau Ngoài ra, giai đoạn này, phương trình vi phân với điều kiện đầu mờ nghiên cứu Seikkla [44], Wang Wu [48] Trong gần thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực phương trình vi phân mờ phát triển mạnh mẽ, thu hút nhiều nhà khoa học giới Nhìn chung việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm cho phương trình vi phân mờ dựa vào khái niệm khả vi Hukuhara thu nhiều thành tích đáng kể Chúng ta tham khảo kết nghiên cứu đầy đủ sách chuyên khảo [10, 47] Tuy nhiên khái niệm khả vi Hukuhara có nhược điểm bán kính tập mức hàm khả vi Hukuhara tăng dần theo biến thời gian Vì khái niệm khả vi Hukuhara không thích hợp để nghiên cứu biểu diễn tiệm cận nghiệm toán biên tuần hoàn Để khắc phục nhược điểm trên, Bede đồng nghiệp [7] xây dựng khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát dựa hiệu Hukuhara tổng quát Khái niệm cho phép bán kính tập mức nghiệm giảm theo biến thời gian tồn điểm chuyển phần bán kính tăng hay giảm Việc nghiên cứu lớp hàm giá trị tập giá trị mờ tính khả vi Hukuhara tổng quát tạo số lĩnh vực nghiên cứu cho lý thuyết phương trình vi phân mờ không gian giải tích trừu tượng, tồn tính dạng nghiệm xét tính khả vi theo nghĩa khác nhau, điểm chuyển dạng nghiệm, điều kiện đủ để nghiệm khả vi theo nghĩa khác nhau, Một số kết nghiên cứu đạt gần kể đến như: Allahviranloo đồng nghiệp [1, 3, 4, 5, 6], Khastan đồng nghiệp [22, 23], Nieto đồng nghiệp [37, 38], Trong năm gần có nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu lĩnh vực phương trình vi phân mờ đạt kết nghiên cứu tốt, đóng góp thiết thực cho phát triển cho lĩnh vực nghiên cứu non trẻ Chẳng hạn, Nguyễn Đình Phư cộng [41, 42], Ngô Văn Hòa [17, 18], Trần Thanh Tùng [46], Hoàng Việt Long, Nguyễn Thị Kim Sơn, Lê Hoàng Sơn, [27, 28, 29] Cùng với với phát triển lớp phương trình vi phân mờ, lớp phương trình vi phân có tích hợp hai yếu tố không chắn gồm tính mờ tính ngẫu nhiên nhà toán học quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như: Fei [12, 13, 14], Feng [15, 16], Li đồng nghiệp [26], Malinowski [30, 31, 33, 34], Agarwal đồng nghiệp [35], Michta [36], Ojha đồng nghiệp [39], Zhao đồng nghiệp [49], Trong [16], Feng chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên điều kiện Lipschitz dựa vào Định lý điểm bất động Banach tính ổn định nghiệm hệ số, điều kiện đầu bị nhiễu phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên cách sử dụng khái niệm đạo hàm trung bình bình phương, tích phân trung bình bình phương, liên tục trung bình bình phương, giới thiệu tác giả [15] Hiện nay, việc sử dụng công cụ giải tích mờ (thay sử dụng khái niệm Feng [15] Fei [11]) để nghiên cứu lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên nhiều nhà toán học quan tâm Trong [31, 32, 34], Malinowski chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên (Random fuzzy differential equation) vài điều kiện thích hợp Một số tính chất (bị chặn, ổn định, ) nghiệm xem xét Park Jeong [40] chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên có trễ Tiếp tục kết tác giả trên, nghiên cứu số tính chất định tính cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên, phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ Đó nội dung đề tài Luận án Luận án sử dụng công cụ giải tích mờ để nghiên cứu số tính chất định tính (định lý tồn nghiệm, tính bị chặn, tính ổn định, ) định lượng nghiệm số lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên Xây dựng lược đồ xấp xỉ nghiệm dạng Picard phương pháp giải nghiệm dạng giải tích cho lớp phương vi (tích) phân mờ ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu chủ đạo đề tài Luận án phương pháp xấp xỉ nghiệm để xây dựng dãy xấp xỉ Picard, sử dụng số quy trình tìm nghiệm mờ theo nguyên lý mở rộng Zadeh, phát triển số thuật toán cổ điển nhằm để giải số cho lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên lớp toán liên quan phương pháp Euler, Runge-Kutta, phương pháp Adomian, phương pháp Adams-Bashforth- Moulton, Cụ thể, Luận án nghiên cứu số tính chất định tính nghiệm cho vài lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên theo hướng sau: (1) Phân tích viết công thức nghiệm cho lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính đạo hàm Hukuhara (2) Nghiên cứu tính chất định tính nghiệm (định lý tồn nghiệm, tính bị chặn, tính ổn định) lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên đạo hàm Hukuhara tổng quát Với lớp phương trình, đề xuất phương pháp giải nghiệm tương ứng Luận án cấu trúc sau: Tổng quan vấn đề, nội dung Luận án (4 chương), kết luận, danh mục công trình tác giả tài liệu tham khảo Nội dung Luận án gồm chương sau: Chương Cơ sở toán học.Trình bày kiến thức cần sử dụng luận án: bao gồm khái niệm tập, mờ mờ ngẫu nhiên Các kết chứng minh chi tiết tìm thấy sách chuyên khảo Lakshmikantham Mohapatra [47], Diamond Kloeden [10] báo Puri Ralescu [43], Bede Gal [7], Chương