Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng nghiên cứu, bảo tận tình, chu đáo, động viên giúp đỡ tơi q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, thầy giáo, giáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn bè người thân tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng11 năm 2013 Tác giả Bùi Trung Hiếu LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết trình học tập, nghiên cứu thân bảo, dìu dắt thầy giáo, cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình chu đáo TS Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Luận văn với đề tài “Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính” khơng có trùng lặp Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Bùi Trung Hiếu MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU NỘI DUNG .7 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Sai số 1.2 Số gần 11 1.3 Một số tính chất phương trình vi phân 11 1.4 Sai phân tính chất 14 Chương 2: Lược đồ sai phân 19 2.1.Bài toán vi phân 19 2.2 Lưới sai phân 19 2.3 Hàm lưới 20 2.4 Đạo hàm lưới 20 2.5 Qui ước viết vô bé 21 2.6 Công thức Taylor 21 2.7 Liên hệ đạo hàm hàm lưới 22 2.8 Phương pháp sai phân 23 2.9 Giải toán sai phân phương pháp truy đuổi 23 2.10 Sự ổn định toán vi phân .27 2.11 Sự xấp xỉ 27 2.12 Sự hội tụ 29 2.13 Trường hợp điều kiện biên loại ba 30 Chương 3: Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 3.1 Bài tốn vi phân .35 3.2 Đạo hàm lưới 36 3.3 Phương pháp sai phân 37 3.4 Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 46 3.5 Sự xấp xỉ 58 3.6 Sự ổn định toán sai phân 58 3.7 Bài toán sai phân sai số 75 3.8 Sự hội tụ sai số 76 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp sai phân (hay gọi phương pháp lưới) phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung dẫn đối tượng cần xét việc giải phương trình sai phân (tức hệ thức hệ thức liên hệ giá trị hàm số điểm khác nhau) Một ứng dụng quan trọng phương pháp sai phân giải phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ cơng nghệ thơng tin có nhiều phần mềm chương trình giúp tìm nghiệm phương trình vi phân thường với độ xác cao thời gian ngắn Một lớp phương trình vi phân thường quan trọng phương trình vi phân tuyến tính Trong số trường hợp lớp phương trình vi phân tuyến tính ta tìm nghiệm tường minh Chẳng hạn, phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hàm vế phải có số dạng đặc biệt Tuy nhiên, trường hợp tổng quát việc tìm nghiệm tường minh cho phương trình vi phân tuyến tính vấn đề khó Chính lí người ta phải đưa phương pháp để giải số phương trình vi phân Được định hướng TS Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài: “Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính” để hồn thành luận văn đào tạo thạc sĩ chun ngành tốn gải tích Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày phương trình vi phân phương pháp sai phân ứng dụng vào giải phương trình vi phân tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Phương trình vi phân - Phương pháp sai phân - Phương pháp sai phân giải phuơng trình vi phân tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu báo viết phương pháp sai phân ứng dụng - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Những đóng góp luận văn Trình bày cách có hệ thống phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, kết thu mở rộng cho số số lĩnh vực khác CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sai số 1.1.1 Làm tròn số sai số phép làm tròn số Xét số thập phân dạng tổng quát a   p p i 10    10 i ps    (1.1) p s  Trong  j , ap 0, a j 9 j, Nếu p a số nguyên s  0 Nếu p s k a có phần lẻ gồm k chữ số  k 0 Nếu s thì a số thập phân vơ hạn Làm tròn số a bỏ số chữ số bên phải số a để số a gọn gần với số a Quy tắc làm tròn : Xét số a dạng (1.1) ta giữ lại đến bậc thứ i , phần bỏ  : a   p 10 p   i1 10 i  Trong :   10 i i   i ;   10 i   10 2  i  i   ;   10i  i1   10i 2 khii  l  2l; khii 2l l  1; Ta kí hiệu sai số phép làm tròn a ,  10i a Vì a* a a * tuyệt đối tăng thêm  a a   a a  a a , rõ ràng a a , làm tròn sai số a 1.1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số Xét số a dạng (1.1) nghĩa viết dạng thập phân, chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số bị kẹp hai số khác chữ số hàng giữ lại Xét số a dạng (1.1) a   p p 10    10 i ps   i  ps  Chữ số  (1.1) số a số : j a .10 tham số cho trước j ; Tham số  chọn để cho chữ số vốn sau làm tròn chắc, rõ ràng 1.1.3 Sai số tính tốn chữ số chữ số 1 Giả sử phải tìm đại lượng y theo cơng thức y f x1 , x2 , , xn  Gọi * x  x  * * * * , x , , x ; y  f x *  giá trị x x1, x2 , , xn ; C1 y1 C2y2 C3y3 C4y4 0  y3C 4 y4Cy 0 C C1y 2  C1y1C2y2C3y3C4y40  C  y C y  C  f (x) 2  1 y3 C4y4 đó: y1 cos x, y2 sin x, y3 e ,x y4 e5 x 2 Giải ta có: C1  f (x)e 10x C2   sin xdx K 10x f (x)e f (x)e 2 f C   (x)e C3  cos xdx K 2x dx K 2x dx K K1, K2 K3 K4 const , , Do f (x) hàm chưa biết (cần tìm) nên hệ số Ci , i  chưa xác định 1, Như dựa vào dạng nghiệm y tìm ta chọn: y 2x(cos x sin x) 6e2 x 5 coi nghiệm phương trình khơng Sau tính đạo hàm y , y (4) thay vào phương trình cho, ta được: f (x) 28(sin x cos x) 90e2 x 25 Bây biết p(x), q(x), g (x), f (x) Ta cần giải toán sau: py(4) (x) qy (x)  gy(x)  f (x) Với điều kiện biên: ya 0.9998 ; ya 9.9998 ; Chọn yb 4.5317 yb18.9499 h 0.025 , nghĩa chia đoạn [0, ] làm 10 phần điểm chia: x0 0, x1 0.025, x2 0.05, x3 0.075, x4 0.1 x5 0.125, x6 0.15, x7 0.175, x8 0.2, x9 0.225, x10  0.25 Dựa vào phương pháp sai phân nêu phần lý thuyết, ta đưa hệ năm đường chéo sau để tính nghiệm gần phương trình vi phân cho v0 0.9998  3v 4v v 0.49999  1     A v D v E v  i i 2 Bivi Civ Fi i i i i  , 1 1 2 i v8 4v9 3v10 0.947495   v10 4.5317  đó: Ai pi1 p(xi1 ) 2 B 2( p )  8.001875 p h2 q i  2,8 i C p i i1 i i1 i12 4 p  p i  h2 (q i12  q4 )  h g i 1 12.00374805 i i1 Di 2( pi1 pi ) hqi 8.001875 Ei pi1 2 F h f h4 f (x ) i i i Giải ta vi i 0, N , đồng thời so sánh với nghiệm , y(xi ), i 0, N cho bảng sau: Nghiệm Nghiệm gần i xi 0 -0.9998 -1 0.025 -1.2589 -1.2588 0.05 -1.5362 -1.5361 0.075 -1.8327 -1.8326 0.1 -2.1493 -2.1494 0.125 -2.4871 -2.4873 0.15 -2.8470 -2.8474 0.175 -3.2303 -3.2307 0.2 -3.6380 -3.6384 0.225 -4.0714 -4.0716 10 0.25 -4.5317 -4.5316 y( xi ) vi Sai số đạt: max vi  y(xi ) 0.0004 i 0,10 Ví dụ Giải gần phương trình vi phân sau: y(4) (x) [(1 x2 ) y(x)]2 y(x)  x  f (x), y (x) (1 x ) y (x)  2xy(x) 2 y(x)  (4) đây: f (x) p(x) 1, q(x) 1 x2 , g(x) 2 Do ta khơng thể tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình ta phải lấy y(x) tùy ý coi nghiệm phương trình Giả sử ta y(x) có dạng sau: y(x) (x 1)ex x cos x (Coi nghiệm