Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính phức

Lý do chon đe tài Như ta đã biet vi¾c tìm nghi¾m tong quát cna m®t phương trình viphân tuyen tính đưoc dna trên cơ só xác đ%nh m®t h¾ nghi¾m cơbán cna phương trình thuan nhat cùng vói vi

Lài cám ơn

Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo toGiái tích và các ban sinh viên khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sư pham

Hà N®i 2 Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna mình tói

TS Nguyen Văn Hào đã t¾n tình giúp đõ em trong quá trình hoàn

thành khóa lu¾n tot nghi¾p

Lan đau thnc hi¾n công tác nghiên cúu khoa hoc nên vi¾c trình bàykhóa lu¾n không tránh khói nhung han che và thieu sót Em xin chânthành cám ơn nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo vàcác ban sinh viên

Hà N®i, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Pham Th% L¾

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào khóa lu¾n tot nghi¾p "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính phNc" đưoc hoàn thành theo sn hieu biet, nh¾n thúc và đưoc

trình bày theo quan điem riêng cna cá nhân tôi

Trong quá trình hoàn thành khóa lu¾n, tôi đã thùa ke nhung thành tnucna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Pham Th% L¾

Mnc lnc

Má

đau 3

Chương 1 Kien th Nc chuan b%

6

1.1.So phúc v à m¾t phang p húc 6

1.1.1 Khái ni¾ m và m®t so tính chat cơ bán 6

1.1.2 Sn h ® i tu cna dãy so phúc 8

1.1.3 Chu o i so phúc 8

1.2.Hàm bien phúc 9

1.2.1 Hàm liên tuc 9

1.2.2 Hàm chính hình 10

1.2.3 Chu o i lũy thùa 11

1.3.Tích ph ân phúc 13

1.4.Đai cương v e phương trình vi phân phúc 17

1.5.V an đe điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuy en tính phúc 19

1.5.1 Khái ni¾ m 19

1.5.2 Phân loai điem kỳ d% 19

Chương 2 Nghi¾m chuoi cúa ph ương trình vi phân tuyen tính 21 2.1.Phương trình c hí so 22

2.2.Phương trình c hí so có các nghi¾m ph â n bi¾t 23

2.2.1 Phương pháp tìm nghi¾m c h uoi 24

2.2.2 Sn h ® i tu cna nghi¾m c h uoi 25

1

2.3.Phương trình c hí so có nghi¾m b®i .28

2.3.1 H¾ ngh i¾m tương úng tù nghi¾m b®i cna phương trình chí so 28

2.3.2 Sn đ® c l¾p tuy en tính cna h¾ nghi¾m 32

2.4.Úng dung v ào phương trình Bessel 34

2.5.Đieu ki¾n đe tat cá các nghi¾m liên quan tói m®t c hí so có the không chúa logarit 36

2.6.Điem kì d% thnc v à kì d% be ngoài 39

Ket lu¾n

43

T ài li¾u tham kháo

44

1

Má đau

1 Lý do chon đe tài

Như ta đã biet vi¾c tìm nghi¾m tong quát cna m®t phương trình viphân tuyen tính đưoc dna trên cơ só xác đ%nh m®t h¾ nghi¾m cơbán cna phương trình thuan nhat cùng vói vi¾c tìm m®t nghi¾m riêngcna phương trình đó Nghi¾m tong quát cna phương trình này là tongcna nghi¾m riêng cna phương trình đó vói nghi¾m tong quát cnaphương trình vi phân tuyen tính than nhat tương úng Nhưng cho đennay ngưòi ta cũng chí mói đưa ra đưoc quy trình h¾ thong đe xâydnng h¾ nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính vóih¾ so hang so Đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ sokhông phái là hang so, vi¾c tìm nghi¾m ó dang to hop cna các hàm

sơ cap cna m®t so phương trình vi phân không phái de dàng, th¾mchí ngay cá đoi vói nhieu phương trình có dang khá đơn gián Changhan