Công thức nghiệm phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên Phân tích xây dựng công thức nghiệm cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính Kết chương công bố báo [V1] Chương Phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên Chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên đạo hàm mờ giới thiệu Bede Gal [45] vế phải toán thỏa mãn điều kiện tổng quát điều kiện Lipschitz thông thường Một vài tính chất (ổn định, so sánh) nghiệm xem xét Ngoài ra, xây dựng phương pháp giải nghiệm phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên dạng Volterra Kết chương công bố báo [V2] Chương Phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ Chứng minh tồn nghiệm phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ Một vài tính chất (ổn định, so sánh) nghiệm cho phương trình vi tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ xem xét Ngoài ra, xây dựng phương pháp giải cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ dạng Volterra dựa vào nhát cắt-0 nhát cắt -1 Kết chương công bố báo [V3] Các kết Luận án viết dựa báo [V1]-[V3], đăng tạp chí uy tín lĩnh vực Lý thuyết tập mờ (Fuzzy Set Theory) kết báo cáo, thảo luận Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ (Nha Trang, 8/2013), Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Một số kiến thức không gian Rd 1.1.1 Họ tập lồi, compact không rỗng Rd Cho A, B ⊂ Rd λ ∈ R, phép cộng Minkowski phép nhân vô hướng định nghĩa sau: A + B = { a + b : a ∈ A, b ∈ B}; λA = {λa : a ∈ A} Ta ký hiệu Kcc (Rd ) họ tập lồi, compact không rỗng Rd Định nghĩa 1.1 Cho A, B ∈ Kcc (Rd ) Nếu tồn tập C ∈ Kcc (Rd ) cho A = B + C ta nói C hiệu Hukuhara A B Ta ký hiệu C = A B Chú ý 1.1 Cho A, B ∈ Kcc (Rd ), ta có A A = θ A B = A + (−1) B Định nghĩa 1.2 (xem Lakshmikantham, Bhaska Devi [25]) Cho A, B hai tập lồi, compact không rỗng Rd Khoảng cách Hausdorff từ A đến B định nghĩa: d H ( B, A) = sup inf || a − b|| khoảng cách Hausdorff từ B đến A b∈ B,a∈ A định nghĩa sau: d H ( A, B) = sup inf || a − b||, || · || chuẩn Euclide a∈ A,b∈ B thông thường Rd Định nghĩa 1.3 (xem Lakshmikantham, Bhaska Devi [25]) Cho A, B ∈ Kcc (Rd ) Khoảng cách Hausdorff hai tập A, B định nghĩa sau: D [ A, B] = max{d H ( B, A), d H ( A, B)}, d H khoảng cách Hausdorff Rd 1.2 Một số kiến thức không gian mờ Ed 1.2.1 Không gian mờ Ed Ký hiệu Ed = { x : Rd → [0, 1] | x thỏa (i) - (iv) bên dưới} i) x chuẩn, nghĩa tồn u0 ∈ Rd cho x (u0 ) = 1; ii) x mờ lồi, nghĩa x (λu1 + (1 − λ)u2 ) ≥ min{ x (u1 ), x (u2 )}, với u1 , u2 ∈ Rd , ∀λ ∈ [0, 1]; iii) x nửa liên tục trên; iv) {u ∈ Rd : x (u) > 0} tập compact Khi đó, Ed gọi họ tập mờ Trong trường hợp d = 1, E1 gọi họ số mờ Định nghĩa 1.4 (xem Diamond Kloeden [10]) Cho x ∈ Ed Với α ∈ (0, 1], ta ký hiệu: [ x ]α = {u ∈ Rd | x (u) ≥ α} ∈ Kcc (Rd ) [ x ]0 = {u ∈ Rd | x (u) > 0} ∈ Kcc (Rd ) Ta gọi [ x ]α nhát cắt−α tập mờ x, [ x ]1 lõi tập mờ x, [ x ]0 giá tập mờ x Tính chất 1.1 (xem Diamond Kloeden [10]) Với ≤ α ≤ β ≤ 1, ta có [ x ] β ⊆ [ x ]α ⊆ [ x ]0 , với x ∈ Ed Định nghĩa 1.5 (xem Diamond Kloeden [10]) Cho x, y ∈ Ed Khoảng cách Hausdorff hai tập mờ x y xác định D0 [ x, y] = sup D ([ x ]α , [y]α ), α∈[0,1] D khoảng cách Pompeiu-Hausdorff Kcc (Rd ) Định lý 1.1 (xem Diamond Kloeden [10]) ( Ed , D0 ) không gian mêtric đầy đủ Tính chất 1.2 (xem Diamond Kloeden [10]) Cho x, y, z, w ∈ Ed λ ∈ R, ta có (i) với x, y, z ∈ Ed , D0 [ x + z, y + z] = D0 [ x, y]; (ii) với x, y ∈ Ed , λ ∈ R, D0 [λx, λy] = |λ| D0 [ x, y]; (iii) với x, y, z, w ∈ Ed , D0 [ x + y, z + w] ≤ D0 [ x, z] + D0 [y, w] 1.2.2 Giải tích mờ Tính chất 1.3 (xem Diamond Kloeden [10]) Cho hàm mờ f , g : [ a, b] → Ed khả tích [ a, b] λ ∈ R+ Khi đó, i) b a ( f (t) + ii) b a λ f ( t ) dt g(t))dt = =λ b a b a f (t)dt + b a g(t)dt, f (t)dt, iii) D0 [ f , g] khả tích D0 b a f (t)dt, b a g(t)dt ≤ b a D0 [ f (t), g(t)]dt Định nghĩa 1.6 (Hukuhara [19]) Cho x, y ∈ Ed Nếu tồn z ∈ Ed cho x = y + z z gọi hiệu Hukuhara x y Ký hiệu x y Ta ý x y = x + (−1)y Định nghĩa 1.7 (xem Chalco-Cano Román-Flores [9]) Cho f : ( a, b) → Ed g t0 ∈ ( a, b) Ta nói f có đạo hàm Hukuhara tổng quát t0 tồn D H f (t0 ) ∈ Ed cho (i) với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara f (t0 + h) f ( t0 + h ) f ( t0 ) f ( t0 ) = lim lim h h →0+ h →0+ f (t0 ) f (t0 ) f (t0 − h) tồn f ( t0 − h ) g = D H f ( t0 ) h (ii) với h > đủ nhỏ, hiệu Hukuhara f (t0 ) f (t0 + h) f (t0 − h) f (t0 ) tồn f ( t0 − h ) f ( t0 ) f ( t0 ) f ( t0 + h ) g = lim = D H f ( t0 ) lim −h −h h →0+ h →0+ Ở đây, giới hạn lấy không gian ( Ed , D0 ) 1.2.3 Trường hợp E1 Định nghĩa 1.8 (xem Ahmad đồng nghiệp [2], Diamond Kloeden [10]) Cho f : [ a, b] → E1 Đường kính f hàm diam([ f (·)]α ) : [ a, b] → R+ xác định bởi: diam([ f (t)]α ) = f αr (t) − f αl (t), [ f (t)]α = [ f αl (t), f αr (t)] với α ∈ [0, 1] Định lý 1.2 (xem Ahmad đồng nghiệp [2], Diamond Kloeden [10]) Cho