Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau.. Một trong những ứn

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình,chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, côgiáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn

bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoànthành luận văn này

Hà Nội, tháng11 năm 2013

Tác giả

Bùi Trung Hiếu

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thândưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫnnhiệt tình và chu đáo của TS Nguyễn Văn Hùng

Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu củacác nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Luận văn với đề tài “Phương pháp sai phân giải phương trình vi

phân tuyến tính” không có sự trùng lặp.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Bùi Trung Hiếu

MỤC LỤC

Trang

L

ời cảm ơn 1

L ời cam đoan 2

M ụ c l ụ c 3

M Ở ĐẦU 5

NỘI DUNG 7

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 7

1.1.Sai s ố 7

1.2 ố gầnS đúng 11

1.3 Một số tính chất của phương trình vi phân 11

1.4 phânSai và tính ch ất 14

Chương 2: Lược đồ sai phân 19

2.1.Bài toán vi phân 19

2.2 Lưới sai phân 19

2.3 Hàm lưới 20

2.4 Đạo hàm lưới 20

2.5 ướcQui viết vô c ùng bé 21

2.6 Công th ức Taylor 21

2.7 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới 22

2.8 Phương pháp sai phân 23

2.9 ảiGi b ài toán sai phân b ằng phương pháp truy đuổi 23

2.10 Sự ổn định của bài toán vi phân 27

2.11 S ự xấp xỉ 27

2.12 Sự hội tụ 29

2.13 Trường hợp điều kiện biên loại ba 30

Chương 3: Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 3.1 Bài toán vi phân 35

3.2 Đạo hàm lưới 36

3.3 Phương pháp sai phân 37

3.4 Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 46

3.5 Sự xấp xỉ 58

3.6 Sự ổn định của bài toán sai phân 58

3.7 Bài toán sai phân đối với sai số 75

3.8 Sự hội tụ và sai số 76

KẾT LUẬN 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

1 Lý do chọn đề

tài

MỞ ĐẦU

Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm

số tại các điểm khác nhau) Một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp sai phân là giải các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng

Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã

có rất nhiều phần mềm và chương trình có thể giúp chúng ta tìm nghiệm

của các phương trình vi phân thường với độ chính xác cao trong một thời

gian rất ngắn.Một lớp phương trình vi phân thường rất quan trọng đó là phươngtrình vi phân tuyến tính Trong một số ít trường hợp của lớp phương trình

vi phân tuyến tính ta có thể tìm được nghiệm tường minh Chẳng hạn,

đó là các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng và hàm vế phải cómột số dạng đặc biệt Tuy nhiên, trong những trường hợp tổng quát hơn việctìm ra nghiệm tường minh cho các phương trình vi phân tuyến tính là mộtvấn đề rất khó

Chính vì lí do đó người ta phải đưa ra các phương pháp để giải sốcác phương trình vi phân này Được sự định hướng của TS Nguyễn Văn

Hùng em đã chọn đề tài: “Phương pháp sai phân giải phương trình vi

phân tuyến tính” để hoàn thành luận văn đào tạo thạc sĩ chuyên ngành

toán gải tích

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về phương trình vi phân vàphương pháp sai phân ứng dụng vào giải phương trình vi phân tuyến tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Phương trình vi phân

- Phương pháp sai phân

- Phương pháp sai phân giải phuơng trình vi phân tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nướcliên quan đến phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo viết về phương pháp sai phân và cácứng dụng của nó

- Phân tích, tổng hợp kiến thức

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn.

Trình bày một cách có hệ thống về phương pháp sai phân giải phương

trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho một số

một số lĩnh vực khác

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nếu s thì a là số thập phân vô hạn

Làm tròn số a là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số a để được số a gọn hơn và gần đúng với số a

Quy tắc làm tròn : Xét số a ở dạng (1.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i ,

Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là

1 .10i

a , như vậy

a



a

a , rõ ràng

tuyệt đối tăng

1.1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

Xét số a ở dạng (1.1) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó

chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai số khác

0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại

Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi

1 2

yy

phép tính sẽ kém chính xác Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đếnhiệu quả của hai số gần nhau

b Sai số của phép toán nhân, chia

Nếu  1 thì độ chính xác là giảm đi

Nếu  1 thì độ chính xác tăng lên

Nếu  1 ( phép nghịch đảo ) thì độ chính xác là không đổi

Nếu  1 , k * ( phép khai căn ) thì độ chính xác tăng lên

1.1.4 Bài toán ngược của sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức :

n

là hàm hằng 0, thì gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính

thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuầnnhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất ta dùng phương

pháp biến thiên hằng số Lagrange : Thay C bởi hàm số

thay vào phương trình đã cho

hai vế,cuối cùng nhận được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất(1.4) là :





 

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao

1.3.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng

x là hàm hằng 0, thì gọi (1.9) là phương trình vi phân tuyến tính

thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất Phương trình thuần nhất có vế trái trùng với vế trái của phương trình không thuần nhất (1.9) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phươngtrình không thuần nhất (1.9)

1.3.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

Để giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

n n1  n2 

a1 y

a2 y

- Nếu  là nghiệm thực bội k của phương trình (1.11), thì các hàm

e x , x.e x , , x k 1 e x là k nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.10).