M®t trong các phương pháp thông dung là tìm nghi¾m cna phươngtrình dưói dang chuoi lũy thùa Ý tưóng cna phương pháp này khá đơn

gián: Giá sú các hàmP (z), Q(z), R(z) là giái tích trong m®t lân c¾n cna điem z0, khi đó chúng có khai trien thành chuoi lũy thùa tâm tai

z0 Giá sú phương trình có nghi¾m dưói dang chuoi lũy thùa

xác đ%nh giá tr% cna các hang so c0, c1, c2, sao cho nó nghi¾m

đúng phương trình vi phân đã cho Sau đó đong nhat các h¾ so trongh¾ thúc thu đưoc, ta nh¾n đưoc nghi¾m cna phương trình vi phânđó

Đieu đó dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân tuyentính dưói dang chuoi lũy thùa Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng

dan, em chon đe tài "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính phNc" đe hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p chuyên ngành Toán

giái tích Khóa lu¾n đưoc bo cuc thành hai chương

Chương 1 Trong chương này, em đưa ra m®t so kien thúc chan b%:

so phúc và m¾t phang phúc; dãy so và chuoi so phúc; hàm phúc vàtính khá vi phúc; hàm giái tích Cũng ó đây liên quan tói vi¾c tìm hieuphương trình vi phân tuyen tính phúc nên em trình bày ve khái ni¾mphương trình vi phân tuyen tính phúc, đ%nh lý ton tai nghi¾m cnaphương trình vi phân phúc, van đe ve điem kì d% cna phương trình viphân tuyen tính phúc

6

Chương 2 Trong chương này em trình bày ve van đe ton tai nghi¾m

7

chuoi đoi vói m®t so lóp phương trình vi phân tuyen tính phúc và

phương pháp tìm nghi¾m chuoi đoi vói các phương trình vi phân tuyentính này

2 Mnc đích nghiên cNu và nhi¾m vn nghiên cNu

Tìm hieu ve nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính phúc

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu van đe nghi¾m dưói dang chuoi lũy thùa cna phương trình vi phân tuyen tính phúc

4 Phương pháp nghiên cNu

Tìm hieu tài li¾u tham kháo, phân tích, so sánh, tong hop và xin ýkien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan

Chương 1 Kien thNc chuan b%

1.1 So phNc và m¾t phang phNc

1.1.1 Khái ni¾m và m®t so tính chat cơ bán

So phúc là so có dang z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn v% áo

M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox là trnc thnc, Oy là trnc áo Phép

c®ng và nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách thông thưòng

như các phép toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 = −1 Ta có

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)và

z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).

M®t so tính chat cna phép c®ng và nhân so phúc

+ Tính chat giao hoán

(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C.

So phúc liên hop cna so phúc z = x + iy đưoc kí hi¾u

là Không khó khăn, ta có the kiem tra đưoc

đ%nh m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t b®i so cna 2π) và

e iθ = cosθ + i sin θ.

Bói vì .e iθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hop bói chieu dương cna truc Ox

và núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® đi qua điem z Cuoi cùng,

ta lưu ý rang z = r.e iθ và w = s.e iϕ thì

z.w = r.s.e i (θ+ϕ)

1.1.2 SN h®i tn cúa dãy so phNc

Dãy so phúc {z n } đưoc goi là h®i tu đen so phúc w ∈ C và viet là

n→∞

 lim

⇔ ∀ε < 0 ∃N > 0 sao cho |z n − z m | < ε vói moi n, m ≥ N.

Như v¾y, dãy so phúc h®i tu neu và chí neu nó là dãy Cauchy

đưoc goi là chuoi so phúc Tong Sn = u1 + u2 + · · · + un đưoc goi là tong

riêng thú n cna chuoi (1.1)

Neu ton tai lim

n→∞ S n = S ƒ= 0 thì chuoi (1.1) đưoc goi là h®i tn và

Chuoi không h®i tu goi là chuoi phân kì.

