Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính phức

Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo to Giái tích ban sinh viên khoa Tốn - Trưòng hoc S pham H Nđi ắc biắt, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna tói TS Nguyen Văn Hào t¾n tình giúp đõ em q trình hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p Lan đau thnc hi¾n cơng tác nghiên cúu khoa hoc nên vi¾c trình bày khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che thieu sót Em xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Pham Th% L¾ Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào khóa lu¾n tot nghi¾p "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính phNc" đưoc hồn thành theo sn hieu biet, nh¾n thúc đưoc trình bày theo quan điem riêng cna cá nhân Trong q trình hồn thành khóa lu¾n, tơi thùa ke nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2012 Sinh viên Pham Th% L¾ Mnc lnc Má đau Chương Kien thNc chuan b% 1.1 So phúc m¾t phang phúc 1.1.1 Khái niắm v mđt so tớnh chat c bỏn 1.1.2 Sn h®i tu cna dãy so phúc 1.1.3 Chuoi so phúc .8 1.2 Hàm bien phúc 1.2.1 Hàm liên tuc .9 1.2.2 Hàm hình 10 1.2.3 Chuoi lũy thùa 11 1.3 Tích phân phúc 13 1.4 Đai cương ve phương trình vi phân phúc .17 1.5 Van đe điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính phúc 19 1.5.1 Khái ni¾m 19 1.5.2 Phân loai điem kỳ d% 19 Chương Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính 21 2.1 Phương trình chí so 22 2.2 Phương trình chí so có nghi¾m phân bi¾t 23 2.2.1 Phương pháp tìm nghi¾m chuoi 24 2.2.2 Sn hđi tu cna nghiắm chuoi 25 2.3 Phương trình chí so cú nghiắm bđi 28 2.3.1 Hắ nghiắm tng ỳng tự nghiắm bđi cna phương trình chí so 28 2.3.2 Sn đc lắp tuyen tớnh cna hắ nghiắm 32 2.4 Úng dung vào phương trình Bessel 34 2.5 Đieu ki¾n đe tat cá nghi¾m liên quan tói m®t chí so có the khơng chúa logarit 36 2.6 Điem kì d% thnc kì d% be ngồi 39 Ket lu¾n 43 Tài li¾u tham kháo 44 Má đau Lý chon đe tài Như ta biet viắc tỡm nghiắm tong quỏt cna mđt phng trỡnh vi phân tuyen tính đưoc dna só xác đ%nh mđt hắ nghiắm c bỏn cna phng trỡnh thuan nhat cựng vúi viắc tỡm mđt nghiắm riờng cna phng trỡnh Nghi¾m tong qt cna phương trình tong cna nghi¾m riêng cna phương trình vói nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính than nhat tương úng Nhưng cho đen ngưòi ta chí mói đưa đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so khơng phái hang so, vi¾c tìm nghi¾m ó dang to hop cna hàm sơ cap cna m®t so phương trình vi phân khơng phái de dàng, th¾m chí cá đoi vói nhieu phương trình có dang đơn gián Chang han P (z)wrr(z) + Q(z)wr(z) + R(z)w(z) = Đó phương trình vi phân cap hai vói h¾ so l hm cna bien so đc lắp, nhng ta khụng the tỡm oc nghiắm riờng dúi dang mđt hm so sơ cap Tuy nhiên, vi¾c giái phương trình dang rat quan náy sinh tù tốn thnc tien, đ¾c bi¾t xuat hi¾n nhieu tốn v¾t lý kĩ thu¾t Vì v¾y, ta can thiet phái xây dnng phương pháp nham tìm nghi¾m cho phương trình M®t phương pháp thơng dung tìm nghi¾m cna phương trình dưói dang