- Nếu   i là nghiệm phức bội k của phương trình (1.11) thì

 

i cũng là nghiệm bội k của phương trình (1.11) Khi đó theo

1

1

công thức Euler :

y e i x e  x cos x 

isin  x; y e i x e x

Điều đó có nghĩa là bằng cách giải phương trình đặc trưng tìm được đủ

n nghiệm thì ta có được ngay hệ thống n nghiệm độc lập tuyến tính củaphương trình vi phân (1.10) và do đó có nghiệm tổng quát

1.4 Sai phân và tính chất

1.4.1 Các khái niệm cơ bản

Xét dãy số x n , dạng khai triển của nó là: x0 , x1, x2 , , x n , 

Ví dụ, dãy số tự nhiên ký hiệu là N có dạng n0,1,

2, , n, ; Dãy số nguyên dương Z có dạng n1,

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân

hữu hạn cấp k là sai phân cấp k , còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân.

Từ công thức (1.4) suy ra một số tính chất của phương trình sai phân sau đây:

1.4.1.2 Tính chất của sai phân

Tính chất 1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số.

Chứng minh Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức (1.4)

k n k i

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số

n

1 C

i i1, sau đó thay ibằng

Theo quy luật quy nạp, công thức (1.4) đúng với mọi giá trị n nguyên dương.

Tính chất 2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.

Chứng minh Ta phải chứng minh

Chứng minh Theo tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính, nên ta

chỉ việc chứng minh cho đơn thức

CHƯƠNG II: LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

2.1 Bài toán vi phân

Cho hai số a và b với a b Tìm

Giả sử bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên a,b

2.2 Lưới sai phân

Ta chia đoạn a,bthành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài

a x0 x1 x i x N b

2.3 Hàm lưới

Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới h Giá trị của

hàmlưới  tại lưới xi viết là 

i .Một hàm

x

xác định tại mọi

nút

x i là:

 i 1 xi h Sau đây ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm

2.5 Qui ước viết vô cùng bé

Khái niệm “xấp xỉ” liên quan đến khái niệm vô cùng bé Để viết các vôcùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng các qui ước sau đây:

Giả sử đại lượng 

Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì 

h là một đại lượng nhỏ và khi

Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được sử

dụng để giải xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân

2.8 Phương pháp sai phân

Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng

x i h Gọi các giá trị gần đúng đó là i

Muốn có i

phân (2.1) – (2.2) bởi bài toán sai phân:

y x i tại các nút ta thay bài toán vi

2.9 Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi

Viết cụ thể bài toán (2.9) - (2.10) ta có:

x i

Vì lẽ đó phương pháp mang tên phương pháp truy đuổi từ phải.

Để tính các i , i ta viết (2.17) trong đó thay i bởi i

1:

Theo giả thiết (2.16) ta có 0 m1

C i  i1B i

y i1  i1 y i

 i1,

i 0,1, 2, , N 1.

2.10 Sự ổn định của bài toán sai phân

Trước hết để đo độ lớn của hàm lưới

Định nghĩa : Nói bài toán sai phân (2.9) – (2.10) là bài toán ổn định nếu nó có

nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệm thỏa mãn:

Ý nghĩa của bài toán ổn định là:

Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên thay đổi thì ít nhất nghiệm cũng thay đổi ít Bất đẳng thức (2.25) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn định của bài toán (2.9)- (2.10)

 yx i

h i i i i

Vì lẽ đó ta nói toán tử sai

nên ta cũng nói: Bài

toán sai phân (2.9) – (2.10) xấp xỉ bài toán vi phân (2.1) –(2.2)

2.12 Sự hội tụ

Định nghĩa: Gọi

y 

x là nghiệm của bài toán vi phân (2.1) –(2.2) và i là

nghiệm của bài toán sai phân (2.9) – (2.10)

Nói phương pháp sai phân (2.9) – (2.10) hội tụ nếu:

z0  y 0  0 y0  0 y a 

Oh do đó sẽ ảnh hưởng đến sai số trên toàn lưới Để đạt được sai số

tại biên

cấp Oh2 , ta sử dụng thêm chính phương trình (2.1) tại x a

p aya q

ay a Thay đẳng thức này vào (2.27)

và thay hàm cần tìm y bởi  , ta nhận được đẳng thức xấp xỉ

của điều kiện biên tại x a , đạt sai số Oh2 :