Đ%nh lý 1.1 (Tiêu chuan Cauchy) Chuoi

.∞

n= 1

u n h®i tu khi và chí khi

vói moi ε > 0 ton tai so nguyên dương N = N (ε) sao cho vói moi n ≥

Cho hàm f (z) xác đ%nh trên t¾p Ω ⊂ C Ta nói rang f (z) liên tuc tai điem z0 ∈ Ω neu thóa mãn m®t trong hai đieu ki¾n tương đương

sau

(i) Vói moi ε > 0 ton tai δ > 0 sao cho vói moi z ∈ Ω và |z − z0| < δ

thì

|f (z) − f (z0)| < ε.

(ii) Vói moi dãy {zn } ⊂ Ω mà

goi là liên tuc trên

Ω neu nó liên tuc tai moi điem cna

Ω Tong và tích cna các hàm liên tuc cũng là hàm liên tuc

1.2.2 Hàm

chính hình

→

Giói han trên đưoc ký hi¾u bói f

r (z0) và goi là đao hàm cna hàm f

chính hìnhtai moiđiem cna Ω

chính hìnhtrên C đưocgoi là hàmnguyên

Đ%nh lý

1.3 Neu các

hàm f, g chính hình trên Ω, thì (i) f + g

chính hình trên

Ω và (f + g) r =

c h í n h

h ì n h

t a i z

0

∈

Ω

v à

f r g − f.g r

Thêm nua, neu f : Ω → U và g :

U → C là các hàm chính hình, thì hàm

hop gof : Ω → C cũng là hàm

chính hình.

Khái ni¾m khá vi phúc khác han vói khái ni¾m khá vi thông thưòng cna hàm hai bien thnc

Thnc v¾y, hàm f (z) = z¯ tương

úng như ánh xa

cna m®t hàm hai bien thnc F : (x, y) ›→ (x, −y) Hàm này khá vi theo

nghĩa hàm hai bien thnc, đao hàm cna nó tai m®t điem là ánh xa tuyentính đưoc cho bói đ%nh thúc Jacobian cna nó, ma tr¾n vuông cap haicác đao hàm riêng cna các toa đ® Tuy nhiên, ta thay đieu ki¾n ton tai

các đao hàm thnc không đám báo tính khá vi phúc Đe hàm f khá vi

phúc, ngoài đieu ki¾n khá vi cna hàm hai bien thnc, chúng ta can đenđieu ki¾n Cauchy - Riemann đưoc cho bói đ%nh lý dưói đây Đe lý giái

đưoc đieu này, trưóc het ta nhac lai hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y),

trong

đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác đ%nh trong mien Ω, đưoc goi là R2 - khá

vi tai z = x + iy neu các hàm cna hai bien thnc u(x, y) và v(x, y)

khá vi tai điem (x, y)

Đ%nh lý 1.4 (Đieu ki¾n Cauchy - Riemann) Đe hàm f (z) là C

-khá vi tai điem z ∈ D, đieu ki¾n can và đú là tai điem đó hàm f (z)

là R2 - khá vi và thóa mãn đieu ki¾n Cauchy - Riemann.

1.2.3 Chuoi lũy thNa

Chuoi lũy thùa là chuoi có dang

n=0

trong đó a n ∈ C Tù Đ%nh lý Abel ta thay rang neu chuoi (1.3) h®i tu

điem z0 nào đó, thì nó cũng h®i tu tai moi z trong đĩa |z| ≤ |z0| Bây

giò

ta se chúng minh luôn ton tai m®t đĩa mó mà trên đó chuoi (1.2) h®i tutuy¾t đoi.

Đ%nh lý 1.5 (H’adamard) Cho chuoi lũy thùa

so 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

.∞

n= 0

a n z n Khi đó ton tai

(i) Neu |z| < R thì chuoi h®i tn tuy¾t đoi.

(ii) Neu |z| > R thì chuoi phân kỳ.