chuoi lũy thùa Ý tưóng cna phương pháp đơn gián: Giá sú hàmP (z), Q(z), R(z) giái tích mđt lõn cắn cna iem z0, ú chỳng cú khai trien thành chuoi lũy thùa tâm tai z0 Giá sú phương trình có nghi¾m dưói dang chuoi lũy thùa w= ∞ n cn(z − z0) n=0 Cơ só toán hoc cna phương pháp ta thay the bieu thúc đao hàm cna vào phương trình vi phân can giái Tù đó, xác đ%nh giá tr% cna hang so c0, c1, c2, cho nghi¾m phương trình vi phân cho Sau đong nhat h¾ so h¾ thúc thu đưoc, ta nh¾n đưoc nghi¾m cna phương trình vi phân Đieu dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính dưói dang chuoi lũy thùa Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tài "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính phNc" đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chun ngành Tốn giái tích Khóa lu¾n đưoc bo cuc thành hai chương Chương Trong chương này, em đưa m®t so kien thúc chan b%: so phúc m¾t phang phúc; dãy so chuoi so phúc; hàm phúc tính vi phúc; hàm giái tích Cũng ó liên quan tói vi¾c tìm hieu phương trình vi phân tuyen tính phúc nên em trình bày ve khái ni¾m phương trình vi phân tuyen tính phúc, đ%nh lý ton tai nghi¾m cna phương trình vi phân phúc, van đe ve điem kì d% cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Chương Trong chương em trình bày ve van đe ton tai nghiắm chuoi oi vúi mđt so lúp phng trỡnh vi phân tuyen tính phúc phương pháp tìm nghi¾m chuoi đoi vói phương trình vi phân tuyen tính Mnc đích nghiên cNu nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu van đe nghi¾m dưói dang chuoi lũy thùa cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Phương pháp nghiên cNu Tìm hieu tài li¾u tham kháo, phân tích, so sánh, tong hop xin ý kien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan Chương Kien thNc chuan b% 1.1 So phNc m¾t phang phNc 1.1.1 Khỏi niắm v mđt so tớnh chat c bán So phúc so có dang z = x + iy; x, y ∈ R i đơn v% áo mà i2 = −1 Ta goi x phan thnc y phan áo, kí hi¾u x = Rez, y = Imz T¾p hop so phúc đưoc kí hi¾u bói C T¾p hop so phúc đưoc đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng C → R2 z = x + iy ›→ (x, y) M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox trnc thnc, Oy trnc áo Phép c®ng nhõn cỏc so phỳc oc thnc hiắn mđt cỏch thụng thưòng phép tốn t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2) M®t so tính chat cna phép c®ng nhân so phúc + Tính chat giao hoán z1 + z2 = z2 + z1; z1.z2 = z2.z1 + Tính chat ket hop (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3); (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) + Tính chat phân phoi cna phép nhân vói phép c®ng z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3 Vói moi so phúc z = x + iy, ta xác đ%nh modul cna so phúc z , |z| = x2 + y2 Modul cna so phúc có tính chat (i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C, (ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C, (iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C So phúc liên hop cna so phúc z = x + iy đưoc kí hi¾u Khơng khó