2

2

là nghiệm của hệ phương trình sau:

Suy ra nghiệm riêng tương ứng của phương trình là:

y (arcsin x)2 0.274156

So sánh với các nghiệm gần đúng tại các nút lưới, ta có bảng kết quả sau:

i x i

Nghiệm gầnđúng

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH3.1 Bài toán vi phân

 x liên tục và các đạo hàm p, p liên tục

y b , y

a

,

y b là những hàm số liên tục cho trước

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

(3.4) và (3.5) như ta đã biết gọi là đạo hàm lưới tiến và lùi cấp một của y

i

2 

3.3 Phương pháp sai phân   i

  Giả sử bài toán vi phân (3.1) – (3.2) thỏa mãn định lý về sự tồn tại và duynhất nghiệm, ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng

y x i tại các

Gọi các giá trị gần đúng đó là i Muốn có

 i

(3.2) bởi bài toán sai phân tương ứng

ta thay bài toán vi phân (3.1) –

q y 

y

q x yx

 1

y x i và bỏ qua các vô

cùng bé của h ta được phương trình sau:

Kết hợp với các điều kiện biên (3.2), ta có:

y N  y xxN 1 O h

cũng được gọi là lược đồ sai phân đối với bài toán biên đã cho.

Thay cho bài toán vi phân (3.1) – (3.2) đối với hàm



là hệ phương trình đại số bậc nhất tuyến tính có dạng năm đường chéo

3.4 Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

 D i v

 E i v

 m1 

Trong đó  là mức độ chính xác tương đối định trước

3.4.2 Phương pháp truy đuổi

Bài toán sai phân có dạng:

Đây là một hệ đại số tuyến tính năm đường chéo Bây giờ ta sẽ xét

phương pháp truy đuổi giải hệ năm đường chéo tổng quát sau:

Từ các công thức (3.22) – (3.23)





Thay (3.24) và (3.25) vào phương trình (3.19), ta được:

Như vậy, từ (3.26) – (3.28) ta tính được các hệ số i ,  i và  i với

1 i N 1 Tiếp theo, ta cần xác định  N ,

Với  N 1 được tính từ (3.26) tại i N

Như vậy, ta có thể tóm tắt lại qui trình giải hệ năm đường chéo (3.17) – (3.21)theo phương pháp truy đuổi từ phải như sau:







c i d i  i1 e i  i2 i1  i2 y i b i d i  i1 e i  i2 i1 

Ta thấy rằng 1, 1 ở trên trùng với các giá trị 1, 1 suy ra từ công thức

i 1, 2, ,

(3.41)

Định lý: Khi tìm nghiệm hệ (3.17) –(3.21) theo công thức truy đuổi (3.29) –

(3.33) ta sẽ gặp phải sai số quy tròn, vì vậy có thể dẫn đến sự mất ổn định của công thức tính Quá trình tính sẽ ổn định nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

đồng thời có ít nhất một bất đẳng thức mạnh trong các bất đẳng thức dưới đây:

Như vậy, với giả thiết c N 

N 0 Định lý được chứng minh đầy đủ

Với cách đánh giá hoàn toàn tương tự như định lý trên, nếu các giả thiết của định lý được thỏa mãn thì ta cũng chỉ ra được rằng:

3.6 Sự ổn định của bài toán sai phân

Định lý: Bài toán sai phân I

Chứng minh: ở trên, bài toán sai phân đã đưa về dạng I

Do định lý về sự ổn định của hệ năm đường chéo, ta có

 i 

1; N

1 nên suy ra

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:



Ta nhận thấy, với mỗi i xác định V i đánh giá ở trên chỉ phụ thuộc vào điều

kiện đầu và vế phải của phương trình sai phân

Eii2 Di i1 Ei i2 Fi

Eii2  Di Ai  BAi2 ii2  Bi1 Ai Bi

Tương tự như ở phần trên đối với

c0

j1

1

5c2

h c0

j

 1



Rõ ràng ta thấy rằng tương tự bài toán II

3.7 Bài toán sai phân đối với sai số

Gọi y là nghiệm của bài toán vi phân (2.1)  (2.2) và v là nghiệm của bài toán

sai

phân (I ) Đặt z v y

y i

( z i - biểu thị sai số tại nút i khi ta lấy

v i y(x i ) ) Ta có bài toán sai phân đối với sai số z

L h z i L h v i L h y i

L h z i L h v i L h y i

L h v i f i

K