Hơn nua, neu ta sú dnng quy ưóc 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì so R

đưoc tính bói công thúc

Đ%nh lý 1.6 Chuoi lũy thùa f (z)

n xác đ%nh m®t hàm chính

hình trong đĩa h®i tn cúa nó Đao hàm cúa f cũng là m®t chuoi lũy thùa

thu đưoc bang cách lay đao hàm tùng so hang cúa chuoi vói hàm f, túc

f r (z) = na n z n−1

n=0

Hơn nua, f r có cùng bán kính h®i tn vói f.

H¾ quá 1.1 Chuoi lũy thùa khá vi vô han lan trong đĩa h®i tn cúa nó.

Đao hàm cúa chuoi lũy thùa thu đưoc bang cách lay đao hàm cúa tùng

so hang cúa nó.

M®t hàm f xác đ%nh m®t t¾p con mó Ω đưoc goi là giái tích (ho¾c có

khai

.∞ trien lũy thùa) tai điem z0 ∈ Ω neu ton tai chuoi lũy

thùa

tâm tai z0 vói bán kính h®i tu dương sao cho

n= 0

[a, b] và z r (t) ƒ= 0, vói moi t ∈ [a, b] Tai các điem t = a và t = b các

đai

lưong z r (a) và z r (b) đưoc hieu như giói han m®t phía

Đưòng cong đưoc goi là trơn tùng khúc neu z(t) liên tuc trên đoan [a,

b ] và ton tai các điem a0 = a < a1 < < a n = b, ó đó z(t) là trơn

trên moi đoan [ak , b k+1] Đ¾c bi¾t đao hàm trái và phái tai các điem

hưóng cna đưòng cong, khi s chay tù c đen d thì t(s) chay tù a đen b

Ho cna tat cá các đưòng cong tham so tương đương vói z(t) xác đ

%nh m®t

đưòng cong trơn γ ⊂ C Đưòng cong γ − là đưòng cong thu đưoc tù γ bang cách đoi hưóng M®t dang tham so hóa cna γ − đưoc xác đ%nh như sau

trù ra s = a và t = b Đe ngan gon ta se goi đưòng cong trơn tùng

khúc là m®t đưòng cong

Ví dn 1.1 Xét đưòng tròn C r (z0) tâm tai z0, bán kính r

Ta kí hi¾u C là đưòng tròn đ%nh hưóng dương.

Đ%nh nghĩa 1.3 Cho đưòng cong trơn γ đưoc tham so hóa bói

phương trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tuc trên γ Tích phân cna hàm f doc theo γ đưoc xác đ%nh bói

Chúng ta thay tích phân ve phái không phu thu®c vào cách chon

phương trình tham so đoi vói γ Giá sú z¯ là m®t tham so hóa tương

đương xác đ%nh như trên thì

d

¸

= f (z¯(s)).z¯ r (s)ds.

c Neu γ là đưòng cong trơn tùng khúc như trên, thì

Tù đ%nh nghĩa, ta suy ra đ® dài cna đưòng cong γ là

b

¸length(γ) =

H¾ quá 1.2 Giá sú γ là đưòng cong đóng trong t¾p mó Ω Neu hàm

liên tnc f và có nguyên hàm trong Ω thì

1.4 Đai cương ve phương trình vi phân phNc

Đ%nh nghĩa 1.4 Trưóc het ta đ%nh nghĩa hàm giái tích theo hai

bien phúc f (z, ω) là m®t hàm giái tích cna z và ω trong mien D neu (i) f (z, ω) là m®t hàm liên tuc theo z và ω trong D.

(ii) Ton tai các đao hàm riêng ∂f ∂f

,

∂z

∂ω

tai moi điem cna D.

Đ%nh nghĩa hàm này bao hàm cá các đieu ki¾n Cauchy-Riemann là neu

z = x + iy, ω = u + iυ, f (z, ω) = P (x, y, u, υ) + iQ(x, y, u, υ), thì P và Q là các hàm khá vi trong D vói bon đoi so thnc, các đao hàm

riêng cna chúng liên tuc và thóa mãn các phương trình

ó đó hàm f (z, ω) giái tích trong lân c¾n cna điem (z0, w0)

Ta goi nghi¾m cna phương trình vi phân (1.4) là tat cá các hàm giái

tích ω = ω(z) thóa mãn phương trình đó Nói chung, nghi¾m cna

phương trình vi phân phúc cũng phu thu®c vào các hang so tùy ý;nghi¾m như v¾y cũng đưoc goi là nghi¾m tong quát Nghi¾m suy ra

tù nghi¾m tong quát vói các giá tr% cu the cna hang so đưoc goi lànghi¾m riêng.

