Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình ví phân tuyến tính phức

Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo to Giái tích ban sinh viên khoa Tốn - Trưòng hoc S pham H Nđi ắc biắt, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình giúp đõ em q trình hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Lan đau thnc hi¾n cơng tác nghiên cúu khoa hoc nên vi¾c trình bày khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che thieu sót Em xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Lê Th% Trang Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p “Van đe điem kỳ d% cau trúc nghi¾m cía phương trình vi phân tuyen tính phÚc” đưoc hồn thành theo quan điem riêng cna cá nhân tơi Trong q trình làm khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Lê Th% Trang Mnc lnc Má đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 So phúc m¾t phang phúc 1.1.1 Khỏi niắm v mđt so tính chat bán 1.1.2 Sn h®i tu cna dãy so phúc 1.2 Hàm bien phúc 1.2.1 Hàm liên tuc .8 1.2.2 Hàm hình 1.2.3 Chuoi lũy thùa 10 1.3 Tích phân phúc 12 1.4 Đai cương ve phương trình vi phân phúc 16 Chương Van đe điem kỳ d% cau trúc nghi¾m cúa phương trình vi phân tuyen tính phNc 18 2.1 Khái ni¾m ve điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính phúc 18 2.2 Đưòng cong kín bao quanh điem kỳ d% 21 2.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính phúc 25 2.3.1 Nghi¾m đơn cna phương trình đ¾c trưng 25 2.3.2 Trũng hop nghiắm bđi 27 2.3.3 Nghi¾m cna t¾p tac 31 2.3.4 Tìm nghi¾m cna t¾p tac bang phương pháp loai trù 35 2.4 Đieu ki¾n can đoi vói điem kỳ d% quy 36 2.5 Đieu ki¾n đn đoi vói điem kỳ d% quy 39 Ket lu¾n 47 Tài li¾u tham kháo 48 Má đau Lý chon đe tài Phương trình vi phân m®t phương trình tốn hoc nham bieu dien moi quan hắ giua mđt hm cha biet (mđt hoắc nhieu bien) vúi ao hm cna nú (có b¾c khác nhau) Phương trình vi phân đóng vai trò quan trong ky thu¾t, v¾t lý, kinh te nhieu lĩnh vnc khác Chúng ta xét m®t phương trình vi phân đơn gián f r(x) = df (x) dx Trong phương trình trên, neu f (x) bieu dien cho vắn toc cna mđt vắt thỡ f r(x) gia toc cna v¾t (là đai long ắc trng cho đ bien thiờn vắn toc) Sn đòi cna phương trình vi phân xuat phát tù vi¾c xác đ%nh moi quan h¾ xác đ%nh giua m®t bên m®t đai lưong bien thiên liên tuc (đưoc bieu dien bang hàm f (x)) bên lai đ® bien thieen cna đai lưong (bieu dien bang đao hàm b¾c nhat ho¾c cao hơn) Đieu đưoc the hi¾n rõ hoc co đien Cu the l %nh luắt Newton ve chuyen đng cho phộp xỏc %nh v% trớ cna mđt vắt dna vo vắn toc, gia toc v mđt so lnc tỏc đng đưoc bieu dien dưói dang hàm vi phân theo thòi gian oi vúi hm thụng thũng, nghiắm l mđt giỏ tr% so Còn phương trình vi phân, muc tiêu tìm cơng thúc cna hàm chưa biet nham thóa mãn moi quan h¾ đe Thơng thưòng, se l mđt ho cỏc phng trỡnh, sai lắch bang m®t hang so C Hàm se đưoc xác đ %nh xác có thêm đieu ki¾n ban đau ho¾c đieu ki¾n biên Tuy nhiên, đoi vói m®t so phương trình khơng the áp dung nhung phương pháp biet đe tìm nghi¾m cna Vỡ vắy, ta can phỏi xõy dnng mđt phng phỏp tìm nghi¾m khác cho nhung phương trình Phương pháp thơng dung úng dung lý thuyet chuoi đe tìm nghi¾m cna phương trình dưói dang chuoi lũy thùa ∞ f (z) = anzn, n=0 an ∈ C M®t nhung điem liên quan trnc tiep đen van đe tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính sn phân loai điem thưòng điem kỳ d% Lý thuyet nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính thnc có sn hồn thi¾n bán Tuy nhiên chuyen sang mien phúc có nhung khó khăn nhat đ%nh Đưoc sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào em chon đe tài “Van đe điem kỳ d% cau trúc nghi¾m cía phương trình vi phân tuyen tính phÚc” đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chun ngành tốn giái tích Khóa lu¾n đưoc bo cuc thành hai chương Chương Trong chương này, em đưa mđt so kien thỳc chuan b% cho khúa luắn Đó so phúc m¾t phang phúc, hàm bien phúc, tích phân phúc Cũng ó liên quan đen vi¾c tìm hieu phương trình vi phân tuyen tính phúc nên em trình bày khái ni¾m ve phương trình vi phân tuyen tính phúc, đ%nh lý ton tai nghi¾m cna phương trình vi phân phúc Chương Đây phan cna khóa lu¾n é em giói thi¾u ve van đe điem kỳ d% cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Trong em trình bày van đe điem kỳ d%, cau trúc nghi¾m cna phương trình, đieu ki¾n can đoi vói điem kỳ d% quy đieu ki¾n đn đoi vói điem kỳ d% quy Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Trình bày ve van đe điem kỳ d% cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu van đe điem kỳ d% cau trúc nghi¾m phương trình vi phân tuyen tính phúc Tuy nhiên, khn kho u cau đoi vói m®t khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c cú nhân tốn hoc, nên chúng tơi chí trình bày van đe pham vi ve điem kỳ d% quy cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Vi¾c nghiên cúu cau trúc nghi¾m tai nhung điem kỳ d% khơng quy phúc tap nên xin dành cho nhung nghiên cúu ve sau Phương pháp nghiên cNu Tìm hieu tài li¾u tham kháo, phân tích, tong hop xin ý kien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan Chương Kien thNc chuan b% 1.1 So phNc m¾t phang phNc 1.1.1 Khỏi niắm v mđt so tớnh chat c bán So phúc so có dang z = x + iy; x, y ∈ R i đơn v% áo mà i2 = −1 Ta goi x phan thnc y phan áo, kí hi¾u x = Rez, y = Imz T¾p hop so phúc đưoc kí hi¾u bói C T¾p hop so phúc đưoc đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng C → R2 z = x + iy ›→ (x, y) M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox trnc thnc, Oy trnc áo Phép c®ng nhõn cỏc so phỳc oc thnc hiắn mđt cỏch thụng thưòng phép tốn t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2) = A21(z)ω1 + A22(z)ω2 + · · · + A2n(z)ωn, dωn = A (z)ω + A (z)ω + · · · + A n1 n2 nn (z)ω , dz n A giái tích lân c¾n cna điem goc tat cá h¾ so Trưóc het ta chúng minh rang có m®t han che nhat đ%nh (oc loai bú sau ú) thỡ ton tai mđt hop nghi¾m quy cna h¾ tai điem goc khơng phu thu®c vào so hang logarit, ω1 = zru1, ω2 = zru2, , ωn = zrun, r m®t hang so xác đ%nh u1, u2, , un giái tích tai điem goc Hang so r đưoc chon cho neu c1, c2, , cn nhung giá tr% cna u1, u2, , un z = 0, có nhat m®t so c khác khơng Giá sú ars giá tr% cna Ars z = 0, thay ω1, ω2, , ωn vào h¾ cho h¾ so cna zr moi phương trình bang khơng, ta thu đưoc h¾ thúc (a11 − r)c1 + a12c2 + · · · + a12cn = 0, a21c1 + (a22 − r)c2 + · · · + a2ncn = 0, an1c1 + an2c2 + · · · + (ann − r)cn = Bang cách loai bó nhung h¾ so cr chưa biet tù h¾ này, ta tìm đưoc phương trình chí so ho¾c phương trình xác đ%nh r a11 − r a12 a1n a21 a22 − r = a2n an1 an2 ann − r Khi nghi¾m cna có the khơng phân bi¾t, ký hi¾u r1, r2, , rn Neu đ¾t W1, W2, , Wn lan lưot z dω1 dωn , dω z dz , , , z dz dz h¾ đưoc xét tró thành  W1 = a11ω1 + a12ω2 + · · · + a1nωn + O(z, ω),     W2 = a21 ω1 + a22 ω2 + · · · + a2n