f : [ a, b] → E1 ký hiệu [ f (t)]α = [ f αl (t), f αr (t)] với α ∈ [0, 1] 1) Nếu diam([ f (t)]α ) tăng theo t f αl (t), f αr (t) khả vi f khả vi-(i) 2) Nếu diam([ f (t)]α ) giảm theo t f αl (t), f αr (t) khả vi f khả vi-(ii) Định lý 1.3 (xem Nieto, López Franco [38]) Cho x, y ∈ E1 λ > Khi đó, với α ∈ [0, 1], i) diam([ x + y]α ) = diam([ x ]α ) + diam([y]α ); ii) diam([λx ]α ) = λdiam([ x ]α ) Định lý 1.4 ( xem Chalco-Cano Román-Flores [9], Kaleva [20]) Cho f : [ a, b] → E1 ký hiệu [ f (t)]α = [ f αl (t), f αr (t)] với α ∈ [0, 1], t ∈ [ a, b] g 1) Nếu f khả vi-(i) f αl (t) f αr (t) khả vi [ D H f (t)]α = [( f αl (t)) , ( f αr (t)) ] g 2) Nếu f khả vi-(ii) f αl (t) f αr (t) khả vi [ D H f (t)]α = [( f αr (t)) , ( f αl (t)) ] 1.3 Quá trình mờ ngẫu nhiên Cho không gian xác suất đầy đủ (Ω, A, P) 1.3.1 Quá trình ngẫu nhiên giá trị tập Định nghĩa 1.9 (xem Diamond Kloeden [10]) Ánh xạ X : Ω → Kcc (Rd ) gọi biến ngẫu nhiên giá trị tập {ω ∈ Ω : X (ω ) ∩ C = ∅} ∈ A, với tập đóng C ⊂ Rd Định nghĩa 1.10 xem (Diamond Kloeden [10]) Ánh xạ X : [ a, b] × Ω → Kcc (Rd ) gọi trình ngẫu nhiên giá trị tập X (t, ·) : Ω → Kcc (Rd ) biến ngẫu nhiên giá trị tập với t ∈ [ a, b] 1.3.2 Biến ngẫu nhiên mờ 1.3.3 Quá trình mờ ngẫu nhiên Định nghĩa 1.11 (Puri Ralescu [43]) Ánh xạ x : [ a, b] × Ω → Ed gọi trình mờ ngẫu nhiên x (t, ·) : Ω → Ed biến ngẫu nhiên mờ với t ∈ [ a, b] Định nghĩa 1.12 (Puri Ralescu [43]) Ánh xạ x : [ a, b] × Ω → Ed gọi liên tục với hầu hết ω ∈ Ω, quỹ đạo x (·, ω ) hàm số liên tục [ a, b] khoảng cách Pompeiu-Hausdorff D0 1.3.4 Định nghĩa hầu chắn Định nghĩa 1.13 (xem Malinowski [30]) Hai biến ngẫu nhiên mờ x y gọi hầu chắn (viết gọn h.c.c P.1) tồn Ω0 ⊂ Ω cho P.1 P(Ω0 ) = x (ω ) = y(ω ) với ω ∈ Ω0 Khi ta viết x (ω ) = y(ω ) x (ω ) = y(ω ) với P.1 Định nghĩa 1.14 (xem Malinowski [30]) Hai trình mờ ngẫu nhiên x (t, ω ) y(t, ω ) gọi hầu chắn (viết gọn h.c.c P.1) tồn Ω0 ⊂ Ω cho P(Ω0 ) = x (t, ω ) = y(t, ω ) với ω ∈ Ω0 , t ∈ [ a, b] Khi ta viết x (ω ) [ a,b], P.1 = y(ω ) x (t, ω ) = y(t, ω ) với t ∈ [ a, b], với P.1 Các bất đẳng thức xảy hầu chắn hai biến ngẫu nhiên mờ hai trình mờ ngẫu nhiên định nghĩa tương tự Định nghĩa 1.13 Định nghĩa 1.14 Ngoài ra, để thuận tiện, biến ngẫu nhiên a(ω ) có giá trị [ a, b] P.1 hầu chắn ta viết gọn thành a(ω ) ∈ [ a, b] Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MỜ NGẪU NHIÊN 2.1 Phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên Chúng phân tích viết công thức nghiệm cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính dạng sau: (I) D H x (t, ω ) + p(ω ) x (t, ω ) (II) D H x (t, ω ) (III) D H x (t, ω ) [0,b], P.1 = [0,b], P.1 = [0,b], P.1 = q(t, ω ), − p(ω ) x (t, ω ) + q(t, ω ), p(ω ) x (t, ω ) + q(t, ω ), (IV) D H x (t, ω ) − p(ω ) x (t, ω ) [0,b], P.1 = q(t, ω ), P.1 với điều kiện ban đầu x (0, ω ) = x0 (ω ) ∈ E1 , x, q : [0, b] × Ω → E1 hai trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ biến ngẫu nhiên giá trị thực cho P.1 p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 hai số dương p1 < p2 2.2 Công thức nghiệm toán (I) Xét toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên sau:  [0,b], P.1  D H x (t, ω ) + p(ω ) x (t, ω ) = q(t, ω ), (2.1)  x (0, ω ) P.1 = x ( ω ), đó, x, q : [0, b] × Ω → E1 hai trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ P.1 biến ngẫu nhiên giá trị thực cho p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 hai số dương p1 < p2 x, q : [0, b] × Ω → E1 hai trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ biến P.1 ngẫu nhiên giá trị thực cho p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 hai số dương p1 < p2 Định lý 2.3 Nghiệm x : [0, b] × Ω → E1 toán (2.4) cho x (t, ω ) [0,b], P.1 = t x0 ( ω ) χ { e p(ω )t } + q(s, ω )χ{e p(ω)(t−s) } ds (2.5) 2.5 Công thức nghiệm toán (IV) Xét toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên sau:  [0,b], P.1  D H x (t, ω ) − p(ω ) x (t, ω ) = q(t, ω ), (2.6)  x (0, ω ) P.1 = x ( ω ), x, q : [0, b] × Ω → E1 hai trình mờ ngẫu nhiên , p : Ω → R+ biến P.1 ngẫu nhiên giá trị thực cho p(ω ) ∈ [ p1 , p2 ] với p1 , p2 hai số dương p1 < p2 Định lý 2.4 Với α ∈ [0, 1], [ x (t, ω )]α = [ Lα (t, ω ), Uα (t, ω )], Lα (t, ω ) [0,b], P.1 = e− p(ω ) t diam([ x0 ]α ) + − t diam[q(s, ω )]α e− p(ω )s ds e p(ω ) t l r + x0,α + x0,α + t l r ( x0,α + x0,α )e p(ω )s ds Uα (t, ω ) [0,b], P.1 = − e p(ω ) t diam([ x0 (ω )]α ) + + t diam[q(s, ω )]α e− p(ω )s ds e p(ω ) t l r + x0,α + x0,α t l r ( x0,α + x0,α )e p(ω )s ds Nếu Lα (t, ω ) không giảm theo α với P.1, Uα (t, ω ) không tăng theo α với P.1 tồn β > cho hiệu Hukuhara x (t + h, ω ) x (t, ω ), x (t, ω ) x (t − h, ω ) tồn với < h < β, với P.1 x : [0, b] × Ω → E1 nghiệm toán điều kiện ban đầu (2.3) 10 Kết luận chương Các tính chất định tính phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu như: Feng [15, 16], Fei [12, 13], Malinowski [30, 31, 32, 34] Tuy nhiên