khăn, ta có the kiem tra đưoc = Rez z+ ; Imz z¯ = z¯ = x − iy z− z¯ 2i |z| = z.z¯; = z¯ vói z ƒ= z |z| So phúc khác đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ vói r > 0, θ ∈ R đưoc goi argument cna so phúc z (argument cna so phúc z đưoc xác Q r=1 z21 − (σ + 2r) − n2  (σ − 2n + 2) − σ2  z4 +, , −··· 2 (σ − 2n + 2) − , ,(σ + 2n + 4) −  = w1 + w2 n2 n2 Neu σ = −n, w1 = w2 tró thnh mđt bđi so cna Jn(z) Nghiắm w thỳ hai thu đưoc tù lim ∂σ ∂w σ=−n Đ¾t lim ∂w = W ; σ=− lim n = w = W2 σ=− ∂σ ∂σ n n−1 Γ(n − r ) z 2r 2C W1 = z−n n Γ(n) , Γ(r + 1) r= z2 z4 W2 = Ez n log − 22(n + 1) −··· 42!(n + 1)(n + z + 2) + Ez n ∞ r=0 So hang z r−1 (−1) Γ(n + 1) 2r Γ(r + 1)Γ(n + r + {ψ(r) + ψ(r + n) − ψ(r)} 1) Ez n ∞ r=0 r (−1) ψ(n)Γ(n + 1) Γ(r + 1)Γ(n + r + 1) z 2r W2 m®t b®i hang so cna Jn(z) có the loai bó n−1 Cho C = Γ(n ) − , nghi¾m đe E 2n−1Γ(n + 1) = n w = W1 + W2 z n+2r (−1) r ∞ = r=0 Γ(r + 1)Γ(n + r + 1) n− − {2 log z − ψ(r) − ψ(r + n)} Γ(n − r ) z 2r−n r=0 Γ(r + 1) có the đưoc coi nghi¾m thú hai cna phương trình Bessel 2.5 Đieu kiắn e tat cỏ cỏc nghiắm liờn quan tỏi mđt chí so có the khơng chNa logarit Nghi¾m đau tiên ỳng vúi mđt dóy so, chang han nghiắm W0 ó phan 2.3 khơng chúa logarit, nghi¾m tiep theo cna dãy chí so đau tiên chac chan chúa so hang logarit Núi chung nghiắm au tiờn cna mđt bđ chí so khơng chúa logarit nhung nghi¾m lai phái chúa logarit Ta se tìm đieu ki¾n can v n e moi nghiắm wà tng ỳng vúi so khụng chỳa logarit Xột mđt dóy so ρ0, ρ1, , ρµ, đưoc sap xep theo thỳ tn cho neu k l mđt so nguyờn dng vúi > k ieu kiắn au tiờn phỏi l mđt nghiắm n cna phng trỡnh so vỡ mđt nghiắm bđi luụn cho cỏc so hang có chúa logarit Hơn nua, moi chí so k (cú k nhú hn à) lún hn mđt so nguyờn dng, nờn nghiắm bat kỡ cú dang Wà + b1Wµ−1 + · · · + bµ−1W1 + bµW0 (vói b1, , bµ hang so tuỳ ý ) l mđt nghiắm tng ỳng vúi Tự ú suy cỏc nghiắm W0, W1, , Wà1 phỏi khụng chúa logarit Do đieu ki¾n can chí so 1, 2, , phỏi phõn biắt Ta cú Wµ = ∞ σ z ∂µ ν= gν (σ)z ν σ=ρ ∞ µ−1 µ ∞ µ ∂σ µ = zρµ ∞ ∂ ν=0 gν (σ) + µ log ν ∂ z z ∂σµ ν=0 gν (σ) ν ∂σµ−1 + · · · + (log µ gν z (σ)zν z) ν= e Wà khụng chỳa logarit, ieu kiắn can v đn ∂sgν (σ) = 0, σ=ρ µ µ ∂σs vói s = 0, 1, 2, , µ − vói moi ν Vì v¾y gν (σ) phái chúa (σ − ρµ) σ=ρµ vói moi ν Nhưng gν (σ) Fν (σ) ν = − = ( 1) g0(σ) f0(σ + 1)f0(σ + 2) f0(σ + Hν ν) g0(σ) = c0f (σ) nên g0(σ) chúa thùa so (σ − ρ µ) µ (σ) Do mđt ieu kiắn can v n l H (à) phỏi huu han ho¾c bang vói moi ν Tù h¾ thúc truy tốn cna Hν (σ) giong vói h¾ thúc truy toán cna cν , cu the Hν (σ)f0(σ + ν) + Hν−1(σ)f1(σ + ν − 1) + · · · + H0(σ)fν (σ + ν) = 0, vói H0(σ) = Do đó, neu H1(ρµ), H2(ρµ), , Hν−1(ρµ) huu han H0(ρµ) huu han, trù trũng hop thoỏ + l mđt nghi¾m cna phương trình chí so f0(σ) = 0, xáy ν m®t so hang khác m®t nhung so nguyên dương tăng dan ρµ−1 − ρµ, ρµ−2 − ρµ, , ρ0 − ρµ Khi ν = ρµ−1 − ρµ thùa so f0(σ + ν) mau so cna Hν (σ) có m®t khơng điem đơn σ = v khụng cú thựa so no khỏc b% triắt tiờu, ú ieu kiắn can l F (à) = = à1 v ieu kiắn n l F () triắt tiờu en