ωn + O(z, ω),    Wn = an1 ω1 + an2 ω2 + · · · + ann ωn + O(z, ω), ó O(z, ω) đưoc viet gon cho bieu thúc tuyen tính cna ω1, ω2, , ωn mà h¾ so cna hàm giái tích cna z tri¾t tiêu tai goc Bó qua so hang O(z, ω), t¾p hop phép the tuyen tính tương tn phan 2.2 Tam thòi loai bó qua so hang O(z, ω), ω1, ω2, , ωn đưoc thay the bói to hop tuyen tính cna nhung đai lưong này, đ¾t υ1, υ2, , υn cho nghi¾m cna phương trình chí so phân bi¾t h¾ tró thành V1 = r1υ1, V2 = r2υ2, , Vn = rnυn Trình bày tương tn đoi vói h¾ có so hang O(z, ω) h¾ xét đưoc thay the bói V1 = r1υ1 + O(z, ω), V2 = r2υ2 + O(z, ω), Vn = rnυn + O(z, ω) M¾t khác, neu nghi¾m cna phương trình chí so khơng phân bi¾t, h¾ có the thay the bang t¾p hop mđt so hắ nh V1 = r11 + O(z, υ), Vµ+1 = r2υµ+1 + O(z, υ), V2 = r1(υ2 + υ1) + O(z, υ), Vµ+2 = r2(υµ+2 + υµ+1) + O(z, υ), Vµ = r1(υµ + υµ−1) + O(z, υ), Vν = r2(υν + υν−1) + O(z, υ), Đe bien đoi h¾, ta đ¾t υ1 = zr1 φ1(z), υ2 = zr1 φ2(z), , υn = zr1 φn(z), bói V1, V2, , Vn nhung to hop tuyen tính cna W1, W2, , Wn υ1, υ2, , υn nhung to hop tuyen tính cna ω1, ω2, , ωn, nên ta suy Do h¾ tró thành dφ z1 dz dφ z dz z dφµ z dz dφµ+ V =z z1 = = dυ1 , , V= dυn n dz dz O1(z, φ), r1φ1 + O2(z, φ), = r1φµ−1 + Oµ(z, φ), = (r2 − r1)φµ+1 + Oµ+1(z, φ), dz Bói có the tìm đưoc so hang O(z, φ) tuyen tính đoi vói φ1, φ2, , φn h¾ so giái tích theo z b% tri¾t tiêu tai goc, nên hàm φ có the xác đ%nh đưoc chuoi lũy thùa cna z tù phương trình bang phương pháp xap xí liên tiep De thay rang φ1(z), , φµ−1(z) phái bang khơng z = 0, cũn à(0) cú the lay mđt giá tr% a tùy ý Chang han, neu φµ−1(0) ƒ= thỡ à(z) cú the nõng lờn ly thựa mđt so hang logarit, đieu trái vói giá thiet Neu r2 − r1 m®t so nguyên dương, giá sú m, nhìn chung trình xác đ%nh hắ so liờn tiep khai trien cna à+1(z) se suy bien tai so hang zm, khơng the cân đoi so hang zm tù so hang O(z, φ) Do v¾y, vói vi¾c có the khai trien tat cá hàm φ thành chuoi lũy thùa cna z, ta can han che rk − r1 không so nguyên dương (m¾c dù có the bang khơng) vói giá tr% k bat kỳ Khi đieu ki¾n han che thóa mãn có the xác đ%nh tat cá h¾ so khai trien chuoi cna hàm φ Ta chí phái chúng minh rang nhung khai trien chuoi h®i tu vói giá tr% |z| đn nhó Ta có the chúng minh sn h®i tu sau Giá sú ε hi¾u so giua r2 − r1 so nguyên dương gan nhat, xét h¾ cna phương trình vi phân tuyen tính thưòng ψ1 = Q1(z, ψ), ψ2 = r1ψ1 + Q2(z, ψ), ψµ − |a| = r1ψµ + Qµ(z, ψ), εψµ+1 = Qµ+1(z, ψ), Q1, Q2, , Qn bieu thúc tuyen tính cna ψ1, ψ2, , ψn mà h¾ so b% tri¾t tiêu tai điem goc hm so trđi tng ỳng vúi cỏc hắ so so hang O(z, φ) cna h¾ đoi vói φ1, φ2, , φn Nhưng h¾ có the giái đưoc vói hàm ψ chuoi lũy thùa tăng cna z vúi hắ so dng v chuoi ny hđi tu vúi giá tr% đn nhó cna |z| Neu h¾ so cna so hang đau chuoi cna moi hàm ψ modul cna so hang đau chuoi cna hàm φ tương úng, modul cna h¾ so lai chuoi cna hàm φ hau het bang h¾ so tương úng chuoi cna hàm ψ Do ú hđi tu tuyắt oi v eu m®t đưòng tròn xác đ %nh có tâm tai điem goc Tù suy h¾ n phương trình vi phõn tuyen tớnh cap mđt cú cỏc nghiắm chớnh quy ω1 = zr1 u1, ω2 = zr1 u2, , ωn = zr1 un, u1, u2, , un giái tích lân c¾n cna z = v r1 l mđt nghiắm cna phng trỡnh so cho hi¾u so rk −r1 khơng so ngun dng, (vúi rk l mđt nghiắm khỏc cna phng trỡnh chí so) Khi phương trình chí so khơng có hai nghiắm sai khỏc mđt so nguyờn, thỡ hắ se có n nghi¾m phân bi¾t Trong trưòng hop cú mđt phng trỡnh cap n, tng