cấu trúc nghiệm cho lớp toán dạng tuyến tính chưa giải Vì vậy, chọn vấn đề để nghiên cứu chương kết công bố báo [V1] Áp dụng Định lý 1.4, Định nghĩa 1.5 phương pháp giải phương trình vi phân mờ đề xuất Kaleva [21], tìm công thức nghiệm tổng quát cho phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính Kết đạt Định lý 2.1, Định lý 2.2, Định lý 2.3 Định lý 2.4 Trong trường hợp x0 (ω ) ∈ R, q(t, ω ) trình ngẫu nhiên giá trị thực liên tục Bài toán (I) tương đương với toán (II) nghiệm tổng quát toán (I) (II) trình ngẫu nhiên giá trị thực xác định sau: x (t, ω ) [0,b], P.1 = x0 ( ω ) e − p ( ω ) t + t q(s, ω )e− p(ω )(s−t) ds Ngoài ra, ta thay p(ω ) − p(ω ) toán (III) ta thấy nghiệm toán (III) tương đương với toán (I) Nếu x0 (ω ) ∈ R, q(t, ω ) trình ngẫu nhiên liên tục giá trị thực nghiệm toán trở nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên thường (xem Ladde Lakshmikantham [24], Bharucha-Reid [8]) 11 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN MỜ NGẪU NHIÊN 3.1 Phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên Xét toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên sau:  t ],P.1   D g x (t, ω ) [0,a= f ( t, x ( t, ω )) + gω (t, s, x (s, ω ))ds, ω H (3.1)  P.1  x (0, ω ) = x0 (ω ), f : Ω × [0, a] × Ed → Ed g : Ω × D × Ed → Ed với D = {(s, t) : ≤ s ≤ t ≤ a } Định nghĩa 3.1 Ánh xạ x : [0, a] × Ω → Ed nghiệm toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) x (t, ω ) khả vi-(i) (hoặc khả vi-(ii)), liên tục thỏa mãn t [0,a], P.1 g D H x (t, ω ) = f ω (t, x (t, ω )) + gω (t, s, x (s, ω ))ds Nghiệm x (t, ω ) toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) [0, a] thỏa D0 [ x (t, ω ), y(t, ω )] [0,a], P.1 = 0, y : [0, a] × Ω → Ed nghiệm toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) Bổ đề 3.1 Giả sử f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed g : Ω × D × Ed → Ed thỏa mãn giả thiết (f1) (f2) Quá trình mờ ngẫu nhiên x : [0, a] × Ω → Ed nghiệm 12 toán phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) x (t, ω ) trình mờ ngẫu nhiên liên tục thỏa mãn phương trình tích phân mờ ngẫu nhiên sau: (S1) Nếu x khả vi - (i) x (t, ω ) [0,a],P.1 = t x0 ( ω ) + s f ω (s, x (s, ω )) + gω (s, u, x (u, ω ))du ds (S2) Nếu x khả vi - (ii) x0 ( ω ) t [0,b],P.1 = x (t, ω ) + (−1) f ω (s, x (s, ω )) s + gω (s, u, x (u, ω ))du ds [0, b], b < a 3.2 Tính tồn nghiệm toán Trong mục này, nghiên cứu tồn nghiệm toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) Bây giờ, ta đặt B( x0 , ρ) := {φ ∈ Ed : D0 [φ, x0 ] ≤ ρ}, ρ > cho f : Ω × [0, a] × B( x0 , ρ) → Ed , g : Ω × D × B( x0 , ρ) → Ed , f ∗ : Ω × [0, a] × [0, ρ] → R+ g∗ : Ω × D × [0, ρ] → R+ thỏa mãn giả thiết sau: (i) Ánh xạ f · (t, ϕ) : Ω → Ed g· (t, s, ϕ) : Ω → Ed biến ngẫu nhiên mờ với (t, ϕ) ∈ [0, a] × B( x0 , ρ), (t, s, ϕ) ∈ D × B( x0 , ρ); (ii) ánh xạ f ω (·, ·) : [0, a] × B( x0 , ρ) → Ed gω (·, ·, ·) : D × B( x0 , ρ) → Ed liên tục với P.1; (iii) tồn số M1 > cho D0 [ f ω (t, ϕ), 0ˆ ] [0,a]× B( x0 ,ρ), P.1 ≤ M1 ; (iv) tồn số M2 > cho D0 [ gω (t, s, ϕ), 0ˆ ] D× B( x0 ,ρ), P.1 ≤ M2 ; (v) f ·∗ (t, k ) : Ω → R+ g·∗ (t, s, k) : Ω → R+ biến ngẫu nhiên; f ω∗ (·, ·) : ∗ (·, ·, ·) : D × [0, ρ ] → R+ liên tục với P.1; [0, a] × [0, ρ] → R+ gω ∗ ( t, s, ·) hàm không giảm; (vi) f ω∗ (t, ·) gω (vii) f ω∗ (t, 0) [0,a], P.1 ≡ D , P.1 ∗ ( t, s, 0) ≡ ; gω 13 (viii) tồn số M3 , M4 > cho g∗ ω (t, s, k) f∗ D×[0,ρ], P.1 ≤ ω ( t, k ) [0,a]×[0,ρ], P.1 ≤ M3 M4 ; (ix) k(t, ω ) ≡ nghiệm [0, a] toán điều kiện ban đầu [0,a], P.1 d k(t, ω ) = f ω∗ (t, k(t, ω )) + dt t P.1 ∗ gω (t, s, k(s, ω )), k(0, ω ) = 0; (3.2) (x) với P.1, với t ∈ [0, a], (t, s) ∈ D ϕ, ψ ∈ B( x0 , ρ), t D0 f ω (t, ϕ) + t gω (t, s, ϕ)ds, f ω (t, ψ) + gω (t, s, ψ)ds t ≤ f ω∗ (t, D0 [ ϕ, ψ]) + ∗ gω (t, s, D0 [ ϕ, ψ])ds Định lý 3.1 Giả sử f : Ω × [0, a] × B( x0 , ρ) → Ed , g : Ω × D × B( x0 , ρ) → Ed , ánh xạ f ∗ : Ω × [0, a] × [0, ρ] → R+ g∗ : Ω × D × [0, ρ] → R+ thỏa mãn giả thiết từ (i) - (x) Khi đó, toán (3.1) tồn nghiệm-(S2) [0, b], b ≤ a, d dãy nghiệm xấp xỉ { xn }∞ n=0 , xn : [0, a ] × Ω → E xác định  t [0,b],P.1   =  x ( t, ω ) x ( ω ) (− ) f ω (s, xn (s, ω ))ds n +1     t s + gω (s, u, xn (u, ω ))duds , (3.3)    0    [0,b],P.1  x0 (t, ω ) = x0 (ω ), định nghĩa tốt (nghĩa hiệu Hukuhara tồn tại) với n = 0, 1, 2, , hội tụ nghiệm x (t, ω ) toán (3.1) [0, b] với P.1 3.3 Tính ổn định nghiệm Trong mục này, chứng minh nghiệm toán (3.4) nghiệm toán (3.5) "gần nhau" trường hợp vế phải hai toán có khác biệt Xét hai toán sau:  [0,a],P.1 g t  (t, s, x (s, ω ))ds, D H x (t, ω ) = f ω1 (t, x (t, ω )) + gω (3.4)  x (t , ω ) P.1 = x (ω ) 0 14    [0,a],P.1 2 ( t, s, x ( s, ω )) ds, = f ω (t, x (t, ω )) + 0t gω P.1 x ( t0 , ω ) = y0 ( ω ) g D H x (t, ω ) (3.5) Định lý 3.2 Giả sử x (t, ω, x0 , f , g1 ) x (t, ω, y0 , f , g2 ) nghiệm-(S2) toán (3.4) (3.5) [0, a] Giả sử tồn hai số dương ε , ε cho D0 f ω1 (t, A), f ω2 (t, A) [0,a]× B( x0 ,ρ),P.1 ≤ ε 1, D0 gω (t, s, A ), gω (t, s, A) D× B( x0 ,ρ),P.1 ≤ ε Khi đó, ta có đánh giá sau [0,a], P.1 a2 D0 x (t, ω, x0 , f , g ), x (t, ω, y0 , f , g ) β + aε + ε ≤ L(ω ) × 1+ exp{ a( L(ω ) + 1)} , + L(ω ) 1 2 β = D0 [ x0 , y0 ] L(ω ) = max{supt∈[0,a] L1 (t, ω ), supt∈[0,a] L2 (t, ω )} Kết luận chương Các kết chương là: 1) Chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình vi tích phân mờ ngẫu nhiên đạo hàm mờ giới thiệu Bede Gal [45] vế phải toán thỏa mãn điều kiện tổng quát điều kiện Lipschitz thông thường Kết đạt Định lý 3.1, Định lý 3.2 Bổ đề 3.1 2) Chứng minh nghiệm toán (3.4) nghiệm toán (3.5) "gần nhau" trường hợp vế phải hai toán có khác biệt Ngoài ra, chứng minh khoảng cách nghiệm phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu khác nhau, bị chặn nghiệm cực đại toán (3.2) Phương pháp giải nghiệm cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên dạng Volterra giới thiệu 3) Trong trường hợp gω (t, s, x (s, ω )) = 0, nhận kết Malinowski [31, 34] tổng quát kết Fei [12, 13] 4) Kết đạt chương này, tác giả công bố báo [V2] 15 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN MỜ NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ Giả sử σ số thực không âm Ký hiệu Cσ = C ([−σ, 0], Ed ) không gian hàm mờ liên tục từ [−σ, 0] vào Ed khoảng cách Pompeiu- Hausdorff không gian Cσ định nghĩa sau: Dσ [ x, y] = sup D0 [ x (t), y(t)] t∈[−σ,0] Cho x ∈ C ([−σ, 0], Ed ) Với t ∈ [0, a], xt ∈ Cσ định nghĩa sau xt (s) = x (t + s) với s ∈ [−σ, 0] Xét phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ sau:  ], P.1 t  D g x (t, ω ) [0,a= f ω (t, xt ) + gω (t, s, xs )ds, H ], P.1  x (t, ω ) [−σ,0 = ϕ(t, ω ), (4.1) ϕ ∈ Cσ , ánh xạ f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed g : Ω × D × Cσ → Ed thỏa mãn giả thiết ( f 1) ( f 2) Chương Định nghĩa 4.1 Ánh xạ x : [−σ, a] × Ω → Ed nghiệm phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) x (t, ω ) khả vi-(i) (hoặc khả vi-(ii)), liên tục g [0,a], P.1 [−σ,0], P.1 t thỏa mãn D H x (t, ω ) = f ω (t, xt ) + gω (t, s, xs )ds x (t, ω ) = ϕ(t, ω ) Nghiệm x (t, ω ) phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) [−σ, a] thỏa D0 [ x (t, ω ), y(t, ω )] [−σ,a], P.1 = 0, y : [−σ, a] × Ω → Ed nghiệm phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) 16 Bổ đề 4.1 Giả sử f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed g : Ω × D × Cσ → Ed thỏa mãn giả thiết ( f 1) ( f 2) Quá trình mờ ngẫu nhiên x : [−σ, a] × Ω → Ed nghiệm phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) x (t, ω ) trình mờ ngẫu nhiên liên tục thỏa mãn phương trình tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ sau: (L1) Nếu x khả vi-(i)  [−σ,0],P.1   = ϕ(t, ω ),  x (t, ω )    x (t, ω ) [0,a],P.1 = t ϕ(0, ω ) + f ω (s, xs ) + (L2) Nếu x khả vi-(ii)  [−σ,0],P.1   = ϕ(t, ω ),  x (t, ω )    ϕ(0, ω ) [0,γ],P.1 = s gω ( s, τ, xτ ) dτ t x (t, ω ) + (−1) f ω (s, xs ) + (4.2) ds s gω ( s, τ, xτ ) dτ (4.3) ds, [0, γ] với γ < a 4.1 Tính tồn nghiệm Trong mục này, chứng minh tồn nghiệm-(L2) cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) Sự tồn nghiệm-(L1) cho phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) có kỹ thuật chứng minh tương tự Định lý 4.1 Cho ϕ ∈ Cσ cho f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed , g : Ω × D × Cσ → Ed thỏa mãn điều kiện: ( f 1), ( f 2) giả sử tồn hai trình ngẫu nhiên giá trị thực L1 , L2 : [0, a] × Ω → [0, ∞) cho L1 (·, ω ), L2 (·, ω ) liên tục với P.1 D0 [ f ω (t, ξ ), f ω (t, ψ)] ≤ L1 (t, ω ) Dσ [ξ, ψ], D0 [ gω (t, s, ξ ), gω (t, s, ψ)] ≤ L2 (t, ω ) Dσ [ξ, ψ], (4.4) với t ∈ [0, a], (t, s) ∈ D ξ, ψ ∈ Cσ với P.1 Hơn nữa, giả sử tồn hai số không âm M1 , M2 cho D0 [ f ω (t, ξ ), 0ˆ ] [0,a]×Cσ , P.1 ≤ M1 D0 [ gω (t, s, ξ ), 0ˆ ] D×Cσ P.1 ≤ M2 (4.5) Khi đó, phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) có nghiệm-(L2) 17 4.2 Một số tính chất nghiệm Trong mục này, nghiên cứu tính bị chặn nghiệm so sánh hai nghiệm phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) Định lý 4.2 Cho f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed , g : Ω × D × Cσ → Ed Định lý 4.1 Giả sử x (t, ω ) nghiệm-(L2) phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) [0, a] Khi đó, ta có đánh giá sau D0 [ x (t, ω ), 0ˆ ] [0,a], P.1 ≤ D0 [ ϕ(0, ω ), 0ˆ ] + a + a2 M + e(1+ L(ω ))a , P.1 L(ω ) = max{sup0≤s≤ a L1 (s, ω ), sup0≤s≤ a L2 (s, ω )}, M = max{ M1 , M2 } Kết luận chương Các kết đạt chương là: 1) Bằng cách sử dụng định nghĩa đạo hàm, tính liên tục, hàm mờ Chúng chứng minh tương đương phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ phương trình tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (Bổ đề 4.1) 2) Chúng chứng minh tồn nghiệm phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ Phương pháp xấp xỉ Picard công cụ toán học (Định lý 4.1) 3) Chúng chứng minh tính bị chặn nghiệm (Định lý 4.2) so