cap mđt σ = ρµ Khi ν = ρµ−2 − ρµ, hai thùa so mau so cna Hν (σ) có khơng điem đơn vói σ = ρµ, cu the f0(σ + ν − ρµ−2 + ρµ−1); f0(σ + ν) Do đieu ki¾n can đn vói giá tr% cu the cna ν, Fν (σ) tri¾t ∂Fν (σ) = tiêu đen cap hai = hoắc F (à) = 0, ν = ρµ−2 − ρµ σ=ρµ Khi ν = ρµ−3 − ρµ, ba thùa so mau so cna Hν (σ) có khơng điem đơn σ = ρµ, cu the f0(σ + ν − ρµ−3 + ρµ−1); f0(σ + ν − ρµ−3 + ρµ−2); f0(σ + ν) vói giá tr% cna ν, Fν (σ) tri¾t tiêu đen cap ba σ = Tự ú ta cú ieu kiắn can v n = ∂Fν Fν (ρµ) = σ=ρ 0; (σ) µ 0, vói ν = ρµ−3 − ρµ ∂σ ∂2Fν (σ) =0 σ=ρµ ∂σ2 Tương tn ν = ρµ−r − ρµ, r thùa so mau so cna Hν (σ) có khơng điem đơn = v ú F () triắt tiờu en cap r = ieu kiắn cuoi ν = ρ0 − ρµ, Fν (σ) triắt tiờu en cap = Nhng giá sú rang nghi¾m tương úng vói ρ1, ρ2, , à1 khụng chỳa logarit So cỏc ieu kiắn oc thố mãn tương úng 1, 2, , µ − cựng vúi ieu kiắn liờn quan túi tao thnh tong à(à+1) ieu kiắn can v đn cho tat cá nghi¾m tương úng vói chí so ρµ khơng chúa logarit 2.6 Điem kì d% thNc v kỡ d% be ngoi Cỏc nghiắm cna mđt phương trình vi phân tuyen tính có điem kỳ d % phương trình vi phân có điem kỳ d%, đieu ngưoc lai chưa chac Nói chung iem z = a thoỏ ieu kiắn cna mđt iem k d% chớnh quy neu mđt so nghiắm (khụng phái tat cá nghi¾m) có chúa luy thùa âm, ho¾c luy thùa phân thúc cna (z − a) ho¾c có the chúa luy thùa cna log(z − a) điem kỳ d% nhung trưòng hop đưoc goi điem kỳ d% thnc Neu xáy trưòng hop moi nghi¾m đeu giái tích tai z = a điem kỳ d% goi kì d% be ngồi Ta se chí đieu ki¾n đn đe điem kỳ d% chí kì d% be ngồi Xét phương trình dang dnw dzn Pn− 1(z) P1(z) dn−1w + z − a dzn−1 +···+ P n( z) dw n−1 − a) dz + (z − a) nw =0 (z vói P1(z), , Pn(z) hàm giái tích tai z = a Giá sú z = a m®t điem kỳ d% be ngồi đe moi nghi¾m cna h¾ nghi¾m bán w1, w2, , wn hàm giái tích cna (z − a) lân c¾n cna điem kỳ d% Đ¾t ∆(z) = (n−1) (n−1) w1 w1 r w1 w1 r (n−1) (n−1) w2 w1 w1 w2 (n−1) (n−1) w w1 wnr wn (n−r) (n−r) ∆r(z) bieu thúc thu đưoc tù ∆(z) thay w , , w tương n n úng bói w , , w Khi n ∆r(z) n Pr(z) r (z − a) =− ∆(z) , r vói nhat m®t giá tr% cna r, Pr(z) không chúa thùa so (z − a) ∆r(a) đó, vói giá tr% cna vơ han M¾t khác ∆r(z) giái ∆(a r, ) tích tai z = a nên ∆(a) = Ta có d P1(z) z= − =− P1(z) ∆(z) z− a z−a + dG(z − a) , dz dz G(z − a) giái tích lân c¾n cna z = a ∆(z) = G(z−a) A(z − a) vói A m®t hang so −P1(a)e Bói ∆(z) hàm giái tích tai z = a, nên P1(a) phái m®t so ngun âm Phương trình chí so tương úng vói z = a [ρ]n + [ρ]n−1P1(a) + · · · + ρPn−1(a) + Pn(a) = Các nghi¾m cna phương trình phái so ngun dương phân bi¾t Vì nghi¾m bang se dan đen so hang chúa logarit Hien nhiên nghi¾m bé nhat Đieu ki¾n so mũ phái nhung so nguyên dương bao gom ieu kiắn P1(a) l mđt so nguyờn õm Cuoi áp dung đieu ki¾n đn đe đám báo nghi¾m khơng chúa logarit Giá sú nghi¾m cna phương trình chí so đưoc sap xep theo thú tn giỏm dan đ lún l 0, 1, , n1 Nghiắm vói so mũ ρ0 chac chan khơng chúa logarit M®t đieu ki¾n đn đe đám báo moi nghi¾m vói so mũ ρ1 khơng chúa logarit, hai đieu ki¾n đn cho nghi¾m vói