Đ%nh nghĩa 1.5 Phương trình vi phân tuyen tính cap n là phương

trong đó p1(z), p2(z), , pn(z) và f (z) là các hàm giái tích trong mien

Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm hàm giái

tích ω = ω(z) là nghi¾m cna phương trình vi phân (1.4) thóa mãn

đieu ki¾n (z0, ω0) ∈ D × G và ω (z0) = ω0.

Đ%nh lý 1.9 (Sn ton tai và duy nhat nghi¾m) Xét phương trình vi

phân tuyen tính thuan nhat cap n

dz n + p1(z)

dz n−1 + · · · + pn−1(z)

dz + pn(z)ω = 0.

Khi đó, ton tai duy nhat m®t hàm giái tích ω (z) trên hình tròn |z − z0|

< a là nghi¾m cúa phương trình thóa mãn đieu ki¾n ban đau là ω (z0)

= ω0 Nghi¾m này có the bieu dien dưói dang chuoi lũy thùa h®i tn tuy¾t đoi, đeu trong bat kỳ đưòng tròn có tâm z0, trong đó các h¾ so

p1(z), ., p n (z) là các hàm giái tích trong mien D nào đó cúa m¾t

phang phúc.

1.5 Van đe điem kỳ d% cúa phương trình vi

Đ%nh nghĩa 1.6 Điem z0 đưoc goi là điem thưòng cna phương trình vi

là giái tích tai đó Trong các trưòng hop khác

nó đưoc goi là điem kỳ d%.

1.5.2 Phân loai điem kỳ d%

Điem z0 đưoc goi là điem kỳ d% chính quy cna phương trình (1.7)

neu nó là m®t điem kỳ d% cna phương trình đó, đong thòi các hàm

Q ( z ) (z − z0)

P (z) ; (z −

z0)

2R ( z )

P (z)

đeu có khai trien chuoi Taylor h®i tu tai z0, nghĩa là các hàm này

giái tích tai điem z = z0

Các hàm này có the không xác đ%nh tai z0 Trong trưòng hop này, các

giá tr% tai z0 đưoc gán là các giá tr% giói han cna chúng khi z → z0

Đ¾c bi¾t, neu P (z), Q(z) và R(z) là các đa thúc thì z0 đưoc goi làđiem kỳ d%

chính quy cna phương trình (1.7) neu nó là m®t điem kỳ d% và các gióihan sau

Điem z0 đưoc goi là điem kỳ d% không chính quy cna phương trình (1.7)

neu nó không phái là m®t điem kỳ d% chính quy

2

Chương 2 Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi

phân tuyen tính

Nghi¾m dưói dang chuoi luy thùa tai điem z0 nào đó cna phươngtrình vi phân tuyen tính có the không ton tai ho¾c ton tai m®t cáchhình thúc túc là chuoi không h®i tu Đieu đó nói chung là do nghi¾mthnc sn không the khai trien đưoc thành chuoi luy thùa Trong các

trưòng hop phương trình có z0 là điem kỳ d% chính quy thì có the cónghi¾m dưói dang chuoi luy thùa vói so mũ âm (trong giái tích phúc tagoi là khai trien Laurentz) ho¾c so mũ không nguyên; đoi vói điem kỳd% không chính quy, nghi¾m dưói dang chuoi vô han nói chung làphân kỳ Do đó, đe đơn gián ta xét đen m®t lóp phương trình vi phân

se xây

n

dnng phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna các phương trình vi phântuyen tính dang này và chúng minh nó h®i tu vói nhung giá tr% |z| đn

nhó

c0f0(ρ) = 0,