sánh hai nghiệm (Định lý ??) phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ 4) Chúng xây dựng phương pháp giải nghiệm cho phương trình vi-tích phân Volterra mờ ngẫu nhiên có trễ thông qua nhát cắt-0 nhát cắt -1 (Định lý ??) Chúng cho hai ví dụ để mô tả kết lý thiết phương pháp giải nghiệm toán 5) Trong trường hợp gω (t, s, xs ) = 0, nhận kết báo Park Jeong (2013, [40]) 6) Kết đạt chương này, tác giả công bố báo [V3] 18 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Kết luận luận án Trong luận án này, nghiên cứu tính chất định tính nghiệm, xây dựng phương pháp giải, công thức nghiệm tổng quát cho lớp toán khác Luận án đạt kết sau: 1) Xây dựng công thức nghiệm cho lớp phương trình vi phân mờ ngẫu nhiên tuyến tính 2) Chứng minh tồn nghiệm cho lớp phương trình vi tích phân mờ ngẫu nhiên điều kiện Lipschitz tổng quát Ngoài ra, vài tính chất (ổn định, bị chặn) nghiệm nghiên cứu 3) Chứng minh tồn nghiệm cho lớp phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ 4) Xây dựng phương pháp giải phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên, phương trình vi-tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ dạng Volterra Các hướng nghiên cứu 1) Ứng dụng phương pháp giải số biết (Euler, Runge-Kutta, ) để giải lớp phương trình nghiên cứu 2) Nghiên cứu tính chất định tính ứng dụng cho lớp phương trình vi (tích phân) mờ ngẫu nhiên đạo hàm phân số, lớp phương trình vi (tích phân) mờ trễ ngẫu nhiên đạo hàm phân số, 19 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Các công trình liên quan đến luận án (V1) DONG S-LE, VU-H, PHU D-NGUYEN, The formulas of the solution for linearorder random fuzzy differential equations, J Intelligent and Fuzzy Systems 28 (2015), 795-807 (V2) VU-H, HOA V-NGO, PHU D-NGUYEN, The local existence of solutions for random fuzzy integro-differential equations under generalized H-differentiability, J Intelligent and Fuzzy Systems 26 (2014), 2701-2717 (V3) VU-H, DONG S-LE, HOA V-NGO, Random fuzzy functional integro-differential equations under generalized Hukuhara differentiability, J Intelligent and Fuzzy Systems 27 (2014), 1491-1506 Hội nghị khoa học tham gia (V4) VU-H, QUANG T- LE, Practical stability for fuzzy intergo differential equation, The 8th Scientific Conference at HCMC University of Science, 2012 (V5) VU-H, DONG S-LE, Random fuzzy integro-differential equation, The 8th Vietnamese Mathematical Conference, 08/10-08/14/2013, Nha Trang 20 Tài liệu tham khảo [1] S ABBASBANDY AND T ALLAHVIRANLOO, The adomian decomposition method applied to the fuzzy system of fredholm integral equations of the second kind, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 14 (2006), pp 101–110 [2] M AHMAD, M HASAN, AND B D BAETS, Analytical and numerical solutions of fuzzy differential equations, Information Sciences, 236 (2013), pp 156 – 167 [3] T ALLAHVIRANLOO, S ABBASBANDY, AND S HASHEMZEHI, Approximating the solution of the linear and nonlinear fuzzy volterra integrodifferential equations using expansion method, Abstract and Applied Analysis, 2014, Special Issue (2014), p pages [4] T ALLAHVIRANLOO, S ABBASBANDY, O SEDAGHGATFAR, AND P DARABI, A new method for solving fuzzy integro-differential equation under generalized differentiability, Neural Computing and Applications, 21 (2011), pp 191–196 [5] T ALLAHVIRANLOO, A AMIRTEIMOORI, M KHEZERLOO, AND S KHEZERLOO, A new method for solving fuzzy volterra integro-differential equations, Australian Journal of Basic and Applied Sciences, 05 (2011), pp 154–164 [6] T ALLAHVIRANLOO, M KHEZERLOO, O SEDAGHATFAR, AND S SALAHSHOUR, Toward the existence and uniqueness of solutions of second-order fuzzy volterra integro-differential equations with fuzzy kernel, Neural Computing and Applications, 22 (2013), pp 133–141 [7] B BEDE AND S G GAL, Generalizations of the differentiability of fuzzy-numbervalued functions with applications to fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 151 (2005), pp 581 – 599 [8] BHARUCHA-REID, Random Integral Equations, Academic Press, New York, USA, 1972 [9] Y CHALCO -CANO AND H ROMÁN-FLORES, On new solutions of fuzzy differential equations, Chaos, Solitons & Fractals, 38 (2008), pp 112 – 119 21 [10] P DIAMOND AND P KLOEDEN, Metric Spaces of Fuzzy Sets: Theory and Applications, World Scientific Publishing, Singapore, 1994 [11] W FEI, On the theory of (dual) projection for fuzzy stochastic processes, Stochastic Analysis and Applications, 23 (2005), pp 449–474 [12] , Existence and uniqueness of solution for fuzzy random differential equations with non-lipschitz coefficients, Information Sciences, 177 (2007), pp 4329 – 4337 [13] , A generalization of bihari’s inequality and fuzzy random differential equations with non-lipschitz coefficients, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 15 (2007), pp 425–439 [14] , Existence and uniqueness