so mũ ρ2 khơng chúa logarit cú v¾y, cuoi thêm n − đieu ki¾n đn đe cho nghi¾m vói so mũ n(n − 1) ρn−1 khơng chúa logarit Vì v¾y, có + + · · · + (n − 1) = đieu ki¾n đe đám báo khơng có nghi¾m chúa logarit Các đieu ki¾n mà so mũ so nguyên dương ho¾c bang khơng có nghi¾m chúa logarit đám báo rang điem kỳ d% điem kỳ d% be ngồi Ví dn 2.1 Xét phưong trình dw w ) Lw = z − (4z + λz + (4 − kz)w = d dz2 dz chúa hai tham so , k Ta se mđt so moi quan hắ ton tai giua tham so điem kỳ d% z = điem kỳ d% be Giá sú suy ∞ w= c ν z ρ+ν, ν=0 LW = c0(σ − 4)(σ − 1)zσ vói h¾ so cν phái thố mãn h¾ thúc truy toán (σ + ν − 4)(σ + ν − 1) = {λ(σ + ν − 1) + k} cν−1 So mũ ρ0 = ρ1 = hai so nguyên dương, tương úng vói so mũ lón hn ton tai mđt nghiắm giỏi tớch tai z = 0, đ¾t w = c0u, vói u = z + γ1 z + γ z + · · · + γ ν z ν + · · · , γν = 4λ + k 1.4 + 5λ + k +· · · + (ν + 3)λ + k ν(ν + 3) 2.5 Nói chung nghi¾m tương úng vói so mũ nhó ρ1 = se chúa logarit Đe khơng chúa logarit đieu ki¾n can đn F3(1) = 0, ρ0 − ρ1 = Ta có f0 (σ) = (σ − 4)(σ − 1), F (σ) c3 = f (σ + 1)f (σ + 2)f (σ + 3) 0 0 c = {λ(σ + 2) + k} {λ(σ + 1) + k} {λσ + k} Do đieu ki¾n can đn (3λ + k)(2λ + k)(λ + k) = Tù ta có ba trưòng hop k = −λ, nghi¾m tương úng w = z, 2 k = −2λ, nghi¾m tương úng w = z + λz , 2 3 k = −3λ, nghi¾m tương úng w = z + λz2 λ z + Trong trưòng hop chí trưòng hop này, điem goc điem kỳ d% be Ket luắn Trờn õy l ton bđ nđi dung cna khố lu¾n tot nghi¾p “Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính phNc” N®i dung cna lu¾n văn giái quyet van đe sau Trúc het em hắ thong hoỏ mđt so kien thỳc bán ve so phúc, dãy chuoi so phúc, hàm phúc tính vi phúc, hàm hình hàm giái tích, tong quan ve phương trình vi phân phúc, phương trình vi phân tuyen tính phúc điem kì d% cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Van đe ton tai nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính phúc phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính phúc Tài li¾u tham kháo [1] M D Adler, An Introduction to Complex Analysic for Engineers, (1997) [2] W E Boyce, R C Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John and Sons, Inc, (2001) [3] E A Codding, N Levinson, Theory of ordinary differential equations, New York, (1955) [4] W Hundsdorfer, Ordinary Differential Equations, Radboud Universitiet Nijmegen, (2009) [5] E M Stein and R Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures In Analysis), Princeton University Press Princeton and Oxford, (2003) ... cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so khơng phái hang so, vi c tìm nghi¾m ó dang to hop cna hàm sơ cap cna m®t so phương trình vi. .. so phúc; hàm phúc tính vi phúc; hàm giái tích Cũng ó liên quan tói vi c tìm hieu phương trình vi phân tuyen tính phúc nên em trình bày ve khái ni¾m phương trình vi phân tuyen tính phúc, đ%nh lý... cho nghi¾m phương trình vi phân cho Sau đong nhat h¾ so h¾ thúc thu đưoc, ta nh¾n đưoc nghi¾m cna phương trình vi phân Đieu dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính dưói