ng vúi hắ, phương trình chí so [r]n + P1(0)[r]n−1 + · · · + Pn−1(0)r + Pn(0) = 0, ó [r]n − r(r − 1) (r − n + 1) Neu nghi¾m cna phương trình r1, r2, , rn, thỡ phng trỡnh vi phõn cú mđt nghiắm ω = zrk uk(z) tương úng vói moi nghi¾m rk, uk(z) giái tích lân c¾n cna z = uk(0) ƒ= 0, vói đieu ki¾n khơng có hi¾u so hi¾u so sau nguyên dương r1 − rk, r2 − rk, , rn rk, mắc dự cú the mđt hoắc nhieu hn nhung h¾ so bang khơng * Trưàng hap logarit Đe bo sung cho chúng minh đieu ki¾n đn cna Đ%nh lý Fuchs ta can xét trưòng hop nghi¾m cna phương trình chí so sai khác mđt so nguyờn Giỏ sỳ cú cỏc nghiắm r1, r2, , rà sai khỏc mđt so nguyờn v sai khác tat cá nghi¾m lai so khác so nguyên Giá sú r1 ≥ r2 ≥ ≥ rà Theo ket quỏ cna phan trúc, ton tai nghiắm ω1 = zr1 u1(z) tương úng vói r1 Giá sú = dz l mđt nghiắm, ú υ thóa mãn phương trình cap n − thóa mãn đieu ki¾n cna Đ%nh lý Fuchs vói z = Bói ω ( ), dz ω1 nên nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng tương úng vói phương υ= d trình cna υ r2 − r1 − 1, r3 − r1 − 1, , rµ − r1 v nghiắm au nghi¾m so ngun âm Bói r2 r3, nờn se cú mđt nghiắm = zr2r11(z), ψ(z) giái tích gan điem goc ψ(0) = Do ú ton tai nghiắm = ω3 zr3−r1−1ψ(z)dz, nhân vói m®t hang so neu can, ta đưa ve dang tong quát ω2 = zr1 {u1(z) log z + u22(z)} L¾p lai q trình ta thu đưoc nghi¾m tong quát ων = zr1 u1(z)tν + uν1(z)tν−1 + · · · + uνν (z) (ν = 2, 3, , µ), hàm u(z) giái tích lân c¾n cna z = Làm tương tn vói nhóm chí so lai hồn thành chúng minh đieu ki¾n đn Ket lu¾n Trờn õy l ton bđ nđi dung cna khúa luắn tot nghi¾p "Van đe điem kỳ d% cau trúc nghi¾m cúa phương trình vi phân tuyen tính phNc" Khóa lu¾n trình bày Trưóc het chúng tơi h¾ thong hóa m®t so kien thúc bán ve so phúc m¾t phang phúc, hàm bien phúc, tích phân phúc; đai cương ve phương trình vi phân phúc, phương trình vi phân tuyen tính phúc Ket q nghiên cúu bán cna khố lu¾n vi¾c trình bày van đe điem kỳ d% cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Đe thnc hi¾n đưoc muc đích trưóc het chúng tơi trình bày khái ni¾m ve điem kỳ d% cna phương trình vi phân phúc đưòng cong kín bao quanh điem kỳ d% Ngồi ra, m®t đieu can quan tâm đen cau trúc nghi¾m cna phương trình, đieu ki¾n can đoi vói điem kỳ d % quy đieu ki¾n đn đoi vói điem kỳ d% quy Tài li¾u tham kháo [1] M D Adler, An Introduction to Complex Analysic for Engineers, (1997) [2] W E Boyce and R C Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John and Sons, Inc, (2001) [3] E A Coddington, N Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, New York, (1955) [4] W Hundsdorfer, Ordinary Differential Equations, Radboud Universitiet Nijmegen, (2009) [5] E M Stein and R Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures In Analysis), Princeton University Press Princeton and Oxford, (2003) ... tích phân phúc Cũng ó liên quan đen vi¾c tìm hieu phương trình vi phân tuyen tính phúc nên em trình bày khái ni¾m ve phương trình vi phân tuyen tính phúc, đ%nh lý ton tai nghi¾m cna phương trình. .. Khái ni¾m ve điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính phúc 18 2.2 Đưòng cong kín bao quanh điem kỳ d% 21 2.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính phúc 25 2.3.1... tiep đen van đe tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính sn phân loai điem thưòng điem kỳ d% Lý thuyet nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính thnc có sn hồn thi¾n bán Tuy nhiên