for solutions to fuzzy stochastic differential equations driven by local martingales under the non-lipschitzian condition, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 76 (2013), pp 202 – 214 [15] Y FENG, Mean-square integral and differential of fuzzy stochastic processes, Fuzzy Sets and Systems, 102 (1999), pp 271 – 280 [16] , Fuzzy stochastic differential systems, Fuzzy Sets and Systems, 115 (2000), pp 351 – 363 [17] N V HOA, Fuzzy fractional functional differential equations under caputo ghdifferentiability, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22 (2015), pp 1134 – 1157 [18] , Fuzzy fractional functional integral and differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 280 (2015), pp 58 – 90 [19] M HUKUHARA, Integration des applications measurables dont la valeur est un compact convexe, Funkcialaj Ekvacioj, 10 (1967), pp 205–223 [20] O KALEVA, Fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 24 (1987), pp 301 – 317 [21] , A note on fuzzy differential equations, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64 (2006), pp 895 – 900 [22] A KHASTAN, J NIETO, AND R RODRÍGUEZ-LÓPEZ, Variation of constant formula for first order fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 177 (2011), pp 20 – 33 [23] A KHASTAN, J NIETO, AND R RODRÍGUEZ-LÓPEZ, Fuzzy delay differential equations under generalized differentiability, Information Sciences, 275 (2014), pp 145 – 167 22 [24] G S LADDE AND V LAKSHMIKANTHAM, Random Differential Inequalities, Academic Press, New York, USA, 1980 [25] V LAKSHMIKANTHAM, T G BHASKAR, AND D J VASUNDHARA, Theory of Set Differential Equations in a Metric Space, Cambridge Scientific Publishing, UK, 2006 [26] J LI AND J WANG, Fuzzy set-valued stochastic lebesgue integral, Fuzzy Sets and Systems, 200 (2012), pp 48 – 64 [27] H V LONG, N T K SON, N T M HA, AND L H SON, The existence and uniqueness of fuzzy solutions for hyperbolic partial differential equations, Fuzzy Optimization and Decision Making, 13 (2014), pp 435–462 [28] H V LONG, N T K SON, AND H T T TAM, Global existence of solutions to fuzzy partial hyperbolic functional differential equations with generalized hukuhara derivatives, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 19 (2015), pp 1–16 [29] H V LONG, N T K SON, H T T TAM, AND B C CUONG, On the existence of fuzzy solutions for partial hyperbolic functional differential equations, International Journal of Computational Intelligence Systems, (2014), pp 1159–1173 [30] M T MALINOWSKI, On random fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 160 (2009), pp 3152 – 3165 [31] , Existence theorems for solutions to random fuzzy differential equations, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 73 (2010), pp 1515 – 1532 [32] , Peano type theorem for random fuzzy initial value problem, Discussiones Mathematicae Differential Inclusions, Control and Optimization, 31 (2011), pp 5–12 [33] , Itô type stochastic fuzzy differential equations with delay, Systems & Control Letters, 61 (2012), pp 692 – 701 [34] , Random fuzzy differential equations under generalized lipschitz condition, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 13 (2012), pp 860 – 881 [35] M T MALINOWSKI AND R P AGARWAL, On solutions to set-valued and fuzzy stochastic differential equations, Journal of the Franklin Institute, 352 (2015), pp 3014 – 3043 Special Issue on Advances in Nonlinear Dynamics and Control [36] M MICHTA, On set-valued stochastic integrals and fuzzy stochastic equations, Fuzzy Sets and Systems, 177 (2011), pp – 19 23 [37] J J NIETO, The cauchy problem for continuous fuzzy differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 102 (1999), pp 259 – 262 [38] J J NIETO, R RODRÍGUEZ-LÓPEZ, AND D FRANCO, Linear first-order fuzzy differential equations, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 14 (2006), pp 687–709 [39] A OJHA, B DAS, S K MONDAL, AND M MAITI, A transportation problem with fuzzy-stochastic cost, Applied Mathematical Modelling, 38 (2014), pp 1464 – 1481 [40] J Y PARK AND J U JEONG, On random fuzzy functional differential equations, Fuzzy Sets and Systems, 223 (2013), pp 89 – 99 [41] N D PHU AND T T TUNG, Some properties of sheaf-solutions of sheaf fuzzy control problems., Electronic Journal of Differential Equations, 108 (2006), pp 1–8 [42] , Existence of solutions of fuzzy control differential equations, J Science and Technology Development, (2007), pp 5–12 [43] M L PURI AND D A RALESCU, Fuzzy random variables, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 114 (1986), pp 409 – 422 [44] S SEIKKALA, On the fuzzy initial value problem, Fuzzy Sets and Systems, 24 (1987), pp 319 – 330 [45] L STEFANINI AND B BEDE, Generalized hukuhara differentiability of intervalvalued functions and interval differential equations, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 71 (2009), pp 1311 – 1328 [46] T T TUNG, On the fuzzy control stochastic differential systems, Control & Cybernetic, 42 (2013), pp 505–525 [47] R N M V LAKSHMIKANTHAM, Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions, CRC Press, Singapore, 2003 [48] Y WANG AND S WU, Fuzzy differential equations, Proceedings of Second International Fuzzy Systems Association Congress, Tokyo, Japan, (1987), pp 298–301 [49] Y ZHAO, S YUAN, AND Q ZHANG, Numerical solution of a fuzzy stochastic singlespecies age-structure model in a polluted environment, Applied Mathematics and Computation, 260 (2015), pp 385 – 396 24 [...]