đúng) Sau tính đạo hàm thay vào phương trình cho, ta được: f (x) (x 6x3 7x 10x 14)e x 2(2x 1)sin x  x(x 4) cos x Tương tự ví dụ 1, biết hàm p , q , g f ta dùng phương , pháp sai phân để tìm nghiệm gần phương trình Với điều kiện biên: y0 0.9998, y 1,6220 y00.0001, y 3.07169 Ta chọn chia h 0.02 , tức chia đoạn [0, điểm ] làm 25 phần x0 0, x1 0.02, x2 0.04, x3 0.06,, x25 0.5 Như ta có tốn sai phân tương ứng với toán vi phân cho là: v0 0.9998  3v 4v v 0.000004  1      A v B v D v E v  i i 2 i i i 2, 23 Civ Fi i i i i  , 1 1 2 i v23 4v24 3v25 0.122868   v25 1.6220  Tính hệ số (i 2, thay vào hệ giải 23) Ai , Bi , Ci , Di , Ei , Fi nghiệm gần vi , i  0.25 đồng thời so sánh với nghiệm y(xi ) i 0, 25 ta bảng kết sau , vi , i 0.25 y(x i ) , i 0,25 i xi 0 0.9998 0.02 1.0004 1.0006 0.04 1.0024 1.0025 0.06 1.0056 1.0058 0.08 1.0103 1.0105 0.1 1.0166 1.0167 0.12 1.0245 1.0246 0.14 1.034 1.0342 0.16 1.0454 1.0456 0.18 1.0587 1.0589 10 0.2 1.0741 1.0742 11 0.22 1.0915 1.0917 12 0.24 1.1111 1.1114 13 0.26 1.1331 1.1333 14 0.28 1.1575 1.1578 15 0.3 1.1845 1.1847 16 0.32 1.2141 1.2144 17 0.34 1.2466 1.2468 18 0.36 1.2819 1.2822 19 0.38 1.3203 1.3205 20 0.4 1.3618 1.3621 21 0.42 1.4067 1.4069 22 0.44 1.455 1.4552 23 0.46 1.5069 1.5071 24 0.48 1.5625 1.5627 25 0.5 1.6220 1.6221 Sai số đạt: Chú ý v y(x ) O(h ) i i  M const 0 (h) :v i Runge xem: v i y(x ) Ch , i max vi  y(xi ) i0,25 y(x ) Mh2 i C const 0 (tồn chưa biết) Tính v(xi , h) y(x ) Ch2 h   (xi , ) y(xi ) C  2  h 0.0003  h h  v(x , h)  (x , ) 3C2 i i 2   sai số: h h  (x , ) y(x v(x , h)  (x , ) i i ) i i h v(xi , h) y(xi v(xi , h)  (xi , ) ) 4 Chú ý Xét toán Lhvi Fi , i  h y , i   h v Giả sử tính h F , y không giá trị F * F , y * y với * F  F  ,  * y y F , y mà   ( , hai số dương bé) Khi thay cho tốn ban đầu, ta có L v * F * , i  h  h i i  * y , i h *  v toán mà vế phải F y bị nhiễu chút h Bài toán sai phân sai số (tính tốn): L (v* L v * F * F , i  Lv v) i h i h i i i h  h  *  v v  h y * y   h , i  h áp dụng bất đẳng thức ổn định * v v C y y  * * K F  F  C K  KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau:  Sai phân khái niệm phương trình vi phân  Lược đồ sai phân Phương pháp truy đuổi để giải tốn sai phân Tính ổn định hội tụ thuật toán  Áp dụng lược đồ sai phân để giải phương trình vi phân tuyến tính Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Phạm Phú Triêm, Nguyễn Bường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục [5] Edwin F Beckenbach, Toán học đại cho kỹ sư Tập I – Hồ Thuần, Nguyễn Lãm, Lê Thiện Phố, Phạm Văn Ất, dịch (1987) NXB ĐH THCN Hà Nội [6] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2004), Phương pháp sai phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội B Tài liệu tiếng Anh [8] Michael D Greenberg (1998), Advanced Engineering Mathematics 2nd ed, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ ... 3: Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 3.1 Bài toán vi phân .35 3.2 Đạo hàm lưới 36 3.3 Phương pháp sai phân 37 3.4 Phương pháp sai phân giải phương. .. phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp nghiên... 0, gọi (1.4) phương trình vi phân tuyến tính x nhất, ngược lại gọi phương trình vi phân tuyến tính khơng Phương trình vi phân tuyến tính cấp ya x y 0 (1.5) phương trình phân ly biến