... đó, phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) có nghiệm- (L2) duy nhất 17 4.2 Một số tính chất của nghiệm Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của nghiệm và so sánh hai nghiệm của phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) Định lý 4.2 Cho f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed , g : Ω × D × Cσ → Ed như trong Định lý 4.1 Giả sử x (t, ω ) là nghiệm- (L2) của phương trình vi- tích phân mờ. .. giữa phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ và phương trình tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (Bổ đề 4.1) 2) Chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ Phương pháp xấp xỉ Picard là công cụ toán học chính (Định lý 4.1) 3) Chúng tôi chứng minh được tính bị chặn của nghiệm (Định lý 4.2) và so sánh giữa hai nghiệm (Định lý ??) của phương. .. nghiệm cho lớp phương trình vi tích phân mờ ngẫu nhiên dưới điều kiện Lipschitz tổng quát Ngoài ra, một vài tính chất (ổn định, bị chặn) của nghiệm cũng được nghiên cứu 3) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ 4) Xây dựng phương pháp giải phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên, phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ dạng Volterra Các hướng... là nghiệm bất kỳ của bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) Bổ đề 3.1 Giả sử f : Ω × [0, a] × Cσ → Ed và g : Ω × D × Ed → Ed thỏa mãn các giả thiết (f1) và (f2) Quá trình mờ ngẫu nhiên x : [0, a] × Ω → Ed là nghiệm của 12 bài toán phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) nếu và chỉ nếu x (t, ω ) là quá trình mờ ngẫu nhiên liên tục và thỏa mãn 1 trong 2 phương. .. ( f 2) Quá trình mờ ngẫu nhiên x : [−σ, a] × Ω → Ed là nghiệm của phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) nếu và chỉ nếu x (t, ω ) là quá trình mờ ngẫu nhiên liên tục và thỏa mãn 1 trong 2 phương trình tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ sau: (L1) Nếu x khả vi- (i) thì  [−σ,0],P.1   = ϕ(t, ω ),  x (t, ω )    x (t, ω ) [0,a],P.1 = t ϕ(0, ω ) + f ω (s, xs ) + 0 (L2) Nếu x khả vi- (ii) thì... tục giá trị thực thì nghiệm của các bài toán trở về nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên thường (xem Ladde và Lakshmikantham [24], Bharucha-Reid [8]) 11 Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH VI- TÍCH PHÂN MỜ NGẪU NHIÊN 3.1 Phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên Xét bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên như sau:  t ],P.1   D g x (t, ω ) [0,a= f ( t, x ( t, ω )) + gω (t, s,... nghiên cứu tiếp theo 1) Ứng dụng phương pháp giải số đã biết (Euler, Runge-Kutta, ) để giải các lớp phương trình đã nghiên cứu 2) Nghiên cứu tính chất định tính và ứng dụng cho lớp phương trình vi (tích phân) mờ ngẫu nhiên dưới đạo hàm phân số, lớp phương trình vi (tích phân) mờ trễ ngẫu nhiên dưới đạo hàm phân số, 19 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Các công trình liên quan đến luận án (V1)... khoảng cách giữa nghiệm của phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu khác nhau, bị chặn bởi nghiệm cực đại của bài toán (3.2) Phương pháp giải nghiệm cho phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên dạng Volterra cũng được giới thiệu 3) Trong trường hợp gω (t, s, x (s, ω )) = 0, chúng tôi nhận được các kết quả như trong Malinowski [31, 34] và tổng quát hơn các kết quả của Fei [12, 13]... ) khả vi- (i) (hoặc khả vi- (ii)), liên tục và g [0,a], P.1 [−σ,0], P.1 t thỏa mãn D H x (t, ω ) = f ω (t, xt ) + 0 gω (t, s, xs )ds và x (t, ω ) = ϕ(t, ω ) Nghiệm x (t, ω ) của phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có trễ (4.1) là duy nhất trên [−σ, a] nếu nó thỏa D0 [ x (t, ω ), y(t, ω )] [−σ,a], P.1 = 0, trong đó y : [−σ, a] × Ω → Ed là nghiệm bất kỳ của phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên có... Định nghĩa 3.1 Ánh xạ x : [0, a] × Ω → Ed là nghiệm của bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) nếu x (t, ω ) khả vi- (i) (hoặc khả vi- (ii)), liên tục và thỏa mãn t [0,a], P.1 g D H x (t, ω ) = f ω (t, x (t, ω )) + gω (t, s, x (s, ω ))ds 0 Nghiệm x (t, ω ) của bài toán điều kiện ban đầu cho phương trình vi- tích phân mờ ngẫu nhiên (3.1) là duy nhất trên [0, a] nếu nó